第五章微分的逆運(yùn)算問題

1、第五章 微分的逆運(yùn)算問題不定積分志立則學(xué)思從之，故才日益而聰明日盛，成乎富有。王夫之沒有任何一門學(xué)問的學(xué)習(xí)，能象學(xué)習(xí)算術(shù)那樣強(qiáng)有力地涉及到國內(nèi)的經(jīng)濟(jì)、政治和藝術(shù)。 數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)，能夠激勵(lì)那些沉睡和不求上進(jìn)的年輕人，促使他們發(fā)展智慧和增強(qiáng)記憶力，甚至取得超越自身天賦的進(jìn)步。柏拉圖本章簡介由求運(yùn)動(dòng)速度、曲線的切線和極值等問題產(chǎn)生了導(dǎo)數(shù)和微分，構(gòu)成微積分學(xué)的微分學(xué)部分；同時(shí)由已知速度求路程、 已知切線求曲線，和已知幾何圖形求面積與體積等問題，產(chǎn)生了不定積分和定積分，構(gòu)成微積分學(xué)的積分學(xué)部分。前面已學(xué)習(xí)過已知函數(shù)求導(dǎo)數(shù)問題，本章考慮其反問題：已知導(dǎo)數(shù)求其原函數(shù)，即求一個(gè)位未知函數(shù)，使其導(dǎo)數(shù)恰好是某一已知

2、函數(shù)。這種由 導(dǎo)數(shù)或微分求原來函數(shù)的逆運(yùn)算稱為不定積分。§ 1逆向思維又一例一一原函數(shù)與不定積分提出問題已知曲線y二f(x),求過任意點(diǎn)的切線的斜率 (設(shè)斜率存在)。顯然，只要對(duì)y二f(x)求 導(dǎo)即可。反之，若已知曲線求過任意點(diǎn)的切線的斜率，如何求曲線的方程？即已知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，如何求已知函數(shù)。學(xué)習(xí)過程1.1原函數(shù)與不定積分的概念定義 設(shè)函數(shù)F(x)與f (x)在區(qū)間I上有定義。若在I上F x 二 f x則稱函數(shù)在區(qū)間I上的原函數(shù)。研究原函數(shù)必須解決的兩個(gè)重要問題： 什么條件下，一個(gè)函數(shù)存在原函數(shù)？ 如果一個(gè)函數(shù)存在原函數(shù)，那么原函數(shù)有多少？定理1若函數(shù)f (x)在區(qū)間I上連續(xù)，則f

3、(x)在I上存在原函數(shù)F(x).定理2設(shè)F(x)是f (x)在區(qū)間I上的一個(gè)原函數(shù)，貝UF(x) C也是f (x)的一個(gè)原函數(shù)，其中 C為任意常數(shù)；f (x)的任意兩個(gè)原函數(shù)之間，相差一個(gè)常數(shù).定義2 f (x)在區(qū)間I上的全體原函數(shù)稱為 f (x)在I上的不定積分，記作f(x)dx其中稱為積分號(hào)，f (x)為被積函數(shù)，f (x)dx為被積表達(dá)式，x為積分變量不定積分的幾何意義若F (x)是f (x)的一個(gè)原函數(shù)，則稱y = f (x)的圖象為的一條積分曲線。于是，函數(shù)f(x)的不定積分.f (x)dx在幾何上表示f(x)的積分曲線族，它可由的某一條積分曲線y二F(x)沿y軸方向上下平移而得到

4、.顯然，曲線族中每一條積分曲線橫坐標(biāo)相同 點(diǎn)處的切線相互平行(如圖5.1 )例1設(shè)曲線通過點(diǎn)(0,0)，且曲線上任一點(diǎn)處的切線斜率等于該點(diǎn)橫坐標(biāo)的余弦值，求此 曲線.解設(shè)所求曲線為y = f (x) , (x, y)為曲線上任一點(diǎn)，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義和題設(shè)條件有dydxI I二 cosxx£ = 0由于sinx是cosx的一個(gè)原函數(shù)，所以 cosx的不定積分是 y二sin x C .于是所求的曲線族為 y = sin x C代入初始條件x =0, y =0求得C =0.故經(jīng)過點(diǎn)(0,0)的積分曲線為y = sin x1.2 基本積分公式提出問題求一個(gè)函數(shù)的原函數(shù)遠(yuǎn)比求一個(gè)已知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

5、困難得多，其原因在于原函數(shù)的定義不像導(dǎo)數(shù)那樣具有構(gòu)造性，它只告訴其導(dǎo)數(shù)正好等于已知函數(shù)f(x)，而沒有指出由f(x)求原函數(shù)的具體操作辦法。因此，只有選擇按照微分法的已知結(jié)果去逆推。學(xué)習(xí)過程1. 基本積分公式推導(dǎo)f (x)dx =?由導(dǎo)數(shù)公式(X：)'，令a -1=t，可得xt的一個(gè)原函數(shù)為所以 x d = C。 “二心1其余可由導(dǎo)數(shù)公式推出。2. 基本積分公式表2. 1dx = dx 二 x C ；盤x"3. x dxC ,(二 一 ：-1,x 0)；一 二亠114. 一dx =ln x +C , (x0);x5. exdx 二 ex C ;xxa6. a dxC , (a

