專題08圓錐曲線中的定問題-2020高考數(shù)學尖子生輔導專題

1、專題八 圓錐曲線中的“定”問題近些年，關于圓錐曲線的命題，不管是高考真題還是高考模擬題，都不約而同地大量涌現(xiàn)出一類“定”問題，即定值、定點以及定直線問題，考生遇見這樣的問題都因不得要領，從而內(nèi)心感到懼怕，但因為這類題在解答之前并不知道其定值、定點之結(jié)果，更增添了它的難度，有著很好的區(qū)分度，于是這一類題就成為了命題者們青睞的考題，相信在今年或往后的高考中會成為一種趨勢.模塊1 整理方法 提升能力圓錐曲線中的“定”問題常有以下3類題型：題型1 :定值問題一一解析幾何中的定值問題是指某些幾何量（線段的長度、圖形的面積、角的度數(shù)、直線的斜率等）的大小或某些代數(shù)表達式的值等和題目中的參數(shù)無關，不依參數(shù)的

2、變化而變化，而始終是一個確定的值.定值問題的解法：選好參數(shù)，求出題目所需的代數(shù)表達式，然后對表達式進行直接推理、計算,并在推理計算的過程中消去變量，從而得到定值.這種方法可簡記為：一選（選好參變量）、二求（對運算能力要求頗高）、三定值（確定定值）.題型2:定點問題一一解析幾何中直線過定點或曲線過定點問題是指不論直線和曲線（中的參數(shù)）如何變化，直線和曲線都經(jīng)過某一個定點.定點問題的兩種解法：一是從特殊入手，求出定點，再進行一般性的證明.二是把直線或曲線方程中的變量 x、y當作常數(shù)看待，把相關的參數(shù)整理在一起，同時方程一端化為零.既然是過定 點，那么這個方程就要對任意參數(shù)都成立，這時參數(shù)的系數(shù)就要

3、全部等于零，這樣就得到一個關于x、y的方程組，這個方程組的解所確定的點就是直線或曲線所過的定點.題型3：定直線問題一一對于求證某個點不管如何變化，始終在某條直線上的題目，其本質(zhì)就是求動點的軌跡方程.橢圓有兩頂點 A 1,0、B 1,0 ,過其焦點F 0,1的斜率為k的直線l與橢圓交于C、D兩點，并與x軸交于點P, 直線AC與直線BD交于點Q .3 2（1）當CD 時，求直線l的方程；2uu uuiu（2）當點P異于A、B兩點時，求證： OP OQ為定值.2【解析】（1）由已知可得橢圓方程為 y x2 1 ,設l的方程為y2y1 kx ,則由y2-2kx 1x2 1消去y可彳導2 k22_x 2

4、kx 1乂2，丫2 ,則CD|1 k2 x1x2|1k2222k 4 2 k22 2 1 k22 k22 k22,所以k ",所以直線方程為y【證明】（2）設l的方程為y1 kx ( k1),則點P的坐標為 1,0 .k直線BD的方程為x 1 ,直線AC的方程為x1 1y2x21 ,聯(lián)立兩條直線方程，可得點Q的橫坐標為x1y2 x2 yl y1y2x x22kx1x2 kxy23y1V2 k xx2x1 x2 ，由（1）可知2x22k2 k25x1 x212 k2,代入上式，可得uunOP2k 2k ,7 7 k X x22 k2 2 k22i?"2x1 x222 k2uu

5、uOQ xpxqyp yQ 1 ,4kk4k2kxix22x1x2【點評】 從直線的斜率和點這兩個角度，共引入了5個參數(shù)：k、為、必、x2、y2,用這5個參數(shù)將點P和點Q的坐標表示出來（因為點P的縱坐標為0,所以可以不求點 Q的縱坐標），然 uuu uuui后進行消參，最后求出OP OQ的定值.盡管題目是要求點 P異于A、B兩點，但是我們可以大膽假設點P和點B重合，此時點 Q就urn uuu是點P,從而我們可以猜出 OP OQ的定值為1.猜出定值，能使定值問題有清晰明確的方向，也能在做不出題目的時候?qū)崿F(xiàn)搶分最大化.等邊三角形 OAB的邊長為8單,且其三個頂點均在拋物線E： x2 2py （ p

