不等式常見考試題型總結(jié)

1、?不 等 式? 常 見 考 試 題 型 總 結(jié)一、高考與不等式高測試題,有關(guān)不等式的試題約占總分的 12%左右,主要考查不等式的根本知 識,根本技能,以及學(xué)生的運算水平,邏輯思維水平,分析問題和解決問題的水平.選擇 題和填空題主要考查不等式的性質(zhì)、比擬大小和解簡單不等式,還可能與函數(shù)、方程等內(nèi) 容相結(jié)合的小綜合.解做題主要是解不等式或證實不等式或以其他知識為載體的綜合題. 不等式常與以下知識相結(jié)合考查：不等式的性質(zhì)的考查常與指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)的性質(zhì)的考查相結(jié)合,一 股多以選擇題的形式出現(xiàn),有時也與充要條件、函數(shù)單調(diào)性等知識結(jié)合,且試題難度不解不等式的試題主要在解答中出現(xiàn),常常是解含參

2、不等式較多,且多與二次函數(shù)、 指數(shù)、對數(shù)、可能還會出現(xiàn)導(dǎo)數(shù)相結(jié)合命題；證實不等式是理科考查的重點,經(jīng)常同一次函數(shù)、二次函數(shù)、數(shù)列、解析幾何,甚 至還可能與平面向量等結(jié)合起來考查.二、常見測試題型(1)求解不等式解集的題型(分式不等式的解法,根式不等式的解法,絕對值不等式的解法,含參不等式的解法, 簡單的一元高次不等式的解法)(2)不等式的包成立問題(不等式包成立問題的常規(guī)處理方式常應(yīng)用函數(shù)方程思想,別離變量法,數(shù)形結(jié)合法)(3)不等式大小比擬常用方法：1 .作差：作差后通過分解因式、配方等手段判斷差的符號得出結(jié)果；2 .作商(常用于分?jǐn)?shù)指數(shù)幕的代數(shù)式)；3 .分析法；4 .平方法；5 .分子(

3、或分母)有理化；6 .利用函數(shù)的單調(diào)性；7 .尋找中間量或放縮法；8 .圖象法.(4)不等式求函數(shù)最值技巧一：湊項5例：X -1)的值域.x 1技巧四：換元2x ,7x,10,例.求 y=一2_J0(x 1)的值域.x 1技巧五：函數(shù)的單調(diào)性的單(注意：在應(yīng)用最值定理求最值時,假設(shè)遇等號取不到的情況,應(yīng)結(jié)合函數(shù)f(x) = x+x調(diào)性.)例：求函數(shù)y =x2 4技巧六：整體代換(屢次連用最值定理求最值時,要注意取等號的條件的一致性,否那么就會出錯.)19例：(1)x0, y0,且一+一=1,求x + y的取小值. x y(2)假設(shè)x, y w R+且2x + y = 1 ,求1 +工的最小值

4、x y(3) a,b,x, y w R4M a+P =1,求 x + y 的最小值 x y技巧七、利用sin 2 a + cos2 a =1轉(zhuǎn)換式子2技巧八、x, y為正實數(shù),且x 2+,=1,求x4 1 + y 2的最大值. a2+ b 2分析：因條件和結(jié)論分別是二次和一次,故米用公式ab0, b0, ab(a+b)=1,求 a+b 的最小值.2,假設(shè)直角三角形周長為1,求它的面積最大值.技巧十：取平方例、x, y為正實數(shù),3x+2y=10,求函數(shù) 修(以+42y的最值.(5)證實不等式常用方法：比擬法、分析法、綜合法和放縮法.根本不等式一最值求法的題型根底題型一：指數(shù)類最值的求法1,a+b

5、 =3,求3a +3b的最小值.變式1.a +2b =3,求3a +9b的最小值.1 .變式2.x y=2,求3 +下的最小值.3y1 變式3.x-2y = -3 ,求2十二的最小值.4y1 1變式4.點(x, y)在直線yx-1上,求3x+t的最小值.2 9y根底題型二：對數(shù)類最值的求法2, xA0,y0,且 2x+y=4,求 10g2 x + log2 y 的最大值.變式1.x 0, y 0 ,且x +2y = 4 ,求10g 1 x + l0gl 3y的最小值. 22變式2.點(x, y)是圓x2 +y2 =6在第一象限內(nèi)的任一點,求log、j3 x + log森y的最大值.水平題型一：