6、 0,a = 1)；ln a7. cosxdx 二 sin x C ,8. sin xdx - -cosx C ,9. sec xdx =tanx C ;210 csc xdx = -cotx C ;11. secx tan xdx 二 secx C ；12. cscx cot xdx 二-cscx C ；,dx13. .arcs in x C = -arccosx C1;'<1 - x2dx14.2 二 arcta nx C - - arc cot x C11 x提出問題由導(dǎo)數(shù)公式求不定積分只適用于被積函數(shù)是基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的情形，對(duì)較復(fù)雜的不定積分,就需要研究不定積分的線性

7、運(yùn)算法則。學(xué)習(xí)過程不定積分的線性運(yùn)算法則定理1 若函數(shù)f(x)和g(x)在區(qū)間I上的原函數(shù)都存在， 則f(x)二g(x)在區(qū)間I上的原函 數(shù)也存在，且f x g x dx = j f x dx g x dx證由不定積分的定義只要證右邊的導(dǎo)數(shù)等于左邊的被積函數(shù)即可。定理2 若函數(shù)f (x)在區(qū)間I上的原函數(shù)存在，k為實(shí)數(shù)(kz 0),貝U函數(shù)kf (x)在區(qū)間 I上的原函數(shù)也存在，且kf x dx = k f x dx2 求(2cosx -ex x -3)dx(2cosx -ex x -3)dx =2 cosxdx- exdx-3 xdx二 2sin x _ ex 1 x2 - 3x C2=x

8、arctanx C.小結(jié)本節(jié)主要學(xué)習(xí)原函數(shù)概念、不定積分的概念、性質(zhì)及運(yùn)算。作業(yè)習(xí)題五必作題1(1)(2)(3)(4)選作題1(5) ( 8)思考題f (x)的所有原若F(x)是f(x)的一個(gè)原函數(shù)，那么f (x) C (C是任意常數(shù))是否包含了函數(shù)？§ 2矛盾轉(zhuǎn)化法一一換元積分法和分部積分法由于原函數(shù)的定義是非構(gòu)造性的，直接求不定積分較困難，因此需要介紹換元積分法和分部積分法。2.1換元積分法提出問題換元積分法的實(shí)質(zhì)是一種矛盾轉(zhuǎn)化法，分為和第二換元積分法。如果.f(x)dx用直接積分法不易求得，但被積函數(shù)可分解為f X = g ： X ： x作變量代換u(x)二(x)，又有(x)=

9、d(x)，則可將關(guān)于變量X的積分轉(zhuǎn)化為變量U的積分，于是有g(shù) ；x I x dx 二 g u du如果.g(u)du可以求出，問題就可解決。學(xué)習(xí)過程第一換元積分法定理1 (第一換元積分法)設(shè) g(u)及'(x)連續(xù)，且F'(u)=g(u)，則作變量代換U h護(hù)(X)后，有g(shù)l (x)L(x)dx 二 gi (x)d (x)=g(u)du 二 F (u) C二 F ；(x)l C.證只要證明上式右端的導(dǎo)數(shù)等于左端不定積分的被積函數(shù)即可。3例 1 求 sin xcosxdx解 u =sin x,g(u)= u，則 du = cosxdx，由公式可得sin'xcosxdx 二

10、 u'du = h4 C =sin4 x C441例2 求dxa xdu22alx注在使用練后可省略變量u ,寫成如下簡便形式：xU =a a(1+u2)11x 小arcta nu C arctan C aaag ； (x)卜(x)dx 二 g :(x) d (x) = f ； (x) L：；C做一做求 xsin x2dx。2使用第一換元積分法的關(guān)鍵:xsinxdx把被積表達(dá)式f(x)dx湊成f(x)dx的形式，因此，第一兀積分法又稱為"湊微分法” 常用的湊微分式：dx = _d (x!)xsin xdx = -d cosxdx = d 1 n xxcosxdx = d si

11、n x1dx =d(a + axdx = - dx22c)I 1 dx = d arcsin xJ-x2dx = d arcta nx1 x2第二換元積分法定理2 (第二換元積分法)設(shè) f(x), ：'(t)及'(t)均連續(xù)，且(t) = 0，又f：(t)'(t)存在原函數(shù)F (t)，則f x dx 二 f ；: t A t dt = F t C = F、* x 丨 C運(yùn)用第二換元積分法的關(guān)鍵：變量代換x二(t)存在反函數(shù)。1例3求.dx1解 令 x = t ( t >),則有 dx = 2tdt。2tdt=2 1 t"dt'1+t1dx 二1

