2020學(xué)年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試（新課標(biāo)Ⅲ）數(shù)學(xué)理

1、2020年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試（新課標(biāo)）數(shù)學(xué)理一、選擇題:本大題共12小題，每小題5分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1. 設(shè)集合S=x|(x-2)(x-3)0，T=x|x0，則ST=()A.2，3 B.(-，23，+) C.3，+) D.(0，23，+) 解析：由S中不等式解得：x2或x3，即S=(-，23，+)，T=(0，+)，ST=(0，23，+).答案：D.2. 若z=1+2i，則=()A.1 B.-1 C.i D.-i 解析：z=1+2i，則.答案：C.3. 已知向量=(，)，=(，)，則ABC=()A.30° B.45° C.60&

2、#176; D.120° 解析：·=+=，|=|=1；cosABC=；又0ABC180°；ABC=30°.答案：A.4. 某旅游城市為向游客介紹本地的氣溫情況，繪制了一年中各月平均最高氣溫和平均最低氣溫的雷達圖，圖中A點表示十月的平均最高氣溫約為15，B點表示四月的平均最低氣溫約為5，下面敘述不正確的是()A.各月的平均最低氣溫都在0以上 B.七月的平均溫差比一月的平均溫差大 C.三月和十一月的平均最高氣溫基本相同 D.平均最高氣溫高于20的月份有5個 解析：A.由雷達圖知各月的平均最低氣溫都在0以上，正確B.七月的平均溫差大約在10°左右，一

3、月的平均溫差在5°左右，故七月的平均溫差比一月的平均溫差大，正確C.三月和十一月的平均最高氣溫基本相同，都為10°，正確D.平均最高氣溫高于20的月份有7，8兩個月，故D錯誤.答案：D.5. 若tan=，則cos2+2sin2=()A.B.C.1 D.解析：tan=，cos2+2sin2=.答案：A.6. 已知a=，b=，c=，則()A.bac B.abc C.bca D.cab 解析：a=，b=，c=，綜上可得：bac.答案：A.7. 執(zhí)行如圖程序框圖，如果輸入的a=4，b=6，那么輸出的n=()A.3 B.4 C.5 D.6 解析：模擬執(zhí)行程序，可得a=4，b=6，n=

4、0，s=0執(zhí)行循環(huán)體，a=2，b=4，a=6，s=6，n=1不滿足條件s16，執(zhí)行循環(huán)體，a=-2，b=6，a=4，s=10，n=2不滿足條件s16，執(zhí)行循環(huán)體，a=2，b=4，a=6，s=16，n=3不滿足條件s16，執(zhí)行循環(huán)體，a=-2，b=6，a=4，s=20，n=4滿足條件s16，退出循環(huán)，輸出n的值為4.答案：B.8. 在ABC中，B=，BC邊上的高等于BC，則cosA=()A.B.C.-D.-解析：設(shè)ABC中角A、B、C、對應(yīng)的邊分別為a、b、c，ADBC于D，令DAC=，在ABC中，B=，BC邊上的高AD=h=BC=a，BD=AD=a，CD=a，在RtADC中，cos=，故sin

5、=，cosA=cos(+)=coscos-sinsin=×-×=-.答案：C.9. 網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1，粗實線畫出的是某多面體的三視圖，則該多面體的表面積為()A.18+36B.54+18C.90 D.81 解析：由已知中的三視圖可得：該幾何體是一個以俯視圖為底面的四棱柱，其底面面積為：3×6=18，前后側(cè)面的面積為：3×6×2=36，左右側(cè)面的面積為：3××2=18，故棱柱的表面積為：18+36+9=54+18.答案：B.10. 在封閉的直三棱柱ABC-A1B1C1內(nèi)有一個體積為V的球，若ABBC，AB=6，BC=

6、8，AA1=3，則V的最大值是()A.4 B.C.6 D.解析：ABBC，AB=6，BC=8，AC=10.故三角形ABC的內(nèi)切圓半徑r=2，又由AA1=3，故直三棱柱ABC-A1B1C1的內(nèi)切球半徑為，此時V的最大值·()3=.答案：B.11. 已知O為坐標(biāo)原點，F(xiàn)是橢圓C：(ab0)的左焦點，A，B分別為C的左，右頂點.P為C上一點，且PFx軸，過點A的直線l與線段PF交于點M，與y軸交于點E.若直線BM經(jīng)過OE的中點，則C的離心率為()A.B.C.D.解析：由題意可設(shè)F(-c，0)，A(-a，0)，B(a，0)，令x=-c，代入橢圓方程可得y=±b，可得P(-c，)，設(shè)

