考研數學公式手冊

1、目 錄一、高等數學1(一) 函數、極限、連續(xù)1(二) 一元函數微分學5(三)一元函數積分學13(四) 向量代數和空間解析幾何20(五)多元函數微分學29(六)多元函數積分學35(七)無窮級數40(八)常微分方程48二、線性代數53(一) 行列式53(二)矩陣54(三) 向量57(四)線性方程組60(五)矩陣的特征值和特征向量62(六)二次型63三、概率論與數理統(tǒng)計66(一)隨機事件和概率66(二)隨機變量及其概率分布70(三)多維隨機變量及其分布72(四)隨機變量的數字特征75(五)大數定律和中心極限定理78(六)數理統(tǒng)計的基本概念79(七)參數估計81(八)假設檢驗84經常用到的初等數學公式

2、86平面幾何91第 1 頁 共 102 頁一、高等數學(一) 函數、極限、連續(xù)考試內容公式、定理、概念函數和隱函數函數：設有兩個變量和，變量的定義域為，如果對于中的每一個值，按照一定的法則，變量有一個確定的值與之對應，則稱變量為變量的函數，記作：基本初等函數的性質及其圖形，初等函數，函數關系的建立：基本初等函數包括五類函數:1冪函數:;2指數函數(且);3對數函數:( 且);4三角函數:如等;5反三角函數:如等.初等函數：由常數和基本初等函數經過有限次四則運算與有限此復合步驟所構成，并可用一個數學式子表示的函數，稱為初等函數.數列極限與函數極限的定義及其性質，函數的左極限與右極限123(保號定

3、理),無窮小和無窮大的概念及其關系，無窮小的性質及無窮小的比較是同階無窮小， 無窮小的性質（1） 有限個無窮小的代數和為無窮小（2） 有限個無窮小的乘積為無窮?。?） 無窮小乘以有界變量為無窮小Th 在同一變化趨勢下，無窮大的倒數為無窮?。环橇愕臒o窮小的倒數為無窮大極限的四則運算(1)；極限存在的兩個準則：單調有界準則和夾逼準則，兩個重要極限：1 2單調有界定理：單調有界的數列必有極限3兩個重要極限： 重要公式：4幾個常用極限特例 函數連續(xù)的概念：函數間斷點的類型：初等函數的連續(xù)性：閉區(qū)間上連續(xù)函數的性質連續(xù)函數在閉區(qū)間上的性質：(1) (連續(xù)函數的有界性)設函數在上連續(xù),則在上有界,即常數，

4、對任意的,恒有 .(2) (最值定理)設函數在上連續(xù),則在上至少取得最大值與最小值各一次,即使得:；.(3) (介值定理)若函數在上連續(xù),是介于與(或最大值與最小值)之間的任一實數,則在上至少一個,使得(4) (零點定理或根的存在性定理)設函數在上連續(xù),且,則在內至少一個,使得(二) 一元函數微分學考試內容對應公式、定理、概念導數和微分的概念左右導數導數的幾何意義和物理意義1：（1） 或 （2）2函數在處的左、右導數分別定義為：左導數： 右導數： 函數的可導性與連續(xù)性之間的關系，平面曲線的切線和法線Th1: 函數在處可微在處可導Th2: 若函數在點處可導，則在點處連續(xù)，反之則不成立.即函數連續(xù)

5、不一定可導.Th3: 存在導數和微分的四則運算，初等函數的導數，四則運算法則:設函數，在點可導則(1) (2) (3) 基本導數與微分表(1) （常數） (2) (為實數) (3) 特例 (4) 特例 (5) (6) (7) (8) (9) (10) (11) (12) (13) (14) (15) (16) 復合函數，反函數，隱函數以及參數方程所確定的函數的微分法，1反函數的運算法則: 設在點的某鄰域內單調連續(xù)，在點處可導且，則其反函數在點所對應的處可導，并且有2復合函數的運算法則:若在點可導,而在對應點()可導,則復合函數在點可導,且3隱函數導數的求法一般有三種方法：(1)方程兩邊對求導，

