第六章 代數(shù)系統(tǒng)

1、第六章第六章 代數(shù)系統(tǒng)代數(shù)系統(tǒng)1. 填空題：f 是 X 上的 n 元運(yùn)算的定義是（ ） 。2. 判斷正誤，并說明原因：自然數(shù)集合 N 上的減法運(yùn)算“” 是個(gè)封閉的運(yùn)算。3. 判斷正誤，并說明原因：實(shí)數(shù)集合 R 上的除法運(yùn)算“” 是個(gè)封閉的運(yùn)算。4.填空題：代數(shù)系統(tǒng)的定義是：（ ） 。5. 填空題：*是 X 上的二元運(yùn)算，*具有交換性，則它的運(yùn)算表的特征是（ ） 。6.填空題：*是 X 上的二元運(yùn)算，*具有冪等性，則它的運(yùn)算表的特征是（ ） 。7. 簡(jiǎn)答題：*是 X 上的二元運(yùn)算，*具有幺元，如何在它的運(yùn)算表上判定哪個(gè)元素是幺元？8. 簡(jiǎn)答題：*是 X 上的二元運(yùn)算，*具有零元，如何在它的運(yùn)算表

2、上判定哪個(gè)元素是零元？9. 簡(jiǎn)答題：*是 X 上的二元運(yùn)算，*具有幺元，如何判定哪個(gè)元素是元素 x 的逆元？10 令 N4=0,1,2,3，N4上定義運(yùn)算+4：任何 x,yN4 , x+4 y=(x+y)(mod 4) 。 例如 2+43=(2+3)(mod 4) =5(mod 4)1請(qǐng)列出的運(yùn)算表。然后判斷+4 運(yùn)算是否有交換性、有幺元、有零元、各個(gè)元素是否有逆元？如果有上述這些元素，請(qǐng)指出這些元素都是什么。11. 判斷正誤，并說明原因：對(duì)于整集合 I 上的減法運(yùn)算“”來說， 0 是幺元。12. 填空題：E 是全集，E=a,b，E 的冪集 P(E)上的交運(yùn)算 的幺元是（ ） 。零元是（ ）

3、。有逆元的元素是（ ） ，它們的逆元分別是（ ） 。13. 填空題：E 是全集，E=a,b，E 的冪集 P(E)上的并運(yùn)算 的幺元是（ ） 。零元是（ ） 。有逆元的元素是（ ） ，它們的逆元分別是（ ） 。14. 填空題：E 是全集，E=a,b，E 的冪集 P(E)上的對(duì)稱差運(yùn)算 的幺元是（ ） 。零元是（ ） 。有逆元的元素是（ ） 。它們的逆元分別是（ ） 。15. 填空題：對(duì)于自然數(shù)集合 N 上的加法運(yùn)算“” ，13（ ） 。16. 填空題：你所知道的滿足吸收律的運(yùn)算有（ ） 。17. 填空題：你所知道的具有零元的運(yùn)算有（ ） ，其零元是（ ） 。18. 設(shè)是 X 上的二元運(yùn)算，如果有

4、左幺元 eLX，也有右幺元 eRX，則 eL= eR =e ，且幺元 e 是唯一的。19. 設(shè)是 X 上的二元運(yùn)算，如果有左零元 LX，也有右零元 RX，則L=R =,且零元 是唯一的。20. 設(shè)是 X 上有幺元 e 且可結(jié)合的二元運(yùn)算，如果 xX，x 的左、右逆元都存在，則 x 的左、右逆元必相等。且 x 的逆元是唯一的。21. 設(shè)是 X 上且可結(jié)合的二元運(yùn)算，如 aX，且 a-1X，則 a 是可消去的，即任取 x,yX，設(shè)有 ax=ay 則 x=y。22. 對(duì)于實(shí)數(shù)集合 R，給出運(yùn)算如下：是加法、是減法、 是乘法、max 是兩個(gè)數(shù)中取最大的、min 是兩個(gè)數(shù)中取最小的、|x-y|是 x 與

5、 y 差的絕對(duì)值。判斷這些運(yùn)算是否滿足表中所列的性質(zhì)。如果滿足就寫“Y”,否則寫“N” 。maxmin|x-y|可結(jié)合性可交換性存在幺元存在零元23. 設(shè) R 是實(shí)數(shù)集合，在 R 上定義二元運(yùn)算* 如下：任取 x,yR，x*y=xy2x2y61驗(yàn)證運(yùn)算* 是否滿足交換律和結(jié)合律。2求運(yùn)算*是否有幺元和零元，如果有請(qǐng)求出幺元和零元。3對(duì)任何實(shí)數(shù) x，是否有逆元？如果有，求它的逆元，如果沒有，說明原因。24.設(shè)是 X 上有幺元 e 且可結(jié)合的二元運(yùn)算，求證如果xX，都存在左逆元，則 x 的左逆元也是它的右逆元。25. .給定下面 4 個(gè)運(yùn)算表如下所示。分別判斷這些運(yùn)算的性質(zhì)，并用“Y”表示“有”

6、，用“N”表示“無”填下面表。如果運(yùn)算有冪等元、有幺元、有零元、有可逆元素，要指出這些元素是什么。a b ca b ca b cb c ac a ba)a b ca b ca b cb a cc c cb)a b ca b ca b ca b ca b cc)a b ca b ca b cb b cc c bd)交換性冪等元冪等性有幺元有零元有可逆元素a)b)c)d)26. 分別說明什么叫做兩個(gè)代數(shù)系統(tǒng)同態(tài)、滿同態(tài)、單一同態(tài)、同構(gòu)、自同構(gòu)？27. 什么叫做同態(tài)核？28.請(qǐng)舉同構(gòu)的兩個(gè)代數(shù)系統(tǒng)的例子，并說明它們同構(gòu)的理由。29. 給出集合 A0,1,2,3和 A 上的二元運(yùn)算“*” 。集合 BS

7、,R,A,L和 B 上的二元運(yùn)算“ ” 。 它們的運(yùn)算表如下面所示。驗(yàn)證與同構(gòu)。0 1 2 30 0 1 2 31 1 2 3 02 2 3 0 13 3 0 1 2* *S R A LS S R A LR R A L SA A L S RL L S R A 30 令 S=|X 是集合，*是 X 上的二元運(yùn)算，即 S 是所有含有一個(gè)二元運(yùn)算的代數(shù)系統(tǒng)構(gòu)成的集合。 是 S 中的代數(shù)系統(tǒng)間的同構(gòu)關(guān)系。求證， 是 S 中的等價(jià)關(guān)系。31. 令 A=0,1,2,3,4,B=1,2,4,8,16,，+表示加法，*表示乘法， 問和是否同構(gòu)？為什么？32 已知代數(shù)系統(tǒng)和，其中 S=a,b,c P=1,2,3