12、x 1 t( 1 、=2 fdt dt l=2(t In 1+tJ1+t丿'4 求. a2 - x2dx(a0)為去掉被積函數(shù)中的根式，令xmintg遷,則有一 a2 x圖5.2還原變量x,作如圖5.2dx = Jacost acostdt2a=1 cos2t dt2a2= t sin tcostC2x = asint 有 si nt 二- a-a2 cos2tdt2 a "Ttsin 2t C2所示的直角三角形。從而有2 2丄 x a - xc ots= -a3Tx二asint,且0_t八內(nèi)存在反函數(shù)2.xt = arcs inai 2a2-x2dx 專 t sintcos

13、t Ca2'2 2x x a -x arcsin a aa2 arcsin仝 x . a2 -x2 C a丿dx做一做卜丄dxa>C) ( a>0),令x為什么可以去掉根號(hào)？2 2x -a2. 2分部積分法定理 (分部積分法)若u(x)和v(x)可導(dǎo)，且不定積分.u (x)v(x)dx存在，則 u(x)v (x)dx也存在，且有uxvxdx 二uxvx - uxvxdx以上公式稱為分部積分公式，簡寫為udv = uv _ vduxcosxdx.例5求解 令 u =x,dv =cosxdx,則有 du = dx,v = sinx.由公式得xcosdx = xsi n x -

14、s in x d x= xs in x cosx C做一做若取u = cosX'dv = xdx，結(jié)果怎樣？（比原題更難求）使用分部積分公式的關(guān)鍵：適當(dāng)選擇u和dv，使公式右邊的不定積分容易求出。想一想如何選擇u和dv ？u和口 dv選取的一般原則：求導(dǎo)簡單者選為u 。 易求不定積分者選為 dv。例 6 求 x2exdxx2exdx. = x2dex2 xx2xdx 二 x e -2 xe dx2 xxx2 xx x=x e -2xe 2 e dx = x e -2xe e C小結(jié)本節(jié)主要學(xué)習(xí)換元積分公式、計(jì)算，分部積分公式、計(jì)算。 作業(yè)習(xí)題五必作題2.（ 1）（ 8）、3.選作題2.

15、（ 9）（ 12）思考題第一換元積分法與第二換元積分法的區(qū)別數(shù)學(xué)家啟示錄（5）符號(hào)大師萊布尼茨萊布尼茨是德國著名數(shù)學(xué)家、 物理學(xué)家和哲學(xué)家。 他的研究興 趣極為廣泛，涉及數(shù)學(xué)、力學(xué)、光學(xué)、機(jī)械學(xué)等 40多個(gè)領(lǐng)域，且 在每一領(lǐng)域都有杰出成就。主要表現(xiàn)如下：創(chuàng)始微積分他與同時(shí)代的牛頓在不同國家，各自獨(dú)立地創(chuàng)建了微積分學(xué)，闡明了求導(dǎo)數(shù)和積分是互逆的運(yùn)算，發(fā)明了比牛頓的符號(hào)優(yōu)越的微積分符號(hào)，奠定了微積分學(xué)基礎(chǔ)，為變量數(shù)學(xué)的興起和發(fā)展作出了 奠基性、開創(chuàng)性貢獻(xiàn)。高等數(shù)學(xué)上的眾多成就他的研究及成果滲透到高等數(shù)學(xué)的許多領(lǐng)域。如曾討論過負(fù)數(shù)和復(fù)數(shù)的性質(zhì)，還對(duì)線性方程組進(jìn)行研究，對(duì)消元法從理論上進(jìn)行了探討，并首

16、先引入了行列式的概念，提出行列式的某些理論。此外，他還創(chuàng)立了符號(hào)邏輯學(xué)的基本概念，發(fā)明了能夠進(jìn)行加、減、乘、除及開方運(yùn)算的計(jì)算機(jī)和二進(jìn)制，為計(jì)算機(jī)的現(xiàn)代發(fā)展奠定了堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)豐碩的物理學(xué)成果他的物理學(xué)成就也是非凡的。發(fā)表了物理學(xué)新假說，提出了具體運(yùn)動(dòng)原理和抽象運(yùn)動(dòng)原理，還對(duì)笛卡兒提出的動(dòng)量守恒原理進(jìn)行了認(rèn)真的探討，又充分地證明了 “永動(dòng)機(jī)是不可能”的觀點(diǎn)。他也反對(duì)牛頓的絕對(duì)時(shí)空觀并提出了自己的見解。在光學(xué)方面，他利用微積分中的求極值方法，推導(dǎo)出了折射定律， 并嘗試用求極值的方法解釋光學(xué)基本定律?？梢哉f他的物理學(xué)研究一直是朝著為物理學(xué)建立一個(gè)類似歐氏幾何的公理系統(tǒng)的目標(biāo)前進(jìn)的。中西文化交流之倡導(dǎo)者他對(duì)中國的科學(xué)、文化和哲學(xué)思想十分關(guān)注，是最早