6、要記住是的函數，則的函數是的復合函數.例如，等均是的復合函數.對求導應按復合函數連鎖法則做.(2)公式法.由知 ,其中，分別表示對和的偏導數(3)利用微分形式不變性高階導數，一階微分形式的不變性，常用高階導數公式（1）（2）（3）（4）（5）（6）萊布尼茲公式：若均階可導，則 ，其中，微分中值定理，必達法則，泰勒公式Th1(費馬定理)若函數滿足條件：(1)函數在的某鄰域內有定義，并且在此鄰域內恒有或,(2) 在處可導,則有 Th2 (羅爾定理) 設函數滿足條件：(1)在閉區(qū)間上連續(xù)；(2)在內可導，則在內一個，使 Th3 (拉格朗日中值定理) 設函數滿足條件：(1)在上連續(xù)；(2)在內可導；則

7、在內一個，使 Th4 (柯西中值定理) 設函數，滿足條件：(1)在上連續(xù)；(2)在內可導且，均存在，且則在內一個，使 洛必達法則：法則 (型)設函數滿足條件： ; 在的鄰域內可導(在處可除外)且;存在(或).則法則 (型)設函數滿足條件：;一個,當 時,可導,且;存在(或).則法則(型) 設函數滿足條件：; 在 的鄰域內可導(在處可除外)且;存在(或).則同理法則(型)仿法則可寫出泰勒公式: 設函數在點處的某鄰域內具有階導數，則對該鄰域內異于的任意點，在與之間至少一個，使得 其中 稱為在點處的階泰勒余項.令，則階泰勒公式(1)其中 ，在0與之間.(1)式稱為麥克勞林公式常用五種函數在處的泰勒公

8、式 或 或 或 或 或 函數單調性的判別，函數的極值，函數的圖形的凹凸性，拐點及漸近線，用函數圖形描繪函數最大值和最小值，1函數單調性的判斷：Th1設函數在區(qū)間內可導，如果對，都有（或），則函數在內是單調增加的（或單調減少）Th2 （取極值的必要條件）設函數在處可導，且在處取極值，則.Th3 （取極值的第一充分條件）設函數在的某一鄰域內可微，且（或在處連續(xù)，但不存在.）(1)若當經過時，由“+”變“-”，則為極大值；(2)若當經過時，由“-”變“+”，則為極小值；(3)若經過的兩側不變號，則不是極值.Th4 (取極值的第二充分條件)設在點處有，且，則 當時，為極大值；當時，為極小值.注：如果，

9、此方法失效.2漸近線的求法：(1)水平漸近線 若，或，則稱為函數的水平漸近線.(2)鉛直漸近線 若，或，則稱為的鉛直漸近線.(3)斜漸近線 若，則稱為的斜漸近線3函數凹凸性的判斷：Th1 (凹凸性的判別定理）若在I上（或），則在I上是凸的（或凹的）.Th2 (拐點的判別定理1)若在處，（或不存在），當變動經過時，變號，則為拐點.Th3 (拐點的判別定理2)設在點的某鄰域內有三階導數，且，則為拐點弧微分，曲率的概念，曲率半徑1.弧微分：2.曲率：曲線在點處的曲率對于參數方程3.曲率半徑：曲線在點處的曲率與曲線在點處的曲率半徑有如下關系：(三)一元函數積分學考試內容對應公式、定理、概念原函數和不定

10、積分的概念，不定積分的基本性質基本性質1 （為常數）23求導： 或微分：4或 （是任意常數）基本積分公式 （） 重要公式 定積分的概念和基本性質，定積分中值定理1 定積分的基本性質積分上限的函數及其導數，牛頓萊布尼茲公式Th1Th2Th3的原函數，則不定積分和定積分的換元積分法與分部積分法1不定積分：分部積分法：選擇u，dv的原則：積分容易者選作dv，求導簡單者選為u換元積分法：2 定積分換元法:，則分部積分公式 3 定積分不等式證明中常用的不等式 (3)柯西不等式：有理函數，三角函數的有理式和簡單無理函數的積分，廣義積分和定積分的應用1 三角函數代換函數含根式所作代換三角形示意圖有理函數積分

11、（）4 廣義積分（1） 無窮限的廣義積分（無窮積分）（2） 無界函數的廣義積分（瑕積分）(四) 向量代數和空間解析幾何考試內容對應公式、定理、概念向量的概念，向量的線性運算，1.向量：既有大小又有方向的量，又稱矢量.2.向量的模：向量的大小.記為.3.向量的坐標表示：若向量用坐標表示，則4向量的運算法則：加減運算 設有矢量，則.數乘運算 數乘運算矢量與一數量之積， 設，則向量的數量積和向量積，向量的混合積，1矢量的數積（點積，內積）：矢量與的數量積設，則2矢量的向量積（叉積，外積）：設有兩個向量與，若一個矢量，滿足如下條件（1）；（2），即垂直于，所確定的平面；（3），成右手系.則稱矢量為矢量

