第26講進(jìn)位制問題

1、第 26 講 進(jìn)位制問題內(nèi)容概述 本講不著重討論 我們要注意本質(zhì)是：n進(jìn)制中運(yùn)算問題， 我們是關(guān)心n這個(gè)數(shù)字，即為幾進(jìn)制對(duì)于進(jìn)位制 n 進(jìn)制就是逢 n 進(jìn)一 .但是，作為數(shù)論的一部分，具體到每道題則其方法還是較復(fù)雜的 說明：在本講中的數(shù)字，不特加說明，均為十進(jìn)制典型問題1. 在幾進(jìn)制中有 4X 13=100.【分析與解】我們利用尾數(shù)分析來求解這個(gè)問題：不管在幾進(jìn)制均有(4) 10 X10=(12) 10 .但是，式中為100,尾數(shù)為0.也就是說已經(jīng)將 1 2全部進(jìn)到上一位.所以說進(jìn)位制n為12的約數(shù)，也就是12, 6, 4, 3, 2.但是出現(xiàn)了 4，所以不可能是 4， 3， 2 進(jìn)制.我們知

2、道(4) 10 X(13) 10=(52)10,因52 < 100 ,也就是說不到 10就已經(jīng)進(jìn)位,才能是 100,于是我們知道 n<10.所以，n只能是6.2. 在三進(jìn)制中的數(shù) 12120120110110121121,則將其改寫為九進(jìn)制,其從左向右數(shù)第 l 位數(shù) 字是幾 ?【分析與解】 我們?nèi)绻ㄟ^十進(jìn)制來將三進(jìn)制轉(zhuǎn)化為九進(jìn)制,那運(yùn)算量很大.注意到, 三進(jìn)制進(jìn)動(dòng)兩位則我們注意到進(jìn)動(dòng)了 3個(gè) 3,于是為 9.所以變?yōu)橛?9進(jìn) 1.也 就是九進(jìn)制.于是,兩個(gè)數(shù)一組,兩個(gè)數(shù)一組,每?jī)蓚€(gè)數(shù)改寫為九進(jìn)制,如下表：12 120l20 1101 1012 11 213 進(jìn)制55l641354

3、 79 進(jìn)制所以,首位為5.評(píng)注：若原為n進(jìn)制的數(shù)，轉(zhuǎn)化為 nk 進(jìn)制,則從右往左數(shù)每 k 個(gè)數(shù)一組化為 n k 進(jìn)制如：2進(jìn)制轉(zhuǎn)化為 8進(jìn)制, 23=8,則從右往左數(shù)每 3個(gè)數(shù)一組化為 8進(jìn)制.10 100001 101 2進(jìn)制2415 8進(jìn)制(10100001101)2 =(2415) 8 .3. 在6進(jìn)制中有三位數(shù) abc，化為9進(jìn)制為cba，求這個(gè)三位數(shù)在十進(jìn)制中為多少2【分析與解】 ( abc ) 6=aX 62 b X 6+c=36a+6b +c；( cba) 9=cX92+bX9+a=81c+9b+a.所以 36a+6b +c=81 c+9b + a ；于是 35a=3b+80c

4、 ；因?yàn)?5 a是5的倍數(shù)，80C也是5的倍數(shù)所以3b也必須是5的倍數(shù)，又(3 , 5)=1 . 所以，b=0或5. 當(dāng) b=0，則 35a=80c ；則 7a=16c ； (7 ,16)=1，并且 a、c 豐 0,所以 a =16, C=7:但是在6,9進(jìn)制，不可以有一個(gè)數(shù)字為16 . 當(dāng) b=5，貝y 35a=3X 5+80 C ;貝9 7a=3+16c ; mod 7 后，3+2c 三 0所以c=2或者2+7k(k為整數(shù))因?yàn)橛?進(jìn)制，所以不可能有 9或者9以上的數(shù)，于 是 c=2.于是，35 a =15+80X 2; a =5. 2于是(abc) 6 =(552) 6=5X6 +5X6

5、 +2=212.所以.這個(gè)三位數(shù)在十進(jìn)制中為212.4. 設(shè)1987可以在b進(jìn)制中寫成三位數(shù) xyz，且x y z =1+9+8+7,試確定出所有可能的 x、【分析與解】我們注意(xyz)嚴(yán)b2x by z"9871 x+y+z=1+9+8+7-得：2(b -1) x+( b -1) y =1987-25 .則(b-1)(b +1) x+( b-1) y =1962,即(b-1)(b+1) x + y =1962 .所以，1962是(b-1)的倍數(shù).1962=2X 9X 109:當(dāng)b -1=9時(shí)，b =10,顯然不滿足；b=19當(dāng) b-1=18 時(shí)，b =19,則(b-1)( b+1

