初中的數(shù)學動點問題歸納

1、動點問題題型方法歸納動態(tài)幾何特點問題背景是特殊圖形，考查問題也是特殊圖形，所以要把握好一般與特殊的關系；分析過程中，特別要關注圖形的特性（特殊角、特殊圖形的性質、圖形的特殊位置。動點問題一直是中考熱點，近幾年考查探究運動中的特殊性：等腰三角形、直角三角形、相似三角形、平行四邊形、梯形、特殊角或其三角函數(shù)、線段或面積的最值。卜面就此問題的常見題型作簡單介紹,解題方法、關鍵給以點撥。、三角形邊上動點1、（2009年齊齊哈爾市）直線 y3 一一，一一，x 6與坐標軸分別交于 A B兩點，動點P、Q同時從。點出發(fā), 4同時到達 A點，運動停止.點 Q沿線段OA 運動，速度為每秒1個單位長度，點P沿路線

2、O - B-A運動.（1）直接寫出A、B兩點的坐標;（2）設點Q的運動時間為t秒，/XOPQ的面積為S,求出S與t之間的函數(shù)關系式;48S 時，求出點5P的坐標，并直接寫出以點 O、P、Q為頂點的平行四邊形的第四個頂點M的坐標.解：1、A (8, 0) B(0,6)2、當0vt v 3時,S=t2當3vt v 8時,S=3/ 8(8-t)t提示：第（2）問按點P到拐點B所有時間分段分類;第（3）問是分類討論：已知三定點 。P、Q ,探究第四點構成平行四邊形時按已知線段身份不同分類OP為邊、OQ為邊，OP為邊、OQ為對角線，OP為對角線、OM邊。然后畫出各類的圖形，根據(jù)圖形性質求頂點坐標。2、（

3、2009年衡陽市）如圖，AB是。的直徑，弦 BC=2cm / ABC=60).(1)求。的直徑;(2)若D是AB延長線上一點，連結 CD當BD長為多少時，CD與。相切;(3)若動點E以2cm/s的速度從A點出發(fā)沿著AB方向運動，同時動點F以1cm/s的速度從B點出發(fā)沿BC注意：第(3)問按直角位置分類討論t 2),連結EF,當t為何值時， BEF為直角三角形.AO圖(2)3、(2009重慶某江)如圖，已知拋物線ya(x 1)2 3V3(a 0)經過點A( 2, 0),拋物線的頂點為D,過O作射線OM / AD .過頂點D平行于x軸的直線交射線 OM于點C, B在x軸正半軸上，連結BC .(1)

4、求該拋物線的解析式;(2)若動點P從點O出發(fā)，以每秒1個長度單位的速度沿射線OM運動，設點P運動的時間為t(s).問MyOQ B x當t為何值時，四邊形 DAOP分別為平行四邊形？直角梯形？等腰梯形?(3)若OC OB ,動點P和動點Q分別從點。和點B同時出發(fā)，分別以每秒 1個長度單位和2個長度單位的速度沿 OC和BO運動，當其中一個點停止運動時另一個點也隨之停止運動.設它們的運動的時間為t (s)，連接PQ ,當t為何值時，四邊形BCPQ的面積最小？并求出最小值及此時 PQ的長.注意：發(fā)現(xiàn)并充分運用特殊角/DAB=60當OPC面積最大時，四邊形 BCPQ勺面積最小。二、特殊四邊形邊上動點4、

5、(2009年吉林省)如圖所示，菱形 ABCD的邊長為6厘米， B 60°.從初始時刻開始，點 P、Q同時從A點出發(fā)，點 P以1厘米/秒的速度沿 A C B的方向運動，點 Q以2厘米/秒的速度沿點和線段是面積為 O的三角形)，ABC D的方向運動，當點 Q運動到D點時，P、Q兩點同時停止運動，設 P、Q運動的時間為x秒時，4APQ與4ABC重疊部分的面積為y平方厘米(這里規(guī)定: 一解答下列問題：（1）點P、Q從出發(fā)到相遇所用時間是秒;（2）點P、Q從開始運動到停止的過程中，當 4APQ是等邊三角形時x的值是 秒;（3）求y與x之間的函數(shù)關系式.提示：第（3）問按點Q到拐點時間B、C所有

6、時間分段分類； 提醒-高相等的兩個三角形面積比等 于底邊的比5、（2009年哈爾濱）如圖1,在平面直角坐標系中，點O是坐標原點，四邊形 ABCO菱形，點 A的坐標為（，4）,點C在x軸的正半軸上，直線 AC交y軸于點M AB邊交y軸于點H.（1）求直線AC的解析式;（2）連接BM如圖2,動點P從點A出發(fā)，沿折線 ABCT向以2個單位/秒的速度向終點 C勻速運動,設 PMB勺面積為S （）,點P的運動時間為t秒，求S與t之間的函數(shù)關系式（要求寫出自變量t的取值（3）在（2）的條件下，當 t為何值時，/ MP的/ BCM為余角，并求此時直線 OP與直線AC所夾銳角的正切值.HMHMO C圖（1）圖