12、與的矢量積，記.設，則3混合積：設有三個矢量，若先作，的叉積，再與作點積，則這樣的數積稱為矢量，的混合積，記為，即設，則兩向量垂直、平行的條件，兩向量的夾角，向量的坐標表達式及其運算，單位向量，方向數與方向余弦，1向量之間的位置關系及結論設，（1）；（2）；其中之中有一個為“0”，如，應理解為；（3），不共線不全為零的數使；（4）矢量與的夾角，可由下式求出；（5），共面不全為零的數，使或者2單位向量：模為1的向量. 向量的單位向量記作，3向量的方向余弦：其中為向量與各坐標軸正向的夾角.4單位向量的方向余弦：顯然，且有曲面方程和空間曲線方程的概念，平面方程，直線方程，平面與平面、平面與直線、直線

13、與直線的以及平行、垂直的條件，點到平面和點到直線的距離1平面方程(1)一般式方程 ，法矢量，若方程中某個坐標不出現，則平面就平行于該坐標軸，例如 平面軸(2)平面的點法式方程 為平面上已知點，為法矢量(3)三點式方程 ,為平面上的三個點(4)截距式方程 ，分別為平面上坐標軸上的截距，即平面通過三點 2直線方程一般式方程(兩平面交線)：平面與平面的法矢量分別為， ， 直線的方向矢量為(2)標準式方程 為直線上已知點，為直線的方向矢量(3)兩點式方程 其中，為直線上的兩點(4)參數式方程 為直線上已知點，為直線的方向矢量3平面間的關系設有兩個平面：平面：平面：(1)平面平面(2)平面平面(3)平面

14、與平面的夾角，由下式確定 4平面與直線間關系直線平面：(1)(2)(3)與的夾角，由下式確定 5直線間關系設有兩直線：直線 直線(1)(2)(3)直線與的夾角，由下式確定 6點到平面的距離：到平面的距離為 7點到直線的距離：到直線距離為球面，母線平行于坐標軸的柱面，旋轉軸為坐標軸的旋轉曲面的方程，常用的二次曲面方程及其圖形，空間曲線的參數方程和一般方程，空間曲線在坐標面上的投影曲線方程.準線為各種形式的柱面方程的求法(1) 準線為,母線軸的柱面方程為 ,準線為,母線軸的柱面方程為 ,準線為,母線軸的柱面方程為 .(2) 準線為,母線的方向矢量為的柱面方程的求法首先,在準線上任取一點,則過點的母

15、線方程為 其中為母線上任一點的流動坐標,消去方程組 中的便得所求的柱面方程常見的柱面方程名稱方程圖形圓柱面橢圓柱面雙曲柱面拋物柱面標準二次方程及其圖形名稱方程圖形橢球面(均為正數)單葉雙曲面(均為正數)雙葉雙曲面(均為正數)橢圓的拋物面(為正數)雙曲拋物面(又名馬鞍面)(均為正數)二次錐面 (為正數)(五)多元函數微分學考試內容對應公式、定理、概念多元函數的概念，二元函數的幾何意義，二元函數的極限和連續(xù)的概念，二元函數連續(xù)，可導（兩偏導存在）與可微三者的關系如下：可導可微函數連續(xù)“”表示可推出用全微分定義驗證一個可導函數的可微性，只需驗證：有界閉區(qū)域上多元連續(xù)函數的性質，多元函數偏導數和全微分

16、，全微分存在的必要條件和充分條件，基本原理多元復合函數、隱函數的求導法，二階偏導數，方向導數和梯度，1復合函數微分法注：復合函數一定要設中間變量，抽象函數的高階偏導數，其中間變量用數字1，2，3表示更簡潔.2隱函數微分法來求解方向導數和梯度Th1設在處可微，則在點沿任意方向 存在方向導數且在平面上除了用方向角表示外也可用極角表示：，此時相應的方向導數的計算公式為 Th2設三元函數在處可微，則在點沿任意方向存在方向導數且有 梯度：在點的方向導數計算公式可改寫成這里向量成為在點的梯度(向量)即沿梯度方向時，方向導數取最大值空間曲線的切線和法平面，曲面的切平面和法線，1 曲線的切線及法平面方程法線方

