高等數(shù)學(xué)備課資料：第九章 多元函數(shù)微分學(xué) 02 第二節(jié) 偏導(dǎo)數(shù)

1、第二節(jié) 偏導(dǎo)數(shù)分布圖示 偏導(dǎo)數(shù)的定義 例1 例2 例3 例4 有關(guān)偏導(dǎo)數(shù)的幾點(diǎn)說(shuō)明 例5 偏導(dǎo)數(shù)的幾何意義 高階偏導(dǎo)數(shù) 例6 例7 例8 例9 例10 混合偏導(dǎo)數(shù)相等的條件 例11 內(nèi)容小結(jié) 課堂練習(xí) 習(xí)題92 返回內(nèi)容要點(diǎn)一、偏導(dǎo)數(shù)的定義及其計(jì)算法關(guān)于多元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)，我們補(bǔ)充以下幾點(diǎn)說(shuō)明：1對(duì)一元函數(shù)而言，導(dǎo)數(shù)可看作函數(shù)的微分與自變量的微分的商. 但偏導(dǎo)數(shù)的記號(hào)是一個(gè)整體. 2與一元函數(shù)類似，對(duì)于分段函數(shù)在分段點(diǎn)的偏導(dǎo)數(shù)要利用偏導(dǎo)數(shù)的定義來(lái)求. 3在一元函數(shù)微分學(xué)中，我們知道，如果函數(shù)在某點(diǎn)存在導(dǎo)數(shù)，則它在該點(diǎn)必定連續(xù). 但對(duì)多元函數(shù)而言，即使函數(shù)的各個(gè)偏導(dǎo)數(shù)存在，也不能保證函數(shù)在該點(diǎn)連續(xù)

2、. 二、高階偏導(dǎo)數(shù)定理1 如果函數(shù)的兩個(gè)二階混合偏導(dǎo)數(shù)及在區(qū)域D內(nèi)連續(xù), 則在該區(qū)域內(nèi)有.例題選講偏導(dǎo)數(shù)的定義及其計(jì)算法例1 (E01) 求在點(diǎn)(1, 2)處的偏導(dǎo)數(shù).解 把看作常數(shù),對(duì)求導(dǎo)得到把看作常數(shù),對(duì)求導(dǎo)得到故所求偏導(dǎo)數(shù)例2 (E02) 設(shè) 求證 .證 因?yàn)樗栽Y(jié)論成立.例3 求三元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)解 把和看作常數(shù),對(duì)求導(dǎo)得把和看作常數(shù),對(duì)求導(dǎo)得把和看作常數(shù),對(duì)求導(dǎo)得例4 (E03) 求的偏導(dǎo)數(shù).解 把和看作常數(shù),對(duì)求導(dǎo)得利用函數(shù)關(guān)于自變量的對(duì)稱性, 可得例5 函數(shù) 的偏導(dǎo)數(shù)存在，但在點(diǎn)不連續(xù).證 即偏導(dǎo)數(shù)存在.但由上節(jié)的例 8知道,極限不存在,故在點(diǎn)不連續(xù). 高階偏導(dǎo)數(shù)例6 (E04) 設(shè), 求解 例7 設(shè) 求二階偏導(dǎo)數(shù).解 例8（E05）求的二階偏導(dǎo)數(shù).解 例9 驗(yàn)證函數(shù) 滿足方程.證 例10 (E06) 證明函數(shù)滿足拉普拉斯方程,其中 .證 由函數(shù)關(guān)于自變量的對(duì)稱性,得例11 設(shè) , 試求 及解 因當(dāng)時(shí)，所以 同理有 當(dāng)時(shí)，所以 課堂練習(xí)1.若函數(shù)