p14_9氫原子的角向概率密度和徑向概率密度

1、*范例范例14.9 氫原子的角向概率密度和徑向概率密度氫原子的角向概率密度和徑向概率密度(1)求氫原子角向概率密度，說明角向概率密度的變化規(guī)律。求氫原子角向概率密度，說明角向概率密度的變化規(guī)律。(2)當氫原子主量子數當氫原子主量子數n一定時，說明各種角量子數的徑向概一定時，說明各種角量子數的徑向概率密度的分布規(guī)律。率密度的分布規(guī)律。解析解析(1)求氫原子薛定諤方程可得到電子的波函數求氫原子薛定諤方程可得到電子的波函數nlm(r,)。每一組量子數每一組量子數(n,l,m)，都有一組波函數描述一個確定的狀態(tài)，都有一組波函數描述一個確定的狀態(tài)nlm(r, , ) = Rnl(r)lm()m()，1/

2、2是歸一化常數。是歸一化常數。緯度分布函數為緯度分布函數為| |( )P(cos ),mlmlmlNPlm(x)是締合是締合(連帶連帶)勒讓德勒讓德多項式，多項式，Nlm是歸一化常數是歸一化常數(21)(|)!2(|).!lmllmNlm這里，這里，m()是氫原子的經度分布函數，是氫原子的經度分布函數，lm()是緯是緯度分布函數，度分布函數，Rnl(r)是徑向分布函數。是徑向分布函數。氫原子的經度氫原子的經度分布函數為分布函數為1( )exp(i),2mm為了簡單起見，用為了簡單起見，用m表示軌道磁量子數表示軌道磁量子數ml。*范例范例14.9 氫原子的角向概率密度和徑向概率密度氫原子的角向概

3、率密度和徑向概率密度在氫原子中取一個體積元在氫原子中取一個體積元dV = r2sindrdd = r2drd，d = sindd是立體角。是立體角。電子出現在距核為電子出現在距核為r，緯度為，緯度為，經度為，經度為處的體積元處的體積元dV中的概中的概率為率為wnlmdV = |nlm|2dV = |Rnl|2|lm|2|m|2dV。電子出現在電子出現在到到 + d之間的概率為之間的概率為wmd = |m|2d。根據經度分布函數可知：根據經度分布函數可知：|m|2是常量，因是常量，因此概率的角分布關于此概率的角分布關于z軸具有旋轉對稱性。軸具有旋轉對稱性。電子出現在立體角電子出現在立體角d之內的

4、概率為之內的概率為wlmd = |lm|2|m|2d21|( )| d2lm根據緯度分布函數根據緯度分布函數可得角向概率密度可得角向概率密度2| |211( )|( ) |P(cos )22.mlmlmlmlwN當氫原子角量子數為當氫原子角量子數為0時時(l = 0)，磁量子，磁量子數只能取數只能取0(m = 0)，氫原子中，氫原子中s態(tài)電子的態(tài)電子的角向概率密度角向概率密度wlm呈球狀，其剖面是圓。呈球狀，其剖面是圓。當當l = 1，m = 0時，氫時，氫原子中原子中p態(tài)態(tài)電子的角電子的角向概率密向概率密度度wlm之一之一呈紡錘狀，呈紡錘狀，其剖面是其剖面是直立的雙直立的雙紐線。紐線。當當l

5、 = 1，m = 1時，氫原子中時，氫原子中p態(tài)態(tài)電子的角向概率密度電子的角向概率密度wlm之一呈輪之一呈輪胎狀，其剖面是橫置的雙紐線。胎狀，其剖面是橫置的雙紐線。當當l = 2，m = 0時，氫時，氫原子中原子中d態(tài)態(tài)電子的角向電子的角向概率密度概率密度wlm之一呈之一呈帶盤的紡錘帶盤的紡錘狀，其剖面狀，其剖面是帶葉的雙是帶葉的雙紐線。紐線。當當l = 2，m = 1時，氫原子中時，氫原子中d態(tài)態(tài)電子的角向概率密度電子的角向概率密度wlm之一呈雙之一呈雙缽狀，其剖面是四葉玫瑰線。缽狀，其剖面是四葉玫瑰線。當當l = 2，m = 2時，氫原子時，氫原子中中d態(tài)電子的角向概率密度態(tài)電子的角向概率

