小波變換論文

1、圖像處理與分析結課論文小波變換及其在圖像處理與分析中的應用 院（系）名稱：遙感信息工程學院專 業(yè) 名 稱：測繪工程學 號：學 生 姓 名： 指 導 老 師： 二一三年十一月摘要對小波變換的基本概念進行了簡要介紹，分析了小波變換在圖像壓縮、圖像去噪以及圖像融合等方面的應用，概述了相關算法原理。以Matlab為平臺，進行了基于小波變換的圖像融合實驗，并分析了實驗結果。關鍵詞：小波變換圖像壓縮圖像去噪圖像融合ABSTRACTThe paper give a brief introduction of wavelet transforms basic conception and analysis t

2、he applications of wavelet transform in image compression, image denoising and image fusion. Then it introduces some algorithms about image prosessing. Finally, give a experiment of image fusion based on wavelet transform, which is programmed in Matlab platform, and analyze the experimental results.

3、Key words: Wavelet transform Image compression Image denoising Image fusion第1章引言當從時域中觀察一個信號時，得到的信息是信號隨著時間的變化，其幅度的起起伏伏。但是，如果更進一步想研究起伏速度較快或較慢的部分，就不太容易從時域中信號的波形直接得到所需的信息。因此，需要將時域中的信號轉換到頻域中分析。傳統(tǒng)的轉換方式是利用傅立葉變換，然而，傅立葉變換潛在的假設了信號是平穩(wěn)信號。所謂的平穩(wěn)信號就是信號的規(guī)律不隨時間的變化而改變，而現實生活中的信號往往是非平穩(wěn)信號和平穩(wěn)信號交織在一起的。另一方面，用傅立葉變換提取信號的頻譜需要

4、利用信號全部時域的信息，也就無法通過傅立葉分析來刻畫時域信號的局部特性。為解決傅立葉變換的不足，Gabor提出在傅立葉變換中加入高斯窗函數，將窗函數沿時間軸挪移，得到一系列包含時間信息的傅立葉變換結果，從而能同時分析信號的時間信息和頻率信息。根據Heisenberg的測不準原理，窗口傅立葉變換對信號的時間定位和頻率定位能力是相互矛盾的，時間分辨率和頻率分辨率不可能同時提高，而且變換窗口沒有自適應性，只適于分析所有特征尺度大致相同的信號，不適于分析多尺度信號和突變過程。由此，引入了小波變換。顧名思義，“小波”就是小的波形。所謂“小”是指它具有衰減性，而稱之為“波”則是指它的波動性，其振幅呈正負相

5、間的震蕩形式。傅立葉分析是將信號分解成一系列不同頻率的正弦波的疊加，同樣小波分析是將信號分解為一系列小波函數的疊加，而這些小波函數都是由一個母小波函數經過平移和尺度伸縮得來的。小波分析優(yōu)于傅立葉分析的地方是，它在時域和頻域同時具有良好的局部化性質，且具有多分辨分析的特點。它是一種窗口大小可以改變的分析方法，可以改變其時間窗和頻率窗，根據高頻和低頻的不同，可以使時間頻率窗變窄或變寬，即：在低頻部分時具有較高的頻率分辨率和較低的時間分辨率，在高頻部分時具有較低的頻率分布率和較高的時間分辨率，非常適合于加帶、瞬態(tài)、反?，F象的探測正常信號中并展示其成分，所以被譽為分析信號的顯微鏡。第2章小波變換的基本

6、概念2.1連續(xù)小波變換給定基本小波函數，信號f(t)的連續(xù)小波變換定義為：Wfa,b=1aR ft(t-ba)dt=-+fta,btdt (a0,bR) (2.1)式(2.1)也可以表示為Wfa,b=f*a,bt，它可以看做是求函數f(t)在a,bt的各尺度平移信號上的投影。其給出了f(t)的一種多尺度表示，a代表尺度因子，a,bt=1a(t-ba)稱為小波。若a1，則函數(t)具有伸展作用，a1時，函數具有收縮作用。因此隨著參數a的變化，就有可能實現窗口大小自適應變化，當信號頻率增高時，時窗寬度變窄，而頻窗寬度增大，有利于提高時域分辨率，反之亦然。參數b反映(t)的位移，把基本小波(母小波)

7、的函數(t)作位移后，再在不同尺度下與待分析信號作內積，就可以得到一個小波序列。然而，小波函數t的選擇既不是唯一的，也不是任意的，它應滿足以下幾個條件：1）定義域應是緊支撐的，即在一個很小的區(qū)間外，函數為零，也就是函數應有速降特性。2）函數平均值為零，而函數只有在t軸上取值有正有負才能保證均值為零，所以函數應有震蕩性。在實際應用尤其是信號處理以及圖像處理的應用中，變換只是一種簡化問題、處理問題的有效手段，最終目的需要回到原問題的求解，因此，還要保證連續(xù)小波變換存在逆變換。對于所有的f(t)、(t) L2(R)，連續(xù)小波逆變換由式(2.2)給出：f(t)=1C-+-+a-2Wfa,ba,btda