6、 0）上.（1）求拋物線E的方程；（2）設動直線l與拋物線E相切于點P,與直線y 1相交于點Q .證明：以PQ為直徑的 圓恒過某定點.【解析】（1）依題意， OB 8百, BOy 30 ,不妨設B x, y , x 0,則x OB sin30 4逐,y OB cos30 12 ,因為點 B 403,12 在 x22py上，所以4擲2 24p,解得p22 ,所以拋物線的方程為 x2 4y .1【證明】（2）法1：由（1）知y -x4-1，所以y x.設點2P x0,y0且l的方程為yy。12x°x4x2.令 y設 M m,n 2x0是圓上一點，則uuuu PMuuuuQM 0,即 mx

7、0x；42x023x2 4m2x。2x0ny0y0因為y02 x01,所以43x2 42x0x240,該式子要對任意的滿足2x0/一（x。40）的 x0恒成立，所以,由此解得 m 0,所以以PQ為直徑的圓恒過定點 n 1法2:由對稱性可知該定點必在y軸上，設為M 0,n1 2由（1）知y x ,所以y41f八，八-x .設點P x。，y。，Q x1，1 ,則x。0 ,且l的萬程為21rr 112 人y y。x。x x。，即y -xqx4%.令y1 ,可得x1口.由2xouulu uuuuPM QM 0 ,可3 x2 4于21 n y。ny。2 n n210,整理可得2 n2 n ny0 y02

8、0 ,該式子要對任意的滿足y。芯（x。420 ,因為y。 工，所以40）的y。恒成立，所以2,由此解得n 1,所以以PQ為直徑的圓恒過定點0,1n n 2 0法3:由對稱性可知該定點必在y軸上.1 2由（1）知y X ,所以y41-x .設點P Xo,y0 , Q %, 1 ,則Xo 0 ,且l的萬程為1rr112人yy°X0XX0，即yx°x%.令y224X242x0取X0Q 0, 1 ,以PQ為直徑的圓為 x x 2y 1 y 10 ,與y軸交于點M1 0,1和1M2 0, 1 ；取 x01,此時 P 1, , Q43,3, 1 ，以PQ為直徑的圓為20,與y軸交于點M

9、3 0,1和M4 0, 74由此可知，該定點為 M 0,10,1就是所求的點.uuur因為 MPX0,y0 1uum ,MQX 42 Xquuir uuiu2，所以MP MQx； 422yo 2 0,所以以PQ為直徑的圓恒過定點0,1【點評】該題可有以下4種設問方式：證明以PQ為直徑的圓恒過定點0,1 :證明以PQ為直徑的圓恒過 y軸上某定點；證明以PQ為直徑的圓恒過某定點；以PQ為直徑的圓是否恒過定點.其難度逐漸增加.法2根據(jù)對稱性，將題目轉(zhuǎn)化為設問，法3根據(jù)對稱性以及特殊情況，將題目轉(zhuǎn)化為設問. 對于圓過定點問題， 如果我們可以從對稱性或特殊情況入手，猜出結(jié)果,則能有效降低題目的計算和證明

10、的難度.22設橢圓e：三二1的焦點在x軸上. a2 1 a2(1)若橢圓E的焦距為1,求橢圓E的方程;(2)設弓、F2分別是橢圓的左、 右焦點，P為橢圓E上的第一象限內(nèi)的點， 直線F2P交y軸 于點Q,并且F1P FQ ,證明：當a變化時，點P在某定直線上.21.25.、【解析】(1)因為焦距為1,所以2a 1 -，解得a -，所以橢圓E的方程為4848x2 8y2 1 .53【證明】設 P x,y , Q 0,yi，F(xiàn)ic,0 , F2 c,0urnrx° c, F1Puuiux c,y , F1Qc,y1urnr uurnF1P F1Qc xc yyF2、p、Q 三點共線，所以2

