梅涅勞斯定理【內(nèi)容充實(shí)】

1、【證法欣賞】證法1:（平行線分線段成比例）參考資料-一頁(yè)眉頁(yè)腳可刪除梅涅勞斯定理【定理內(nèi)容】如果一條直線與AABC的三邊AB、BC、CA或其延長(zhǎng)線交于F、D、E點(diǎn),AF BD CE , 那么=1.FB DC EA評(píng)等價(jià)敘述：AABC的三邊AB、BC、CA或其延長(zhǎng)線上有三點(diǎn)F、D、E , 則F、D、E三點(diǎn)共線的充要條件是 任，型，9巨=1。三點(diǎn)所在直線稱(chēng)為三角形FB DC EA的梅氏線?！颈尘昂?jiǎn)介】梅涅勞斯（Menelaus）定理是由古希臘數(shù)學(xué)家梅涅勞斯首先證明的。證：如圖，過(guò)A作AGBC交CF延長(zhǎng)線于G ,v AG / BC ,AF _ AGFB BDCE _ CDEA AG資料本參考資料-一

2、頁(yè)眉頁(yè)腳可刪除p BD BDCD CDAF CE BD AG CD BD d 1FB EA CD BD AG CD,AF BD CE . =1FB DC EA證法2:（正弦定理）證：如圖，令 ZAEF =a , ZAFE =P , /BDE = ¥ ,在AAEF中，由正弦定理知:AF AEsin 二 sin :'.由 BFBDBD CD CE里-=丁 = k . = -sin sin(180 -)sin-sin-： sinAF sin 二 BDsinCEsinAE sin 一： ' BFsin'CDsin ;，AF BD CE d 日口 AF BD CE d1

3、1.AE BF CD FB DC EA【逆定理】 梅涅勞斯定理的逆定理也成立，即如果有三點(diǎn)F、D、E分別在&ABC的三邊AB、BC、CA或其延長(zhǎng)線上, 且滿(mǎn)足 空型 CE =1 ,那么F、D、E三點(diǎn)共線。FB DC EA注利用梅涅勞斯定理的逆定理可判定三點(diǎn)共線資料本參考資料-頁(yè)眉頁(yè)腳可刪除【定理應(yīng)用】梅涅勞斯定理的應(yīng)用定理1:若AABC的/A的外角平分線交邊BC延長(zhǎng)線于P , 2 B的平分線交邊AC于Q , /C的平分線交邊AB于R,則P、Q、R三點(diǎn)共線證：由三角形內(nèi)、外角平分線定理知,BPBAPC CAAR BPRB PCCQQACQQABCABCACBARRBBA BCCA ABA一Q2故P、Q、R三點(diǎn)共線【定理應(yīng)用】梅涅勞斯定理的應(yīng)用定理2:過(guò)任意AABC的三個(gè)頂點(diǎn)A、B、C作它的外接圓的切線，分別和BC、CA、AB 的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)P、Q、R,則P、Q、R三點(diǎn)共線。證：: CR是。的切線， ARACs ARCB,RA RC AC；一=一,RC RB CBnt RA RA R