三角形穩(wěn)定性、多邊形內(nèi)角和鑲嵌問題

1、環(huán)球雅思學(xué)科教師輔導(dǎo)教案 負(fù)責(zé)人：學(xué)員編號(hào)： 年 級(jí)： 七年級(jí) 課 時(shí) 數(shù)： 3學(xué)員姓名： 劉宜潔 輔導(dǎo)科目：數(shù)學(xué) 學(xué)科教師： 楊文娟授課類型T - 基礎(chǔ)同步C-專題講練T能力提升星 級(jí)教學(xué)重難點(diǎn)重點(diǎn)：三角形的穩(wěn)定性；多邊形內(nèi)角和；鑲嵌的應(yīng)用難點(diǎn)：利用三角形的穩(wěn)定性解決實(shí)際問題；鑲嵌問題授課日期及時(shí)段2015年8月教學(xué)內(nèi)容T(基礎(chǔ)同步)課堂導(dǎo)入 （3分鐘）蓋房子時(shí)，在窗框未安裝好之前，木工師傅常常先在窗框上斜釘一根木條（如圖），你知道為什么要這樣做呢？思考：在我們的生產(chǎn)、生活中為什么要把這些部分做成三角形，他具有什么特性呢？ 三角形真的具有穩(wěn)定性嗎？你能不能驗(yàn)證三角形的穩(wěn)定性？知識(shí)典例夯實(shí)基礎(chǔ)

2、 （30分鐘）一、知識(shí)梳理知識(shí)點(diǎn)一：三角形的穩(wěn)定性動(dòng)手做一做1將三根木條用釘子釘成一個(gè)三角形木架，然后扭動(dòng)它，它的形狀會(huì)改變嗎？2將四根木條用釘子釘成一個(gè)四邊形木架，然后扭動(dòng)它，它的形狀會(huì)改變嗎？ （2）3將四邊形的木架上再釘一根木條，將它的一對(duì)頂點(diǎn)連接起來，然后扭動(dòng)它，它的形狀會(huì)改變嗎？ 總結(jié)：1.定義：如果三角形的三邊固定，那么三角形的形狀大小就完全固定了，這個(gè)性質(zhì)叫做三角形的穩(wěn)定性 要點(diǎn)詮釋： (1)三角形的形狀固定是指三角形的三個(gè)內(nèi)角不會(huì)改變，大小固定指三條邊長(zhǎng)不改變(2)三角形的穩(wěn)定性在生產(chǎn)和生活中很有用例如，房屋的人字梁具有三角形的結(jié)構(gòu)，它就堅(jiān)固而穩(wěn)定；在柵欄門上斜著釘一條(或兩條

3、)木板，構(gòu)成一個(gè)三角形，就可以使柵欄門不變形大橋鋼架、輸電線支架都采用三角形結(jié)構(gòu)，也是這個(gè)道理(3)四邊形沒有穩(wěn)定性，也就是說，四邊形的四條邊長(zhǎng)確定后，不能確定它的形狀，它的各個(gè)角的大小可以改變四邊形的不穩(wěn)定性也有廣泛應(yīng)用，如活動(dòng)掛架，伸縮尺有時(shí)我們又要克服四邊形的不穩(wěn)定性，如在窗框未安好之前，先在窗框上斜著釘一根木板，使它不變形精講精練【例1】如圖所示，木工師傅在做完門框后，為防止變形常常像圖中那樣釘上兩條斜拉的木板條(即AB、CD)，這樣做的數(shù)學(xué)道理是什么? 答：三角形的穩(wěn)定性【總結(jié)升華】本題是三角形的穩(wěn)定性在生活中的具體應(yīng)用實(shí)際生活中，將多邊形轉(zhuǎn)化為三角形都是為了利用三角形的穩(wěn)定性【舉一

4、反三】如圖是一種流行的衣帽架，它是用木條（四長(zhǎng)四短）構(gòu)成的幾個(gè)連續(xù)的菱形（四條邊都相等），每一個(gè)頂點(diǎn)處都有一個(gè)掛鉤（連在軸上），不僅美觀，而且實(shí)用，你知道它能收縮的原因和固定方法嗎？解：這種衣帽架能收縮是利用四邊形的不穩(wěn)定性，可以根據(jù)需要改變掛鉤間的距離。它的固定方法是：任選兩個(gè)不在同一木條上的頂點(diǎn)固定就行了?！究偨Y(jié)升華】要使物體具有穩(wěn)定性，應(yīng)做成三角形，否則做成四邊形、五邊形等等.知識(shí)點(diǎn)二：多邊形及有關(guān)概念 1. 多邊形的定義：在平面內(nèi)，由一些線段首尾順次相接組成的圖形叫做多邊形. 要點(diǎn)詮釋：多邊形通常還以邊數(shù)命名，多邊形有n條邊就叫做n邊形三角形、四邊形都屬于多邊形，其中三角形是