17、程：2 空間曲面在其上某點處的切平面和法線方程二元函數的二階泰勒公式，多元函數的極值和條件極值，多元函數的最大值、最小值及其簡單應用1多元函數的極值定義：若對于該鄰域內異于 (極大值) 2無條件極值解題程序：；3條件極值（拉格朗日乘數法） 解題程序:(六)多元函數積分學考試內容對應公式、定理、概念二重積分與三重積分的概念、性質、計算和應用1二重積分：幾何意義：2三重積分：物理意義：3性質(只敘述二重積分的性質，三重積分類似)(1)(2)(3)的構成子域且任兩個子域沒有重迭部分(5)（比較定理）(8)二重積分的對稱性原理這個性質的幾何意義見圖(a)、(b)注：注意到二重積分積分域D的對稱性及被積

18、函數的奇偶性，一方面可減少計算量，另一方面可避免出差錯，要特別注意的是僅當積分域D的對稱性與被積函數的奇偶性兩者兼得時才能用性質8.兩類曲線積分的概念、性質及計算，兩類曲線積分的關系，格林公式，平面曲線積分與路徑無關的條件，1平面曲線積分與路徑無關的四個等價條件設函數在單連通區(qū)域D上具有一階連續(xù)偏導數，則與路徑無關為一簡單分段光滑封閉曲線存在函數使且2格林公式：設平面上的有界閉區(qū)域由分段光滑的曲線圍成，函數在有連續(xù)的一階偏導數，則有或者二元函數全微分的原函數，兩類曲面積分的概念、性質及計算，兩類曲面積分的關系，高斯公式，斯托克斯公式，1高斯(Gauss)公式設是空間中的有界閉區(qū)域，由分塊光滑的

19、曲面所圍成，函數在由連續(xù)的一階偏導數，則這里是的整個邊界的外側(即取外法向)，是上點處的外法向量的方向余弦.2斯托克斯公式設為分段光滑的又向閉曲線，是以為邊界的分塊光滑有向曲面，的正向與的側(即法向量的指向)符合右手法則，函數在包含的一個空間區(qū)域內有連續(xù)的一階偏導數，則有或散度和旋度的概念及計算，曲線積分和曲面積分的應用1散度的計算公式設均可導，則在點處的散度為2旋度的計算公式設有矢量場，其中均有連續(xù)的一階偏導數，則旋度為：(七)無窮級數考試內容對應公式、定理、概念常數項級數的收斂與發(fā)散的概念，收斂級數的和的概念級數的基本性質與收斂的必要條件1級數的性質：注：添加或去消有限項不影響一個級數的斂

20、散性.設級數收斂，則對其各項任意加括號后所得新級數仍收斂于原級數的和幾何級數與p級數以及他們的收斂性，正項級數收斂性的判別法，正項級數（）的判斂法 (2)兩個常用的比較級數 (3)比值判別法（達朗貝爾準則）（適用于通項中含有n！或關于n的若干連乘積形式） 交錯級數與萊布尼茲定理，任意項級數的絕對收斂與條件收斂，1 交錯級數 的判斂法萊布尼茲準則：則交錯級數收斂，其和其n項余和的絕對值函數項級數的收斂域與和函數的概念，冪級數及其收斂半徑，收斂區(qū)間(指開區(qū)間)和收斂域，冪級數的和函數，1冪級數：2 函數項級數收斂域的求法步驟： 冪級數在其收斂區(qū)間內的基本性質，簡單冪級數的和函數的求法，初等冪級數展

21、開式1冪級數的四則運算性質： (1)且在（-R，R）內絕對收斂(2)(3) 利用多項式的長除法可得：2冪級數的分析性質：(1)(2)(3)3函數的冪級數展開泰勒級數 4常見的冪級數展開式：(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7) (隨的不同而不同，但在(-1，1)總有意義)函數的傅立葉系數與傅立葉級數，狄利克雷定理，函數在上的傅立葉級數23函數在上的正弦級數與余弦級數.1為上的非周期函數，令：則（余弦級數），其中：（n=0，1，2，）2為上的非周期函數，令：則除x=0外在區(qū)間上為奇函數則（正弦級數），其中：（n=1，2，）(八)常微分方程考試內容對應公式、定理、概念常微分方程的基本概念，變量