6、常數(shù)變形(加或減去某個常數(shù)使兩個因式的積為常數(shù)).、11,x2,求9)=*+1+的最小值.x 2變式1.x3,求f(x) =2x-3+的最小值.x.24變式2.x父1,求f x =2x +的最大值.x -1水平題型二：代換變形把整式乘到分式中去以便于用根本不等式1 .x0,y 0,且x+2y=1,求2+工的最小值.x y2 3 .一 .2.變式1.x A0, y A0 ,且2x + y =3 ,求士 +金的最小值.x y12 .一.變式2.x 0, y 0,且 2x2+y2 =1 ,求 xj + 2y2 的最大值.變式1.x0,y 0 ,且x2 +2y2 =3 ,求2x51十y2的最大值.變式

7、 2. a 0,b0,Ha2 +b2 =3,求-a,1+2b2 的最小值.水平題型四：對勾函數(shù)及其應(yīng)用1 .1 一【對勾函數(shù)】y = x +,由x =行頂點的橫坐標(biāo)為x = 1.y =ax +b,由ax = b得頂點的橫坐標(biāo)為x = 士的. xxay =ax +b =a(x -1) + b + a ,由 a(x -1) = b得頂點的橫坐標(biāo)為 x =1 JR x -1x Tx 7a2例1.求y=x+2 (x勺1,4)的值域. x2變式 1.求 y =x +- (x = -2, -1)的值域. x2變式2.求y=3x+ (x = 2,4)的值域.x例2.求y=x+ (x之2)的值域.x 11變式

8、1.求y=2x+仁之3)的值域.x -22變式2.求y=x+ (x-2)的值域.x -14例 3.求 y =sin x + (0 Vab 2 假設(shè)a,b w R ,那么 a + b 22vab 當(dāng)且僅當(dāng) a = b時取 2 一“二3假設(shè)a,bw R*,那么ab E:也：2 當(dāng)且僅當(dāng)a = b時取“= 一 2113 .假設(shè)x0,那么x+1占2 當(dāng)且僅當(dāng)x=1時取“二;x0, WJ a+B至2 當(dāng)且僅當(dāng)a = b時取“二 b a應(yīng)用一：求最值例1:求卜列函數(shù)的值域,八C 21(D y=3x +22x解：(1) y = 3x +2x 2 2 一1(2)當(dāng) x0 時,y = x + 白 x1當(dāng) x0

9、時,y=x+ x 值域為(- 00,.1(2) y=x+, xJ3x. 2x 2 =J6 .值域為6 , +0)c1c2/x x 2;=(x： ) 2/x ： = 22 U 2 , +8)假設(shè)ab=0 ,那么a+b 22即a+b占2或a+b芻-2 當(dāng)且僅當(dāng)a = b時取“= b a b a b a解題技巧：技巧一：湊項例1：x5,求函數(shù)y=4x_2+,的最大值. 44x -5解：因4x-50,所以首先要“調(diào)整符號,又(4x2展三不是常數(shù),所以對4x-2要進 行拆、湊項,511,x ： -, 5 -4x . 0 , . y = 4x - 2 = - 5 - 4x 3 - -2 3 = 144x

10、-55 -4x, 一 . ,1當(dāng)且僅當(dāng)5-4x =,即x=1時,上式等號成立,故當(dāng)x = 1時,ymax=1.5 -4x評注：此題需要調(diào)整項的符號,又要配湊項的系數(shù),使其積為定值.技巧二：湊系數(shù)例1.當(dāng).?芥0,利用根本不等式求最值,必須和為定值或積為定值,此題為兩個式子積的形式,但其和不是定值.注意到2x+(8 -2x) =8為定值,故只需將 y = x(8-2x)湊上一個系數(shù)即可.當(dāng)2元=32X,即x=2時取等號 當(dāng)x=2時,y =x(82x)的最大值為8.評注：此題無法直接運用根本不等式求解,但湊系數(shù)后可得到和為定值,從而可利用根本不等式求最大 值.3變式：設(shè)0x5,求函數(shù)y =4x(3