6、密度wlm之一呈輪胎狀。之一呈輪胎狀。與與l = 1，m = 1的圖形相的圖形相比，這種輪胎形狀更扁。比，這種輪胎形狀更扁。當氫原子當氫原子角量子數角量子數l = 3時，時，磁量子數磁量子數m可取可取0，1，2，3，角，角向概率密向概率密度如圖所度如圖所示。示。當當m = 0時，角時，角向概率向概率密度呈密度呈帶盤的帶盤的紡錘狀；紡錘狀；當當m = l時，角向概時，角向概率密度呈輪胎狀；率密度呈輪胎狀；當當m是其他數整數時，是其他數整數時，角向概率密度呈雙缽狀角向概率密度呈雙缽狀和帶盤的雙缽狀和帶盤的雙缽狀。(2)當氫原子主量子數當氫原子主量子數n一定時，各種角量子數一定時，各種角量子數的徑向

7、概率密度隨距離分布的規(guī)律是什么？的徑向概率密度隨距離分布的規(guī)律是什么？解析解析(2)氫原子薛定諤方氫原子薛定諤方程的徑向分布函數為程的徑向分布函數為設設是締合是締合(連帶連帶)拉蓋爾多項式。拉蓋爾多項式。Z為原子序數為原子序數(氫原子氫原子Z = 1)，a0是第一玻是第一玻爾半徑，爾半徑， Mnl是歸一化常數是歸一化常數(以區(qū)別以區(qū)別Nlm)2 100022( )exp()() L()llnlnln lZZZR rMrrrnanana3302(1)!()2 ()!nlZnlMnan nl 02,Zxrna2 1L( )ln lx下標下標n + l表示拉蓋爾多項式階數，即表示拉蓋爾多項式階數，即

8、n + l階拉蓋爾多項階拉蓋爾多項式式Ln+l(x)；上標；上標2l + 1表示對表示對Ln + l(x)求求2l + 1階導數階導數。*范例范例14.9 氫原子的角向概率密度和徑向概率密度氫原子的角向概率密度和徑向概率密度(2)當氫原子主量子數當氫原子主量子數n一定時，各種角量子數一定時，各種角量子數的徑向概率密度隨距離分布的規(guī)律是什么？的徑向概率密度隨距離分布的規(guī)律是什么？n階拉蓋爾階拉蓋爾多項式為多項式為對于冪函數對于冪函數y = xk，因此締合拉蓋因此締合拉蓋爾多項式為爾多項式為n + l 階拉蓋爾階拉蓋爾多項式為多項式為設設k - 2l 1 = i，即，即k = i + 2l + 1

9、，可得，可得220( 1) ( !)L ( )( !) ()!knknknxxkn k220( 1) ()!L ( )( !) ()!kn lkn lkn lxxkn l k ( )!(1).(1)()!nk nk nkyk kk nxxk n 212121dL( )L( )dlln ln llxxx22121( 1) ( + )!()! (21)!kkln lkln lxk nlkkl +121210( 1)( + )!L( )(1)!(2 +1+ )! !in llin lin lxxnlili i 氫原子中的電子出現氫原子中的電子出現在在r到到dr之間的概率為之間的概率為wnldr =

10、|Rnl|2r2dr徑向概率徑向概率密度為密度為222 1200022( ) |( ) |exp()() L(.) llnlnlnln lZZZw rR r rMrrr rnanana其其n階導數為階導數為*范例范例14.9 氫原子的角向概率密度和徑向概率密度氫原子的角向概率密度和徑向概率密度當氫原子主量子數當氫原子主量子數n為為1時，角量子數時，角量子數l只能取只能取0，徑向概率密度，徑向概率密度wnl隨距離的增隨距離的增加先增后減，其峰值出現在加先增后減，其峰值出現在r = a0處。處。當主量子數當主量子數n為為2時，如果時，如果l為為0，徑向概率密度有兩個峰，徑向概率密度有兩個峰，兩峰之

11、間有一個節(jié)點；如果兩峰之間有一個節(jié)點；如果l為為1，徑向概率密度只有一，徑向概率密度只有一個峰，峰值出現在個峰，峰值出現在r = 4a0處。處。當主量子數當主量子數n為為3時，如果時，如果l為為0，曲線有，曲線有3個峰，隨著距離個峰，隨著距離增加，一個峰比一個峰高，增加，一個峰比一個峰高，曲線共有曲線共有2個節(jié)點；如果個節(jié)點；如果l為為1，曲線有曲線有2個峰，個峰，1個節(jié)點；如個節(jié)點；如果果l為為2，曲線只有，曲線只有1個峰，峰個峰，峰值出現在值出現在r = 9a0處。處。當當n = 4時，曲時，曲線族如圖所示。線族如圖所示。當當n = 5時，曲時，曲線族如圖所示。線族如圖所示。當當n = 6時，曲時，曲線族如圖所示。線族如圖所示。比較這些圖可知：比較