第3講空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系

1、第3講 空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系一、選擇題i 下列命題正確的個(gè)數(shù)為（）. 經(jīng)過三點(diǎn)確定一個(gè)平面； 梯形可以確定一個(gè)平面； 兩兩相交的三條直線最多可以確定三個(gè)平面； 如果兩個(gè)平面有三個(gè)公共點(diǎn)，則這兩個(gè)平面重合.A. 0B. 1C. 2D . 3解析 錯(cuò)誤，正確.答案 C2. 若兩條直線和一個(gè)平面相交成等角，則這兩條直線的位置關(guān)系是（）.A .平行B .異面C.相交D .平行、異面或相交解析 經(jīng)驗(yàn)證，當(dāng)平行、異面或相交時(shí)，均有兩條直線和一個(gè)平面相交成等 角的情況出現(xiàn)，故選D.答案 D3. 若三個(gè)平面兩兩相交，且三條交線互相平行，則這三個(gè)平面把空間分為（）A. 5部分B. 6部分C. 7部分

2、D. 8部分解析 垂直于交線的截面如圖，把空間分為 7部分.答案C4. 在正方體 ABCD-AiBiCiDi中，0是BDi的中點(diǎn)，直線 AiC交平面AB1D1于 點(diǎn)M，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）.A . Ai、M、0三點(diǎn)共線B. M、0、Ai、A四點(diǎn)共面C. A、0、C、M四點(diǎn)共面D. B、Bi、0、M四點(diǎn)共面解析 因?yàn)?是BD1的中點(diǎn).由正方體的性質(zhì)知，點(diǎn) 0在直線A1C上，O也 是AiC的中點(diǎn)，又直線 AiC交平面ABiDi于點(diǎn)M，則Ai、M、0三點(diǎn)共線， A正確；又直線與直線外一點(diǎn)確定一個(gè)平面，所以 B、C正確.答案 D5. 個(gè)正方體的展開圖如圖所示，A、B、C、D為原正方體的頂點(diǎn)，則在原來

3、 的正方體中（）.A . AB / CDB . AB 與 CD 相交C. AB丄CDD . AB與CD所成的角為60解析 如圖，把展開圖中的各正方形按圖（a）所示的方式分別作為正方體的前、 后、左、右、上、下面還原，得到圖（b）所示的直觀圖，可見選項(xiàng) A、B、C不 正確.正確選項(xiàng)為 D.圖（b）中，DE / AB，Z CDE為AB與CD所成的角， CDE為等邊三角形，/ CDE = 60.圖答案 D6. 如圖，四棱錐SABC的底面為正方形,SD丄底面ABCD則下列結(jié)論中不正確的是（）.A. AC丄 SBB. AB/ 平面 SCDC. SA與平面SBD所成的角等于SC與平面SBD所成的角D. A

4、B與SC所成的角等于DC與 SA所成的角解析 選項(xiàng)A正確，因?yàn)镾D垂直于平面ABCD而AC在平面ABCD中，所以 AC垂直于SD再由ABCD為正方形，所以AC垂直于BD而BD與SD相交， 所以，AC垂直于平面SBD進(jìn)而垂直于SB選項(xiàng)B正確，因?yàn)锳B平行于CD 而CD在平面SCD內(nèi), AB不在平面SCD內(nèi)，所以AB平行于平面SCD選項(xiàng)C 正確，設(shè)AC與 BD的交點(diǎn)為0,連接SQ則SA與平面SBD所成的角就是/ ASQ SC與平面SBD所成的角就是/ CSQ易知這兩個(gè)角相等選項(xiàng) D錯(cuò)誤，AB與 SC所成的角等于/ SCD而DC與 SA所成的角是/ SAB這兩個(gè)角不相等.答案 D二、填空題7. 已知

5、a，b為不垂直的異面直線，a是一個(gè)平面，則a，b在a上的射影有可 能是： 兩條平行直線；兩條互相垂直的直線；同一條直線；一條直線及其 外一點(diǎn).在上面結(jié)論中，正確結(jié)論的編號(hào)是 寫出所有正確結(jié)論的編號(hào)）.解析 只有當(dāng)a/ b時(shí)，a，b在a上的射影才可能是同一條直線，故錯(cuò)，其 余都有可能.答案8. 如圖，在正方體 ABCD AiBiCiDi中，M、N分別為 棱CiDi、CiC的中點(diǎn)，有以下四個(gè)結(jié)論： 直線AM與CCi是相交直線； 直線AM與BN是平行直線； 直線BN與MBi是異面直線； 直線AM與DDi是異面直線.其中正確的結(jié)論為（注：把你認(rèn)為正確的結(jié)論的序號(hào)都填上）.解析 直線AM與CCi是異面直