8、 二元運(yùn)算表如下所示：a b cabca b cb b c c b c 1 2 31231 2 11 2 21 2 3* *試證明它們同構(gòu)。33 給定兩個(gè)代數(shù)系統(tǒng)，：R+是正實(shí)數(shù)，是 R+上的乘法運(yùn)算；： R 是實(shí)數(shù)集合，是 R 上的加法運(yùn)算。它們是否同構(gòu)？對(duì)你的回答給予證明或者舉反例說明之。34. 已知代數(shù)系統(tǒng)與同構(gòu)，即 X Y。并設(shè) f：XY 是同構(gòu)映射, 請(qǐng)證明如果運(yùn)算可結(jié)合，則運(yùn)算 也可結(jié)合。35. 已知代數(shù)系統(tǒng)與同構(gòu)，即 X Y。并設(shè) f：XY 是同構(gòu)映射, 請(qǐng)證明如果運(yùn)算可交換，則運(yùn)算 也可交換。36. 已知代數(shù)系統(tǒng)與同構(gòu)，即 X Y。并設(shè) f：XY 是同構(gòu)映射, 請(qǐng)證明如果運(yùn)算有

9、幺元 e ，則運(yùn)算 也有幺元 e ，且 f(e )= e 。37. 已知代數(shù)系統(tǒng)與同構(gòu)，即 X Y。并設(shè) f：XY 是同構(gòu)映射, 請(qǐng)證明如果運(yùn)算有零元 ，則運(yùn)算 也有零元 ，且 f()= 。38 已知代數(shù)系統(tǒng)與同構(gòu)，即 X Y。并設(shè) f：XY 是同構(gòu)映射, 請(qǐng)證明如果中每個(gè) xX 可逆，即 x-1X, 則中每個(gè) yY 也可逆，即 y-1Y。 且如果 y=f(x) ，則 y-1= (f(x)-1 =f(x-1)。(x 映像的逆元=x 逆元的映像)39 集合 A 上兩個(gè)同余關(guān)系 R、S, 證明 RS 也是同余關(guān)系.40. 考察代數(shù)系統(tǒng),定義 I 上如下關(guān)系 R 是同余關(guān)系？a).R 當(dāng)且僅當(dāng)(x0

10、y0)(x0y0)b). R 當(dāng)且僅當(dāng)|x-y|10c). R 當(dāng)且僅當(dāng)(x=y=0)(x0y0)d). R 當(dāng)且僅當(dāng) xy41. 填空：是 A 上二元運(yùn)算，代數(shù)是半群，當(dāng)且僅當(dāng)（ ） 。42. 填空：是 A 上二元運(yùn)算，代數(shù)是獨(dú)異點(diǎn)，當(dāng)且僅當(dāng)（ ） 。43 列舉出 5 個(gè)你所熟悉的是半群的例子。44. 列舉出 5 個(gè)你所熟悉的是獨(dú)異點(diǎn)的例子。45 列舉出 1 個(gè)你所熟悉的是半群但不是獨(dú)異點(diǎn)的例子。46. 給定代數(shù)系統(tǒng) ，是實(shí)數(shù) R 上二元運(yùn)算，定義為：a,bR,a b=a+b+ab求證 是獨(dú)異點(diǎn)。47. 是個(gè)半群，a,bA，若 ab 則 abba，試證：a) aA，有 aa=ab) a,bA

11、， aba=ac) a,b,cA， abc=ac48. 設(shè)是個(gè)半群，且左右消去律都成立，證明 S 是交換半群的充要條件是對(duì)任何a,bS，有 (a*b)2=a2*b249. 設(shè)是半群，如果 S 是有限集合，則必存在 aS,使得 aa=a。50. 設(shè) A 是有理數(shù)集合，在笛卡爾積 AA 上，定義二元運(yùn)算如下：任取,AA = 其中：是乘法。+是加法。求證是獨(dú)異點(diǎn)。51.設(shè)是交換獨(dú)異點(diǎn)，A 是 M 中所有冪等元構(gòu)成的集合，證明是的子獨(dú)異點(diǎn)。52.令 I：是整數(shù)集合；N：自然數(shù)集合，R：實(shí)數(shù)集合。是加法運(yùn)算，是乘法運(yùn)算。給定代數(shù)系統(tǒng), ,。請(qǐng)問哪些代數(shù)系統(tǒng)不是群？只要說明一條理由即可。又問哪些代數(shù)系統(tǒng)是

12、群？并說明理由。53. X=R0,1, X 上定義六個(gè)函數(shù)，如下所示：xX,f1(x)=x f2(x)=x-1 f3(x)=1-x f4(x)=(1-x) -1 f5(x)=(x-1)x-1 f6(x)=x(x-1) -1令 F=f1,f2, f3, f4, f5, f6， 是 F 上的復(fù)合運(yùn)算，試證明是群。54. 令 R 是實(shí)數(shù)，F(xiàn)=f| f(x)=ax+b，a,b,xR,ao ， 是 F 上的函數(shù)左復(fù)合運(yùn)算，試證明是群。55. 設(shè)是半群，e 是左幺元，且對(duì)每個(gè) xA， xA，使得 xx=e, a) 證明, a,b,cA，若 ab=ac， 則 b=c。b) 證明是群。56. .設(shè)是群,且|A

13、|=2n, n 是正整數(shù)，證明 A 中至少存在一個(gè)元素 a，使得a*a=e。57. 填空：令是群,其中 G=a,b,c，設(shè) a 是幺元，則 b2=( )，b*c=( )，b 和 c的階分別是( )和( ) 。58. A 是非空的有限集合，且|A|n 。 令Ff| f 是 AA 的雙射函數(shù)1求 |F| 等于多少？2令 * 是函數(shù)的左復(fù)合運(yùn)算。問是群?jiǎn)?？如果是，給予證明。如果不是，要說明理由。59. 設(shè)是 4 階群，其中 Ga,b,c,d，已知 a 是幺元，b 與 c 互為逆元。首先計(jì)算 c*d (要有計(jì)算過程)，再分別求元素 b 與 d 的階。60. 設(shè)是 4 階群，其中 Ga,b,c,d，已知

14、 a 是幺元，且所有元素的逆元都是它自身。求滿足方程式 b*x=c*d 中的 x 。61. 判斷下列各命題的真值，并說明理由。1是個(gè) n 階群，則對(duì)于任何 a,bG,有 (a*b)-n=(b*a)n。2設(shè) f 是群到群的滿同態(tài)映射，則對(duì)任何 a,bG，有 f(b*a-1)=(f(a*b-1)-1。 62. 設(shè)是個(gè)群 ,證明 G 中除幺元外,無其它冪等元。63. 設(shè)是個(gè)群，則對(duì)任何 a,bG, 證明存在唯一元素 xG, 使得 ax=b 。64. 是個(gè)群，對(duì)任何 a,bG，證明 (ab)-1=b-1a-1 。65. 是個(gè)有限群，證明 G 中每個(gè)元素在運(yùn)算表中的每一行必出現(xiàn)且僅出現(xiàn)一次。66. 填空

