直線的兩點式與一般式方程

1、3.2.2 3.2.3 y=kx+b y y0 =k(x x0 )復習鞏固直線的點斜式方程：直線的點斜式方程：直線的斜截式方程：直線的斜截式方程：一、復習、引入一、復習、引入1 1、已知點、已知點A(-2,1),(1)A(-2,1),(1)求經過點求經過點A A且且平行于平行于x x軸的直線軸的直線L L1 1方程方程?(2)?(2)求經過求經過點點A A且平行于直線且平行于直線2y=6x-102y=6x-10的直線的直線L L2 2方程方程? ?2 2、求經過點、求經過點P(1,0),Q(0,1)P(1,0),Q(0,1)的直線的直線L L3 3方程方程; ;并求經過點并求經過點P P且與且

2、與L L3 3垂直的直線垂直的直線L L4 4方程方程? ?2)y-1=3(x+2)2)y-1=3(x+2)1)y=11)y=1l l3 3:y=-x+1 l:y=-x+1 l4 4:y=x-1:y=x-1 解：設直線方程為：解：設直線方程為：y=kx+b.例例1.已知直線經過已知直線經過P1(1,3)和和P2(2,4)兩點，求直線的方兩點，求直線的方程程bkbk324由已知得：由已知得：12kb解方程組得：解方程組得：直線方程為直線方程為: y=x+2123413xy簡單的做法：簡單的做法：化簡得：化簡得： x-y+2=0解法二解法二:為什么可以這樣做，這樣做的根據是什么？為什么可以這樣做，

3、這樣做的根據是什么？ 動點軌跡法解釋：動點軌跡法解釋：k kPPPP1 1= k= kP P1 1P P2 2123413xy即：即： 得得:y=x+2:y=x+2設設P(x,y)P(x,y)為直線上不同于為直線上不同于P P1 1 ， P P2 2的動點，的動點，與與P P1 1(1,3),P(1,3),P2 2(2,4)(2,4)在同一直線上，根據在同一直線上，根據斜率相等可得：斜率相等可得：二、直線兩點式方程的推導二、直線兩點式方程的推導解：設點解：設點P(x,y)是直線上不同于是直線上不同于P1 ， P2的點的點直線的直線的兩點式兩點式方程：方程：121121y yyyx xxxkPP

4、PP1 1= kP P1 1P P2 2記憶特點：記憶特點：推廣推廣左左邊邊全為全為y，右，右邊邊全為全為x兩邊的兩邊的分母全為常數分母全為常數 分子，分母分子，分母中的減數相同中的減數相同),(2121yyxx),(2121yyxx 已知兩點已知兩點P1 ( x1 , y1 )，P2(x2 , y2) ，求通過這兩點的直線方程求通過這兩點的直線方程121121xxxxyyyy 是不是已知任一直線中的兩點就是不是已知任一直線中的兩點就能用兩點式能用兩點式 寫出直線方程呢？寫出直線方程呢？不是不是! ! 121121xxxxyyyy 兩點式不能表示兩點式不能表示平行平行于于坐標軸坐標軸或或與坐標

5、軸與坐標軸重合重合的直線的直線注注 意：意： 當當x x1 1 x x2 2或或y y1 1= = y y2 2時，直線時，直線P1 P2沒有兩點式方沒有兩點式方程程. .( 因為因為x x1 1 x x2 2或或y y1 1= = y y2 2時，兩點式的分母為時，兩點式的分母為零，沒有意義零，沒有意義) 那么兩點式不能用來表示哪些直線那么兩點式不能用來表示哪些直線的方程呢？的方程呢？三、兩點式方程的適應范圍三、兩點式方程的適應范圍1.求過點求過點(2,3)及點及點(2,5)的直線方程的直線方程2.求過點求過點(3,5)及點及點(2,5)的直線方程的直線方程 若點若點P1 （ x1 , y1

