大變形問(wèn)題的基本方程

1、非線性有限元 第五章 大變形問(wèn)題的基本方程和Lagrangion表示法（列式法）第五章 大變形問(wèn)題的基本方程和Lagrangion表示法（列式法）§5-1物體的運(yùn)動(dòng)分析和應(yīng)變度量嚴(yán)格來(lái)說(shuō)任何一個(gè)變形過(guò)程都是非線性的，因?yàn)槠胶鉅顟B(tài)和變形有關(guān)。但在小變形情況下，以物體變形的平衡方程可始終建立在初始構(gòu)形上，而與實(shí)際情況相差不大，足夠滿足工程要求。而研究大變形物體的變形過(guò)程，必須在變形之后的物體構(gòu)形上建立平衡方程。研究方法：把連續(xù)的的變形過(guò)程分為若干個(gè)增量步，在每個(gè)增量步內(nèi)建立它的增量運(yùn)動(dòng)方程即變形體內(nèi)質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律。要選取某一坐標(biāo)系：初始（initial）坐標(biāo)系; 相鄰（adjacent,

2、 neighboring）坐標(biāo)系; 瞬時(shí)（current）坐標(biāo)系.1 物體運(yùn)動(dòng)方程：物體構(gòu)形（configuration）內(nèi)一點(diǎn)P的增量運(yùn)動(dòng)方程。選擇兩個(gè)固定坐標(biāo)系,以t時(shí)刻物體構(gòu)形作為參考構(gòu)形的坐標(biāo)系ai, 以時(shí)刻物體構(gòu)形作為參考構(gòu)形的坐標(biāo)系xi研究（）具有普遍意義時(shí)刻 ； 時(shí)刻 t增量步內(nèi)，P的變形 （1）研究時(shí)間步內(nèi)物體內(nèi)一點(diǎn)P的變形。最簡(jiǎn)便的辦法是將兩個(gè)坐標(biāo)系重合在一起。2 應(yīng)變度量研究P點(diǎn)附近線素變形 在 時(shí)間步內(nèi) 線素變形 （1）將在坐標(biāo)系中，在P點(diǎn)處作一階泰勒展開并考慮到得代入(1) 式得 (2)同理將在xi坐標(biāo)系中，在P點(diǎn)處作一階泰勒展開,并考慮到得代入(1) 式 (2)-附：

3、若位移是坐標(biāo)的單值連續(xù)函數(shù)，則可在空間中p點(diǎn)處展成泰勒級(jí)數(shù). i.e 代入（1）式 寫成張量形式： (2)同理若將位移在坐標(biāo)系中p點(diǎn)處展成泰勒級(jí)數(shù)并取一階項(xiàng)：代入（1）得 (2)-上兩式中 其中 和 可分別記為和，可稱為相對(duì)位移張量（不對(duì)稱張量），而且可將分解成對(duì)稱部分和反對(duì)稱部分。i.e. (3)其中 (4)同理 (3) (4)將（3）（4）和 (3) (4)代入（2）(2)得變形前線素 (5) 變形后線素 (5)為了定義應(yīng)變要討論時(shí)間步內(nèi)線素的長(zhǎng)度變化t時(shí)刻變形前線素長(zhǎng)度 ： 長(zhǎng)度ds0 (6)t+時(shí)刻變形前長(zhǎng)度 ： 長(zhǎng)度ds (6)定義應(yīng)變?yōu)? 和 (7)和(7) -附錄：P1231.

4、說(shuō)明：平衡方程和變形有關(guān)，否則無(wú)法求解或求解錯(cuò)誤。由兩桿三鉸結(jié)構(gòu)，且三鉸位于同一條直線上。從小變形的觀點(diǎn)，平衡方程始終相對(duì)于初始坐標(biāo)建立。所以，外力P無(wú)法抵擋，成為結(jié)構(gòu)力學(xué)中瞬變機(jī)構(gòu)。而實(shí)際上，平衡狀態(tài)是客觀存在的，如圖平衡狀態(tài)和變形有關(guān)。當(dāng)鉸2有了一定的微小法向位移之后，桿中的軸力，有一部分可以抵抗外力P，而平衡與變形有關(guān)。平衡方程應(yīng)相對(duì)于變形后的構(gòu)型為參考的坐標(biāo)系來(lái)建立。2. 說(shuō)明：用線性理論求解會(huì)得到錯(cuò)誤的結(jié)果。物體作平面轉(zhuǎn)動(dòng)的剛體運(yùn)動(dòng)。角速度為，時(shí)間內(nèi)轉(zhuǎn)動(dòng)量為。按小變形理論，向線素，經(jīng)轉(zhuǎn)動(dòng)后成為，則當(dāng)較大的時(shí)候，這顯然是不真實(shí)的錯(cuò)誤解。只有當(dāng)時(shí)，。因此，線性應(yīng)變理論不適用于大變形狀態(tài)。