15、：是個(gè) n 階群，則運(yùn)算表有（ ）特征。67. 什么叫做群的階？68. 什么叫做群中運(yùn)算的階？69 指出整數(shù)集合加法群中，各個(gè)元素的階是什么？為什么？70. 是群, aG, 如果 a 的階為 n ,證明 ak=e， 當(dāng)且僅當(dāng) k=mn (mI)(即 k是 n 的整數(shù)倍)71. 證明群中的元素與其逆元具有相同的階。72.設(shè)是有限群，任何 aG，證明 a 的階都是有限的。73. 設(shè)是群，而 aG, f:GG 是映射, 對(duì)xG, f(x)=axa-1 求證 f 是 G 到 G 的自同構(gòu)。74. 設(shè)是個(gè)群,而 aG,如果 f 是從 G 到 G 的映射,使得對(duì)任何 xG, 都有f(x)=a-1*x*a試

16、證明 f 是從 G 到 G 的自同構(gòu).75. 設(shè)與都是群，在 A 與 B 的笛卡爾積 AB 上，定義二元運(yùn)算如下：任取,AB =求證也是群。76. 設(shè)與都是群，在 A 與 B 的笛卡爾積 AB 上，定義二元運(yùn)算如下：任取,AB =已知也是群。定義映射 f: ABA ,對(duì)任意AB,f()=a求證 f 是到 的同態(tài)映射，并求出 f 的同態(tài)核。77. 令 G2m3n|m,nQ,Q 是有理數(shù)， “”是 G 中乘法運(yùn)算。1證明是個(gè)群。2給定映射 f:G G，f 定義為 f:2m3n2m，證明 f 是 G 到 G 的同態(tài)映射；并求出 f 的同態(tài)核。78. 給出兩個(gè)群和的運(yùn)算表如下：證明它們同構(gòu)。p1 p2

17、 p3 p4p1 p1 p2 p3 p4p2 p2 p1 p4 p3p3 p3 p4 p1 p2p4 p4 p3 p2 p1q1 q2 q3 q4q1 q3 q4 q1 q2q2 q4 q3 q2 q1q3 q1 q2 q3 q4q4 q2 q1 q4 q3 79. 判斷下面命題的真值。并簡(jiǎn)單說明原因。1R 為實(shí)數(shù)集合，為乘法運(yùn)算，則是個(gè)交換群。2設(shè)是 n 階群，則對(duì)任何 a,bG，有 a-n=bn。3設(shè)是群，且對(duì) G 中任何元素的逆元都是它自身，則它是交換群。80. 是交換群，當(dāng)且僅當(dāng) 對(duì)任何 a,bG 有 (ab)(ab)=(aa)(bb) ( 即(ab)2=a2b2 )81.令 G=km

18、|kZ，m 是某個(gè)確定的自然數(shù)，Z 是整數(shù)集合，是加法運(yùn)算。證明 是交換群。82. 設(shè) I 是整數(shù)集合，在 I 上定義二元運(yùn)算 如下：對(duì)于任何 a,bI ab=ab2 求證是個(gè)交換群.83. 已知是交換群，aG，在 G 上又定義一個(gè)二元運(yùn)算“”如下：對(duì)于任何 x,yG，xy=x*a-1*y (其中 a-1是 a 對(duì)于*運(yùn)算的逆元)求證也是交換群。84. 令 G 是所有非 0 實(shí)數(shù)構(gòu)成的集合，在 G 上定義二元運(yùn)算 如下：任何 a,bG, ab2ab。求證是個(gè)交換群。85. 設(shè) I 是整數(shù)集合，在 I 上定義二元運(yùn)算*如下：對(duì)于任何 a,bI ab=ab4 求證是個(gè)交換群。86 設(shè)是群，xG,有

19、 xx=e,證明是交換群 。 87. 證明任何階數(shù)為 1,2,3,4 的群都是交換群，并舉一個(gè) 6 階群，它不是交換群。88. 給定集合x|x 是有理數(shù)且 x1，在上定義二元運(yùn)算*如下：對(duì)任何 a，b，a*b=a + b + ab。求證是交換群。89. 設(shè)是群，a,bG,有 a3b3=(ab) 3, a4b4=(ab) 4, a5b5=(ab) 5,證明是交換群 。90. 什么叫做循環(huán)群？什么叫做循環(huán)群的生成元？什么叫做循環(huán)群的循環(huán)周期？91.證明循環(huán)群都是交換群。92.給定群 其中 N4 =0,1,2,3，+4是以 4 為模的加法運(yùn)算。是循環(huán)群?jiǎn)幔繛槭裁?？如果是循環(huán)群請(qǐng)指出它的循環(huán)周期。93

20、. 給定群，它，它是循環(huán)群?jiǎn)幔繛槭裁?？如果是循環(huán)群請(qǐng)指出它的循環(huán)周期。94.填空：設(shè)是個(gè)以 g 為生成元的有限循環(huán)群，|G|=n，則 G=( )。95. 令 I 是整數(shù)集合，在 I 上定義二元運(yùn)算 如下：對(duì)于 I 中任何 a 元素，ab=ab2求證是個(gè)循環(huán)群96. 設(shè) I 是整數(shù)集合，在 I 上定義二元運(yùn)算 如下：對(duì)于任何 a,bI ab=a1b 求證是個(gè)循環(huán)群.97. 設(shè) G=1,2,3,4,5,6, 7是 7 為模的乘法運(yùn)算，即x,yG，x7y=(xy)(mod 7)， 例如 47520(mod 7)=6是循環(huán)群?jiǎn)?？如?指出生成元。98. 循環(huán)群的任何子群都是循環(huán)群。99. 填空題：設(shè)是

21、以 g 為生成元的 n 階循環(huán)群，則元素 g 的階為（ ） 。100 判斷題下面命題的真值：循環(huán)群的生成元也是其任何子群的生成元。101. 什么叫做子群？102 名詞解釋：平凡子群與真子群103.設(shè)是群, B 是 G 的有限子集,如果在 B 上滿足封閉性，則是的子群。104.填空：設(shè)是群的子群，aG，定義集合：aH=( )則稱 aH 為 a 確定的 H 在 G 中的左(右)陪集。105 設(shè) H3=0,2,4，是以 6 為模的加法運(yùn)算。驗(yàn)證是的子群。并分別求左陪集 1H3和 2H3。106.設(shè) N6=0,1,2,3,4,5，6是 N6上以 6 為模的加法運(yùn)算。即任何 x,y N6，x6 y=(x

