第二章半導(dǎo)體中的載流子及其輸運(yùn)性質(zhì)

1、第二章半導(dǎo)體中的載流子及其輸運(yùn)性質(zhì)1對(duì)于導(dǎo)帶底不在布里淵區(qū)中心，且電子等能面為旋轉(zhuǎn)橢球面的各向異性問(wèn)題，證明每個(gè) 旋轉(zhuǎn)橢球內(nèi)所包含的動(dòng)能小于（E莊）的狀態(tài)數(shù)Z由式（2-20 ）給出。證明：設(shè)導(dǎo)帶底能量為 EC，具有類(lèi)似結(jié)構(gòu)的半導(dǎo)體在導(dǎo)帶底附近的電子等能面為旋轉(zhuǎn)橢球面，即即E（k）與橢球標(biāo)準(zhǔn)方程相比較，可知其電子等能面的三個(gè)半軸aEcki2a2ki2b2kimt邑miki ic2c分別為b 嚴(yán)(E Ec)ic 竺蚩#蓉是，K空間能量為E的等能面所包圍的體積即可表示為V 4 abc 電(8mmt2)"(E333Ec)"因?yàn)閗空間的量子態(tài)密度是 態(tài)數(shù)）就是V/（4 n3所以動(dòng)能小

2、于（E Ec）的狀態(tài)數(shù)（球體內(nèi)的狀2V2、i/2(8mi mt )3(EEc)3/22、利用式（2-26 ）證明當(dāng)價(jià)帶頂由輕、重空穴帶簡(jiǎn)并而成時(shí)，其態(tài)密度由式（2-25 ）給出。證明：當(dāng)價(jià)帶頂由輕、重空穴帶簡(jiǎn)并而成時(shí)，其態(tài)密度分別由各自的有效質(zhì)量m輕和m重表示。價(jià)帶頂附近的狀態(tài)密度應(yīng)為這兩個(gè)能帶的狀態(tài)密度之和。即：3/2V （2mp輕）1/2gv（E）i23 （Ev E）價(jià)帶頂附近的狀態(tài)密度V (2mp輕)gv(E)2 2gv (E)2V (2mp重)3/21/23(EvE)1/2gV ( E)gV ( E)1 gV ( E)2 即.3/21 /23一(EvE)+ 2V (2mp重)3/23一

3、(Ev E)1/212V (Ev E)(2mP 輕)32 (2mp 重)32只不過(guò)要將其中的有效質(zhì)量*3/23/2 2/3m*理解為mp（mp輕mp重）則可得:* 3 2(2mp)（2mp輕）32（2mp重）3/2帶入上面式子可得:gv(E)*、3/2V (2 mp)1/2(EvE)1/23、完成本章從式（2-42 ）到（2-43 ）的推演，證明非簡(jiǎn)并半導(dǎo)體的空穴密度由式（ 決定。解：非簡(jiǎn)并半導(dǎo)體的價(jià)帶中空穴濃度2-43 )po為:（1 fB（E）gv（E）dE帶入玻爾茲曼分布函數(shù)和狀態(tài)密度函數(shù)可得Po*3 21(2mp)2EvE Ef1 2E，vexp(審)(EV E) dE令x (Ev E

4、).(KoT),則(Ev E)12 (KoT)12x12d(Ev E) koTdx將積分下限的E'v （價(jià)帶底）改為計(jì)算可得Po2(啤)訃(2K0Tmpk0T 32Nv2(HJ2 m；k0T)32h3則得PoNv e>x>(Eff(E)-解：已知費(fèi)米分布函數(shù)1E Efef(E)當(dāng) E EF=1.5kT 時(shí)：1k o.1824fB1.50.223當(dāng) E Er=4kT時(shí)：f(E)40.017991 e,fB e0.0183 ；當(dāng) E E=10kT 時(shí)：f(E)1r 4.54 10 e,lBe 104.510計(jì)算結(jié)果表明，兩種統(tǒng)計(jì)方法在 的倍數(shù)越大，兩種統(tǒng)計(jì)方法的誤差越小。E E

5、fV 2kT時(shí)誤差較大，反之誤差較小;E E3咼于kT5、對(duì)非簡(jiǎn)并半導(dǎo)體證明其熱平衡電子和空穴密度也可用本征載流子密度 E表示為ni和本征費(fèi)米能級(jí)non exp(Ef Ei、7) P。kT ；ni exp(E-EF) kT證明：因?yàn)閷?dǎo)帶中的電子密度為:niNc本證載流子濃度為exp(結(jié)合以上兩個(gè)公式可得:Nc exp(EcEfkT )Ec Ei) kT丿n° Nc exp(EckT咼 Nc exp(EF EikTEC Ei)4、當(dāng)E&=1.5kT、4kT、10kT時(shí)，分別用費(fèi)米分布函數(shù)和玻耳茲曼分布函數(shù)計(jì)算電子占據(jù) 這些能級(jí)的幾率，并分析計(jì)算結(jié)果說(shuō)明了什么問(wèn)題。1E Efe