11、-2x)的最大值._2解：0 x 0/. y=4x(3-2x) = 2 2x(3-2x) 0時,y之2J(x+1)M-4 +5=9 (當(dāng)且僅當(dāng)x=1時取“=號). x 1技巧四：換元解析二：此題看似無法運用根本不等式,可先換元,令t=x+1,化簡原式在別離求最值.當(dāng)了7,即t=x+l0時,丫2 2/父：+5=9 (當(dāng)t=2即x=1時取一號).評注：分式函數(shù)求最值,通常直接將分子配湊后將式子分開或?qū)⒎帜笓Q元后將式子分開再利用不等式求A取值.即化為y=mg(x)+ B(A0,B0), g(x)恒正或恒負(fù)的形式,然后運用根本不等式來求g(x)最值.技巧五：注意：在應(yīng)用最值定理求最值時,假設(shè)遇等號取不

12、到的情況,應(yīng)結(jié)合函數(shù)f(x) =x+a的單調(diào)性.例：求函數(shù)y= x +5的值域.xx2 4解：令& +4 =t(t 92),貝Uy_+5 =JT7Z+1t+2).XT4. X2 4 tii .因tA0,t ；=1,但t=；解得t=1不在區(qū)間I2,y ),故等號不成立,考慮單調(diào)性.1 ,、 .一一 .,、 .5由于y=t+j在區(qū)間1,一)單調(diào)遞增,所以在其子區(qū)間 2y )為單調(diào)遞增函數(shù),故y2.所以,所求函數(shù)的值域為5, 二.,2練習(xí).求以下函數(shù)的最小值,并求取得最小值時,x的值.X2 3x 1-11(1) y=,(x 0) (2) y = 2x+,x 3 (3) y = 2sinx +,xw(

13、0,n)xx - 3sin x2.0x1,求函數(shù)y = Jx(1-x)的最大值.；3. 0x|,求函數(shù)y= Jx(2-3x)的最 大值.條件求最值1.假設(shè)實數(shù)滿足a+b=2,那么3a +3b的最小值是.分析：“和到“積是一個縮小的過程,而且 3a,3b定值,因此考慮利用均值定理求 最小值,解：3a和3b都是正數(shù),3a+3b - 2%;3a 3b =20, y0,且一+=1,求x + y的取小值.x y錯解：x a0, y 0 ,且1 +9 =1 ,x + y1 +g l(x + y 戶2 叵2yxy =12 故 x yx y xy(x+y L =12.錯因：解法中兩次連用根本不等式,在 x +

14、 y之2向等號成立條件是x=y,在1+9比 叵等號成立條件是1=9即y = 9x,取等號的條件的不一致,產(chǎn)生錯誤.因此,在 x y xyx y利用根本不等式處理問題時,列出等號成立條件是解題的必要步驟,而且是檢驗轉(zhuǎn)換是否 有誤的一種方法.9 y 9x+ 十一+10 至6+10=16191正斛：.x 0, y 0,十一=1,二 x+y=(x + y)y 9x 19in =160當(dāng)且僅當(dāng)?=于時,上式等號成立,又得:1,可得x=4,y=12時,(x+yL變式：(1)假設(shè)x, yw R+且2x+ y = 1,求1+的最小值 x y(2)a,b,x, y w r,且亙+2=1 ,求x + y的最小值

15、x y2a 2+ b 2技巧七、x, y為正實數(shù),且x 2+,=1,求x 1 + y 2的最大值.分析：因條件和結(jié)論分別是二次和一次,故采用公式ab0 得,0b 15 t = b+1, 1t2a /t =81ab 當(dāng)且僅當(dāng)t=4,即b=3, a=6時,等號成立.法二：由得： 30 ab=a+2b . a+2b22 ab30 abn2y2 ab令 u = /ab 那么 u2+2也 u 30w 0, -5/2 uVab a,bWR3 ,這樣將條件轉(zhuǎn)換為含ab的不等 2式,進而解得ab的范圍.變式：1.a0, b0, ab-a+b = 1,求a+b的最小值.2.假設(shè)直角三角形周長為1,求它的面積最大