22、+y)(mod 6)， 例如 46 59(mod 6)=31畫出的運(yùn)算表。2是否為群？為什么？3如果是群，它有幾個(gè)子群？分別列出子群的運(yùn)算表。107. 設(shè)是群. aG, 令 H=y| ya=ay, yG 求證， 是的子群。108. 設(shè)是個(gè)群， R 是 G 中等價(jià)關(guān)系，定義為：對(duì)于任何 a,b,cG，如果有R， 則R. 又定義集合 H 為Hx| xG, 且R, e 是 G 中幺元求證是的子群。109. 設(shè)是的子群, 定義集合 A 如下:A=x| xG, xHx-1=H 求證是的子群 . 110 p 是個(gè)質(zhì)數(shù), 證明 pm階群中必包含著一個(gè) p 階子群.111.證明 25 階群必含有 5 階子群。

23、112. p 是個(gè)素?cái)?shù)，是個(gè) p 階循環(huán)群，則 G 中有多少個(gè)生成元？為什么？113 是群的子群，任取 a,bG,則 aH=bH 的充分且必要條件是( )114. 設(shè)是個(gè)群，且|G|=11，任取 a,bG,且 a,b 不是幺元，設(shè) a,b 的階分別是 m 和 n, 令 A=a1,a2,am,B=b1,b2,bn。試問 A、B 以及 G 三者有什么關(guān)系？為什么？115 是群，定義 G 上關(guān)系 R 如下；R= | zG,使得 y=zxz-1 116 設(shè)是個(gè)群,和是其子群, 在 G 上定義關(guān)系 R 為:任意 a,bG, aRb 存在 hH, kK 使得 b=h*a*k證明 R 是 G 上等價(jià)關(guān)系.1

24、17. 設(shè) 是群的子群, R 是 G 上關(guān)系, 定義如下:aRb 當(dāng)且僅當(dāng) a-1*bH, a,bG1求證 R 是 G 上等價(jià)關(guān)系.2e 是 G 中幺元,由 e 確定的相對(duì) R 的等價(jià)類e，求證e=H。118. 設(shè) f 和 g 都是群到的同態(tài)，證明是的一個(gè)子群，其中C=x| xG1 且 f(x)=g(x)119. 設(shè) f 是從群到的同態(tài)映射, 則 f 為入射，當(dāng)且僅當(dāng) Ker (f)=e1, 其中 e1 是 G1中的幺元。120. .G 是個(gè) 6 階群，證明 G 中一定有且只有一個(gè) 3 階子群。121 設(shè)是群, S 是 G 的非空子集，如果任何 a,bS 有 ab-1S, 則是的子群。122

25、已知和 是群 的子群，求證 是、和的子群。123 設(shè)是個(gè)群，和是其子群，且已知|H|6，|K|35，試求HK。并對(duì)你的回答說明原因。124. 設(shè)是群的子群，且 HG，|G|=15，則是交換群。此說法正確否？為什么？125. 填空： 設(shè)是個(gè)群，且已知|G|n，如果元素 aG，a 的階為 m，則 m與 n 的關(guān)系是（ ）126. 填空：設(shè) f 是從群到的同態(tài)映射, x1 ,x2X，且 y1f(x1) ，y2f(x2)，則 f(x1-1 x2) -1) =( )。127. 設(shè) f 是從群到的同態(tài)映射，K 為 f 的同態(tài)核，即 ker(f)=K。求證，對(duì)任何 X 中元素 x,y，如果 x 與 y 在

26、K 的同一個(gè)陪集中，則有 f(x)=f(y)。128. 填空：代數(shù)系統(tǒng)是個(gè)環(huán)，當(dāng)且僅當(dāng) 是個(gè)（ ） ，是個(gè)（ ） ，并且還滿足條件（ ） 。129. 填空：代數(shù)系統(tǒng)是個(gè)交換環(huán)，當(dāng)且僅當(dāng) 是個(gè)（ ） ，是個(gè)（ ） ，并且還滿足條件（ ） 。130. 填空：代數(shù)系統(tǒng)是個(gè)含幺環(huán)，當(dāng)且僅當(dāng) 是個(gè)（ ） ，是個(gè)（ ） ，并且還滿足條件（ ） 。131 填空：代數(shù)系統(tǒng)是個(gè)整環(huán)，當(dāng)且僅當(dāng) 是個(gè)（ ） ，是個(gè)（ ） ，并且還滿足條件（ ）和（ ） 。132 填空：代數(shù)系統(tǒng)是個(gè)域，當(dāng)且僅當(dāng) （ ）是個(gè)交換群， （ ）是個(gè)交換群，并且還滿足條件（ ） 。133 填空：代數(shù)系統(tǒng)是個(gè)域，當(dāng)且僅當(dāng) 是（ ） ，是（ ）

27、 ，并且還滿足條件（ ） 。134.令 N 是自然數(shù)集合，I 是整數(shù)集合，R 是實(shí)數(shù)集合，+和分別是加法和乘法, , 中哪些不是環(huán)嗎？為什么？如果是環(huán)，那些不是整環(huán)？為什么？哪些不是域？為什么？135. 判斷, , 是否為環(huán)？為什么？136. 試證是有幺元的交換環(huán)，其中 和 的定義為：對(duì)任何 a,bI, ab=a+b-1 a b=a+b-ab137. .設(shè)是一個(gè)環(huán), 并且對(duì)于任何 aA ,有 aa=a , 證明a).對(duì)于任何 aA, 都有 a+a=,其中 是+的幺元.b). 是一個(gè)交換環(huán).138. 下面的說法是否正確？說明理由.設(shè)是個(gè)域，對(duì)任何 a,bF,如果 a*b=0,則必有 a=0 或

28、b=01.答案：( f：XnY )。2.答案：錯(cuò)誤。舉反例：12-1，-1 不是自然數(shù)。所以不封閉。3.答案：錯(cuò)誤。0 不能做除數(shù)。例如 10 沒有定義，所以“”不是 R 上的運(yùn)算。4.答案：代數(shù)系統(tǒng)定義：X 是非空集合，X 上有 m 個(gè)運(yùn)算 f1, f2, f3, fm, 則稱為一個(gè)代數(shù)系統(tǒng)。 5.答案：（它的運(yùn)算表是個(gè)與主對(duì)角線為對(duì)稱的表）6.答案：（運(yùn)算表的主對(duì)角線上各個(gè)元素均與表頭元素對(duì)應(yīng)相同）7.答案：從運(yùn)算表找左幺元 eL ： eL所在行的各元素均與上表頭元素相同。從運(yùn)算表找右幺元 eR ： eR所在列的各元素均與左表頭元素相同。eL= eR=e e 是幺元。8.答案：從運(yùn)算表找左

