學習四元數(shù)筆記

1、復數(shù)是由實數(shù)加上虛數(shù)單位 i 組成，其中i2 = -1 ,。相似地，四元數(shù)都是由實數(shù)加上三個元素 i、j、k 組成，而且它們有如下的關系：i2 = j2 = k2 = ijk = -1 ,每個四元數(shù)都是 1、i、j 和 k 的線性組合，即是四元數(shù)一般可表示為a + bi + cj + dk ,。四元數(shù)不像實數(shù)或復數(shù)那樣，它的乘法是不可交換的，看乘數(shù)表四元數(shù)的優(yōu)點是：表達式無奇點（和例如歐拉角之類的表示相比）比矩陣更簡煉（也更快速）單位四元數(shù)的對可以表示四維空間中的一個轉動。以矩陣表示四元數(shù)編輯有兩種方法能以矩陣表示四元數(shù)，並以矩陣之加法、乘法應用於四元數(shù)之加法、乘法。第一種是以二階複數(shù)矩陣表示

2、。若 h = a + bi + cj + dk 則它的複數(shù)形式為：這種表示法有如下優(yōu)點：所有複數(shù) (c = d = 0) 就相應於一個實矩陣。四元數(shù)的絕對值的平方就等於矩陣的行列式。四元數(shù)的共軛值就等於矩陣的共軛轉置。對於單位四元數(shù) (|h| = 1) 而言，這種表示方式給了四維球體和SU(2)之間的一個同型，而後者對於量子力學中的自旋的研究十分重要。（請另見泡利矩陣）第二種則是以四階實數(shù)矩陣表示：其中四元數(shù)的共軛等於矩陣的轉置。（轉載）四元數(shù)入門 (2012-02-14 00:52:24)轉載標簽： computer graphic quaternion 四元數(shù) it分類： 學習（轉載）四元

3、數(shù)入門 - 4元數(shù)寶典這是國內找不到的超好文章。（為什么大陸的4元數(shù)文章很垃圾呢？）（翻譯中。奉獻給大家）70秒即懂，能使用，用四元數(shù)，4元數(shù)，闊特尼恩，Quaternion旋轉(C) 中田 亨 （獨立行政法人 產(chǎn)業(yè)技術綜合研究所 數(shù)字人類研究中心 研究員 博士（工學） 2003年11月25日這個頁面的對象讀者想把三次元的旋轉，用CG等定量地處理的人使用歐拉角(Euler Angles)的話，不懂得其道理的人 卡爾丹角和歐拉角(Cardan Angles)不能區(qū)別的人 對吉恩瓦爾洛克很困惑的人但是，對數(shù)學之類麻煩的事情很討厭的人想要實例程序的人 沒有時間的人旋轉篇：我將說明使用了四元數(shù)（si

4、yuan shu, quaternion）的旋轉的操作步驟（）四元數(shù)的虛部，實部和寫法所謂四元數(shù)，就是把4個實數(shù)組合起來的東西。4個元素中，一個是實部，其余3個是虛部。比如，叫做Q的四元數(shù)，實部t而虛部是x,y,z構成，則像下面這樣寫。Q = (t; x, y, z) 又，使用向量 V=(x,y,z)，Q = (t; V) 也可以這么寫。正規(guī)地用虛數(shù)單位i,j,k的寫法的話，Q = t + xi + yj + zk 也這樣寫，不過，我不大使用（）四元數(shù)之間的乘法虛數(shù)單位之間的乘法 ii = -1, ij = -ji = k (其他的組合也是循環(huán)地以下同文) 有這么一種規(guī)則。（我總覺得，這就像是

5、向量積（外積），對吧） 用這個規(guī)則一點點地計算很麻煩，所以請用像下面這樣的公式計算。A = (a; U) B = (b; V) AB = (ab - U·V; aV + bU + U×V)不過，“U·V”是內積，U×V是外積的意思。注意：一般AB<>BA所以乘法的左右要注意?。?）3次元的坐標的四元數(shù)表示如要將某坐標(x,y,z)用四元數(shù)表示，P = (0; x, y, z) 則要這么寫。 另外，即使實部是零以外的值，下文的結果也一樣。用零的話省事所以我推薦。（）旋轉的四元數(shù)表示以原點為旋轉中心，旋轉的軸是(, , )（但 2 + 2 + 2