7、直線AE的方程為y=k(x+a)，令x=-c，可得M(-c，k(a-c)，令x=0，可得E(0，ka)，設(shè)OE的中點為H，可得H(0，)，由B，H，M三點共線，可得kBH=kBM，即為，化簡可得，即為a=3c，可得e=.答案：A.12. 定義“規(guī)范01數(shù)列”an如下：an共有2m項，其中m項為0，m項為1，且對任意k2m，a1，a2，ak中0的個數(shù)不少于1的個數(shù)，若m=4，則不同的“規(guī)范01數(shù)列”共有()A.18個 B.16個 C.14個 D.12個 解析：由題意可知，“規(guī)范01數(shù)列”有偶數(shù)項2m項，且所含0與1的個數(shù)相等，首項為0，末項為1，若m=4，說明數(shù)列有8項，滿足條件的數(shù)列有：0，0

8、，0，0，1，1，1，1； 0，0，0，1，0，1，1，1； 0，0，0，1，1，0，1，1； 0，0，0，1，1，1，0，1； 0，0，1，0，0，1，1，1；0，0，1，0，1，0，1，1； 0，0，1，0，1，1，0，1； 0，0，1，1，0，1，0，1； 0，0，1，1，0，0，1，1； 0，1，0，0，0，1，1，1；0，1，0，0，1，0，1，1； 0，1，0，0，1，1，0，1； 0，1，0，1，0，0，1，1； 0，1，0，1，0，1，0，1.共14個.答案：C.二、填空題：本大題共4小題，每小題5分.13. 若x，y滿足約束條件，則z=x+y的最大值為_.解析：不等式組表示的

9、平面區(qū)域如圖陰影部分，當(dāng)直線經(jīng)過D點時，z最大，由得D(1，)，所以z=x+y的最大值為1+=.答案：.14. 函數(shù)y=sinx-cosx的圖象可由函數(shù)y=sinx+cosx的圖象至少向右平移_個單位長度得到.解析：y=sinx-cosx=2sin(x-)，y=sinx-cosx=2sin(x-)，f(x-)=2sin(x+-)(0)，令2sin(x+-)=2sin(x-)，則-=2k-(kZ)，即=-2k(kZ)，當(dāng)k=0時，正數(shù)min=.答案：.15. 已知f(x)為偶函數(shù)，當(dāng)x0時，f(x)=ln(-x)+3x，則曲線y=f(x)在點(1，-3)處的切線方程是_.解析：f(x)為偶函數(shù)，

10、可得f(-x)=f(x)，當(dāng)x0時，f(x)=ln(-x)+3x，即有x0時，f(x)=lnx-3x，f(x)=-3，可得f(1)=ln1-3=-3，f(1)=1-3=-2，則曲線y=f(x)在點(1，-3)處的切線方程為y-(-3)=-2(x-1)，即為2x+y+1=0.答案：2x+y+1=0.16. 已知直線l：mx+y+3m-=0與圓x2+y2=12交于A，B兩點，過A，B分別作l的垂線與x軸交于C，D兩點，若|AB|=2，則|CD|=_.解析：由題意，|AB|=2，圓心到直線的距離d=3，m=-直線l的傾斜角為30°，過A，B分別作l的垂線與x軸交于C，D兩點，|CD|=4.

11、答案：4.三、解答題：解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.17. 已知數(shù)列an的前n項和Sn=1+an，其中0.(1)證明an是等比數(shù)列，并求其通項公式；(2)若S5=，求.解析：(1)根據(jù)數(shù)列通項公式與前n項和公式之間的關(guān)系進行遞推，結(jié)合等比數(shù)列的定義進行證明求解即可.(2)根據(jù)條件建立方程關(guān)系進行求解就可.答案：(1)Sn=1+an，0.an0.當(dāng)n2時，an=Sn-Sn-1=1+an-1-an-1=an-an-1，即(-1)an=an-1，0，an0.-10.即1，即，(n2)，an是等比數(shù)列，公比q=，當(dāng)n=1時，S1=1+a1=a1，即a1=，an=·()n-1.(2)

12、若S5=，則若S5=1+(·()4=，即()5=-1=-，則=-，得=-1.18. 如圖是我國2008年至2020年生活垃圾無害化處理量(單位：億噸)的折線圖.注：年份代碼1-7分別對應(yīng)年份2008-2014.(1)由折線圖看出，可用線性回歸模型擬合y與t的關(guān)系，請用相關(guān)系數(shù)加以證明；(2)建立y關(guān)于t的回歸方程(系數(shù)精確到0.01)，預(yù)測2020年我國生活垃圾無害化處理量.附注：參考數(shù)據(jù)：，2.646.參考公式：，回歸方程中斜率和截距的最小二乘估計公式分別為：，.解析：(1)由折線圖看出，y與t之間存在較強的正相關(guān)關(guān)系，將已知數(shù)據(jù)代入相關(guān)系數(shù)方程，可得答案；(2)根據(jù)已知中的數(shù)據(jù)，