22、可分離的微分方程1常微分方程 含有自變量、未知函數及未知函數的某些導數的方程式稱微分方程，而當未知函數是一元函數時稱為常微分方程.2可分離變量方程解法：兩邊同除，得 奇次微分方程，一階線性微分方程，伯努利方程，全微分方程，1齊次方程解法：令，則，于是，原方程2可化為齊次型的方程 解法：(1)當時 屬于(2)(2)即則令，則屬于（1）(3)不全為0 解方程組求交點令則原方程屬于（2）3一階線性方程解法：用常數變易法求(1)求對應齊次方程的通解(2)令原方程的解為(3)代入原方程整理得(4)原方程通解 4貝努里方程，其中解法：令，則方程，屬于35全微分方程為全微分方程.通解為可用簡單的變量代換求解

23、的某些微分方程，可降階的高階微分方程，線性微分方程解的性質及解的結構定理注：這里只限于討論二階線性方程，其結論可推廣到更高階的方程，二階線性方程的一般形式為 (8.1)其中均為連續(xù)函數，當右端項時，稱為二階線性齊次方程，否則稱為非齊次方程.解的性質與結構(以下性質可推廣到任意高階的線性方程)分以下幾種：1若為齊次方程 (8.2)的兩個特解，則其線性組合仍為(8.2)的解，特別地，若線性無關，則(8.2)的通解為2設為非線性方程(8.1)的兩個特解，則其差為相應齊次方程(8.2)的特解3設為非齊次方程(8.1)的一個特解，為齊次方程(8.2)的任意特解，則其和為(8.1)的解，特別地，若為(8.

24、2)兩個線性無關的特解，則(8.1)的通解為 ，其中為任意常數.二階常系數奇次線性微分方程，高于二階的某些常系數奇次線性微分方程1二階常系數線性齊次方程 (1) 其中均為常數解法：特征方程：（I）當為相異的特征根時，方程(1)通解為（II）當時，通解為（III）當（復根）時，通解為2 階常系數齊次線性方程此種方程的一般形式為 ()，其中為常數，相應的特征方程為特征根與通解的關系同二階方程的情形相類似，具體結果為：(1)若是個相異實根，則方程()的通解為(2)若為特征方程的重實根，則()的通解中含有：(3)若為特征方程的重共軛復根，則()的通解中含有：由于我們不能求出一般的三次以上代數方程的根，

25、也就是說對于三次以上的特征方程一般不能得到齊特征根，自然也就不能求出三階以上常系數齊次線性微分方程的通解，能夠求出的只是某些特殊情形簡單的二階常系數非奇次線性微分方程，歐拉方程，微分方程簡單應用1二階常系數線性非齊次方程 (2)其中均為常數解法：通解的求法程序(1)求對應齊次方程的通解(2)求出(2)的特解 (3)方程(2)的通解方程(2)特解的求法有三種：微分算子法、常數變易法、待定系數法.2形如的方程成為歐拉方程.二、線性代數(一) 行列式考試內容對應公式、定理、概念行列式的概念和基本性質、行列式按行（列）展開定理行列式按行（列）展開定理(1)或即 其中 (2)設為階方陣，則 但不一定成立

26、(4)但(6)范德蒙行列式設A是n階方陣，是A的n個特征值，則(二)矩陣考試內容對應公式、定理、概念矩陣的概念，矩陣的線性運算，矩陣的乘法，矩陣：稱為矩陣，簡記為則稱是階矩陣或階方陣.矩陣的線性運算1矩陣的加法 設是兩個矩陣，則矩陣稱為矩陣 與的和，記為2矩陣的數乘 設是矩陣，是一個常數，則矩陣稱為數與矩陣的數乘，記為.3矩陣的乘法 設是矩陣，是矩陣，那么矩陣，其中稱為的乘積，記為方陣的冪，方陣乘積的行列式，矩陣的轉置，逆矩陣的概念和性質，矩陣可逆的充要條件，伴隨矩陣，1三者之間的關系但不一定成立， 但不一定成立2有關A*的結論3)若可逆，則4)若為階方陣，則3有關的結論矩陣的初等變換，初等矩

27、陣，矩陣的秩，矩陣等價，分塊矩陣及其運算1有關矩陣秩的結論1）秩r（A）=行秩=列秩；2）3）；4）5）初等變換不改變矩陣的秩6）特別若 則7）若存在 若存在 若 若8）只有零解2分塊求逆公式； 這里A，B均為可逆方陣(三) 向量考試內容對應公式、定理、概念向量的概念，向量的線性組合和線性表示，向量的線性相關與線性無關1有關向量組的線性表示(1)線性相關至少有一個向量可以用其余向量線性表示.(2)線性無關，線性相關可以由惟一線性表示.(3)可以由線性表示）2有關向量組的線性相關性(1)部分相關，整體相關；整體無關，部分無關.(2) n個n維向量n個n維向量線性相關 n+1個n維向量線性相關.