6、 = 1）， （右手系的坐標定義的話，望向向量(, , )的前進方向反時針地） 轉角的旋轉，用四元數(shù)表示就是，Q = (cos(/2); sin(/2), sin(/2), sin(/2) R = (cos(/2); - sin(/2), - sin(/2), - sin(/2) (另外R 叫 Q 的共軛四元數(shù)。）那么，如要實行旋轉，則 R P Q = (0; 答案)請像這樣三明治式地計算。這個值的虛部就是旋轉之后的點的坐標值。 （另外，實部應該為零。請驗算看看）*未完。instemast_REAL 2007-2-24 19:04:57 注冊: 2007-2 狀態(tài): Offline 1 Top

7、 instemast_REALExp:124偵察兵 發(fā)表于: 2007-2-24 19:06:00 檔案 | 短信 | 樹狀 | 收藏 | 編輯 | 刪除 | 引用 -Re:4元數(shù)寶典/ Quaternion.cpp / (C) Toru Nakata, toru-nakataaist.go.jp / 2004 Dec 29 #include <math.h> #include <iostream.h> / Define Data type typedef struct double t; / real-component double x; / x-component

8、 double y; / y-component double z; / z-component quaternion; / Kakezan 乘quaternion Kakezan(quaternion left, quaternion right) quaternion ans; double d1, d2, d3, d4; d1 = left.t * right.t; d2 = -left.x * right.x; d3 = -left.y * right.y; d4 = -left.z * right.z; ans.t = d1+ d2+ d3+ d4; d1 = left.t * ri

9、ght.x; d2 = right.t * left.x; d3 = left.y * right.z; d4 = -left.z * right.y; ans.x = d1+ d2+ d3+ d4; d1 = left.t * right.y; d2 = right.t * left.y; d3 = left.z * right.x; d4 = -left.x * right.z; ans.y = d1+ d2+ d3+ d4; d1 = left.t * right.z; d2 = right.t * left.z; d3 = left.x * right.y; d4 = -left.y

10、* right.x; ans.z = d1+ d2+ d3+ d4; return ans; / Make Rotational quaternion 求旋轉四元quaternion MakeRotationalQuaternion(double radian, double AxisX, double AxisY, double AxisZ) quaternion ans; double norm; double ccc, sss; ans.t = ans.x = ans.y = ans.z = 0.0; norm = AxisX * AxisX + AxisY * AxisY + Axis

11、Z * AxisZ; if(norm <= 0.0) return ans; norm = 1.0 / sqrt(norm); AxisX *= norm; AxisY *= norm; AxisZ *= norm; ccc = cos(0.5 * radian); sss = sin(0.5 * radian); ans.t = ccc; ans.x = sss * AxisX; ans.y = sss * AxisY; ans.z = sss * AxisZ; return ans; / Put XYZ into quaternion 把XYZ到四元quaternion PutXYZ

12、ToQuaternion(double PosX, double PosY, double PosZ) quaternion ans; ans.t = 0.0; ans.x = PosX; ans.y = PosY; ans.z = PosZ; return ans; / main int main() double px, py, pz; double ax, ay, az, th; quaternion ppp, qqq, rrr; cout << "Point Position (x, y, z) " << endl; cout <<

13、; " x = " cin >> px; cout << " y = " cin >> py; cout << " z = " cin >> pz; ppp = PutXYZToQuaternion(px, py, pz); while(1) cout << "/nRotation Degree ? (Enter 0 to Quit) " << endl; cout << " angle = " ci

14、n >> th; if(th = 0.0) break; cout << "Rotation Axis Direction ? (x, y, z) " << endl; cout << " x = " cin >> ax; cout << " y = " cin >> ay; cout << " z = " cin >> az; th *= 3.1415926535897932384626433832795

