排列組合問題

1、排列組合問題也是公考中一個比重較大的問題，也是公考的重點和難點之一，也是進一步解答概率的基礎(chǔ)。事實上，許多概率問題也可歸結(jié)為排列組合問題。這一類問題不僅內(nèi)容抽象，解法靈活，而且解題過程極易出現(xiàn)“重復(fù)”和“遺漏”的錯誤，這些錯誤甚至不容易檢查出來，所以解題時要注意不斷積累經(jīng)驗，總結(jié)解題規(guī)律，掌握若干技巧，最終達到能夠靈活運用。 先說排列組合， 分類用加法，分步用乘法，排列P與順序有關(guān)，排列C與順序無關(guān) 兩個大類： 1、分類計數(shù)原理(加法原理)  完成一件事，有n類辦法，在第1類辦法中有m1種不同的方法，在第2類辦法中有m2 種

2、不同的方法，在第n類辦法中有mn種不同的方法，那么完成這件事共有：N=m1+m2+mn種不同的方法 2、分步計數(shù)原理（乘法原理） 完成一件事，需要分成n個步驟，做第1步有m1種不同的方法，做第2步有m2種不同的方法，做第n步有mn種不同的方法，那么完成這件事共有：N=m1.m2mn種不同的方法 分類計數(shù)原理和分步計數(shù)原理區(qū)別 ： 1、分類計數(shù)原理方法相互獨立，任何一種方法都可以獨立地完成這件事。 2、分步計數(shù)原理各步相互依存，每步中的方法完成事件的一個階段，不能完成整個事件   解決排列組合綜合性問題的一

3、般過程如下 1.認(rèn)真審題弄清要做什么事 2.怎樣做才能完成所要做的事,即采取分步還是分類,或是分步與分類同時進行,確定分多少步及多少類。 3.確定每一步或每一類是排列問題(有序)還是組合(無序)問題,元素總數(shù)是多少及取出多少個元素. 排列組合問題是高考的必考題，它聯(lián)系實際生動有趣，但題型多樣，思路靈活，不易掌握，實踐證明，掌握題型和解題方法，識別模式，熟練運用，是解決排列組合應(yīng)用題的有效途徑 以下是解解決排列組合綜合性問題，往往類與步交叉，因此必須掌握一些常用的解題策略 排列組合從解法上看，大致有以下幾種：  (1

4、)有附加條件的排列組合問題，大多需用分類討論的方法；  (2)排列與組合的混合型問題，需分步驟，要用乘法原理解決；  (3)不相鄰問題插空法，相鄰問題捆綁法； (4)排除法，將不符合條件的排列或組合剔除掉；  (5)枚舉法，將符合條件的所有排列或組合一一寫出來，或?qū)懗鲆徊糠职l(fā)現(xiàn)規(guī)律；  (6)定序問題“無序化”，即若某幾個元素必須保持一定的順序，則可按通常排列后再除以這幾個元素的排列數(shù)；  (7)隔板法，例如：10個相同的小球分給三人，每人至少1個，有多少種方法？可將10個球排成一排，再用2塊“隔板”將它們分成三個部分，有C92種方法

5、。        整個解題過程遵循的基本原則是：“特殊對象優(yōu)先考慮”、先“分類”后“分步”、先“取”后“排”等原則。 突出分類相加，分步相乘；有序排列，無序組合； 除了上述方法外，有時還可以通過設(shè)未知數(shù)，借助方程來解答，簡單一些的問題可采用列舉法等。解此類題常用的數(shù)學(xué)思想是：分類討論的思想，轉(zhuǎn)化思想和對稱思想等三種。 排列組合問題經(jīng)典題型與通用方法 1.相鄰問題捆綁法:題目中規(guī)定相鄰的幾個元素捆綁成一個組，當(dāng)作一個大元素參與排列. 例1.A、B、C、D、E五人并排站成一排，如果A、B必須相鄰且B

6、在A的右邊，則不同的排法有多少 根據(jù)題意，A、B必須相鄰且B在A的右邊，視A、B為一個元素，且只有一種排法；將A、B與其他3個元素，共4個元素排列，由乘法計數(shù)原理可得答案 解答：根據(jù)題意，A、B必須相鄰且B在A的右邊，視A、B為一個元素，且只有一種排法； 將A、B與其他3個元素，共4個元素排列， 即A44=24， 則符合條件的排法有1×24=24種； 2.相離問題插空排:元素相離（即不相鄰）問題，可先把無位置要求的幾個元素全排列，再把規(guī)定的相離的幾個元素插入上述幾個元素的空位和兩端. 例2.七人并排站成一行，如果甲