6、kT ；玻耳茲曼分布函數(shù)N c exp(ICkT邑exp(E F E iE F Ei -)m exp(-)kTkTPoNv exp( Ev Ef因?yàn)閮r(jià)帶中的空穴密度為:kT)門(mén)匚嘰 exp（-Ev一）本證載流子濃度為kTPo ni exp(Ei Ef )同理可得：kT90%勺6、已知6H-SiC中氮和鋁的電離能分別為0.1eV和0.2eV，求其300K下電離度能達(dá)到摻雜濃度上限。193193解：查表 2-1 可得，室溫下 6H-SiC 的 2=8.9 X10 cm , M=2.5 X10 cm。當(dāng)在6H-SiC中參入氮元素時(shí)： 未電離施主占施主雜質(zhì)數(shù)的百分比為D(處)e初居)Nck°

7、T將此公式變形并帶入數(shù)據(jù)計(jì)算可得:Nd (譽(yù))exp(占2k010.1 8.9 1019、“()exp(0 1五)9523 1016cm當(dāng)在6H-SiC中參入鋁元素時(shí): 未電離受主占受主雜質(zhì)數(shù)的百分比為D晉問(wèn)寺將此公式變形并帶入數(shù)據(jù)計(jì)算可得:Na (D4Nv)exp(419(0.1 2.5 10 )exp(0.214300越 2.85 10 cm7、計(jì)算施主濃度分別為1014cm3、1016cm3、1018cm3的硅在室溫下的費(fèi)米能級(jí)（假定雜質(zhì)全部電離）。根據(jù)計(jì)算結(jié)果核對(duì)全電離假設(shè)是否對(duì)每一種情況都成立。核對(duì)時(shí)，取施主能 級(jí)位于導(dǎo)帶底下 0.05eV處。Ec Ef解：因?yàn)榧俣俣s質(zhì)全部電離，

8、故可知gNce" Nd ,則可將費(fèi)米能級(jí)相對(duì)于導(dǎo)帶底的位置表示為EfEckTl門(mén)吐Nc將室溫下Si的導(dǎo)帶底有效態(tài)密度N=2.8X1019-3 cm和相應(yīng)的ND代入上式，即可得各種摻雜濃度下的費(fèi)米能級(jí)位置，即N=1014 cm-3 時(shí):EfEc0.0261014ln 2.8 10190.326eVN=1016 cm-3 時(shí):EfEc0.0261016ln 2.8 10190.206eVN=1018 cm-3 時(shí):EfEc0.02618. 10ln192.8 10190.087eV為驗(yàn)證雜質(zhì)全部電離的假定是否都成立，須利用以上求得的費(fèi)米能級(jí)位置求出各種摻雜 濃度下的雜質(zhì)電離度1NDEd

9、ef1 2e kT為此先求出各種摻雜濃度下費(fèi)米能級(jí)相對(duì)于雜質(zhì)能級(jí)的位置Ed Ef (Ec Ef) (Ec Ed) Ec EfEd于是知ND=1014cm-3 時(shí)：EdEf0.3260.050.276eVND=1016cm-3 時(shí)：EdEf0.2060.050.156eVND=1018cm-3 時(shí)：EdEf0.0870.050.037eV相應(yīng)的電離度即為n d10.276ND=1016 cm-3 時(shí)：nd12e0.0260.99995n1DKI0.1560.995ND=1016 cm-3 時(shí)：Nd12e0.026ND=1018 cm-3 時(shí):nDND0.0370.672e 0.026驗(yàn)證結(jié)果表明

10、，室溫下ND=1014 cm-3時(shí)的電離度達(dá)到 99.995%, ND=1016 cm-3時(shí)的電離度達(dá)到99.5%，這兩種情況都可以近似認(rèn)為雜質(zhì)全電離；ND=1019 cm-3的電離度只有 67%這種情況下的電離度都很小，不能視為全電離。8、試計(jì)算摻磷的硅和鍺在室溫下成為弱簡(jiǎn)并半導(dǎo)體時(shí)的雜質(zhì)濃度。 解：設(shè)發(fā)生弱簡(jiǎn)并時(shí)EC Ef2kT =0.052 eV已知磷在Si中的電離能磷在Ge中的電離能Ed = 0.044eV，硅室溫下的 NC=2.81019 cm-3Ed = 0.0126eV，鍺室溫下的 N=1.11019 cm-3對(duì)只含一種施主雜質(zhì)的n型半導(dǎo)體，按參考書(shū)中式（3-112 ）計(jì)算簡(jiǎn)并是