13、求出回歸系數(shù)，可得回歸方程，2020年對應(yīng)的t值為9，代入可預(yù)測2020年我國生活垃圾無害化處理量.答案：(1)由折線圖看出，y與t之間存在較強的正相關(guān)關(guān)系，理由如下：，0.9960.75，故y與t之間存在較強的正相關(guān)關(guān)系；(2)0.103，1.331-0.103×40.92，y關(guān)于t的回歸方程=0.10t+0.92，2020年對應(yīng)的t值為9，故=0.10×9+0.92=1.82，預(yù)測2020年我國生活垃圾無害化處理量為1.82億噸.19. 如圖，四棱錐P-ABCD中，PA底面ABCD，ADBC，AB=AD=AC=3，PA=BC=4，M為線段AD上一點，AM=2MD，N為P

14、C的中點.(1)證明：MN平面PAB；(2)求直線AN與平面PMN所成角的正弦值.解析：(1)法一、取PB中點G，連接AG，NG，由三角形的中位線定理可得NGBC，且NG=BC，再由已知得AMBC，且AM=BC，得到NGAM，且NG=AM，說明四邊形AMNG為平行四邊形，可得NMAG，由線面平行的判定得到MN平面PAB；法二、證明MN平面PAB，轉(zhuǎn)化為證明平面NEM平面PAB，在PAC中，過N作NEAC，垂足為E，連接ME，由已知PA底面ABCD，可得PANE，通過求解直角三角形得到MEAB，由面面平行的判定可得平面NEM平面PAB，則結(jié)論得證；(2)連接CM，證得CMAD，進一步得到平面PN

15、M平面PAD，在平面PAD內(nèi)，過A作AFPM，交PM于F，連接NF，則ANF為直線AN與平面PMN所成角.然后求解直角三角形可得直線AN與平面PMN所成角的正弦值.答案：(1)證明：法一、如圖，取PB中點G，連接AG，NG，N為PC的中點，NGBC，且NG=BC，又AM=AD=2，BC=4，且ADBC，AMBC，且AM=BC，則NGAM，且NG=AM，四邊形AMNG為平行四邊形，則NMAG，AG平面PAB，NM平面PAB，MN平面PAB；法二、在PAC中，過N作NEAC，垂足為E，連接ME，在ABC中，由已知AB=AC=3，BC=4，得cosACB=，ADBC，cosEAM=，則sinEAM=

16、，在EAM中，AM=AD=2，AE=AC=，由余弦定理得：EM=，cosAEM=，而在ABC中，cosBAC=，cosAEM=cosBAC，即AEM=BAC，ABEM，則EM平面PAB.由PA底面ABCD，得PAAC，又NEAC，NEPA，則NE平面PAB.NEEM=E，平面NEM平面PAB，則MN平面PAB；(2)解：在AMC中，由AM=2，AC=3，cosMAC=，得CM2=AC2+AM2-2AC·AM·cosMAC=9+4-2×3×2×=5.AM2+MC2=AC2，則AMMC，PA底面ABCD，PA平面PAD，平面ABCD平面PAD，且平

17、面ABCD平面PAD=AD，CM平面PAD，則平面PNM平面PAD.在平面PAD內(nèi)，過A作AFPM，交PM于F，連接NF，則ANF為直線AN與平面PMN所成角.在RtPAC中，由N是PC的中點，得AN=PC= =，在RtPAM中，由PA·AM=PM·AF，得AF=，sinANF=.直線AN與平面PMN所成角的正弦值為.20. 已知拋物線C：y2=2x的焦點為F，平行于x軸的兩條直線l1，l2分別交C于A，B兩點，交C的準(zhǔn)線于P，Q兩點.()若F在線段AB上，R是PQ的中點，證明ARFQ；()若PQF的面積是ABF的面積的兩倍，求AB中點的軌跡方程.解析：()連接RF，PF，

18、利用等角的余角相等，證明PRA=PRF，即可證明ARFQ；()利用PQF的面積是ABF的面積的兩倍，求出N的坐標(biāo)，利用點差法求AB中點的軌跡方程.答案：()證明：連接RF，PF，由AP=AF，BQ=BF及APBQ，得AFP+BFQ=90°，PFQ=90°，R是PQ的中點，RF=RP=RQ，PARFAR，PAR=FAR，PRA=FRA，BQF+BFQ=180°-QBF=PAF=2PAR，F(xiàn)QB=PAR，PRA=PRF，ARFQ.()設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)， F(，0)，準(zhǔn)線為 x=- ， SPQF=|PQ|=|y1-y2|，設(shè)直線AB與x軸交點為N，S