28、若線性無關，則添加分量后仍線性無關；或一組向量線性相關，去掉某些分量后仍線性相關向量組的極大線性無關組，等價向量組，向量組的秩1有關向量組的線性表示(1)線性相關至少有一個向量可以用其余向量線性表示.(2)線性無關，線性相關可以由惟一線性表示.(3)可以由線性表示向量組的秩與矩陣的秩之間的關系，向量空間及相關概念1設，則的秩與的行列向量組的線性相關性關系為：(1)若，則的行向量組線性無關.(2)若，則的行向量組線性相關.(3)若，則的列向量組線性無關.(4)若，則的列向量組線性相關n維向量空間的基變換和坐標變換，過渡矩陣1基變換公式及過渡矩陣若與是向量空間的兩組基，則基變換公式為其中是可逆矩陣

29、，稱為由基到基的過渡矩陣2坐標變換公式若向量在基與基的坐標分別是，即，則向量坐標變換公式為其中是從基到基的過渡矩陣向量的內積，線性無關向量組的正交規(guī)范化方法內積：Schmidt正交化若線性無關，則可構造使其兩兩正交，且僅是的線性組合，再把單位化，記，則是規(guī)范正交向量組.其中， 規(guī)范正交基，正交矩陣及其性質1正交基及規(guī)范正交基向量空間一組基中的向量如果兩兩正交，就稱為正交基；若正交基中每個向量都是單位向量，就稱其為規(guī)范正交基(四)線性方程組考試內容對應公式、定理、概念線性方程組的克萊姆法則，奇次線性方程組有非零解的充分必要條件1克萊姆法則線性方程組，如果系數行列式，則方程組有唯一解，其中是把中第

30、列元素換成方程組右端的常數列所得的行列式.2 n階矩陣可逆只有零解.總有唯一解，一般地， 只有零解.非奇次線性方程組有解的充分必要條件，線性方程組解的性質和解的結構1設A為矩陣，若，則對而言必有從而有解.2設為的解，則當時仍為的解；但當時，則為的解.特別為的解；為的解.3非齊次線性方程組無解不能由的列向量線性表示.奇次線性方程組的基礎解系和通解，解空間，非奇次線性方程組的通解.1齊次方程組恒有解(必有零解).當有非零解時，由于解向量的任意線性組合仍是該齊次方程組的解向量，因此的全體解向量構成一個向量空間，稱為該方程組的解空間，解空間的維數是，解空間的一組基稱為齊次方程組的基礎解系.2 是的基礎

31、解系，即(1) 是的解；(2) 線性無關；(3) 的任一解都可以由線性表出.是的通解，其中是任意常數.(五)矩陣的特征值和特征向量考試內容對應公式、定理、概念矩陣的特征值和特征向量的概念及性質，1設是的一個特征值，則有一個特征值分別為且對應特征向量相同（例外）.2若為的n個特征值，則從而沒有特征值.3設為的s個特征值，對應特征向量為，若則相似變換、相似矩陣的概念及性質，1若，則(1)(2)(3)對成立矩陣可相似對角化的充分必要條件及相似對角矩陣，1設為n階方陣，則可對角化對每個重根特征值，有2設可對角化，則由有，從而3重要結論(1)若，則.(2)若，則，其中為關于階方陣的多項式.(3)若為可對