11、的雜質(zhì)濃度。將弱簡(jiǎn)并條件Ec Ef2koT帶入該式，得對(duì)Si:Nd對(duì)Ge:K1 2 2.8 1019Nd廠式中,R/2( 2)192 1.1 10 -(1 2e2e'0.044吟)FJ2( 2) 7.8 1018cm 3;1.293 10 20.001262e 2e"0；026)F1/2( 2)2.318310 cm9、利用上題結(jié)果，計(jì)算室溫下?lián)搅椎娜鹾?jiǎn)并硅和鍺的電子密度。解：已知電離施主的濃度對(duì)于硅:對(duì)于鍺:nDNdEf Ed1 2ekr"Nde2e"F ECEc ED亍ekTNdVEd1 2e 2ekrnDnDNd0.044°.4°

12、5Nd1 2e 2e0.0260.01260.694 N D2e 2e 融Si10、求輕摻雜解：查圖2-2068.5 X10 cm/sn°nDnD0.405181837.8 103.16 10 cm181830.694 2.3 101.6 10 cmn°中電子在104V/cm電場(chǎng)作用下的平均自由時(shí)間和平均自由程?？芍?，對(duì) 于Si中電子，電場(chǎng)強(qiáng)度為104V/cm時(shí)，平均漂移速度為根據(jù)遷移率公式可知VdE8.5 1061042850cm /V s根據(jù)電導(dǎo)遷移率公式mc 其中 mc 0.26m0c 850cm /V s中代入數(shù)據(jù)可以求得平均自由時(shí)間為:n0.0850.26 9.1

13、08 10311.6 1019131.258 10 s進(jìn)一步可以求得平均自由程為L(zhǎng)n vd n 8.5 106 1.258 10 13 1.069 10 6cm11、室溫下，硅中載流子的遷移率隨摻雜濃度 表示N ( N)或NA)變化的規(guī)律可用下列經(jīng)驗(yàn)公式來(lái)10 1 (N/N)式中的4個(gè)擬合參數(shù)對(duì)電子和空穴作為多數(shù)載流子或少數(shù)載流子的取值不同，如下表所示：作為多數(shù)載流子時(shí)的數(shù)據(jù)作為少數(shù)載流子時(shí)的數(shù)據(jù)02(cm /V s)12(cm /V s)N(cm-3)02(cm /V s)1(cm2/V s )N(cm-3)電子6512658.5 XI0160.7223211808X10160.9空穴484

14、471.3 X100.761303708X101/1.25本教程圖2-13中硅的兩條曲線(xiàn)即是用此表中的多數(shù)載流子數(shù)據(jù)按此式繪制出來(lái)的。試 用Origin函數(shù)圖形軟件仿照?qǐng)D2-13的格式計(jì)算并重繪這兩條曲線(xiàn)，同時(shí)計(jì)算并繪制少數(shù)載流子的兩條曲線(xiàn)于同一圖中，對(duì)結(jié)果作適當(dāng)?shù)膶?duì)比分析。解：根據(jù)數(shù)據(jù)繪圖如下一；£ =+*4習(xí)16IT尹和空斤如詢(xún)專(zhuān)*于宀J'.4T電至A-于¥子L t ,.u -lr結(jié)果說(shuō)明多子更容易受到散射影響，少子遷移率要大于多子遷移率。另外電子遷移率要 比空穴遷移率大。15312、現(xiàn)有施主濃度為 5X10 cm的Si，欲用其制造電阻R=10kQ的p型電阻器，

15、這種電阻器在T=300K、外加5V電壓時(shí)的電流密度 J=50A/cm2,請(qǐng)問(wèn)如何對(duì)原材料進(jìn)行雜質(zhì)補(bǔ)償?0.5mAV 5I 解：根據(jù)歐姆定律R 10外加5V電壓時(shí)的電流密度A 1J=50A/cm2,所以截面積J30.5 10“5210 cm50設(shè)E=100V/cm,則電導(dǎo)率為do 貝U L=V/E=5 X10-2sm,Ra °5( cm)1的參數(shù)q pP q p(Na Nd)其中p是總摻雜濃度(n+Nd)應(yīng)折中考慮，查表計(jì)算：當(dāng)Na=1.25 X1016cm-3時(shí)，2N a+ND=1.75 X1016cm'3，此時(shí)，p 410cm /V sq p(Na Nd)0.4920.5計(jì)