16、值.技巧九、取平方5、x, y為正實數(shù),3x + 2y=10,求函數(shù) W= 展 +2y的最值. 22解法一：假設(shè)利用算術(shù)平均與平方平均之間的不等關(guān)系,號 a-2,此題很簡單弧 十/直啦 7V3X 2+ 仿2 =V2 3x+2y =2加解法二：條件與結(jié)論均為和的形式,設(shè)法直接用根本不等式,應(yīng)通過平方化函數(shù)式為積的 形式,再向“和為定值條件靠攏.W0, W= 3x+2y + 2弧 西=10+ 2V3X 恒 010+ 弧2 揚2 =10 +3x + 2y =20. W 20 =2 5變式：求函數(shù)y =雙二1+5石1x0,所以 0y 8abc111例 6: a、b、cw R+,且 a +b + c =

17、1.求證： 1|1|1 七8 abc分析：不等式右邊數(shù)字8,使我們聯(lián)想到左邊因式分別使用根本不等式可得三個“2連乘,又1;占二U 2jg ,可由此變形入手. a a a a解：:a、b、cwR+,a+b+c = 1.11=占=冬叵.同理之冬至, a a a ab b1 .1 _2更.上述三個不等式兩邊均為正, 分別相乘,得 c c1 丫11已1卜巫L2叵心亙=8.當(dāng)且僅當(dāng)a=b = c時取等號.a bc a b c3應(yīng)用三：根本不等式與包成立問題19例：x 0, y A0且一+ = 1 ,求使不等式x + y占m包成立的頭數(shù)m的取值沱圍. x y解：令 x+y =k,x 0, y A0, 1+

18、9 =1 ,- y +9x*9y=1.j.l0+-y + 9x=1 x ykx kyk kx ky1031 - - 2.k 之 16 , mw(-o,16應(yīng)用四：均值定理在比擬大小中的應(yīng)用：例：假設(shè) a b 1,P =lg a lgb,Q =1(1g a + 1g b), R = lg(),貝U P,Q, R的大小關(guān)系 22是分析：a b 1 lg a 0, lg b 0Q = 一 (lg a lg b) lg a lg b = p2,a b、 ,1 ,R = lg() lg Vab = lg ab =Q. . RQP.22不等式求解集積題型【知識要點】1,絕對值符號里含有未知數(shù)的不等式叫做絕

19、對值不等式.(1) x a的解集是-a x 0)(2) x a的解集是x a或x b;當(dāng)a0時,xba當(dāng)a=0時,假設(shè)b0,解集為任意實數(shù)；假設(shè)b0,無解當(dāng) a 0 時,x a【典型例題】題型一：與整數(shù)解個數(shù)有關(guān)的不等式例1.如果不等式3x-a0的正整數(shù)解是1, 2, 3,那么a的取值范圍是多少？x-a0例2.關(guān)于x的不等式組/ a0的整數(shù)解共有5個,求a的取值范圍.3-2x 2 ,求1(a x)2a的解集.243、3x + 7y = k, 一(2)方程組3x 7 k的解x, y都是正數(shù),那么整數(shù)k應(yīng)等于.2x + 5y =20題型三：系數(shù)含有字母的不等式例4.解關(guān)于x的不等式：工泌士3261

20、例5. k為何值時,不等式1(kx+8)3x永遠(yuǎn)成立？21假設(shè)不等式(a+b)x+(2a -3b) 3(2) 2x-5 x + 4題型五：比擬大小例7.比擬以下各式的大小(1) 3x2 +2x+1 和3x2 +2x-2(2) a-2b與a +2b例8.如果a5 a3 a a2 a4成立,那么實數(shù)a的取值范圍是()A、0a1 C 、-1a0 D 、a -1【穩(wěn)固練習(xí)】1 .如果關(guān)于x的方程(1 -mx =1 -2x的解是一個負(fù)數(shù),那么 m的取值范圍是2 .關(guān)于x的方程2+k(x1)=x(k 2)+4x的解假設(shè)為正數(shù),那么k的取值范圍為().A k ：2 B k ： -1 C k ： -2D k