29、零元 L ：L所在行的各元素均與左表頭元素相同。從運(yùn)算表找右零元 R：R所在列的各元素均與上表頭元素相同。LR =. 是零元。9.答案：從運(yùn)算表找 x 的左逆元 xL-1 ：在 x 列向下找到 e 后，再向左到左表頭元素即是 xL-1 。從運(yùn)算表找 x 的右逆元 xR-1： 在 x 行向右找到 e 后，再向上到上表頭元素即是 xR-1 。10.答案：的運(yùn)算表如下：0 1 2 30 0 1 2 31 1 2 3 02 2 3 0 13 3 0 1 2+4由運(yùn)算表看出：此運(yùn)算滿足交換性。有幺元 0，沒有零元，0 的逆元是 0，1的逆元是 3，2 的逆元是 2，3 的逆元是 1。11.答案：錯(cuò)誤。盡

30、管 x0 x ,這說明 0 是右幺元。但它不是左幺元，如0 x-xx。12.答案：運(yùn)算 的幺元是（E ） 。零元是（） 。有逆元的元素是（E ） ，它們的逆元分別是（ E ） 。13.答案：運(yùn)算 的幺元是（ ） 。零元是（E） 。有逆元的元素是（） ，它們的逆元分別是（ ） 。14.答案：運(yùn)算 的幺元是（ ） 。零元是（無） 。有逆元的元素是（所有元素XP(E)） ，它們的逆元分別是（X 自身 ） 。15.答案：13（ 3 ）16.答案：（ 合取 與析取 或者 集合的交 與并 ）17.答案：（乘法，零元是 0；合取 ，零元是 F；析取 ，零元是 T； 集合的交 ，零元是 ；并 ，零元是全集 E

31、。 ） （寫出一個(gè)運(yùn)算即可）18.答案：證明：因?yàn)?eL是左幺元，又 eRX，所以 eLeR=eR因?yàn)?eR是右幺元，又 eL X，所以 eLeR= eL于是 eL= eR =e 。下面證明幺元的唯一性。假設(shè)有兩個(gè)幺元 e1、e2，因?yàn)?e1是幺元，又 e2X，所以 e1e2=e2因?yàn)?e2是幺元，又 e1X，所以 e1e2= e1則 e1= e2 =e 。所以幺元是唯一的。19.答案：證明：因?yàn)?L是左零元，又 RX，所以 LR=R因?yàn)?R是右零元，又 L X，所以 LR= L于是 L= R =。下面證明零元的唯一性。假設(shè)有兩個(gè)零元 1、2，因?yàn)?1是零元，又 2X，所以 12=2因?yàn)?2是

32、零元，又 1X，所以 12=1則 1= 2 =。所以零元是唯一的。20.答案：證明：設(shè) xL-1、 xR-1分別是 x 的左、右逆元，于是有 xL-1x = x xR-1 =exR-1 =e xR-1 =( xL-1x) xR-1 = xL-1(x xR-1)= xL-1e= xL-1 假設(shè) x 有兩個(gè)逆元 x1、x2， 所以 x1x= e = x x2x2= e x2 =( x1x) x2= x1( x x2)= x1 e = x1所以 x 的逆元是唯一的。21.答案：證明 .如 aX,且 a-1X，任取 x,yX，設(shè)有 ax=ay 則a-1(ax)= a-1(ay) (a-1a)x= (a

33、-1a)y 所以ex=ey x=y a 相對(duì)是可消去的。22.答案：maxmin|x-y|可結(jié)合性YNYYYN可交換性YNYYYY存在幺元YNYNNN存在零元NNYNNN23.答案：證明：1. (1)驗(yàn)證*可交換：任取 x,yR，x*y=xy-2x-2y+6yx-2y-2x+6=y*x(2) 驗(yàn)證*可結(jié)合：任取 x,y,zR，(x*y)*z=(xy-2x-2y+6)z-2(xy-2x-2y+6)-2z+6xyz-2xz-2yz+6z-2xy+4x+4y-12-2z+6= xyz-2xz-2yz+4z-2xy+4x+4y-6= xyz-2xz-2yz-2xy+4x+4y+4z -6x*(y*z)

34、=x(yz-2y-2z+6)-2x-2(yz-2y-2z+6)+6xyz-2xy-2xz+6x-2x-2yz+4y+4z-12+6=xyz-2xy-2xz+4x-2yz+4y+4z-6=xyz-2xy-2xz-2yz +4x+4y+4z-6可見 (x*y)*z= x*(y*z)。2. (1) 設(shè)幺元為 e，則對(duì)任何 xR，有e*x=ex-2e-2x+6=x，于是 e(x-2)=3x-6=3(x-2) 所以 e=3 3*x=3x232x6x 由于*可交換 x*ex，所以 3 是幺元。(2) 設(shè)零元為 ，則對(duì)任何 xR，有*x=x-2-2x+6=，于是 (x-3)=2x-6=2(x-3) 所以 =

35、2 。2*x=2x222x+6=2 由于*可交換 x*22，所以 2 是零元。3任取 xR， x2 (因?yàn)榱阍豢赡?，設(shè) x 的逆元為 x-1，于是有x*x-1=x x-1-2x-2x-1+6=3，(x-2) x-1=2x-3，于是 x-1(2x-3)/(x-2)由于*可交換 x* x-13，所以 x (x2)的逆元是(2x-3)/(x-2)。24.答案：證明：任取 aX，bX，ba=e, 即 b 是 a 的左逆元。cX, cb=e, 即 c 是 b 的左逆元。于是有ab=e(ab)=(cb)(ab)=c(ba)b=ceb=cb=e 所以 b 也是 a 的右逆元。25.答案：交換性冪等元冪等

36、性有幺元有零元有可逆元素a)YaNaNa-1=a , b-1=cb)Ya,cNaca-1=a , b-1=bc)Na,b,cYN, N, Nd)Ya,bNaNa-1=a26.答案：設(shè),是兩個(gè)代數(shù)系統(tǒng)，和 都是二元運(yùn)算，如果存在映射 f：XY,使得對(duì)任何 x1 ,x2X，有f(x1x2)=f(x1)f(x2) -此式叫同態(tài)(同構(gòu))關(guān)系式則稱 f 是從到的同態(tài)映射，簡(jiǎn)稱這兩個(gè)代數(shù)系統(tǒng)同態(tài)。記作 X Y。如果 f 是滿射的，稱此同態(tài) f 是滿同態(tài)映射。如果 f 是入射的，稱此同態(tài) f 是單一同態(tài)映射。如果 f 是雙射的，稱與同構(gòu)，記作 X Y。f 是到 的同構(gòu),稱之為自同構(gòu)。27.答案：設(shè),是兩個(gè)代