6、 ），P2（ x2 , y2）中有中有x1 x2 , ,或或y1= y2, ,此時過這兩點此時過這兩點的直線方程是什么？的直線方程是什么？當當x1 x2 時時方程為：方程為： x x當當 y1= y2時時方程為：方程為： y= y練習練習 課本課本P97 1點點121121xxxxyyyy2121,yyxx),(),(2211yxQyxP), 0(),0 ,(21yQxP10021112yyxxxxxyy0, 021yx), 0(),0 ,(bQaP1byax)0, 0(ba橫截距橫截距縱截距縱截距截距式截距式兩點式兩點式加號加號數字數字“1”直線與坐標直線與坐標軸的交點軸的交點 注注 意意：

7、不是不是; 132 ; 12; 132. 1yxyxyx是截距式嗎是截距式嗎? ?不是不是. .截距可是截距可是正數正數, ,負數和零負數和零不不能表示能表示過原點過原點或或與坐標軸平行或重合與坐標軸平行或重合的直線的直線3.3.是不是任意一條直線都有其截距式方程呢？是不是任意一條直線都有其截距式方程呢？2 2. .截距是不是一定是正數截距是不是一定是正數? ?練習練習 課本課本P97 2,3b表示.b表示.kxkx可以用y可以用yD.經過定點的直線都D.經過定點的直線都1表示;1表示;b by ya ax x都可以用方程都可以用方程C.不經過原點的直線C.不經過原點的直線)表示;)表示;y

8、y)(y)(yx x(x(x) )x x)(x)(xy y都可以用方程(y都可以用方程(y )的點的直線)的點的直線y y, ,(x(xP P),),y y, ,(x(xP PB.經過任意兩個不同B.經過任意兩個不同)表示;)表示;x xk(xk(xy y方程y方程y )的直線都可以用)的直線都可以用y y, ,(x(xA.經過定點PA.經過定點P) ) 真命題是(真命題是(1.下列四個命題中的1.下列四個命題中的1 12 21 11 12 21 12 22 22 21 11 11 10 00 00 00 00 0B B 過過(1,2)(1,2)并且在兩個坐標軸上的截距相并且在兩個坐標軸上的截

9、距相 等的直線有幾條等的直線有幾條? ?解解: 例例3 3變式變式: :那還有一條那還有一條 y=2x (與與x軸和軸和y軸的截距都為軸的截距都為0)所以直線方程為：所以直線方程為：x+y-3=0a=3121aa把把(1,2)代入得：代入得：1xyaa設設 直線的方程為直線的方程為:兩條兩條當當 時時 0 ba當當 時時0 ba解：解： 過過(1,2)(1,2)并且在兩個坐標軸上的截并且在兩個坐標軸上的截距的絕對值相等的直線有幾條距的絕對值相等的直線有幾條? ? 解得：解得：a=b=3或或a=b=1直線方程為：直線方程為：y+x3=0、yx1=0或或y=2x1xyabab設設當當 時時 0 b

10、a當當 時時0 bay=2x三條三條 例例4:4:已知角形的三個頂點是已知角形的三個頂點是A(A(5 5，0)0)，B(3B(3，3)3)，C(0C(0，2)2)，求，求BCBC邊所在邊所在的直線方程，以及該邊上中線的直線方的直線方程，以及該邊上中線的直線方程。程。解：過解：過B(3,-3),C(0,2)兩點式方程為：兩點式方程為：203230yx 整理得：整理得：5x+3y6=0這就是這就是BC邊所在直線的方程。邊所在直線的方程。五、直線方程的應用五、直線方程的應用1112221 23:(,),(,),P x yP xyPPM思考點則線段的中點的坐標是1212,)22xxyy（坐標為坐標為3

11、032,22 BC邊上的中線是頂點邊上的中線是頂點A與與BC邊中點邊中點M所連所連線段，由中點坐標公式可得點線段，由中點坐標公式可得點M的坐標為：的坐標為：31,22即即整理得：整理得：x+13y+5=0即為即為BC邊上中線所在的直線的方程。邊上中線所在的直線的方程。05130522yx過過A(-5,0),M 的直線方程的直線方程31,22小結：小結：2)2)兩點式、截距式直線方程的適應范圍兩點式、截距式直線方程的適應范圍1)1)直線的兩點式方程直線的兩點式方程121121xxxxyyyy2121,yyxx直線的截距式方程直線的截距式方程1byax)0, 0(ba3)3)中點坐標：中點坐標：2