21、-23 .如果(m- 1)x 1 ,那么m滿足()A. m -1C . m 14 .關(guān)于x的一次方程(3a十8b區(qū)+7 =0無解,那么ab是()A、正數(shù)B 、非正數(shù) C 、負(fù)數(shù) D 、非負(fù)數(shù)5 .解以下不等式(1) |2x-1 x+1(2) k x-1 6-x8 .假設(shè)滿足不等式3E(a-2%3a-1E5|x必滿足3WxE5,求a的取值范圍.9 . 一次函數(shù)y1的圖像是射線h, y2的圖像是射線l2,如下圖,/假設(shè)=丫2,那么x的值為；/假設(shè)yy2,貝Ux的取值范圍是；/假設(shè)y1 2x+ m, (1)假設(shè)它的解是x-,求m的值. 39x a _011 .如果不等式組x a 0的整數(shù)解僅為1,

22、2, 3,那么,適合這個不等式組的整數(shù) a、8x -b ：0b的有序?qū)?a , b )共有()A、17 個 B 、64 個 C 、72 個 D 、81 個心、1mx + y=2 工 r 2m -1 m+2-12 .萬程組的解x,y的乘積小于零,求 的值.、x-my = -12m -1 m + 2高中數(shù)學(xué)不等式知識點經(jīng)典習(xí)題典型例題一例1解不等式x+1 2x-3 -2分析：解含有絕對值的不等式,通常是利用絕對值概念a=a(a0),將不等式中的a(a2與條件矛盾,無解.33(2)當(dāng)1 -(2x 3)2. x0,故 02x-3-2. . - x6 ,故x6.綜上,原不等 22式的解為x0二x : 6

23、二說明：要注意找零點去絕對值符.號最好畫數(shù)軸,零點分段,然后從左向右逐段討論,這樣做條理清楚、不重不漏.典型例題二例2求使不等式x-4 + x-3 a有解的a的取值范圍.分析：此題假設(shè)用討論法,可以求解,但過程較繁；用絕對值的幾何意義去求解十分簡 便.解法一：將數(shù)軸分為叫33,4,(4,y)三個區(qū)間當(dāng)x3時,原不等式變?yōu)?4 - x)+(3-x) 二片有解的條件為 二二1 ；當(dāng) 3Wx4時,得(4x)+(x3) 1;a 7a 7當(dāng) x 4時,得(x 4) +(x 3) a ,即 x 4 a1 .22以上三種情況中任一個均可滿足題目要 求,故求它們的并集,即仍為a1 .解法二：設(shè)數(shù)x, 3, 4

24、在數(shù)軸上對應(yīng)的點分別為P, A, B,如圖,由絕對值的幾何定義,原不等式|PA+|PB 1 時,x -4 +|x -3 a有解.典型例題三例3x -a ,0 y -b 2M2ay w (0,M ),求證 xy-ab z.分析：根據(jù)條件湊x -a,y -b .證實:xy -ab =|xy - ya +ya -ab =|y(x - a) +a(y -b) a - bal分析：使用分析法證實: a|0, 只需證實a2 -b2 a2 -a|b ,兩邊同除|b2,即只需證實2,2a - b2-b即由2-1笛)2 bba、2至1時,a、2a 2a 2 l(-)-1 =(a) -1 (-)bbb1時,a -

25、 b 1 ,那么a - b E0,原不等式顯然成立. b(2)如果口 | b ,利用不等式的傳遞性知a-(b, |ba-b, 原不等 lalalal式也成立.典型例題五例5求證,a . b1 +|a +b| 1 +M 1 +|b|分析：此題的證法很多,下面給出一種證法：比擬要證實的不等式左右兩邊的形式完 全相同,使我們聯(lián)想利用構(gòu)造函數(shù)的方法,再用單調(diào)性去證實.證實：設(shè) f(x)=* = 9R=1,.1 x 1 x 1 x定義域為xR,且x#-1 , f(x)分別在區(qū)間(-0,-1),區(qū)間(-1 , +8)上是增函數(shù).又 0 |a +b |a +|b , f(a +b) f (a| +|b)即a