16、算可得 Na=1.25 X1016cnf13、試證明當(dāng)nM p且熱平衡電子密度n0=ni( p/ n)1/2時(shí)，材料的電導(dǎo)率最小，并求300K時(shí)Si和GaAs的最小電導(dǎo)率值，分別與其本征電導(dǎo)率相比較。解:由電導(dǎo)率的公式q(n np p)又因?yàn)?nip n由以上兩個(gè)公式可以得到q(np)令dn0，可得2nLnn因此nid2又d2n23n2(丄)3 2nnin故當(dāng)nF n時(shí),取極小值。這時(shí)min1( 1n)2 p 2nq所以最小電導(dǎo)率為因?yàn)樵谝话闱闆r下n> p,所以電導(dǎo)率最小的半導(dǎo)體一般是弱p型。2對(duì) Si，取 n 1450cm /V s ,2p 500cm /V s1.0 1010cm 3

17、則 min 2 1.0 10101.6 10 19.1450 5002.72106s/ cm而本征電導(dǎo)率i nq( n10p) 1.0 101.61019 (1450 500)3.12 10 6s/cm對(duì)GaAs取n 8000cm2/Vp 400cm2 /V sni2.1 106cm 3則 min 22.1106 1.6 1019.8000 4001.210 9s/cm而本征電導(dǎo)率14、i mq( np)2.1 106 1.61019 (8000 400)2.8 109s/cm3kT/2計(jì)算室溫下電子的均方根熱速度。Si，求其電子在試由電子平均動(dòng)能10V/cm弱電場(chǎng)和104V/cm強(qiáng)電場(chǎng)下的平

18、均漂移速度，并與電子的熱運(yùn)動(dòng)速度作一比較。對(duì)輕摻雜汗3kT解：運(yùn)動(dòng)電子速度v與溫度的關(guān)系可得22因此(3 1.38 10 16 300)1(1.08 9.1 10 28 )1.124 107cm/s當(dāng) E 10V / cm : v漂E 1500 10 1.5 104cm/sv2v漂410 V / cm，由圖2-20可查得:vd 8.5 10 cm/ s相應(yīng)的遷移率2vd / E 850cm /V s15、參照?qǐng)D1-24中Ge和Si的能帶圖分析這兩種材料為何在強(qiáng)電場(chǎng)下不出現(xiàn)負(fù)微分遷移率 效應(yīng)。答：(1)存在導(dǎo)帶電子的子能谷；(2) 子能谷與主能谷的能量差小于禁帶寬度而遠(yuǎn)大于kT;(3) 電子在子

19、能谷中的有效質(zhì)量大于其主能谷中的有效質(zhì)量，因而子能谷底的有效態(tài)密度較高，遷移率較低。(這道題還是不知道該怎么組織語(yǔ)言來(lái)解釋)1.8 106cm2/V s16、求Si和GaAs中的電子在(a)1kV/cm和(b)50kV/cm 電場(chǎng)中通過(guò)1 m距離所用的時(shí)間。解：查圖2-20可知：E=1kV/cm, Si中電子平均漂移速度GaAs中電子平均漂移速度精選資料，歡迎下載8 106cm2/V s(a)(b)E=50kV/cmGaAsSi中電子平均漂移速度中電子平均漂移速度n 107cm2 /V sn 107cm2/V£ =1kV/cm 時(shí)因此Si中電子通過(guò)1m距離所用的時(shí)間為s 1 104v

20、 1.8 1065.61011s因此GaAs中電子通過(guò)1 m距離所用的時(shí)間為工 1.258 1061011s£ =50kV/cm 時(shí)因此Si中電子通過(guò)1m距離所用的時(shí)間為s 1 104 1 10v10711s因此GaAs中電子通過(guò)1m距離所用的時(shí)間為s 旳 1 10v 1011s17、已知某半導(dǎo)體的電導(dǎo)率和霍爾系數(shù)分別為 求其密度與遷移率。解：因?yàn)閱屋d流子霍爾系數(shù)2cm 和-1250 cm /C，只含一種載流子，根據(jù)公式根據(jù)FH<0,所以其為n型半導(dǎo)體Rhnqnnq可得11.6 10 19n可得nnq5 1015 1.6 10 1922InSb 的 p=75000 cm /V.s , =780 cm /V.s5 1015cm(1250)1250cm2/V s18已知300K時(shí)本征InSb的霍耳系數(shù)和霍爾系數(shù)為零時(shí)的載流子濃度。Rh，本征載流子密度為 1.6 X1016 cm-3,解：根據(jù)兩種載流子霍爾效應(yīng)公式1 p nb2 q (P nb)2本證半導(dǎo)體霍爾系數(shù)Rh當(dāng) T=300K 時(shí)，b=96.15qni (1 b)，其中Rh此時(shí)1 p nb2 q(p nb)211.610161.6101696.15216 16 21.6