7、乙兩個必須不相鄰，那么不同的排法種數(shù)是（ ） 由于甲、乙兩人必需不相鄰，先排列其它5個人，共有A55種結(jié)果，出現(xiàn)6個空，從這6個空中選出2個空排上甲、乙即可寫出結(jié)果 解答：因為甲、乙兩人必需不相鄰， 所以先排列其它5個人，共有A55種結(jié)果， 再在五個人形成的6個空中選2個位置排列，共有A62種結(jié)果， 不同的排法的種數(shù)是A55A62=3600 3.定序問題縮倍法:在排列問題中限制某幾個元素必須保持一定的順序，可用縮小倍數(shù)的方法. 例3.A,B,C,D,E五人并排站成一排，如果B必須站在A的右邊（A、B可以不相鄰）那么不同的排法

8、有多少 根據(jù)題意，首先計算五人并排站成一排的情況數(shù)目，進而分析可得，B站在A的左邊與B站在A的右邊是等可能的，使用倍分法，計算可得答案 解答：根據(jù)題意，使用倍分法， 五人并排站成一排，有A55種情況， 而其中B站在A的左邊與B站在A的右邊是等可能的， 則其情況數(shù)目是相等的， 則B站在A的右邊的情況數(shù)目為 1/2×A55=60， 4.標(biāo)號排位問題分步法:把元素排到指定位置上，可先把某個元素按規(guī)定排入，第二步再排另一個元素，如此繼續(xù)下去，依次即可完成. 例4.將數(shù)字1，2，3，4填入標(biāo)號為1，2，3，4的四個

9、方格里，每格填一個數(shù)，則每個方格的標(biāo)號與所填數(shù)字均不相同的填法有多少？ 首先計算4個數(shù)字填入4個空格的所有情況，進而分析計算四個數(shù)字全部相同，有1個數(shù)字相同的情況，有2個數(shù)字相同情況，有3個數(shù)字相同的情況數(shù)目，由事件間的相互關(guān)系，計算可得答案 解答：根據(jù)題意，數(shù)字1，2，3，4填入標(biāo)號為1，2，3，4的四個方格里，共A44=24種填法， 其中，四個數(shù)字全部相同的有1種， 有1個數(shù)字相同的有4×2=8種情況， 有2個數(shù)字相同的有C42×1=6種情況， 有3個數(shù)字相同的情況不存在， 則每個方格的標(biāo)號與所填的數(shù)

10、字均不相同的填法有24-1-8-6=9種， 5.有序分配問題逐分法:有序分配問題指把元素分成若干組，可用逐步下量分組法. 例5.有甲乙丙三項任務(wù)，甲需2人承擔(dān)，乙丙各需一人承擔(dān)，從10人中選出4人承擔(dān)這三項任務(wù)，不同的選法種數(shù)是多少？ 首先分析題目求不同的選法種數(shù)，故可先從10人中選出4個人，再在這4個人中選兩個從事甲任務(wù)，剩下的兩個人從事乙或丙任務(wù)，即可列出式子，求解得到答案 解答：分析題目先從10人中選出4個人，再在這4個人中選兩個從事甲任務(wù)，剩下的兩個人從事乙丙任務(wù) 故可列出：C104C42A22=2520 6.全員分配問題分組

11、法: 例6.5本不同的書，全部分給4個學(xué)生，每個學(xué)生至少一本，不同的分法種數(shù)為（ ） 由題意知先把5本書中的兩本捆起來看做一個元素，這一個元素和其他的三個元素在四個位置全排列，根據(jù)分步計數(shù)原理兩個過程的結(jié)果數(shù)相乘得到結(jié)果 解答：由題意知先把5本書中的兩本捆起來看做一個元素共有C52， 這一個元素和其他的三個元素在四個位置全排列共有A44， 所以分法種數(shù)為C52A44=240 7.名額分配問題隔板法: 例7：10名優(yōu)秀學(xué)生全部保送到7所學(xué)校去，每所學(xué)校至少去一名，則不同的保送方案有多少種？ 由題意知十個報送名額之間沒

12、有區(qū)別，可將原問題轉(zhuǎn)化為10個元素之間有9個間隔，要求分成7份，每份不空，使用插空法，相當(dāng)于用6塊檔板插在9個間隔中，計算可得答案 解答：根據(jù)題意，將10個名額，分配給7所學(xué)校，每校至少有1個名額， 可以轉(zhuǎn)化為10個元素之間有9個間隔，要求分成7份，每份不空； 相當(dāng)于用6塊檔板插在9個間隔中， 共有C96=84種不同方法 所以名額分配的方法共有84種 8.限制條件的分配問題分類法: 例8.某高校從某系的10名優(yōu)秀畢業(yè)生中選4人分別到西部四城市參加中國西部經(jīng)濟開發(fā)建設(shè)，其中甲同學(xué)不到銀川，乙不到西寧，共有多少種不同派遣方案？ 解析：因為甲乙有限制條件，所以按照是否含有甲乙來分類，有以下四種情況：&