26、+b|_ 二 |a| +|b|a| 一 |b +JL1+|a+b| 1+|a|+|b|1 +|a| +|b| 1+|a|+|b| 1 +|a| 1+|b:原不等式成立.說明：在利用放縮法時常常會產(chǎn)生如下錯誤:a +b| 0 ,a b 二 a_|b = ab : a b1 a b -1 ： |a b1 ： |a b 1 ： |a b -1 -|a 1 -|b錯誤在不能保證1 + a+b 1+|a , 1+a+b1+|b.絕對值不等式ab1 W|ab在運用放縮法證實不等式時有非常重要的作用,其形式轉(zhuǎn)化比擬靈活.放縮要適度,要根據(jù)題目的要求,及時調(diào)整放縮的形式結(jié)構(gòu).例6關(guān)于實數(shù)x的不等式x2(a 1

27、)2型例題六 (a-1)與 x2 3(a + 1)x + 2(3a +1) E0 (a w R)的解集 2依次為A與B ,求使A B的a的取值范圍.分析：分別求出集合A、B,然后再分類討論.222(a-1) ,：:： x (a 1):二(a-1)222/ ,八 2/2 2解：解不等式、一更止曳戶,A =4 2a x a2 +1, aw R 解不等式 x2 -3(a+1)x+2(3a +1) 0 , x -(3a +1)(x-2)2時),得 B=x 2 x -1 3a 1 x2,a3,故 1 a2,當(dāng)a時,要滿足AJB,必須2,3 a +1 3a+1,4 2a 之3a +1,a a2 +1;-1

28、a1,所以a的取值范圍是WR 2=-1或1%W31說明：在求滿足條件A2B的a時,要注意關(guān)于a的不等式組中有沒有等號,否那么會導(dǎo) 致誤解.典型例題七例6數(shù)列通項公式an =s吧+學(xué)+粵+曾對于正整數(shù)m、n,當(dāng)mn222232n時,求證：am an nsin(n +1)a十sin(n +2)a中一十sin ma2n中2n書2msin(n+1)a sin(n+2)a sin ma am -an =27Z1+2-：2+2m-1士一十一2m1-12H11112mzn) : 2(0 :1 - 11)說明： 步+步+處是以生為首項,以1為公比,共有m-n項的等比數(shù)列的 和,誤認(rèn) 為共有m -n -1項是常

29、見錯誤.正余弦函數(shù)的值域,即sina) 1 , |cos& W1 ,是解此題的關(guān)鍵.此題把不等式、三角函數(shù)、 數(shù)列、n個變量的絕對值不等式問題連在一起,是一個較為典型的綜合題目.如果將此題 中的正弦改為余弦,不等式同樣成立.典型例題八例 8 f(x) =x2 -x +13 , x-a 1 ,求證：f (x) - f (a) 2(a +1)分析：此題中給定函數(shù)f(x)和條件x-a 1 ,注意到要證的式子右邊不含x,因此對條 件x-a|1的使用可有幾種選擇：(1)直接用；(2)翻開絕對信用a-1xa+1 ,替出x ； 用絕對值的性質(zhì)x -a |x-a 1= |x |a +1進行替換.證實：f (x

30、) =x2 x +13 ,f (a) =a2 a +13 , x-a 1 , x - a |x -a 1 .x| a| +1 ,f (x) f (a) = x2 a2 +a x =|(x a)(x + a) (x a) = (x a)(x + a 1)=x -a x +a -1 x +a -1 |x +|a +1 |a +1 +|a +1 =2( a +1),即 f (x) - f (a) 2( a +1).說明：這是絕對值和函數(shù)的綜合題,這類題通常要涉及絕對值及絕對值不等式的性質(zhì) 等綜合知識的運用.分析中對條件 x-a|1使用時出現(xiàn)的三種可能是經(jīng)常碰到的,要結(jié)合求 證,靈活選用.典型例題九x