32、角化矩陣，則其非零特征值的個數(重根重復計算)秩()實對稱矩陣的特征值、特征向量及相似對角陣1相似矩陣：設為兩個階方陣，如果存在一個可逆矩陣，使得成立，則稱矩陣相似，記為.2相似矩陣的性質如果則有(1)(2)(3)(4)(5)(6)(六)二次型考試內容對應公式、定理、概念二次型及其矩陣表示，合同變換與合同矩陣，二次型的秩1個變量的二次齊次函數，其中，稱為元二次型，簡稱二次型. 若令這二次型可改寫成矩陣向量形式.其中稱為二次型矩陣，因為，所以二次型矩陣均為對稱矩陣，且二次型與對稱矩陣一一對應，并把矩陣的秩稱為二次型的秩.慣性定理，二次型的標準形和規(guī)范形1慣性定理對于任一二次型，不論選取怎樣的合同

33、變換使它化為僅含平方項的標準型，其正負慣性指數與所選變換無關，這就是所謂的慣性定理.2標準形 二次型經過合同變換化為稱為的標準形.在一般的數域內，二次型的標準形不是唯一的，與所作的合同變換有關，但系數不為零的平方項的個數由唯一確定.3規(guī)范形 任一實二次型都可經過合同變換化為規(guī)范形，其中的秩，為正慣性指數，為負慣性指數，且規(guī)范型唯一.用正交變換和配方法化二次型為標準形，二次型及其矩陣的正定性1設正定正定；A可逆；，且2 ，B正定A+B正定，但AB，BA不一定正定3 A正定 A的各階順序主子式全大于零 A的所有特征值大于零 A的正慣性指數為n 可逆陣P使 存在正交矩陣Q，使其中正定正定；可逆；，且

34、三、概率論與數理統(tǒng)計(一)隨機事件和概率考試內容對應概念、定理、公式隨機事件與樣本空間，事件的關系與運算，完全事件組1事件的關系與運算(1)子事件：，若A發(fā)生，則B發(fā)生.(2)相等事件：A=B，即，且.(3)和事件：（或A+B），A與B中至少有一個發(fā)生.(4)差事件：A-B，A發(fā)生但B不發(fā)生.(5)積事件：（或AB），A與B同時發(fā)生.(6)互斥事件（互不相容）：=.(7)互逆事件（對立事件）：2運算律：(1)交換律：(2)結合律：；(3)分配律：3德摩根律：4完全事件組: 兩兩互斥，且和事件為必然事件，即概率的概念，概率的基本性質，古典概率，幾何型概率1概率：事件發(fā)生的可能性大小的度量，其嚴格

35、定義如下：概率為定義在事件集合上的滿足下面3個條件的函數：(1)對任何事件A，(2)對必然事件，(3)對2概率的基本性質(1)(2)(3)特別，當時，且；(4)若兩兩互斥，則3古典型概率: 實驗的所有結果只有有限個，且每個結果發(fā)生的可能性相同，其概率計算公式：4幾何型概率: 樣本空間為歐氏空間中的一個區(qū)域，且每個樣本點的出現具有等可能性，其概率計算公式：概率的基本公式，事件的獨立性，獨立重復試驗1概率的基本公式:(1)條件概率: (2)全概率公式：(3) Bayes公式：注：上述公式中事件的個數可為可列個.(4)乘法公式：2事件的獨立性(1)A與B相互獨立(2)A，B，C兩兩獨立 (3)A，B

36、，C相互獨立 3獨立重復試驗: 將某試驗獨立重復n次，若每次實驗中事件A發(fā)生的概率為p，則n次試驗中A發(fā)生k次的概率為：4重要公式與結論 (5)條件概率滿足概率的所有性質，例如：. (6)若相互獨立，則 (7)互斥、互逆與獨立性之間的關系：A與B互逆A與B互斥，但反之不成立，A與B互斥（或互逆）且均非零概率事件A與B不獨立.(8)若相互獨立，則與也相互獨立，其中分別表示對相應事件做任意事件運算后所得的事件，另外，概率為1（或0）的事件與任何事件相互獨立.(二)隨機變量及其概率分布考試內容對應公式、概念、定理隨機變量，隨機變量的分部函數的概念及其性質1隨機變量及概率分布: 取值帶有隨機性的變量，

37、嚴格地說是定義在樣本空間上，取值于實數的函數稱為隨機變量，概率分布通常指分布函數或分布律2分布函數的概念與性質定義：性質：(1) (2)單調不減(3)右連續(xù) (4)離散型隨機變量的概率分布，連續(xù)型隨機變量的概率密度性質1離散型隨機變量的概率分布2連續(xù)型隨機變量的概率密度概率密度非負可積，且(1)(2)(3)常見隨機變量的概率分布，隨機變量函數的概率分布1常見分布(1) 0-1分布：(2) 二項分布： (3) Poisson分布： (4) 均勻分布U（a，b）：(5) 正態(tài)分布 (6)指數分布(7)幾何分布(8)超幾何分布2隨機變量函數的概率分布(1)離散型：則(2)連續(xù)型：則， 3重要公式與結