12、22121yyyxxx分母不為分母不為0 (一)填空名稱 已知條件 標準方程 適用范圍 點斜式 斜截式 兩點式 截距式 (x0,y0) , kk,y軸上截距b(x1,y1)(x2,y2)x軸上截距ay軸上截距by-y0=k(x-x0)y=kx+by-y1y2-y1=x-x1x2-x1xa+yb=1過點 與x 軸垂直的直線可表示成 ， 過點 與y 軸垂直的直線可表示成 。）（00, yx）（00, yx0 xx 0yy k存在k存在k存在,k0k存在,k0不過原點特殊形式特殊形式上述五種直線方程，它們的共性是什么？能否上述五種直線方程，它們的共性是什么？能否寫成一個統(tǒng)一形式？寫成一個統(tǒng)一形式？?

13、 x+ ? y+ ? =0問題問題1：問題問題2：上述五種直線方程的優(yōu)缺點是什么？上述五種直線方程的優(yōu)缺點是什么？優(yōu)點：直線的特征明顯優(yōu)點：直線的特征明顯缺點：只適合一部分直線缺點：只適合一部分直線)(11xxkyy bkxy 121121xxxxyyyy 1 byax0) 1(11 kxyykx0) 1( bykx0)()()()(1212112112 xxyyyxyxxxyy0)( abaybx上述五式都可以寫成一種形式：上述五式都可以寫成一種形式：0 xx0)(00 xyxAx+By+C=0, A、B不同時為不同時為0。關于，二元一次方程關于，二元一次方程問題3：對于任意一個二元一次方程

14、 （A，B不同時為零） 能否表示一條直線？0CByAxB 時,方程變?yōu)?y=-ABx-CB 表示過點(0,-CB),斜率為-AB的直線B=0 時,方程變?yōu)?x=-CA 表示垂直于x軸的一條直線)0A（總結總結: : 由上面討論可知由上面討論可知, ,1.1.平面上任一條直線都可以用一個關于平面上任一條直線都可以用一個關于x,yx,y 的二元一次方程的二元一次方程 Ax+By+CAx+By+C=0=0（A A、B B不同時不同時 為為0 0）表示）表示2.2.關于關于x,yx,y的二元一次方程的二元一次方程Ax+By+CAx+By+C=0=0（A A、B B 不同時為不同時為0 0）都表示一條直

15、線）都表示一條直線. . Ax+By+CAx+By+C=0 (A,B=0 (A,B不同時為零不同時為零) ) 叫做叫做直線的一般式方程直線的一般式方程, ,簡稱簡稱一般式一般式3 3.二元一次方程的系數和常數項對直線二元一次方程的系數和常數項對直線位置的影響位置的影響探究：在方程探究：在方程 (A,B不同時為不同時為0)1.當當 時，方程表示的直線與時，方程表示的直線與x軸軸 ；2.當當 時，方程表示的時，方程表示的直線與直線與x軸垂直；軸垂直；3.當當 時，方程表示的直線與時，方程表示的直線與x軸軸_ ；4.當當 時，方程表示的直線與時，方程表示的直線與y軸重合軸重合 ；5.當當 時，方程表

16、示的直線過時，方程表示的直線過原點原點.0AxByC000ABC，平行平行00ABC， 為任意實數000ABC，重合重合000ABC，0, ,0CA B不同時為 5. 反饋體驗231.過點A(6,-4),斜率為-43;y+4=-43(x-6)4x+3y-12=0例例5 根據下列條件，寫出直線的方程，并把它化成一根據下列條件，寫出直線的方程，并把它化成一般式：般式：3.在x軸,y軸上的截距分別是32,-3;2.經過點P(3,-2),Q(5,-4);y+2-4+2=x-35-3x+y-1=0 x32+y-3=12x-y-3=0注：對于直線方程的一般式，一般作如下注：對于直線方程的一般式，一般作如下