31、 0例9不等式組p-x2-x的解集是().3 + x2+xA. x 0 x 2) B, x 0cx2.5)C , x 0* D, x 0cx3 +x 2+x-3x0 ,0x3,解原不等式組實為解不等式上 (0x(3+x)2(2-x)2 . (x2 -x -6)2 (x2 +x -6)2 , 即(x2 x 6 +x2 +x -6)(x2 -x -6-x2 -x + 6) 0 ,2 2 . x(6 -x2) 0 ,又 0 x 3 .x -6 0. 0 x息.選 C.0 x 0 , .可分成兩種情況討論：(1)當(dāng)0xE2時,不等式組化為 主？下馬士(0x2).解得02時,不等式組可化為 主？下上名(

32、x2),解得2xM找.3 x 2 x綜合(1)、(2)得,原不等式組的解為0x0的條件下,解一個含絕對值的分式不等式,如何去絕對值是此題 的關(guān)鍵所在,必須注意,只有在保證兩 邊均為非負(fù)數(shù)時,才能將不等式兩邊同時平方.另 一種方法那么是分區(qū)間討論,從而去掉絕對值符號.當(dāng)然此題還可用特殊值排除法求解.典型例題十例 10 設(shè)二次函數(shù) f (x) =ax2 +bx +c( a A0 ,且 b00), b a , f(0) 1 ,5f(-1) 1, f(1) 1 ,當(dāng) x M1 時,證實 f (x) 0知,二次函數(shù)的圖像是開口向上的拋物線；從 x E1且|f(-1) E1,f(1) 以知,要求證的是|f

33、(x) ,所以拋物線的頂點一定在x軸下方,取絕對值后,圖像 翻到x軸上方.因此拋物線的頂點的取值非常重要,也是解這道題的關(guān)鍵所在.證實：= 2b =|(a+b+c)(ab+c) E|a+b+c+|ab+c =| f (1) +| f (-1) W1+1 =2 ,一 . bb 1 .又 b a ,- 1 . .a2a12. b I I 工小 b4ac-b2b21 .又 c = f S, f(-/k=c-3,I 2. 2. . lf (-) =cc+=|c 1- lb11- 11=.而f(x)的圖像為開口向上的拋2a 4a4a14 1al4 4物線,且|xEl, 1x1 , |f(x)|.的最大值

34、應(yīng)在x=1 , x = 1或x=上處取得.丁2aS1,)(),5f(x) 一 “說明：此題考查了絕對值不等式的性質(zhì)、二次函數(shù)的最值及分類討論的思想和邏輯思 維的水平,關(guān)鍵是通過對參數(shù)a, b , c的分析,確定拋物線頂點的取值范圍,然后通過比 較求出函數(shù)在xE1范圍內(nèi)的最大值.不等式題型總結(jié)1、 高考與不等式縱觀近年來的高測試題,有關(guān)不等式的試題占的分值相當(dāng)大,約占總分的12%已經(jīng)成為高考必考的熱點內(nèi)容,不僅考查不等式的根本知識,根本技能,而且注重考查學(xué)生 的運算水平,邏輯思維水平,以及分析問題和解決問題的水平.選擇題和填空題主要考查 不等式的性質(zhì)、比擬大小和解簡單不等式,有時還可能與函數(shù)、方

35、程等內(nèi)容相結(jié)合的小綜 合.解做題主要是解不等式或證實不等式或以其他知識為載體的綜合題.單獨考不等式的 考題占分不多,但涉及不等式的知識、方法、技巧的問題往往占有較大的比例,其中不等 式常常與以下知識相結(jié)合考查：不等式的性質(zhì)的考查常與指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)的性質(zhì)的考查相結(jié)合,一 股多以選擇題的形式出現(xiàn),有時也與充要條件、函數(shù)單調(diào)性等知識結(jié)合,且試題難度不解不等式的試題主要在解答中出現(xiàn),常常是解含參不等式較多,且多與二次函數(shù)、 指數(shù)、對數(shù)、可能還會出現(xiàn)導(dǎo)數(shù)相結(jié)合命題；證實不等式是理科考查的重點,經(jīng)常同一次函數(shù)、二次函數(shù)、數(shù)列、解析幾何,甚 至還可能與平面向量等結(jié)合起來考查.2、 命題趨勢及典