15、/ 180.0; / Degree -> radian; qqq = MakeRotationalQuaternion(th, ax, ay, az); rrr = MakeRotationalQuaternion(-th, ax, ay, az); ppp = Kakezan(rrr, ppp); ppp = Kakezan(ppp, qqq); cout << "/nAnser X = " << ppp.x << "/n Y = " << ppp.y << "/n Z = &

16、quot; << ppp.z << endl; return 0; *未完。 四元數(shù)的長處和缺點冰川球的吉恩瓦爾。吸收前后左右的傾斜而保持水平長處“直觀的”如果給出旋轉軸和旋轉角度的話，就算不考慮歐拉角之類的，也可以立即計算?！斑B續(xù)性”表示相似的旋轉的四元數(shù)的值也相似。沒有吉恩瓦爾洛克現(xiàn)象。（所謂吉恩瓦爾洛克就是，“北極和南極等特殊點，在自轉的情況下是不能動的?！薄霸谥袊宛^的圓桌上，放在正中央的醬油怎么轉也轉不近”等，有效的自由度和次元喪失的現(xiàn)象。在軟件中成為例外處理的困難因而是麻煩事。本來吉恩瓦爾是把羅盤針吊起來的機構。為了使得即便船搖晃羅盤針也保持水平而不搖晃。吉

17、恩瓦爾的柄把羅盤針晃晃蕩蕩地吊著，但若使得這些東西的方向一致了，就不能晃了（=洛克lock），振動傳到羅盤針了。）“記憶效率好，計算快”旋轉能夠只用4個數(shù)值記述。與阿弗因變換矩陣等相比，不用記憶。減少不必要的計算。 缺點“從外觀上看不知道表示什么意思” 從四元數(shù)的成分來看，其表示什么意思，一眼看不出來。 “不能表示多圈旋轉”如你所見，使用cos和sin，所以是10度，370度，還是-350度，不能區(qū)別。想要制作咕嚕咕嚕轉許多圈的動畫的情況下，不想只旋轉一遍，請仔細區(qū)分?！笆且栽c為中心的旋轉”想以原點以外為中心的情況，請讓坐標穿上木屐，旋轉，然后還原木屐。（下文的一般位移篇也check一下吧！

18、）四元數(shù)旋轉的軟件的源代碼<<source code 貼過了>>一般位移篇：作為旋轉以外的變形的擴大縮?。ㄅc并進）的步驟考慮四元數(shù)的標量倍，就可以將旋轉篇的結果坐標給擴大縮小。比如，P = (0; x, y, z)（另外實部可以為任意值。0好算）kQ = (kcos(/2); k sin(/2), k sin(/2), k sin(/2)kR = (kcos(/2); -k sin(/2), -k sin(/2), -k sin(/2) （KR是KQ的共軛四元數(shù)。）則有，kR P kQ = ( 0; 旋轉后的XYZ坐標的k的自乘倍)這樣，就可以將以原點為中心的旋轉，和以

19、原點為中心的擴大縮小一起操作了。這表示，可以自由地操作以原點為準的方位及其距離。就是說，將一點(X,Y,Z)映射到任意的點(X',Y',Z')的變換，可以用四元數(shù)表示。但X=Y=Z=0的情況例外。制作你所希望的四元數(shù)篇：實施某旋轉的四元數(shù)的作法表示將一點A，移到別的點B的以原點為中心的旋轉的四元數(shù)，像這樣制作。旋轉軸（，）和位置向量的外積 × 平行且同向。（A和B的順序，按四元數(shù)R和Q的乘法的順序交替。本文的乘法順序的定義的話，就是BA的順序。）作了除法之后，將把長度改為1。（，） (×) / (×)cos()是，將位置向量的內積 