5、邊數(shù)最少的多邊形. 2. 正多邊形：各個(gè)角都相等、各個(gè)邊都相等的多邊形叫做正多邊形.如正三角形、正方形、正五邊形等要點(diǎn)詮釋：各角相等、各邊也相等是正多邊形的必備條件，二者缺一不可. 如四條邊都相等的四邊形不一定是正方形，四個(gè)角都相等的四邊形也不一定是正方形，只有滿足四邊都相等且四個(gè)角也都相等的四邊形才是正方形. 3. 多邊形的對(duì)角線：連接多邊形不相鄰的兩個(gè)頂點(diǎn)的線段，叫做多邊形的對(duì)角線. 要點(diǎn)詮釋： (1)從n邊形一個(gè)頂點(diǎn)可以引(n3)條對(duì)角線，將多邊形分成(n2)個(gè)三角形； (2)n邊形共有 條對(duì)角線精講精練【例】某校七年級(jí)六班舉行籃球比賽，比賽采用單循環(huán)積分制（即每?jī)蓚€(gè)班都進(jìn)行一次比賽）.

6、你能算出一共需要進(jìn)行多少場(chǎng)比賽嗎？【思路點(diǎn)撥】本題體現(xiàn)與體育學(xué)科的綜合，解題方法參照多邊形對(duì)角線條數(shù)的求法，即多邊形的對(duì)角線條數(shù)加上邊數(shù). 如圖：  答：共需要比賽（場(chǎng)）. 【總結(jié)升華】對(duì)于其他學(xué)科問題要善于把它與數(shù)學(xué)知識(shí)聯(lián)系在一起，便于解決. 【舉一反三】一個(gè)多邊形共有44條對(duì)角線，則多邊形的邊數(shù)是（ ）. A8 B9 C10 D11【答案】D；知識(shí)點(diǎn)三：多邊形的內(nèi)角和及外角和公式 1.內(nèi)角和公式：n邊形的內(nèi)角和為(n2)·180°(n3，n是正整數(shù)) 要點(diǎn)詮釋： （1）一般把多邊形問題轉(zhuǎn)化為三角形問題來解決； （2）內(nèi)角和定理的應(yīng)用： 已知

7、多邊形的邊數(shù)，求其內(nèi)角和； 已知多邊形內(nèi)角和，求其邊數(shù). 2.多邊形外角和：n邊形的外角和恒等于360°，它與邊數(shù)的多少無關(guān). 要點(diǎn)詮釋： (1)外角和公式的應(yīng)用： 已知外角度數(shù)，求正多邊形邊數(shù)； 已知正多邊形邊數(shù)，求外角度數(shù).  (2)多邊形的邊數(shù)與內(nèi)角和、外角和的關(guān)系： n邊形的內(nèi)角和等于(n2)·180°(n3，n是正整數(shù))，可見多邊形內(nèi)角和與邊數(shù)n有關(guān)，每增加1條邊，內(nèi)角和增加180°.精講精練【例】一個(gè)多邊形的內(nèi)角和等于它的外角和的5倍，它是幾邊形？【思路點(diǎn)撥】本題實(shí)際告訴了這個(gè)多邊形的內(nèi)角和是. 解：設(shè)這個(gè)多邊形是邊形，則它的內(nèi)角和

8、是， ，解得. 這個(gè)多邊形是十二邊形.【總結(jié)升華】本題是多邊形的內(nèi)角和定理和外角和定理的綜合運(yùn)用. 只要設(shè)出邊數(shù)，根據(jù)條件列出關(guān)于的方程，求出的值即可，這是一種常用的解題思路.【舉一反三】一個(gè)多邊形除了一個(gè)內(nèi)角外，其余各內(nèi)角和為2750°，求這個(gè)多邊形的內(nèi)角和是多少？  解：設(shè)這個(gè)多邊形的邊數(shù)為，這個(gè)內(nèi)角為，則， 即.等式左邊是180°的整數(shù)倍，等式右邊也是180°的整數(shù)倍.又，此時(shí).這個(gè)多邊形的內(nèi)角和是：.強(qiáng)化練習(xí) 1.一個(gè)十二邊形有幾條對(duì)角線54條2.一個(gè)多邊形共有20條對(duì)角線，則多邊形的邊數(shù)是（ c ）. A6 B7 C8 D93.分別用形狀、大小