8、db (2.2)2.2離散小波變換連續(xù)小波變換往往用于理論分析，在實際應用中，需要將連續(xù)小波加以離散化才能應用于計算機中。因此，需要對尺寸參數a和平移參數b進行離散化處理，設定 ，則： (2.3)定義相應的離散小波變換為： (2.4)其逆變換為： (2.5)2.3二維小波變換一維小波變換是將一維原始信號分別經過低通濾波和高通濾波以及二元下抽樣得到信號的低頻部分L和高頻部分H。根據Mallat算法，二維小波變換可以用一系列的一維小波變換得到。對一幅m行n列的圖像，二維小波變換的過程是先對圖像的每一行做一維小波變換，得到L和H兩個對半部分；然后對得到的LH圖像（仍是m行n列）的每一列做一維小波變換

9、。這樣經過一級小波變換后的圖像就可以分為LL，HL，LH，HH四個部分。而二級、三級以至更高級的二維小波變換則是對上一級小波變換后圖像的LL部分再進行一級二維小波變換，是一個遞歸過程，從而得到塔式結構的圖像，如下圖所示：一個圖像經過小波分解后，可以得到一系列不同分辨率的子圖像，不同分辨率的子圖像對應的頻率也不同。高分辨率（即高頻）子圖像上大部分點的數值都接近于0，分辨率越高，這種現象越明顯。2.4多分辨分析多分辨分析又稱為多尺度分析，是建立在函數空間概念上的理論。其主要思想是將L ( R )分解為一串具有不同分辨率的子空間序列，該子空間序列的極限就是L ( R )，然后將L ( R )中的 f

10、 函數描述為具有一系列近似函數的逼近極限，其中每一個近似函數都是 f 函數在不同分辨率子空間上的投影。通過這些投影可以分析和研究f 函數在不同分辨率子空間上的形態(tài)和特征。類似于人的視覺系統(tǒng)，多分辨率分析在各尺度上可以由粗到精地逐級觀察目標。利用多分辨率分析能構造L ( R )的標準小波正交基。第3章小波變換在圖像處理中的應用利用小波變換進行圖像處理均需要有三個基本的步驟，先通過小波變換將圖像變換到頻域中，再對小波系數進行相應的處理，最后對處理后的小波系數進行重構，得到處理后的圖像。針對不同的應用，具體的小波系數處理過程會有所不同。3.1小波變換在圖像壓縮中的應用經過小波變換很容易得到圖像的低頻

11、部分和高頻部分，圖像的大部分能量一般集中于低頻部分，而高頻部分則反應圖像的細節(jié)。因此，最簡單的壓縮方式，就是在小波重構時，將高頻系數置0，也可根據圖像將局部區(qū)域的高頻系數置0，或者根據閾值來決定高頻系數的取舍。這種方法圖像細節(jié)損失嚴重，壓縮后的圖像模糊，圖像信息損失嚴重。由于遙感數據的海量增加、保存的重要性及其應用對精度保證的要求，因而遙感數據的壓縮必須滿足信息保持壓縮及能達到較高的壓縮比這兩個條件時才有意義。小波變換能提供原始圖像的多尺度分解表示，而且各分辨率層上的子圖像具有不同的頻率特征和不同的方向取向，從而可對這些信息表示進行相應的編碼。圖像信號的統(tǒng)計特征表明大幅值的系數往往集中于低頻區(qū)

12、內，這樣就可以給那些小幅值系數分配很小的比特數，甚至可以不傳輸或存儲，得到很高的壓縮比和很小的失真度。通常認為遙感數據中存在有空間冗余和譜間冗余，前者表現為同一類地物相鄰像素間存在的空間相關性，后者表現為相鄰波段同一位置的像素之間存在相關性。因此有學者提出用遙感圖像零樹壓縮編碼算法和基于整數小波變換的壓縮等方法來去除遙感數據中的冗余，達到更高的壓縮比和更小的失真度。遙感圖像零樹壓縮編碼算法的原理是子代中某一小波系數不重要的時候,便認為其所有后代的小波系數都是不重要的,即形成所謂的零樹。通過對零樹進行編碼得到壓縮后的遙感影像。這種算法假設不重要的小波系數其后代也不重要，事實上，對于圖像邊緣往往不

13、滿足假設條件，因此存在壓縮影像損失邊緣信息的情況。為解決這一問題，有許多人提出了改進算法，如Said 和Pearlman 提出的SPIHT (Set Partitio2ning In Hierarchical Trees) 算法?；谡麛敌〔ㄗ儞Q的壓縮方法將小波變換壓縮技術中的零樹編碼推廣到高光譜圖像壓縮中，其基本原理是利用高光譜圖像的結構相關性，對多幅小波系數圖像，只構造一幅有效圖(共享有效圖) 來確定多幅小波系數圖像中非零值的位置，通過各波段零樹相“與”得到共享零樹，同時去除空間冗余和譜間冗余。還可以先進行K- L 變換再進行共享有效圖的小波變換編碼，進一步去除譜間冗余,提高壓縮效率。3.