6、線，直線AM與BN也是異面直線，故錯(cuò)誤.答案9. 如圖，矩形ABCD中 A吐2, BO4,將厶ABD沿對(duì)角線 BD折起到 A BD的位置，使點(diǎn)A在平面BCD內(nèi)的射影點(diǎn)Q恰好落在BC邊上，則異面直線AB與CD所成角的大小為 解析如題圖所示，由A 0丄平面ABCD可得平面A BCL平面ABC,又由DCLBC可得DCL平面A BC, DCLA B,即得異面直線AB與CD所成角的大小為90.答案9010. 在正方體ABCD AiBiCiDi中，E, F分別為棱AAi, CCi的中點(diǎn)，則在空間中與三條直線AiDi，EF，CD都相交的直線有 條.解析 法一 在EF上任意取一點(diǎn)M，直線AiDi與 M確定一個(gè)

7、平面，這個(gè)平面與 CD有且僅有i個(gè)交 點(diǎn)N，當(dāng)M取不同的位置就確定不同的平面，從而 與CD有不同的交點(diǎn)N,而直線MN與這3條異面 直線都有交點(diǎn).如圖所示.法二 在AiDi上任取一點(diǎn)P,過點(diǎn)P與直線EF作一個(gè)平面a,因CD與平面 a不平行，所以它們相交，設(shè)它們交于點(diǎn) Q,連接PQ,則PQ與EF必然相 交，即PQ為所求直線.由點(diǎn)P的任意性，知有無數(shù)條直線與三條直線 AiDi, EF, CD都相交.答案無數(shù)三、解答題ii. 如圖所示，四邊形ABEF和ABCD都是直角i 梯形，/ BAD=Z FAB = 90, BC 綉qAD, BEi綉2FA, G、H分別為FA、FD的中點(diǎn).(1) 證明：四邊形BC

8、HG是平行四邊形；(2) C、D、F、E四點(diǎn)是否共面？為什么？i(i)證明 由已知FG= GA, FH = HD，可得GH綉qAD.又BC綉1AD,a GH綉B(tài)C,.四邊形BCHG為平行四邊形.1解 由BE綉2AF, G為FA中點(diǎn)知，BE綉FG ,四邊形BEFG為平行四邊形，二EF/ BG.由(1)知 BG 綉 CH，二 EF / CH,a EF 與 CH 共面.又D FH，二C、D、F、E四點(diǎn)共面.12. 在長方體 ABCD-AiBiCiDi的AiCi面上有一 .點(diǎn)P(如圖所示，其中P點(diǎn)不在對(duì)角線BiDi)上.過P點(diǎn)在空間作一直線I，使I /直線BD，應(yīng)該如何作圖？并說明理由；/AB(2)過

9、P點(diǎn)在平面AiCi內(nèi)作一直線 m,使m與n直線BD成a角，其中a 0, 2 ,這樣的直線有幾條，應(yīng)該如何作圖？解(i)連接BiDi, BD，在平面AiCi內(nèi)過P作直線I，使I / BiDi，則I即為 所求作的直線，如圖(a). BiDi / BD, I / BiDi,A I /直線 BD.圖(a)t BD / BiDi,A直線m與直線BD也成a角，即直線m為所求作的直線,n如圖(b).由圖知m與BD是異面直線，且m與BD所成的角a 0, 2 . 當(dāng)a n時(shí)，這樣的直線m有且只有一條，當(dāng) a 2時(shí)，這樣的直線m有兩條.圖(b)13. 如圖，空間四邊形 ABCD中, E、F分別是AD AB的中點(diǎn)，

10、G H分別在BCCD上，且 BG： GC= DH： HC= 1 : 2.(1) 求證：E、F、G H四點(diǎn)共面； 設(shè)FG與HE交于點(diǎn)P,求證：P、A、C三點(diǎn)共線. 證明 ABD中, E、F為AD AB中點(diǎn)， EF/ BD CBD中, BG： GC= DH： HC= 1 : 2，GH/ BD,二 EF/ GH平行線公理)， E、F、G H四點(diǎn)共面.(2) v FG HE= P, P FG, P HE,P直線AC. P 面ABC 卩面ADC 又面 ABC?面 ADC= AC P、A C三點(diǎn)共線.14在四棱錐P-ABCD中,底面是邊長為2的菱形,/ DAB= 60對(duì)角線AC與BD交于點(diǎn)O, P0丄平面ABCD, PB與平面ABCD所成角為60.(1)求四棱錐的體積;若E是PB的中點(diǎn)，求異面直線DE與PA所成角的余弦值.解 (1)在四棱錐P-ABCD中，v PO丄面 ABCD, / PBO是PB與面ABCD所成的角，即/ PBO= 60,在 Rt POB 中，v BO = AB sin 30 = 1,又 PO丄OB,a PO= BO tan 60=73,v底面菱形的面積S 菱形ABCD =2 31四棱錐 P ABCD 的體積 Vpabcd= 3X 2 3X ：3= 2.取AB的中點(diǎn)F，連接EF, DF