11、22x y cL2 ,即 y x c 0 c220,又因為與-y-a 1 a旦.將代入, x c1，于是x a2, y上.可得 c2二。，即 x c21 a2 ,即點P在直線x y 1 0【點評】 要證明點P在定直線上，其本質(zhì)就是證明點P的軌跡在一條直線上.由軌跡方程的參數(shù)法理論，引進了y、y1、a四個參數(shù)，要求 x與y的關系，就要找三個方程.模塊2練習鞏固整合提升練習2 x1:橢圓 a2 yb20的中心為原點 O ,離心率e ,左焦點到右頂點的距離為2(1)求該橢圓的標準方程;(2)urn設動點P滿足：OPuuu OMuuuON ,其中M、N是橢圓上的點，直線 OM與ON的斜率之積為1 、

12、一 ，一 ，-,證明：存在兩個定點2號、PF為定值.【解析】（1）衣，所以b2a2橢圓的標準方程為a2 y22,【證明】（2）x,y1.X1,y1N X2,y2 ,urn 則由OPuuun OMuuuON可得x,yxq2 x2 , y1yy1在橢圓x22y24上，所以_ 22y 42 一 2一x2 2y24 ,于是22x 2y2x14x2 4x1x222y1 4y24丫m 20 4 x1x22y1y2.由題設條件知kOM kONx2Xx22yy222y2 20,所以P點是橢圓202L 110上的點，其左焦點為F1J16,0 ,右焦點為F2 痂,0 , |PF| I PF為定值4亞.【點評】要證

13、明存在兩個定點 F1、F2,使得|PF| |PF |為定值，即要證明點P的軌跡在橢圓上.引進了 x、y、Xi、y、X2、y2六個參數(shù)，需要找五個方程：x為2x2, y 3 2y2 ,X22y24 ,x22y；4 ,x1x22yly20 .在消參的過程中，根據(jù)方程的特點，猜測x22y2是定值，從而使消參的方向更明確.2 x練習2 :若橢圓C的方程為工 a241 (a b 0), Fi、F2是它的左、右焦點，橢圓 b2點0,1 ,且離心率為e2.2(1)求橢圓的方程;(2)設橢圓的左、右頂點為A、B,直線l的方程為x 4, P是橢圓上任一點，直線 PA、UULU UULLTPB分別交直線l于G、H

14、兩點，求GFi HF2的值;(3)過點Q 1,0任意作直線 m (與x軸不垂直)與橢圓C交于M、N兩點，與y軸交于UUUUUUUU UUU點 R ,且 RMMQ , RNUULTNQ,證明為定值.c 2. 2 八【解析】(1) b 1, e ，解得a 3,所以橢圓的方程為a 3y2 1(2) A3,0 , B 3,0 ,設 P %,y。，G 4,必，H 4* .因為 A、P、G 三點共線,所以一y X,即y1 上紋，同理，y2x0 37x0 3y。x03UUIUGF12 2 4, y- x0 3UUUUHF22 2 4, y x0 3uuiu UJUin,所以 GF1 HF22 2 4 2 2

15、 4-y0y 8 -7-yx0 3 x03x0 965.9【證明】(3)設M X3X3 ,UimrN x4,y4 , R 0,t ,由 RMUULUMQ可得x3, y3 tUULT同理，由RNx31%y3 ,即V3UULTNQ可得2 9t21t19 11),代入橢圓方程，可得2 9t2 9 12 -，一9.兩式相減，可得-4練習3 :在平面直角坐標系xOy中，已知橢圓951的左、右頂點為 A、B,右焦點為x2, y2 ,其中 m 0 , y10 ,F .設過點T t,m的直線TA、TB與橢圓分別交于點 M不必、N1,、，一，（1）設x1 2 , x2 -,求點T的坐標;3（其坐標與 m無關）.（2）設t 9 ,求證：直線 MN必過x軸上的一定點【解析】（1）將x1 2 , x21、一一代入橢圓方程,3以及5y1 0, y2 0,可信 m 2,3 ,1 .直線NB的方程為空.直線MA的方程為920K 059一 x 3 ,即 y -x1 3635 .聯(lián)立兩條直線方程，可得210 _y 一，所以點T的坐標3107，t【證明】（2）點T的坐標為9,m .直線MA的方程為yx 3 ,即 y x 3 .12直線NB的方程為m x 3 .聯(lián)立直線 MA與橢圓的方程，可得 623