38、論(5)離散型隨機變量的分布函數為階梯間斷函數；連續(xù)型隨機變量的分布函數為連續(xù)函數，但不一定為處處可導函數.(6)存在既非離散也非連續(xù)型隨機變量.(三)多維隨機變量及其分布考試內容對應公式、概念、定理多維隨機變量及其分布，二維離散型隨機變量的概率分布、邊緣分布和條件分布1二維隨機變量及其聯合分布由兩個隨機變量構成的隨機向量（X，Y），聯合分布為2二維離散型隨機變量的聯合概率分布、邊緣分布、條件分布(1)聯合概率分布律 (2) 邊緣分布律 (3) 條件分布律 二維連續(xù)性隨機變量的概率密度、邊緣概率密度和條件密度1聯合概率密度(1) (2)2分布函數：3邊緣概率密度： 4條件概率密度： 隨機變量的

39、獨立性和不相關性，常用二維隨機變量的分布1常見二維隨機變量的聯合分布(1)二維均勻分布： ,(2)二維正態(tài)分布：2隨機變量的獨立性和相關性X和Y的相互獨立，X和Y的相關性：相關系數時，稱X和Y不相關，否則稱X和Y相關兩個及兩個以上隨機變量簡單函數的分布1兩個隨機變量簡單函數的概率分布(1)離散型：(2)連續(xù)型：，2重要公式與結論(1) 邊緣密度公式： (2)(3)若（X，Y）服從二維正態(tài)分布則有X與Y相互獨立，即X與Y不相關.X關于Y=y的條件分布為： Y關于X=x的條件分布為： (4)若X與Y獨立，且分別服從則(5)若X與Y相互獨立，為連續(xù)函數，則也相互獨立.(四)隨機變量的數字特征考試內容

40、對應概念、定義、定理、公式隨機變量的數學期望（均值）、方差和標準差及其性質1數學期望離散型：；連續(xù)型：性質：(1)(2)(3)若X和Y獨立，則(4)2方差：3標準差：，4離散型：5連續(xù)型：性質：(1)(2)X與Y相互獨立，則(3)(4)一般有(5)(6)隨機變量函數的數學期望，矩、協(xié)方差，相關系數的數字特征1隨機變量函數的數學期望(1)對于函數為離散型：；為連續(xù)型：(2) ;2協(xié)方差 3相關系數 ,k階原點矩 ;k階中心矩 性質：(1)(2)(3)(4)(5) 4重要公式與結論（1）（2）（3）且 （4）下面5個條件互為充要條件：注：X與Y獨立為上述5個條件中任何一個成立的充分條件，但非必要條

41、件.(五)大數定律和中心極限定理考試內容對應概念、定理、重要公式切比雪夫（Chebyshev）不等式，切比雪夫大數定律1切比雪夫不等式：或2切比雪夫大數定律：設相互獨立，且則對于任意正數，有伯努利大數定律，辛欽（Khinchine）大數定律1伯努利大數定律設相互獨立，同0-1分布，則對任意正數，有2辛欽大數定律設相互獨立同分布，則對于任意正數，有隸莫弗拉普拉斯（De Movire-Laplace）定理，列維林德伯格（Levy-Undbe）定理1棣莫弗-拉普斯定理設（即相互獨立且同服從0-1分布）則有2列維-林德伯格定理設相互獨立分布，則(六)數理統(tǒng)計的基本概念考試內容對應公式、概念、定理總體，個體，簡單隨機樣本，統(tǒng)計量，樣本均值，樣本方差和樣本矩總體：研究對象的全體，它是一個隨機變量，用X表示個體：組成總體的每個基本元素簡單隨機樣本：來自總體X的n個相互獨立且與總體同分布的隨機變量稱為容量為n的簡單隨機樣本，簡稱樣本統(tǒng)計量：設是來自總體X的一個樣本，）是樣本的連續(xù)函數，且中不含任何未知參數，則稱為統(tǒng)計量樣本均值：樣本方差：樣本矩：樣本k階原點矩：樣本