9、完全相同的三角形木板；四邊形木板；正五邊形木板；正六邊形木板作平面鑲嵌，其中不能鑲嵌成地板的是(c )A、B、C、D、4.一個(gè)多邊形的內(nèi)角和與某一個(gè)外角的度數(shù)總和為1350°，求這個(gè)多邊形的邊數(shù)。5. 如圖，我們知道要使四邊形木架不變形，至少要釘一根木條那么要使五邊形木架不變形，至少要釘幾根木條?使七邊形木架不變形，至少要釘幾根木條?使n邊形木架不變形又至少要釘多少根木條?【答案】要使五邊形木架不變形，至少要釘2根木條；使七邊形木架不變形，至少要釘4根木條；使n邊形木架不變形，至少要釘(n-3)根木條 C（鑲嵌問題)專題導(dǎo)入（） （3分鐘） 一、知識(shí)梳理： 知識(shí)點(diǎn)一：鑲嵌的概念和特征

10、 定義：用一些不重疊擺放的多邊形把平面的一部分完全覆蓋，通常把這類問題叫做用多邊形覆蓋平面(或平面鑲嵌)這里的多邊形可以形狀相同，也可以形狀不相同. 要點(diǎn)詮釋： （1）拼接在同一點(diǎn)的各個(gè)角的和恰好等于360°；相鄰的多邊形有公共邊. （2）用正多邊形實(shí)現(xiàn)鑲嵌的條件：邊長(zhǎng)相等；頂點(diǎn)公用；在一個(gè)頂點(diǎn)處各正多邊形的內(nèi)角之和為360°. （3）只用一種正多邊形鑲嵌地面，當(dāng)圍繞一點(diǎn)拼在一起的幾個(gè)正多邊形的內(nèi)角加在一起恰好組成一個(gè)周角360°時(shí)，就能鋪成一個(gè)平面圖形.事實(shí)上，只有正三角形、正方形、正六邊形的地磚可以用.精講精練【例】分別用形狀、大小完全相同的三角形木板；四邊形

11、木板；正五邊形木板；正六邊形木板作平面鑲嵌，其中不能鑲嵌成地板的是( )A、B、C、D、【答案】C【總結(jié)升華】用多邊形組合成平面圖形，實(shí)質(zhì)上是相關(guān)多邊形“交接處各角之和能否拼成一個(gè)周角”的問題.【例2】【舉一反三】分別畫出用相同邊長(zhǎng)的下列正多邊形組合鋪滿地面的設(shè)計(jì)圖.(1)正方形和正八邊形；(2)正三角形和正十二邊形；(3)正三角形、正方形和正六邊形.【思路點(diǎn)撥】只要在拼接處各多邊形的內(nèi)角的和能構(gòu)成一個(gè)周角，那么這些多邊形就能作平面鑲嵌.【解析】正三角形、正方形、正六邊形、正八邊形、正十二邊形的每一個(gè)內(nèi)角分別是60°、90°、120°、135°、150&

12、#176;.(1)因?yàn)?02×135360，所以一個(gè)頂點(diǎn)處有1個(gè)正方形、2個(gè)正八邊形，如圖(1)所示.(2)因?yàn)?02×150360，所以一個(gè)頂點(diǎn)處有1個(gè)正三角形、2個(gè)正十二邊形，如圖(2)所示.(3)因?yàn)?02×90120360，所以一個(gè)頂點(diǎn)處有1個(gè)正三角形、1個(gè)正六邊形和2個(gè)正方形，如圖(3)所示.【總結(jié)升華】用兩種以上邊長(zhǎng)相等的正多邊形組合成平面圖形，實(shí)質(zhì)上是相關(guān)正多邊形“交接處各角之和能否拼成一個(gè)周角”的問題.T(能力提升) 1.下列圖形中有穩(wěn)定性的是( )A正方形B長(zhǎng)方形C直角三角形D平行四邊形 2. 要使四邊形木架不變形，至少要再釘上幾根木條？五邊形木架和六邊形木架呢？n邊形木架呢？ 3請(qǐng)你觀察上圖的變化過程，說明四條邊形的四條邊一定時(shí)，其面積_確定(填“能”或“不能”) 4. 如圖，是用四根木棒搭成的平行四邊形框