20、3; 除以·。cos() （·） / (·)根據(jù)三角函數(shù)的半角公式，cos(/2)± 0.5 * (1 + cos) sin(/2)± 0.5 * (1 - cos) 正負號呢，由于 0°180°所以，cos(/2) 且 sin(/2) 就是說，兩邊都為正。cos(/2) 0.5 * (1 + cos) sin(/2) 0.5 * (1 - cos) 也要進行擴大縮小的情況、k = /從歐拉角到四元數(shù)的變換及其逆變換的問題（背景說明篇）這個問題時不時被談論，由于數(shù)學原因和數(shù)學之外的事情而很難。 3次元的旋轉呢，(1) 作為旋

21、轉軸的直線(2) 旋轉角度有這兩個信息，就可以表示。這便是“萬能的3次元旋轉表示”。把這樣的單次的旋轉叫做single rotation。（注意：single rotation 沒有旋轉中心點。只有旋轉軸。如果是，關于像球形關節(jié)這樣的旋轉的，擁有不同旋轉軸的single rotation 復合而成的 rotation sequence ，的話，就能夠考慮旋轉中心點了。）（*譯注：此句的復句結構復雜，但無論怎么理解都不影響意思！） （注意：四元數(shù)將single ratation以旋轉軸和旋轉角度的信息來直接地表示。歐拉角呢，是要把一個single rotation，用分解為3個single ro

22、tation的方式來表示?？梢哉f故意搞復雜了。而且，蘊含著引起吉恩瓦爾洛克的問題的可能性。）“歐拉角->四元數(shù)”考慮像這樣的直接的變換是非常難的問題。正確的是，應該取，像“歐拉角->萬能表示->四元數(shù)”這樣的，“一種表式形式->萬能表示->別的表示形式”的路徑。我想這最安全也易思考。 文章主要內容在前面，后面閑談比較多。而且后面的語法有點亂（科學家語文不好，還喜歡用復雜句式）但注意，他告訴了我們什么是真正的歐拉角，這有點出乎意料，和一般d3d書上說的不一樣。變換困難的數(shù)學原因四元數(shù)：原點不在旋轉軸上的情況，必須將其木屐（偏移量）用別的途徑表示。歐拉角：不僅有原點的

23、偏移量的問題，而且，產(chǎn)生吉恩瓦爾洛克現(xiàn)象情況下必須做例外處理。還有，軸的旋轉順序（雖說有慣例但）不統(tǒng)一。（總的來說歐拉角有太多使用上的難點。）變換困難的數(shù)學之外的原因數(shù)據(jù)格式因軟件而異。“一段變換程序”只在一個公司的軟件范圍內通用。 坐標軸的設定不同。右手系還是左手系不統(tǒng)一。還有“向上”和“向右”是哪個軸等問題。也有歷史原因，所以不統(tǒng)一。角度的正負方向的決定方式難以知曉。數(shù)據(jù)格式與坐標軸設定的技術，光看源代碼不知道。(特別是，擁有三個角度的歐拉角很麻煩)既如此，為什么要用歐拉角呢？because there are many gyros whitch are roll,pitch and ya

24、w,in the output?像大炮的底座一樣地，機構使用了roll,pitch,yaw的情況也是有的。(注：gyro = gyrocompass旋轉羅盤,gyroscope陀螺儀)歐拉角是什么Euler考慮到，“一個三次元的single rotation，可以以組合三個以坐標軸作為旋轉軸的三次元旋轉的方式來表示”。這是廣義的歐拉角。就是說，以，從坐標系看來傾斜的軸，為旋轉軸的旋轉，搞得好的話，首先以Z軸中心旋轉度，然后以X軸中心旋轉度，最后以Z軸中心旋轉度，以這種方式，是可以作出一模一樣的旋轉的。（發(fā)生吉恩瓦爾洛克現(xiàn)象的情況，失去了解的一義性，成為了件麻煩的事情。）歐拉自己，把旋轉軸的選擇