7、（2）xO C注意：第（2）問按點P到拐點B所用時間分段分類;第（3）問發(fā)現(xiàn)/ MBC=90 , / BCO與/ ABM互余，畫出點 P運動過程中,/MPBW ABM勺兩種情況，求出 t值。B(3 V3 , 2) , C (0, 2).動點 D 以每秒 1利用OBL AC,再求OP與AC夾角正切值6、（2009年溫州）如圖，在平面直角坐標系中，點A（ <3 , 0）,個單位的速度從點 0出發(fā)沿OC向終點C運動，同時動點E以每秒2個單位的速度從點 A出發(fā)沿AB向終點B運動.過點 E作EF上AB,交BC于點F,連結DA DF.設運動時間為t秒.求/ ABC的度數(shù);（2）當t為何值時，AB/

8、DF;設四邊形AEFD的面積為S.求S關于t的函數(shù)關系式;若一拋物線y=x2+mx經過動點E,當$<243時，求m的取值范圍(寫出答案即可).(3)當a 3,OD 4J3時，求t的值及此時直線 PQ的解析式； 3(4)當a為何值時，以O, P, Q, D為頂點的三角形與OAB相似？當a為何值時，以 0, P, Q, D為頂點的三角形與0AB不相似？請給出你的Z論，并加以證明.8、(08黃岡)已知：如圖，在直角梯形C0AB中，0C / AB,以0為原點建立平面直角坐標系，A, B, C三點的坐標分別為 A(8,0), B(810), C(0,4),點D為線段BC的中點，動點P從點0出發(fā)，以

9、每秒1個單位的速度，沿折線 0ABD的路線移動，移動的時間為 t秒.(1)求直線BC的解析式；(2)若動點P在線段0A上移動，當t為何值時，四邊形 0PDC的面積是梯形 C0AB面積的2 ? 7(3)動點P從點0出發(fā)，沿折線0ABD的路線移動過程中，設AOPD的面積為S,請直接寫出S與t的函數(shù)關系式，并指出自變量 t的取值范圍；(4)當動點P在線段AB上移動時，能否在線段 0A上找到一點Q,使四邊形CQPD為矩形？請求出此時動點P的坐標；若不能，請說明理由.(此題備用)1249、(09年黃岡市)如圖，在平面直角坐標系 xoy中，拋物線y x2 x 10與x軸的交點為點 A,與y軸 189的交點

10、為點B 過點B作x軸的平行線BC交拋物線于點 C連結AC現(xiàn)有兩動點P,Q分別從QC兩點同時出發(fā)，點P以每秒4個單位的速度沿 0所終點A移動，點Q以每秒1個單位的速度沿 CB向點B移動，點P停止運動時，點Q也同時停止運動，線段OCPQf交于點D,過點D作DEE/ OA交C"點E,射線QE交x軸于點F.設動點P,Q移動的時間為t (單位：秒)(1)求A,B,C三點的坐標和拋物線的頂點的坐標；(2)當t為何值時，四邊形PQC的平行四邊形？請寫出計算過程；(3)當0v t v 9時，PGF的面積是否總為定值 ？若是，求出此定值，若不是，請說明理由；2(4)當t為何值時，4PQ等腰三角形 叫寫

11、出解答過程.提示：第(3)問用相似比的代換，得PF=OA(定值)。第(4)問按哪兩邊相等分類討論 PQ=PF PQ=FQ QF=PF.三、 直線上動點28、(2009年湖南長沙)如圖，二次函數(shù) y ax bx c (a 0)的圖象與x軸交于 A B兩點，與y軸相交于點C .連結AC、BC, A、C兩點的坐標分別為 A( 3,0)、C(0,J3),且當x 4和x 2時二次函數(shù)的函數(shù)值y相等.(1)求實數(shù)a, b, c的值；(2)若點M、N同時從B點出發(fā)，均以每秒1個單位長度的速度分別沿 BA、BC邊運動，其中一個點到達終點時，另一點也隨之停止運動.當運動時間為t秒時，連結MN ,將4BMN沿MN