14、2小波變換在圖像去噪中的應用在圖像中噪聲一般表現為高頻信息，并且與圖像中其他信息呈弱相關或者不相關。所以消噪過程一般可按以下方法進行處理。首先對圖像進行小波分解，選擇小波并確定分解層次為N，則噪聲部分通常包含在高頻中。然后對小波分解的高頻系數進行門限閾值量化處理。最后根據小波分解的第N層低頻系數和經過量化后的1N層高頻系數進行小波重構，達到消除噪聲的目的，即抑制圖像的噪聲?；谛〔ǚ治龅娜ピ敕椒ù篌w有小波萎縮法、投影方法、相關方法等幾種。小波萎縮法的出發(fā)點是較大的小波系數通常反映景物信號，而較小的系數通常反映噪聲。因此可以設定閾值，過濾掉噪聲。閾值函數的設定決定了降噪的效果，廣泛使用的閾值函數

15、有硬閾值函數和軟閾值函數。此外，還可以通過判斷系數被噪聲污染的程度，并為這種程度引入各種度量方法(例如概率和隸屬度等) ，進而確定萎縮的比例，來實現去噪的目的。投影方法的原理是將帶噪信號以一種迭代的方式，投影到逐步縮小的空間，由于最后的空間能更好地體現原信號的特點，所以投影方法也能夠有效地區(qū)分噪聲和信號。其中典型的算法是MatchingPursuits 法，通過指定一族小波或波函數，并將帶噪聲信號向此函數進行投影，接著又對殘差投影，并循環(huán)反復，直到殘差符合一定限值。相關方法是基于信號在各層相應位置上的小波系數間往往相關、而噪聲的小波系數則具有弱相關或不相關的特點來去噪。3.3小波變換在圖像融合

16、中的應用在圖像融合中，小波變換的目的是將原始圖像分別分解到一系列頻率通道中,利用分解后的金字塔或樹結構對不同分解層、不同頻帶進行融合處理,這種方法有助于將來自不同圖像的感興趣的細節(jié)融合在一起。針對不同類型的圖像,學者們提出了各種有效的融合規(guī)則如取系數絕對值較大法、加權平均法、消除高噪聲法、高低頻混合雙閾值法等。取系數絕對值較大法適合高頻成分較豐富，亮度、對比度較高的原圖像，否則在融合圖像中只保留一幅圖像的特征，其他的特征被覆蓋；融合圖像中基本保留原圖像的特征，圖像對比度與原圖像基本相同。小波變換的實際作用是對信號解相關，并將信號的全部信息集中到一部分具有大幅值的小波系數中。這些大的小波系數含有

17、的能量遠比小系數含有的能量大，從而在信號的重構中，大的系數比小的系數更重要。 加權平均法的權重系數可調，適用范圍廣，可消除部分噪聲，原圖像信息損失較少，但會造成圖像對比度的下降，需要進行圖像灰度增強。消除高頻噪聲法的高頻噪聲可以基本消除，融合圖像對比度較高，原圖像特征可較好地保留在融合圖像中，但在消除高頻噪聲的同時，損失了部分高頻信息。雙閾值法適于原圖像中一幅圖像的灰度分布均衡，高頻成分較多。雙閾值可選，增加了算法的實用性，但選擇閾值時要考慮原圖像灰度分布的特點，否則有可能出現邊緣跳躍的現象。以上是基于單個像素的融合規(guī)則，其在融合處理時表現出對邊緣的高度敏感性，使得在預處理時要求圖像

18、是嚴格對準的，否則處理結果將不盡人意，這就加大了預處理的難度。而基于區(qū)域的融合規(guī)則由于考慮了與相鄰像素間的相關性，降低了對邊緣的敏感性，所以具有更加廣泛的適用性?；趨^(qū)域特征的融合規(guī)則主要包括基于梯度的方法、基于局域方差的方法、基于局域能量的方法等。3.4其他應用此外小波變換還能應用于圖像拼接與鑲嵌、特征提取與分類、圖像復原、圖像插值、紋理分析和邊緣檢測等方面。第4章基于小波變換的圖像融合實驗根據文獻中的各種圖像融合方法，我利用Matlab做了一個簡單的圖像融合實驗。4.1算法原理1)將待融合的兩幅影像進行小波變換2)對于高頻小波系數采用基于像素點小波系數絕對值取較大的規(guī)則進行融合。3)進行小波重構，得到融合影像。4.2實驗結果4.3實驗分析可以看到融合后的影像基本上只保證了第二幅影像的特征，但是在亮度上比第二幅影像更亮，而趨近于第一幅影像。第一幅影像的信息只有很少一部分反映在融合圖像中，融合效果好像并不是太理想。這個可能與圖像的選擇有關，也與算法的設計有關?？傊?，通過實驗基本了解了利用小波變換進行圖像融合的過程，有了比較直觀的體會。便于以后進行深入研究。參考文獻1 賈永紅.數字圖像處理M. 武漢大學出版社, 20042 林宏裔, 孔亮. 在 MATLAB 語言環(huán)境下基于小波