25、方式使用了Z-X-Z。這個選軸順序的情況，是狹義的歐拉角。（考慮陀螺的運動的時候，首先把陀螺的高速自轉用Z軸旋轉表示，把陀螺的芯棒倒向地面的旋轉用X軸旋轉表示把陀螺芯棒的水平旋轉用Z軸旋轉表示。）世上像Z-Y-Z、X-Z-X, Y-X-Y之類的模式，似乎也有人稱之為歐拉角的。軸的選擇方式，也有，像X-Y-Z，Y-Z-Z這樣的3軸順次使用的模式。（另外，3個軸的立場不是平等的。存在著由旋轉操作的先后所引起的不同。）也有人把這些認作是廣義的歐拉角，而，只承認狹義的歐拉角的人是誤解之源。X-Y-Z式是被頻繁使用的模式。這被叫做roll,pitch,yaw角式，也有人叫卡爾丹角(Cardan angl

26、es)。從歐拉角到四元數(shù)表示這是極其簡單的，把歐拉角的3次旋轉，分別用四元數(shù)表示，順次作乘法即可。從四元數(shù)到歐拉角角四元數(shù)逆変換考。公式化、角Z-X-Z式X-Y-Z式違、大変。発生時、公式中割起、処理面倒。不思議我們來考慮一下“歐拉角-四元數(shù)”的逆變換。雖說可以公式化但是，因歐拉角是Z-X-Z式還是X-Y-Z式的不同，就會有大的變化。吉恩瓦爾洛克現(xiàn)象發(fā)生的時候，在公式中會發(fā)生零作除數(shù)的情況，其處理也麻煩請看。single rotation的不可思議一個single rotation，可以用一個四元數(shù)來表示的。于是可以說，進行N次single rotation的旋轉，能夠用N個四元數(shù)的積的一個四

27、元數(shù)來表示。也就是說，多個single rotation的串珠實行，無視其過程，只看其結果的話，可以只用1個四元數(shù)表示。結果，就算咕嚕咕嚕地轉，也只不過是進行了1個single rotation。就算把足球轉到那邊，再轉回這邊，按照初期姿勢和最終姿勢，完全沒有移動的點至少有2個！或者說，在1次旋轉中，到最終姿勢，只是跳個一下就可以了。四元數(shù)與旋轉姿態(tài)解算的核心在于旋轉，一般旋轉有4種表示方式：矩陣表示、歐拉角表示、軸角表示和四元數(shù)表示。矩陣表示適合變換向量，歐拉角最直觀，軸角表示則適合幾何推導，而在組合旋轉方面，四元數(shù)表示最佳。因為姿態(tài)解算需要頻繁組合旋轉和用旋轉變換向量，所以采用四元數(shù)保存組

28、合姿態(tài)、輔以矩陣來變換向量的方案。下面介紹一下四元數(shù)，然后給出幾種旋轉表示的轉換。四元數(shù)可以理解為一個實數(shù)和一個向量的組合，也可以理解為四維的向量。這里用一個圈表示q是一個四元數(shù)（很可能不是規(guī)范的表示方式）。四元數(shù)的長度（模）與普通向量相似。下面是對四元數(shù)的單位化，單位化的四元數(shù)可以表示一個旋轉。四元數(shù)相乘，旋轉的組合就靠它了。旋轉的“軸角表示”轉“四元數(shù)表示”。這里創(chuàng)造一個運算q(w,)，用于把繞單位向量w轉角的旋轉表示為四元數(shù)。通過q(w,)，引伸出一個更方便的運算q(f,t)。有時需要把向量f的方向轉到向量t的方向，這個運算就是生成表示對應旋轉的四元數(shù)的（后面會用到）。然后是“四元數(shù)表示”轉“矩陣表示”。再次創(chuàng)造運算，用R(q)表示四元數(shù)q對應的矩陣（后面用到）。多個旋轉的組合可以用四元數(shù)的乘法來實現(xiàn)?！八脑獢?shù)表示”轉“歐拉角表示”。用于顯示。姿態(tài)解算框架姿態(tài)解算框架其實就是程序框架了。設計框架既要準確，又要高效。