5、3、關(guān)于相對(duì)位移張量和不對(duì)稱性在坐標(biāo)系下，表示位移，則，其中稱相對(duì)位移張量，即相對(duì)位移張量是非對(duì)稱張量，因?yàn)?。例如?duì)于平面內(nèi)變形：   其中是工程應(yīng)變，是應(yīng)變張量分量。這樣可以將相對(duì)位移張量分解成對(duì)稱部分和反對(duì)稱部分 (3)其中為對(duì)稱部分稱為應(yīng)變張量；為非對(duì)稱部分稱為剛體轉(zhuǎn)動(dòng)分量表示同理 (3)-為了求，將（2）代入（5） (8)上面的展開推導(dǎo)過(guò)程中，采用了張量運(yùn)算法則：1) 當(dāng)時(shí)，2)3)同理，將 (2) 代入 (5) (8)將 (8) 和 (8) 代入 (5) 和 (5)，得 (9) (9)統(tǒng)一表示為： (10)(10) 式恰好反映了增量步內(nèi)，線素（P點(diǎn)）的應(yīng)變量，是以

6、時(shí)刻的物體構(gòu)形為參考構(gòu)形建立的坐標(biāo)系來(lái)描述的，而是以+時(shí)的坐標(biāo)描述的。前者稱為Green應(yīng)變，取相對(duì)坐標(biāo)系。后者稱為Almansi應(yīng)變，取即時(shí)坐標(biāo)系。討論：如果將初始構(gòu)形和變形后的構(gòu)形看作是同一構(gòu)形，即變形比較小，且位移的一階導(dǎo)數(shù)項(xiàng)（）也比較小，則可認(rèn)為平方項(xiàng)（）趨近于零，那么 (9) 式和 (9) 式就完全相同。和退化為通常的線性應(yīng)變。§5-2 物體內(nèi)一點(diǎn)的應(yīng)力度量引言：就應(yīng)力的概念而言，是定義在變形物體所處平衡狀態(tài)的一點(diǎn)位置上的。也就是定義在某一時(shí)刻的物體位形上。由于上面應(yīng)變是定義在不同構(gòu)形所相應(yīng)的參考坐標(biāo)系下，所以應(yīng)力在不同坐標(biāo)系下也有多種應(yīng)力表示。設(shè)力向量表示作用在物體處于某

7、一平衡位形下，微面積ds上的合力，在直角坐標(biāo)系下的各分量為（i=1，2，3）,微面積ds的外法線方向上單位向量，各分量li 為外法線的三個(gè)方向余弦。該點(diǎn)應(yīng)力向量定義為: 。1、Euler應(yīng)力（True stress）該應(yīng)力時(shí)定義在變形后的物體微面積ds上，用表示則由Cauchy公式得： (13)該應(yīng)力和Almansi應(yīng)力相對(duì)應(yīng) 分量形式： 2、Lagrangion應(yīng)力（nominal stress）(1th Pida-kirchhoff)把變形后微面積ds上的應(yīng)力，定義在變形前的微面積dso即用初始坐標(biāo)系來(lái)表示。將ds上的力dPi,轉(zhuǎn)向初始位形相應(yīng)的微面積dso上，而在轉(zhuǎn)換過(guò)程中保持力的大小和

8、方向不變。力平移 (14)并在初始微面積上定義 (15)即將物體變形后微面積ds的應(yīng)力用初始位移下相應(yīng)微面積dso上的力來(lái)表示。稱為L(zhǎng)agrange應(yīng)力。3 Kirchhoff應(yīng)力（back transformed stress） (2nd pida-Kirchhoff stress)將變形后物體微面積ds上的合力dPi,按照張量變換，轉(zhuǎn)換到初始位形的相應(yīng)微面積dso上，而不是平移。則 () (16)其中 在初始構(gòu)形的微面積上，定義應(yīng)力sij稱為Kirchhoff應(yīng)力 (17)附：關(guān)于方向余弦lij張量定義 ； 是不對(duì)稱張量。性質(zhì) 例在二維平面中在 坐標(biāo)下 ， P點(diǎn)（，）在 坐標(biāo)下 ， P點(diǎn)（