6、) x+ y =18 X (20 x + y )=1962 ；則 20x+ y =109,x = 5x = 4則y = 9z =11所以，xx 4(不滿足)y=9 y=29顯然，當(dāng)b=109不滿足，b=2X 109不滿足，當(dāng)b=9X 109也不滿足.于是為(59B) 19 =(1987) 10 , B 代表 11.5. 下面加法算式中不同字母代表不同的數(shù)字，試判定下面算式是什么進(jìn)制，A B、C、D的和為多少？【分析與解】于是，我們知道n=4,所以為4進(jìn)制，ABC+ B D CB D C DABC + B D CA 1+ 1 010 CATCA1232t+ 10C+102+ 102 '1

7、 0>c_010201 020C D1于SO2.削璉也制A+B+C+D=3+1+2+0=6零自然數(shù)，如果它的二進(jìn)制表示中數(shù)碼I的個(gè)數(shù)是偶數(shù)，則稱.例如：18= (10010) 2是“壞數(shù)”.試求小于1024的所有壞數(shù)的個(gè)數(shù).我們現(xiàn)把1024轉(zhuǎn)化為二進(jìn)制：則6. 一個(gè)非 之為“壞數(shù)”【分析與解】10(1024)10=210 =(10000000000) 2.于是，在二進(jìn)制中為 11位數(shù)，但是我們只用看 10位數(shù)中情況. 并且，我們把不足 10 位數(shù)的在前面補(bǔ)上 0 ,119個(gè)15個(gè)或以上0 ?2=則，* 山 I 9個(gè)1 上 I*丄可以含2個(gè)I ,4個(gè)1,10個(gè)'位置6 個(gè) 1, 8

8、 個(gè) I , 10 個(gè) 1 .于是為 Co Co Cw Cw Cw10 9|10 987J0 9 8 7 6 5 , 10 9 8 7 6 5 4= + + + +121 2 3 41 2 3 4 5 61 2 3 4 5 6 7 8=45+210+210+45+1=511于是，小于1024的“壞數(shù)”有511個(gè).7.計(jì)算：i3X33.3-1 26的余數(shù).<2003個(gè)3J【分析與解】Lx33X31 = ' 1000X0-1 =、222.2 1 I 2003個(gè) 3.丿 、 2003個(gè) 33 2003個(gè)2 )3( 、26=(222) 3 所以，13竺3.仝31十 26= i 22”2+

9、 (222) 3V2003個(gè)3丿V 2003個(gè)2丿3(222) 3整除(222) 3 , 2003- 3: 6672,所以余(22) 3=8.所以余數(shù)為&& 一個(gè)10進(jìn)制的三位數(shù)，把它分別化為9進(jìn)制和8進(jìn)制數(shù)后，就又得到了 2個(gè)三位數(shù).老師發(fā)現(xiàn)這3個(gè)三位數(shù)的最高位數(shù)字恰好是3、4、5,那這樣的三位數(shù)一共有多少個(gè)？【分析與解】我們?cè)O(shè)(3 ab) 10 =(4 cd ) 9 =(5 ef) 8 ；我們知道(4 cd ) 9在(400) 9(488) 9之間，也就是4X925X9 2-1 ,也就是324406;22還知道(5 ef ) 8在(500) 8(577) 8之間，也就是 5

10、X86X8 -1，也就是 320383;又知道 (3 ab) 10 在(300) 10(399) 10之間所以，這樣的三位數(shù)應(yīng)該在324 383 之間，于是有 383-324+1=60 個(gè)三位數(shù)滿足條件 .9. 一袋花生共有2004顆，一只猴子第一天拿走一顆花生，從第二天起，每天拿走的都是以前各天的總和 如果直到最后剩下的不足以一次拿走時(shí)卻一次拿走，共需多少天？ 如果到某天袋里的花生少于已拿走的總數(shù)時(shí)，這一天它又重新拿走一顆開始， 按原規(guī)律進(jìn)行新的一輪如此繼續(xù)，那么這袋花生被猴子拿光的時(shí)候是第幾天?【分析與解】 我們注意到每天12348163264前若干天的和210<2004<211前1天為1，前2天為 21，前3天是22，所以前 11天為 210，前12天是 211， 也就是說不夠第 11 天拿的，但是根據(jù)題中條件知所以共需 12天