37、數(shù)系統(tǒng)，和 都是二元運(yùn)算，如果存在映射 f：XY 是從到的同態(tài)映射，即 X Y。設(shè) e是 Y 中幺元。則集合Ker(f)=x| xX,f(x)e稱此集合為 f 的同態(tài)核。28.答案：設(shè) R+是正實(shí)數(shù)，是 R+上的乘法運(yùn)算構(gòu)成代數(shù)系統(tǒng)； R 是實(shí)數(shù)集合，是 R 上的加法運(yùn)算，構(gòu)成代數(shù)系統(tǒng)。與同構(gòu)。構(gòu)造映射 f：R+R任何 xR+, f(x)=lgx (是雙射)任何 x,yR+, f(xy)=lg(xy)=lgx+lgy=f(x)+f(y)所以與同構(gòu)。29.答案：構(gòu)造映射 f：AB 如下, 顯然 f 是雙射。 S LA B0 1 2 3 f R A下面驗(yàn)證 f 是同構(gòu)映射。f(1*2)=f(3)=

38、L f(1)f(2)=RA=L f(1*2)=f(1)f(2)f(1*3)=f(0)=S f(1)f(3)=RL=S f(1*3)=f(1) f(3)f(2*3)=f(1)=R f(2)f(3)=AL=R f(2*3)=f(2)f(3)f(2*2)=f(0)=S f(2)f(2)=AA=S f(2*2)=f(2)f(2)其余類似可驗(yàn)證。 A B30.答案：1. 有自反性：任何代數(shù)系統(tǒng) , 有 XX。 證明： 因?yàn)橛须p射 IX：XX, 任取 x1 ,x2X，有IX(x1x2)= x1x2 =IX (x1)IX (x2) 所以 XX。所以有自反性。2. 有對(duì)稱性：任何代數(shù)系統(tǒng) , 如果有 X Y

39、，則必有 Y X。證明：因有 X Y，有雙射 f：XY, 任取 x1 ,x2X，有f(x1x2)= f(x1) *f(x2) 因 f 是雙射，有 f-1：YX, 任取 y1 ,y2Y因 f :XY 是滿射，x1 ,x2X, 使得 y1=f(x1), y2=f(x2) x1=f-1 (y1) , x2=f-1 (y2)f-1(y1* y2)=f-1 (f(x1) * f(x2)= f-1 (f(x1x2)= f-1f(x1 x2)= IX (x1x2)=x1x2 =f-1 (y1)f-1 (y2) Y X， 所以有對(duì)稱性。3. 有傳遞性：任何代數(shù)系統(tǒng) , 如果有 X Y 和 Y Z，則必有 X

40、Z 。證明：因有 X Y，有雙射 f：XY, 任取 x1 ,x2X，有f(x1 x2)= f(x1)* f(x2) 因有 Y Z ，有雙射 g：YZ, 任取 y1 ,y2Y，有g(shù)(y1* y2)= g(y1)g(y2)又已知雙射 gf：XZ, 任取 x1 ,x2X， 令 h=gf h(x1x2)=gf(x1x2)=g(f(x1x2)=g(f(x1) * f(x2) )=g(f(x1) g(f(x2)= gf(x1) gf(x2)=h(x1)h(x2) X Z。所以有傳遞性。最后得是個(gè)等價(jià)關(guān)系。31.答案：和同構(gòu)。. 因?yàn)?B=1,2,4,8,16,20, 21, 22, 23, 24,.。構(gòu)造

41、雙射 f：AB。任何 iA, f(i)= 2i，顯然 f 是雙射。驗(yàn)證 f 滿足同構(gòu)關(guān)系式。任取 i,jAf(i+j)=2i+j=2i*2j=f(i)*f(j)。 所以和同構(gòu)。32.答案：證明：構(gòu)造雙射 f：SP 如下： abc123f:S Pf(a*b)=f(b)=2 f(a)f(b)=32=2 f(a*b)=f(a)f(b)f(b*c)=f(c)=1 f(b)f(c)=21=1 f(b*c)=f(b)f(c)f(a*c)=f(c)=1 f(a)f(c)=31=1 f(a*c)=f(a)f(c)f(c*c)=f(c)=1 f(c)f(c)=11=1 f(c*c)=f(c)f(c)可以驗(yàn)證對(duì)任

42、何 x,yS, 有 f(x*y)=f(x)f(y)。 所以與同構(gòu)。33.答案：與同構(gòu)。證明：構(gòu)造映射 f：R+R任何 xR+, f(x)=lgx (是雙射)任何 x,yR+, f(xy)=lg(xy)=lgx+lgy=f(x)+f(y)所以與同構(gòu)。34.答案：證明：任取 y1 ,y2 , y3 Y， 因 f :XY 是滿射，x1 ,x2 , x3X, 使得 y1=f(x1) , y2 =f(x2) , y3 =f(x3) 。y1 (y2 y3) = f(x1) (f(x2) f(x3) = f(x1) f(x2 x3) =f(x1( x2 x3) =f(x1 x2) x3) (因可結(jié)合)= f

43、(x1 x2) f(x3) = (f(x1) f(x2) f(x3)= (y1 y2 ) y3 也可結(jié)合。35.答案：證明：任取 y1 ,y2Y， 因 f :XY 是滿射，x1 ,x2X, 使得 y1=f(x1) , y2 =f(x2) 。y1 y2 = f(x1) f(x2) =f(x1 x2) = f(x2 x1) (因可交換)= f(x2)f(x1) = y2 y1 也可交換。36.答案：證明：任取 yY 因 f :XY 是滿射，xX, 使得 y=f(x) y f(e)= f(x) f(e)=f(xe) =f(x)=yf(e) y=f(e) f(x)=f(ex) =f(x)=y所以 f(

44、e )是相對(duì) 的幺元。即 f(e)= e 。37.答案：證明：任取 yY 因 f :XY 是滿射，xX, 使得 y=f(x) y f() = f(x) f()=f(x) = f() f() y= f() f(x)=f(x) = f() 所以 f() 是相對(duì) 的零元。即 f() = 38.答案：證明：任取 yY 因 f :XY 是滿射，xX, 使得 y=f(x) 設(shè)運(yùn)算的幺元 e ，運(yùn)算 的幺元 e 。 f(e)= e 。 y f(x-1)= f(x) f(x-1)=f(xx-1) =f(e)= e f(x-1) y=f(x-1) f (x)=f(x-1x) =f(e)= e 所以 y-1= (