36、型例題解釋(1)不等式的性質(zhì)考查會與函數(shù)性質(zhì)相結(jié)合起來,一般多以選擇題出現(xiàn),填空題出現(xiàn), 也有可能與充要條件、邏輯知識結(jié)合起來.一2 ： x v ： 4 .一0 ： x ： 1例1:設(shè)命題甲：x和y滿足 v,命題乙：x和y滿足?,那么甲0 : xy : : 32 : y : : 3.是乙的()-A?詫分但不必要條件？?B?灰、要但不充分條件C充要條件？ D?既不充分也不必要條 件思路根據(jù)同向不等式的可加性,從乙 二甲和甲二乙兩個方面進行推導(dǎo),再結(jié)合充要條件 相關(guān)概念進行分析.破解易知0x1= 2x+y4即乙二甲；但當(dāng)12Mx3時,顯然滿足2；y：30；xy：30：y；12X+y4不滿足10Mx

37、 0.設(shè)P:函數(shù)y =cx在R上單調(diào)遞減.Q:不等式x + |x -2c |1的解集為R.如果P和Q有且僅有一個正確,求c的取值范圍.思路此題雖是一道在老教材之下的高測試題,但揭示了 “解不等式 一類高測試題的命題 方向.在新教材中,絕對值不等式的解法和二次不等式的解法與集合運算、命題判斷都有一 定聯(lián)系,屬于對于學(xué)生提出的根本要求內(nèi)容的范疇,此題將這幾局部知識內(nèi)容有機地結(jié)合 在一起,在考查學(xué)生根底知識、根本方法掌握的同時,考查了學(xué)生命題轉(zhuǎn)換,分類討論等 水平,在不同的方法下有不同的運算量,較好地表達出了 “多考一點想,少考一點算的 命題原那么.破解:函數(shù)y = cx在R上單調(diào)遞減u 0 c 1

38、的解集為 七 函數(shù)一 一,一2x-2c,x2c, 一y = x + | x2c |在 R上恒大于 1, = x+1 x2c |= J函數(shù) y = x+| x - 2c |在 R上2c, x 1的解集為Ru 2c1 ,即c,假設(shè)P正確,且Q不 21正確,那么0 1 ;2所以c的取值范圍為(0,1U1,+笛).2收獲“解不等式 一類的命題可以有形式上的更新和內(nèi)容上的變化.結(jié)合簡易邏輯的概念和集合的語言來命題,借助集合的運算性質(zhì)和四個命題的關(guān)系來作答,是這個命題的根本特 征,在求解時那么主要以化歸思想為破解切入點.復(fù)習(xí)中對于此類問題要引起足夠的重視.(2)解不等式的題常以填空題和解做題的形式出現(xiàn),此

39、類題主要以一元二次不等式,分 式不等式,含絕對值不等式為主,在解做題中含字母參數(shù)的不等式較多,需要對字母進行 分類討論.例3:解關(guān)于x的不等式kx2+6x + k-80時：假設(shè)k9,那么A&0,不等式解集為0;假設(shè)0k0,解集為I -3-7(9-k)(k+1)x v x-397 .k, 一 一 .4(2)當(dāng)k=0時：不等式為6x -80,解集為xx43.(3)當(dāng)k 0時：假設(shè)-1 k 0,解集為-3- ,(9-k)(k 1)-3,(9-k)(k 1)x x z ).假設(shè)k = 1 ,不等式為-x2 +6x9 0 ,解集為xw R且x/3.假設(shè)k1 ,那么A0,解集為R .點撥 由于分類的原因有兩個,為了防止邏輯混亂,本例采取了“二級分類方法：第一級以二次項系數(shù)的符號作為劃分的依據(jù)；第二級