19、ABF=|FN|y1-y2|，PQF的面積是ABF的面積的兩倍，2|FN|=1，xN=1，即N(1，0).設(shè)AB中點為M(x，y)，由得y12-y22=2(x1-x2)，又，即y2=x-1.AB中點軌跡方程為y2=x-1.21. 設(shè)函數(shù)f(x)=acos2x+(a-1)(cosx+1)，其中a0，記|f(x)|的最大值為A.()求f(x)；()求A；()證明：|f(x)|2A.解析：()根據(jù)復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式進行求解即可求f(x)；()討論a的取值，利用分類討論的數(shù)學(xué)，結(jié)合換元法，以及一元二次函數(shù)的最值的性質(zhì)進行求解；()由()，結(jié)合絕對值不等式的性質(zhì)即可證明：|f(x)|2A.答案：()解：

20、f(x)=-2asin2x-(a-1)sinx.()當(dāng)a1時，|f(x)|=|acos2x+(a-1)(cosx+1)|a+2(a-1)=3a-2=f(0)，因此A=3a-2.當(dāng)0a1時，f(x)等價為f(x)=acos2x+(a-1)(cosx+1)=2acos2x+(a-1)cosx-1，令g(t)=2at2+(a-1)t-1，則A是|g(t)|在-1，1上的最大值，g(-1)=a，g(1)=3a-2，且當(dāng)t=時，g(t)取得極小值，極小值為g()=-1=-，令-11，得a-(舍)或a.因此A=3a-2g(-1)=a，g(1)=3a+2，a3a+2，t=1時，g(t)取得最大值，g(1)=

21、3a+2，即f(x)的最大值為3a+2.綜上可得：t=1時，g(t)取得最大值，g(1)=3a+2，即f(x)的最大值為3a+2.A=3a+2.當(dāng)0a時，g(t)在(-1，1)內(nèi)無極值點，|g(-1)|=a，|g(1)|=2-3a，|g(-1)|g(1)|，A=2-3a，當(dāng)a1時，由g(-1)-g(1)=2(1-a)0，得g(-1)g(1)g()，又|g()-g(-1)|=0，A=|g()|=，綜上，A=.()證明：由(I)可得：|f(x)|=|-2asin2x-(a-1)sinx|2a+|a-1|，當(dāng)0a時，|f(x)|1+a2-4a2(2-3a)=2A，當(dāng)a1時，A=，|f(x)|1+a2

22、A，當(dāng)a1時，|f(x)|3a-16a-4=2A，綜上：|f(x)|2A.請考生在第22-24題中任選一題做答，如果多做，則按所做的第一題計分.選修4-1：幾何證明選講22. 如圖，O中的中點為P，弦PC，PD分別交AB于E，F(xiàn)兩點.(1)若PFB=2PCD，求PCD的大?。?2)若EC的垂直平分線與FD的垂直平分線交于點G，證明：OGCD.解析：(1)連接PA，PB，BC，設(shè)PEB=1，PCB=2，ABC=3，PBA=4，PAB=5，運用圓的性質(zhì)和四點共圓的判斷，可得E，C，D，F(xiàn)共圓，再由圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，即可得到所求PCD的度數(shù)；(2)運用圓的定義和E，C，D，F(xiàn)共圓，可得G為圓心，G

23、在CD的中垂線上，即可得證.答案：(1)解：連接PB，BC，設(shè)PEB=1，PCB=2，ABC=3，PBA=4，PAB=5，由O中的中點為P，可得4=5，在EBC中，1=2+3，又D=3+4，2=5，即有2=4，則D=1，則四點E，C，D，F(xiàn)共圓，可得EFD+PCD=180°，由PFB=EFD=2PCD，即有3PCD=180°，可得PCD=60°；(2)證明：由C，D，E，F(xiàn)共圓，由EC的垂直平分線與FD的垂直平分線交于點G可得G為圓心，即有GC=GD，則G在CD的中垂線，又CD為圓G的弦，則OGCD.選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程23. 在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C1的參數(shù)方程為(為參數(shù))，以坐標(biāo)原點為極點，以x軸的正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，曲線C2的極坐標(biāo)方程為sin(+)=.(1)寫出C1的普通方程和C2的直角坐標(biāo)方程；(2)設(shè)點P在C1上，點Q在C2上，求|PQ|的最小值及此時P的直角坐標(biāo).解析：(1)運用兩邊平方和同角的平方關(guān)系，即可得到C1的普通方程，運用x=cos，y=sin，以及兩角和的正弦公式，化簡可得C2的直角坐標(biāo)方程；(2)由題意可得當(dāng)直線x+y-4=0的平行線與橢圓相切時，|PQ|取得最值.設(shè)與直線x+y-