45、f(x) -1 =f(x-1)。39.答案：證明：設(shè) R 和 S 相對(duì)代數(shù)系統(tǒng)是同余關(guān)系，a).已經(jīng)證明過 RS 也是 A 上等價(jià)關(guān)系。b).下面證明 RS 相對(duì)滿足代換性質(zhì)：任取 x1,x2,y1,y2A,設(shè)有 x1RSx2 y1RSy2 ，( 推出( x1y1)RS( x2y2) )由題設(shè)得：(x1Rx2 x1Sx2) (y1Ry2 y1Sy2 ) (x1Rx2 y1Ry2 ) (x1Sx2 y1Sy2) ( x1y1)R( x2y2) ( x1y1)S( x2y2) (因 R 和 S 相對(duì)滿足代換性質(zhì)) ( x1y1)RS( x2y2) 所以 RS 相對(duì)滿足代換性質(zhì)。故 RS 是同余關(guān)系

46、.40.答案：解. a) .不是同余關(guān)系，因?yàn)椴粷M足代換性質(zhì)。例如RR,而,R。b).不是同余關(guān)系，因?yàn)?R 不傳遞，不是等價(jià)關(guān)系。RR, 而R.c). 不是同余關(guān)系，因?yàn)椴粷M足代換性質(zhì)。例如RR,而,R。d).不是同余關(guān)系，因?yàn)?R 不對(duì)稱，不是等價(jià)關(guān)系。 （R 是偏序。 ）41.答案：是半群，當(dāng)且僅當(dāng)（ 在 A 上滿足封閉性和可結(jié)合性。 ） 。42.答案：是獨(dú)異點(diǎn)，當(dāng)且僅當(dāng)（ 在 A 上滿足封閉性、可結(jié)合性和有幺元。 ） 。43.答案：是半群：I:是整數(shù)集合, N:自然數(shù)集合,R:實(shí)數(shù)集合, ,44.答案：是獨(dú)異點(diǎn)：I:是整數(shù)集合, N:自然數(shù)集合,R:實(shí)數(shù)集合, ,45.答案：是半群但不

47、是獨(dú)異點(diǎn)：如 N=1,2,3,4,.時(shí)， 。46.答案： 證明： 證明封閉，任取 a,bR,由于實(shí)數(shù) R 對(duì)+和 封閉，所以 a+b+abR，故 abR。 證明可結(jié)合，任取 a,b,cR,a(bc) =a+(bc)+a(bc) =a+(b+c+bc)+a(b+c+bc)=a+b+c+bc+(ab+ac+abc)=(a+b+ab)+c+(ac+bc+abc)=(a+b+ab)+c+(a+b+ab)c=(ab)+c+(ab)c =(ab)c 證明有幺元 0，任取 aR,a0=a+0+a0=a 0a=0+a+0a=a 所以對(duì)，0 是幺元。最后得 是獨(dú)異點(diǎn)。47.答案：證明：將已知條件 “若 ab 則

48、 abba,”等價(jià)變換成：“若 ab=ba, 則 a=b ”。 (根據(jù) QP PQ )a) aA, 由可結(jié)合得 (aa)a=a(aa) , 由已知條件得 aa=a 。b) a,bA, (aba)a=ab(aa)=aba=(aa)ba=a(aba) 由已知條件得 aba=a。c) a,b,cA, (abc)(ac)=(ab)(cac)=(ab)c=a(bc)=(aca)(bc)=(ac)(abc) 由已知條件得 abc=ac48.答案：證明：充分性：已知對(duì)任何 a,bS，有 (a*b)2=a2*b2 。(a*b)2=a2*b2，即(a*b)* (a*b)=(a*a)* (b*b)a* (b*a)

49、*b=a* (a*b)*b因?yàn)樽笥蚁ヂ啥汲闪?，所以左邊消?a，右邊消去 b 得(b*a)=(a*b)，所以 S 是交換群。必要性：可知 S 是交換群，任何 a,bS,(a*b)2 =(a*b)* (a*b)a* (b*a)*ba* (a*b)*b= (a*a)* (b*b)= a2* b2 。49.答案：證明：因是有限半群,在 S 上封閉,所以任何 bS,對(duì)任何 i1有 biS,因 i 可以取無窮多個(gè)值，所以必存在正整數(shù) i,j(ij) ,使得 bi = bj , 令 p=j-i ,顯然 p1，j=p+i,于是bi = bj = bp+i = bpbi 即 bi = bpbi bib =

50、bpbib bi+1 = bpbi+1bi+1b = bpbi+1 b bi+2 = bp bi+2 .于是對(duì)所有大于 i 的正整數(shù) q 有： bq = bpbq 因 p1，總可以找到 k1，使得 kpi，于是有 bkp = bp bkp= bp (bp bkp) = (bp bp ) bkp = b2p bkp= b2p (bp bkp) = b3p bkp = = bkp bkp令 bkp=a, 于是有 aa=a 50.答案：1.證明封閉性：任取,AA，=因?yàn)?a,b,c,dA，即它們都是有理數(shù)。所以 ac 和 ad+b 都是有理數(shù)。所以AA。即AA，故在 AA 中滿足封閉性。2. 證明可

51、結(jié)合性：任取,AA， () =() 故在 AA 中是可結(jié)合的。3 證明有幺元：因?yàn)閷?duì)有幺元 1，對(duì)有幺元 0， AA，任取AB， 所以是 AA 中運(yùn)算的幺元。所以 AA,是獨(dú)異點(diǎn)。51.答案：證明： 先證幺元 eA。 因?yàn)?ee=e 所以 e 是冪等元。因此 eA。 再證在 A 上封閉。任取 a,bA, 即 aa=a， bb=b(ab)(ab)=a(ba)b=a(ab)b (可交換)= (aa)(bb)= ab 所以 ab 也是冪等元 abA。(3) 可結(jié)合不必證明，自然繼承下來。所以也是獨(dú)異點(diǎn)，52.答案：不是群的有：，,。因?yàn)楹停撼?1 以外都不可逆。：0 不可逆。,：除幺元外，都不可逆。

52、是群的有：, 。因?yàn)楹停憾紳M足封閉性、結(jié)合性、0 是幺元，任何 x 的逆元都是-x。：都滿足封閉性、結(jié)合性、 是幺元，任何 X 的逆元都是 X 自身。53.答案：證明：列的運(yùn)算表：f1f2f3f4f5f6f1f1f2f3f4f5f6f2f2f1f4f3f6f5f3f3f5f1f6f2f4f4f4f6f2f5f1f3f5f5f3f6f1f4f2f6f6f4f5f2f3f1例如 f2f3(x)= f2( f3(x)=(1-x) -1 = f4(x)f5f6(x)= f5( f6(x)=(x(x-1) -1) -1)(x(x-1) -1) -1 =x-1= f2(x)由此表可以看出 滿足：封閉性，有