9、，）Ie. 同理 4、 Euler應(yīng)力、Lagrangion應(yīng)力和Kirchhoff應(yīng)力之間的關(guān)系將（15），（16）式代入（17）式得： (18)即 利用變形過(guò)程中微元的質(zhì)量不變條件 (19)其中和分別為初始和變形后的密度將（19）式代入（13）（14）式由（13）式右端=（14）式右端得 (20)由(19) (21)(21)式代入(20)得： (22)(22)式代入(18)式 (23)以上(18) (22) (23)式給出了三種應(yīng)力之間的關(guān)系。上述關(guān)系中 為Euler應(yīng)力是對(duì)稱的。Tij為L(zhǎng)agrangion應(yīng)力是不對(duì)稱的，因?yàn)榱κ峭ㄟ^(guò)向量平移過(guò)來(lái)的。Sij為Kirchhoff應(yīng)力是對(duì)稱的

10、，因?yàn)榱κ峭ㄟ^(guò)向量轉(zhuǎn)換過(guò)來(lái)的。§5.3大變形過(guò)程中彈性本構(gòu)方程這里僅討論單純的幾何非線性問(wèn)題，而材料本構(gòu)方程仍為彈性的。需要注意的是在不同的坐標(biāo)系下，采用相應(yīng)的應(yīng)變和應(yīng)力來(lái)表示。即在當(dāng)前構(gòu)形的坐標(biāo)系下，采用Euler和Almansi應(yīng)變?cè)谙鄬?duì)（參考）構(gòu)形 采用Lagrangion應(yīng)力和Green應(yīng)或采用Kirchhoff應(yīng)力和Green應(yīng)變?cè)O(shè)變形體在無(wú)熱交換的保守系統(tǒng)中，物體處于平衡狀態(tài)下，由本構(gòu)關(guān)系 彈性陣有34個(gè)(81)個(gè)）系數(shù) (24)將上面關(guān)系式（12）（22）和（23）它們分別給出了和之間的關(guān)系。代入(24)式可得： (25)和 (26)其中： 非對(duì)稱彈性陣 對(duì)稱彈性陣&#

11、167; 5.4 Lagrangion 坐標(biāo)系下的有限元列式推導(dǎo)采用拉格朗日法是以某一已知位形位參考位形建立的坐標(biāo)系，它采用的是個(gè)Green應(yīng)變和2nd pida-Kirchhoff 應(yīng)力來(lái)描述幾何物理和平衡方程。在采用增量發(fā)求解的過(guò)程中，把每個(gè)載荷步看成是變形過(guò)程中的各個(gè)時(shí)間增量步，即每個(gè)增量步上都對(duì)應(yīng)物體的一個(gè)構(gòu)形。在L氏表示中，若一初始構(gòu)形做位參考構(gòu)形的稱為全局的拉格朗日表示法（Total-Lagrangion）,若以前一個(gè)相鄰的構(gòu)形作為參考構(gòu)形的則稱為修正的Lagrangion表示法(Update-Lagrangion)1、T.L表示 （討論 t t+t增量步）設(shè)變形體在t時(shí)刻的狀態(tài)是

12、已知的，即相對(duì)于初始坐標(biāo)下的各力學(xué)量（位移、應(yīng)變和應(yīng)力是已知的），現(xiàn)在要求在某一增量載荷作用下的增量位移、應(yīng)變、應(yīng)力等。1） 增量形式的幾何關(guān)系及其變分形式a) 增量幾何關(guān)系設(shè)t和t+t時(shí)刻的Green應(yīng)變 (28)設(shè)t時(shí)間步內(nèi)的增量位移和增量應(yīng)變?yōu)閁i和則： (29)t+t時(shí)刻的應(yīng)變量可用t時(shí)刻的位移和位移增量表示 (30) (31)記為 (32)式中 (33)(33)式中第一、二式是未知增量位移的線性項(xiàng)，而第三部分是非線性項(xiàng)。在有限元計(jì)算中通常寫成矩陣形式：即 (32)且 ， (33)在三維空間中： (34) (35) (36) (36) , (37) , (37)設(shè)： 其中(38) 為3×3的單位陣若單元位移插值函數(shù) 則 u = Nq = Hu = HNq = Gq (39)令： G = HN (40)以上公式代入(32)(33)可得： (41) (42) (43)這里： (41) (42) (43)回代(32)可得： (44) 令 (45)此時(shí) (46)b. 增量幾何關(guān)系的變分形式(46)式反應(yīng)了在t增量步內(nèi)應(yīng)變?cè)隽亢臀灰圃隽块g的幾何關(guān)系。因?yàn)樵谝院笱芯繘](méi)已增量步內(nèi)的平衡關(guān)系時(shí)，需要利用能量變分原理；故下面推倒其變分幾何關(guān)系。即 (47) (48) 令 得 于是 設(shè) (49)最后得t增量步內(nèi)增量幾何關(guān)系的變分形式： (50)2) 增量平衡方程