12、翻折，B 點恰好落在AC邊上的P處，求t的值及點P的坐標；Q的坐標；如果不存在，請說明理由.(3)在(2)的條件下，二次函數(shù)圖象的對稱軸上是否存在點Q ,使得以B, N, Q為項點的三角形與 ABC相似？如果存在，請求出點提示：第(2)問發(fā)現(xiàn)特殊角 / CAB=30 , / CBA=60特殊圖形四邊形 BNP岫菱形；第（3）問注意到 ABC為直角三角形后，按直角位置對應分類；先畫出與ABC相似的 BNQ,再判斷是否在對稱軸上。11 29、（2009眉山）如圖，已知直線y -X 1與y軸交于點A,與x軸交于點D,拋物線y -x bx c與22直線交于A E兩點，與X軸交于B、C兩點，且B點坐標為

13、（1,0）。求該拋物線的解析式；動點P在x軸上移動，當 PAE是直角三角形時，求點 P的坐標P。在拋物線的對稱軸上找一點M使| AM MC |的值最大，求出點 M的坐標。提示：第（2）問按直角位置分類討論后畫出圖形-P為直角頂點AE為斜邊時，以AE為直徑畫圓與x軸交點即為所求點 P,A為直角頂點時，過點 A作AE垂線交x軸于點P,E為直角頂點時，作法同；第（3）問，三角形兩邊之差小于第三邊，那么等于第三邊時差值最大。10、（2009年蘭州）如圖，正方形ABCDK點A B的坐標分別為（0, 10）, （8, 4）,點C在第一象限.動點P在正方形 ABCD勺邊上，從點A出發(fā)沿A9 C-D勻速運動，

14、同時動點 Q以相同速度在x軸正 半軸上運動，當 P點到達D點時，兩點同時停止運動，設運動的時間為t秒.（1）當P點在邊AB上運動時，點Q的橫坐標x （長度單位）關于運動時間 t （秒）的函數(shù)圖象如圖所示，請寫出點Q開始運動時的坐標及點 P運動速度；（2）求正方形邊長及頂點 C的坐標；（3）在（1）中當t為何值時， OPQ勺面積最大，并求此時 P點的坐標；（4）如果點P、Q保持原速度不變，當點 P沿 Z B C-D勻速運動時，OP與PQ能否相等，若能，寫出所有 符合條件的t的值；若不能，請說明理由.注意：第（4）問按點P分別在AR BG CD邊上分類討論；求t值時，靈活運用等腰三角形“三線合一”

15、。11、（2009年北京市）如圖，在平面直角坐標系xOy中， ABC三個頂點的坐標分別為A 6,0 , B 6,0 , C 0,46 ,延長AC到點D,使CD=1AC,過點D作DE/ AB交BC的延長線于點E.2（1）求D點的坐標；作C點關于直線DE的對稱點F,分別連結DF、EF,若過B點的直線y kx b將四邊形CDF明成周長相等的兩個四邊形，確定此直線的解析式;（3）設G為y軸上一點，點P從直線y kx b與y軸的交點出發(fā)，先沿 y軸到達G點，再沿GA1U達A點，若P點在y軸上運動的速度是它在直線GA上運動速度的2倍，試確定G點的位置，使 P點按照上述要求到達A點所用的時間最短。（要求：簡

16、述確定 G點位置的方法，但不要求證明）提示：第（2）問，平分周長時，直線過菱形的中心；第（3）問，轉化為點G到A的距離加G到（2）中直線的距離和最??；發(fā)現(xiàn)（2）中直線與x軸夾角為6 0。.見“最短路線問題”專題。12、（2009年上海市）（1）當AD=2,且點Q與點B重合時（如圖2所示），求線段PC的長;3 Sk APQ-（2）在圖8中，聯(lián)結AP.當AD -,且點Q在線段AB上時，設點B Q之間的距離為x , y ,其2SA pbc中SAAPQ表示 APQ勺面積，Sapbc表示PBC的面積，求y關于x的函數(shù)解析式，并寫出函數(shù)定義域；（3）當AD AB ,且點Q在線段AB的延長線上時（如圖 3所

17、示），求 QPC的大小.注意：第（2）問，求動態(tài)問題中的變量取值范圍時，先動手操作 找到運動始、末兩個位置變量的取值，然后再根據(jù)運動的特點確定滿足條件的變量的取值范圍。當PCX BD時，點。B重合，x獲得最小值；當P與D重合時，x獲得最大值。SSA來判定兩第（3）問，靈活運用 SSA判定兩三角形相似，即兩個銳角三角形或兩個鈍角三角形可用個三角形相似；或者用同一法；或者證/BQP= / BCP彳# B、Q C P四點共圓也可求解。13、（08宜昌）如圖，在R"ABC*, AB= AC P是邊AB （含端點）上的動點.過 P作BC的垂線PR R為 垂足，/ PRB勺平分線與AB相交于點S