53、幺元 f1 ，每個(gè)函數(shù)都有逆元： f1-1 =f1 , f2-1 =f2, f3-1 =f3, f4-1 =f5, f5-1=f4, f6-1=f6另外已經(jīng)知道函數(shù)復(fù)合 是可結(jié)合的。所以是群。54.答案：證明1）證明封閉性 任取 F 中的兩個(gè)函數(shù) f、g，設(shè)xR f(x)=a1x+b1, g(x)=a2x+b2,a1o, a2ogf(x)=g(f(x)= a2(a1x+b1)+b2,= (a2a1x+ a2b1)+b2 = a2a1x+(a2b1+b2),因?yàn)?a1o, a2o，所以a2a10，且 (a2b1+b2)R, 所以 gfF 。運(yùn)算 滿足封閉性。2) 又知道函數(shù)復(fù)合運(yùn)算 是可結(jié)合的。

54、3）有幺元 IR：RR，xR , IR(x)= x, 對(duì)任何f F，有 fIRIRff，所以 IR是 的幺元。4）證明可逆性：對(duì)任何f F，f(x)=ax+b，a,b,xR,ao，有 f 的逆函數(shù) f-1，f-1 (x)=abax 1，使得 f-1f(x)=a1(ax+b)abx, 所以 f-1fIR。 f f-1 (x)= a (abax 1)+bx, 所以 f f-1IR。所以 f 的逆元是 f-1。綜上所述是群。55.答案：證明:a) a,b,cA，設(shè)有 ab=ac, 由已知條件得aA,使得 aa=e, a(ab)= a(ac), (aa)b=(aa)c , eb=ec, 所以 b=cb

55、) 先證明 e 也是右幺元: 任取 xA, (證出 xe=x)由已知得 xA,使得 xx=e, x(xe) =(xx)e=ee =e=xx由 a)的結(jié)論得: xe=x , 所以 e 也是右幺元。 所以 e 是幺元。再證 x是 x 的右逆元: (因?yàn)橛?xx=e, 得 x是 x 的左幺元)x(xx)=(xx)x=ex=x=xe，由 a)的結(jié)論得 xx=e ，所以 x也是x 的右逆元。所以 x是 x 的逆元。綜上所述得 是群.56.答案：證明: 因?yàn)?a*a=e，則意味著 a-1=a。 任取 xA, 分兩種情況討論 x 的逆元：a).若 x-1x, 這樣的元素成對(duì)出現(xiàn)，故這樣元素有偶數(shù)個(gè)。b).若

56、 x-1=x, 因|A|是偶數(shù)，所以這樣的元素也有偶數(shù)個(gè)。其中幺元 e-1=e, 所以至少還有一個(gè)元素 a，使得 a-1=a，即 a*a=e 。57.答案：的運(yùn)算表如下： * *a b ca b cc a bb c a從此表看出：b2=( c )，b*c=( a )，b3= b2*b=c*b=a c3= c2*c=b*c=a， 所以 b 和 c 的階分別是( 3 )和( 3 ) 。58.答案：1|A|n，A 上有雙射個(gè)數(shù)為 n！。即 |F|=n! 。2是群。證明如下：1）證明封閉性 任取 F 中的兩個(gè)雙射函數(shù) f：AA，g：AA，根據(jù)函數(shù)的復(fù)合性質(zhì)，得 f*g 也是從 A 到 A 的雙射。所以

57、 f*gF。所以*滿足封閉性。2) 又知道函數(shù)復(fù)合運(yùn)算*是可結(jié)合的。3）有幺元 IA：AA，對(duì)任何f F，有 f*IAIA*ff，所以 IA是*的幺元。4）證明可逆性：對(duì)任何f F，有 f 的逆函數(shù) f-1，使得 f*f-1=f*f-1IA。 所以是群。59.答案：證明方法 1. 根據(jù)有限群運(yùn)算表特征寫出如下運(yùn)算表如下，從表中可見 c*db；而 d*d=a，所以 d 的階是 2；b*b=d，所以 b*b*b*b=a，b 的階是 4。a b c* a b c da a b c db b d a cc c a d bd d c b a證明方法 2.: 如果 c*da 則說明 c 與 d 互逆，有矛

58、盾。如果 c*dc , 則說明 d 是幺元，有矛盾。如果 c*dd 則說明 c 是幺元， 有矛盾。而 c*dG, 所以 c*db 。60.答案：根據(jù)題意的運(yùn)算表如下：a b c da a b c db b a d cc c d a bd d c b a*b*xc*db 所以 xa 61.答案：1命題真值為真。因?yàn)?n 階群中，任何元素 aG ，有 ane。(a*b)G, - (b*a)G，所以(a*b)n=e=(b*a)n。即(a*b)n=(b*a)n。2命題真值為真。因?yàn)?，?duì)任何 a,bG，有(b*a-1)=(a*b-1)-1 又根據(jù)代數(shù)系統(tǒng)同態(tài)性質(zhì) f(x-1)=(f(x) -1。得：f(

59、b*a-1)= f(a *b-1) -1=(f(a*b-1)-1。62.答案：證明. 假設(shè)有 aG 是冪等元，即aa=a 又 a-1G, 于是有a-1(aa)= a-1a (a-1a)a=eea=e所以 a=e63.答案： 證明先證明方程式有解因是個(gè)群，對(duì)任何 a,bG,有 a-1G, a-1bG, 用 a-1b 代入方程式中的 x 得：ax= a(a-1b)= (aa-1)b= eb=b 所以 x=a-1b 是方程式的解。再證明方程式的解的唯一性設(shè)方程式有兩個(gè)解 x1, x2G, 于是有ax1=b ax2=b 所以 ax1= ax2，由可消去性得 x1=x2 64.答案：驗(yàn)證 b-1a-1是

60、 ab 的逆元，(ab)(b-1a-1)=a(bb-1)a-1=aea-1=aa-1=e(b-1a-1)(ab)=b-1(a-1a)b=b-1eb=b-1b=e所以 b-1a-1是 ab 的逆元，即(ab)-1=b-1a-1 。65.答案：證明. 令 G=a1,a2,a3,.,an，的運(yùn)算表如下圖：任取 ajG，證明 aj在任意 aiG 行必出現(xiàn)且僅出現(xiàn)一次。由群方程可解性得存在唯一元素 akG, 使得 aiak=aj 這說明 aj在 ai行出現(xiàn) (即aj在第 i 行第 k 列出現(xiàn))。假設(shè) aj在 ai行出現(xiàn)兩次，設(shè)在第 t 列也出現(xiàn)，則有aiak=aj 和 aiat=aj 所以 aiak=a