17、約定：一般按約定：一般按含含x x項、含項、含y y項、常數項順序項、常數項順序排列；排列；x x項的系數為正；項的系數為正；x x，y y的系數和常數的系數和常數項一般不出現分數；無特別說明時，最好項一般不出現分數；無特別說明時，最好將所求直線方程的結果寫成一般式。將所求直線方程的結果寫成一般式。 例例6 把直線把直線 化成斜截式，求化成斜截式，求出直線的斜率以及它在出直線的斜率以及它在y軸上的截距。軸上的截距。 :35150lxy35解：將直線的一般式方程化為斜截式：解：將直線的一般式方程化為斜截式： ，它的斜率為：它的斜率為： ，它在，它在y軸上的截距是軸上的截距是3335yx 思考：若

18、已知直線思考：若已知直線 ，求它在，求它在x軸上軸上的截距的截距:35150lxy求直線的一般式方程求直線的一般式方程 的斜率和截距的方法：的斜率和截距的方法：（1）直線的斜率）直線的斜率 （2）直線在）直線在y軸上的截距軸上的截距b令令x=0，解出，解出 值，則值，則 (3) 直線與直線與x軸的截距軸的截距a令令y=0，解出，解出 值，則值，則0(,AxByCA B在都不為零時)BAkBCyBCbACxACa拓展訓練題拓展訓練題: : 設直線設直線 l 的方程為的方程為(a(a1)x1)xy y2 2a=0(aR)a=0(aR) （1 1）若）若 l 在兩坐標軸上的截距相等，求在兩坐標軸上的

19、截距相等，求 l 的方程；的方程； （2 2）若）若 l 不經過第二象限，求實數不經過第二象限，求實數a a的取值范圍的取值范圍 解析解析: :（1 1）當）當直線過原點時直線過原點時，該直線在，該直線在 x x 軸軸 y y 軸上的截距都軸上的截距都為零，當然相等，此時為零，當然相等，此時a=2,a=2,方程為方程為3x+y=0.3x+y=0. 若若 ，即，即l不過原點不過原點時，由于時，由于 l 在兩坐標軸上的截距相等，在兩坐標軸上的截距相等，有有 ，即，即 a+1=1, a=0 , a+1=1, a=0 , l 的方程為的方程為 x+y+2=0.x+y+2=0. l 的方程為的方程為3x

20、+y=0 3x+y=0 或或 x+y+2=0 x+y+2=0 （2 2）將）將l的方程化為的方程化為 y=-(a+1)x+a-2, y=-(a+1)x+a-2, 欲使欲使l不經過第二象不經過第二象限，當且僅當限，當且僅當 或或 ， 綜上所述，綜上所述，a a的取值范圍是的取值范圍是 a - 2a - 2a 1(a 1)0a20 (a 1 ) 0a 2 0 a-1(- ,-1a21 1、直線、直線Ax+By+C=0Ax+By+C=0通過第一、二、三象限，則（通過第一、二、三象限，則（ ） (A) A(A) AB0,AB0,AC0 (B) AC0 (B) AB0,AB0,AC0C0 (C) A (

21、C) AB0,AB0 (D) AC0 (D) AB0,AB0,AC0C0C3 3、求與兩坐標軸正向圍成面積為、求與兩坐標軸正向圍成面積為2 2平方單位的平方單位的三角形，并且兩截距之差為三角形，并且兩截距之差為3 3的直線的方程。的直線的方程。2 2、已知直線、已知直線 在在x x軸上的截軸上的截距是距是y y軸上截距的軸上截距的3 3倍，求倍，求a a的值。的值。)0(423aayxa鞏固練習鞏固練習2a044 , 044yxyx5.設直線設直線l的方程為的方程為 （m22m3）x（2m2m1）y2m6根據下列條件確定根據下列條件確定m的值（的值（1）l在在x軸上的截距是軸上的截距是3； （2）斜率是）斜率是1。解解：（：（1）由題意得）由題意得332622mmm0322 mm35,3 mm2)由題意得由題意得1123222mmmm0122mm341 mm或或解解得得小結小結1.直線的五種直線的五種特殊形式特殊形式 直線的直線的一般形式一般形式)(11xxkyy bkxy 121121xxxxyyyy 1 byax0 xxAx+By+CAx+By+C=0 =0 (A,B(A,B不同時為零不同時為零) ) 各有優(yōu)缺點各有優(yōu)缺點