18、,在線段RS上存在一點T,若以線段PT為一邊作正方形PTEF其 頂點E, F恰好分別在邊BC，AC上.（1） ABC與ASBR否相似，說明理由；（2）請你探索線段TS與PA的長度之間的關系；（3）設邊AB= 1,當P在邊AB （含端點）上運動時，請你探索正方形 PTEF勺面積y的最小值和最大值.（第13題）（第13題）p運動到使T與R重合時，PA=TS%提示：第（3）問，關鍵是找到并畫出滿足條件時最大、最小圖形；當最大；當P與A重合時，PA最小。此問與上題中求取值范圍類似。14、（2009年河北）如圖，在 RtAABC, / C=90° , AC = 3, AB = 5 .點P從點C

19、出發(fā)沿 CAtA每秒1個 單位長的速度向點 A勻速運動，到達點 A后立刻以原來的速度沿 AC返回；點Q從點A出發(fā)沿AB以每秒1 個單位長的速度向點 B勻速運動.伴隨著P、Q的運動，DE保持垂直平分 PQ且交PQ于點D,交折線QBBGCP 于點E.點P、Q同時出發(fā)，當點 Q到達點B時停止運動，點 P也隨之停止.設點 R Q運動的時間是t秒 （t>0）.（1）當t = 2時，AP=，點Q到AC的距離是;（2）在點P從C向A運動的過程中，求 APQ勺面積S與t的函數(shù)關系式；（不必寫出t的取值范圍） （3）在點E從B向C運動的過程中，四邊形 QBED1歸否成為直角梯形？若能，求 t的值.若不能，

20、請說明 理由；（4）當DEg過點C時，請直接.寫出t的值.提示：（3）按哪兩邊平行分類，按要求畫出圖形，再結合圖形性質求出t值；有二種成立的情形，D E / Q B , P Q / B C ;（4）按點P運動方向分類，按要求畫出圖形再結合圖形性質求出t值；有二種情形，CQ=CP=AQ= t時，QC = PC=6 t時.15、 （2009 年包頭） 已知二次函數(shù) y ax2 bx c （ a 0 ）的圖象經過點A（1，0） ， B（2，0） ， C（0， 2） ，直線 x m （ m 2 ）與 x 軸交于點 D （ 1）求二次函數(shù)的解析式；（ 2 ）在直線 x m （ m 2 ）上有一點 E （

21、點 E 在第四象限） ，使得 E、 D、 B 為頂點的三角形與以A、 O、 C 為頂點的三角形相似，求E 點坐標（用含m 的代數(shù)式表示）；（ 3）在（2）成立的條件下，拋物線上是否存在一點 F ，使得四邊形ABEF 為平行四邊形？若存在，請求出 m 的值及四邊形ABEF 的面積；若不存在，請說明理由提示：第（ 2）問，按對應銳角不同分類討論，有兩種情形；第（3）問，四邊形 ABEF為平行四邊形時，E、F兩點縱坐標相等，且 AB=EF對第（2）問中兩種情形分別討論。四、 拋物線上動點16、（2009年湖北十堰市） 如圖，已知拋物線（aw0）與軸交于點A（1 , 0）和點B（ -3, 0）,與y軸

22、交于點C（1） 求拋物線的解析式；（2）設拋物線的對稱軸與軸交于點M,問在對稱軸上是否存在點P,使 CMW等腰三角形？若存在，請直接寫出所有符合條件的點 P 的坐標；若不存在，請說明理由（3）如圖，若點E為第二象限拋物線上一動點，連接 BE CE求四邊形BOCI®積的最大值，并求此時E 點的坐標注意：第（2）問按等腰三角形頂點位置分類討論畫圖再由圖形性質求點 P坐標-C為頂點時，以C為圓心CM為半徑畫弧，與對稱軸交點即為所求點巳 M為頂點時，以 M為圓心MC為半徑畫弧，與對稱軸交點即為所求點 P,P為頂點時，線段 MC勺垂直平分線與對稱軸交點即為所求點P。第（3）問方法一，先寫出面積

23、函數(shù)關系式，再求最大值（涉及二次函數(shù)最值）；方法二，先求與BC平行且與拋物線相切點的坐標（涉及簡單二元二次方程組），再求面積17、（2009年黃石市）正方形ABCD在如圖所示的平面直角坐標系中，A在x軸正半軸上，D在y軸的負半軸上， AB交y軸正半軸于 E, BC交x軸負半軸于F, OE 1,拋物線y ax2 bx 4過A D、F三點.（1）求拋物線的解析式；（2） Q是拋物線上D、F間的一點，過Q點作平行于x軸的直線交邊 AD于M ,交BC所在直線于N ,若麗邊物FQM 3&FQN，則判斷四邊形AFQM的形狀； 2（3）在射線DB上是否存在動點 P ,在射線CB上是否存在動點 H ,