高考數(shù)學(xué)難點突破1-5

1、難點1 集合思想及應(yīng)用集合是高中數(shù)學(xué)的基本知識，為歷年必考內(nèi)容之一，主要考查對集合基本概念的認(rèn)識和理解，以及作為工具，考查集合語言和集合思想的運(yùn)用.本節(jié)主要是幫助考生運(yùn)用集合的觀點，不斷加深對集合概念、集合語言、集合思想的理解與應(yīng)用.難點磁場()已知集合A=(x,y)|x2+mxy+2=0,B=(x,y)|xy+1=0,且0x2,如果AB,求實數(shù)m的取值范圍.案例探究例1設(shè)A=(x,y)|y2x1=0,B=(x,y)|4x2+2x2y+5=0,C=(x,y)|y=kx+b,是否存在k、bN,使得(AB)C=，證明此結(jié)論.命題意圖：本題主要考查考生對集合及其符號的分析轉(zhuǎn)化能力，即能從集合符號上分

2、辨出所考查的知識點，進(jìn)而解決問題.屬級題目.知識依托：解決此題的閃光點是將條件(AB)C=轉(zhuǎn)化為AC=且BC=，這樣難度就降低了.錯解分析：此題難點在于考生對符號的不理解，對題目所給出的條件不能認(rèn)清其實質(zhì)內(nèi)涵，因而可能感覺無從下手.技巧與方法：由集合A與集合B中的方程聯(lián)立構(gòu)成方程組，用判別式對根的情況進(jìn)行限制，可得到b、k的范圍，又因b、kN,進(jìn)而可得值.解：(AB)C=，AC=且BC= k2x2+(2bk1)x+b21=0AC=1=(2bk1)24k2(b21)<04k24bk+1<0,此不等式有解，其充要條件是16b216>0,即b2>14x2+(22k)x+(5+

3、2b)=0BC=,2=(1k)24(52b)<0k22k+8b19<0,從而8b<20,即b<2.5 由及bN,得b=2代入由1<0和2<0組成的不等式組，得k=1,故存在自然數(shù)k=1,b=2,使得(AB)C=.例2向50名學(xué)生調(diào)查對A、B兩事件的態(tài)度，有如下結(jié)果：贊成A的人數(shù)是全體的五分之三，其余的不贊成，贊成B的比贊成A的多3人，其余的不贊成；另外，對A、B都不贊成的學(xué)生數(shù)比對A、B都贊成的學(xué)生數(shù)的三分之一多1人.問對A、B都贊成的學(xué)生和都不贊成的學(xué)生各有多少人？命題意圖：在集合問題中，有一些常用的方法如數(shù)軸法取交并集，韋恩圖法等，需要考生切實掌握.本題

4、主要強(qiáng)化學(xué)生的這種能力.屬級題目.知識依托：解答本題的閃光點是考生能由題目中的條件，想到用韋恩圖直觀地表示出來.錯解分析：本題難點在于所給的數(shù)量關(guān)系比較錯綜復(fù)雜，一時理不清頭緒，不好找線索.技巧與方法：畫出韋恩圖，形象地表示出各數(shù)量關(guān)系間的聯(lián)系.解：贊成A的人數(shù)為50×=30，贊成B的人數(shù)為30+3=33，如上圖，記50名學(xué)生組成的集合為U，贊成事件A的學(xué)生全體為集合A；贊成事件B的學(xué)生全體為集合B.設(shè)對事件A、B都贊成的學(xué)生人數(shù)為x,則對A、B都不贊成的學(xué)生人數(shù)為+1,贊成A而不贊成B的人數(shù)為30x，贊成B而不贊成A的人數(shù)為33x.依題意(30x)+(33x)+x+(+1)=50,

5、解得x=21.所以對A、B都贊成的同學(xué)有21人，都不贊成的有8人.錦囊妙計1.解答集合問題，首先要正確理解集合有關(guān)概念，特別是集合中元素的三要素；對于用描述法給出的集合x|xP,要緊緊抓住豎線前面的代表元素x以及它所具有的性質(zhì)P；要重視發(fā)揮圖示法的作用，通過數(shù)形結(jié)合直觀地解決問題.2.注意空集的特殊性，在解題中，若未能指明集合非空時，要考慮到空集的可能性，如AB,則有A=或A兩種可能，此時應(yīng)分類討論.殲滅難點訓(xùn)練一、選擇題1.()集合M=x|x=,kZ,N=x|x=,kZ,則( )A.M=NB.MNC.MND.MN=2.()已知集合A=x|2x7,B=x|m+1<x<2m1且B,若

6、AB=A，則( )A.3m4B.3<m<4C.2<m<4D.2<m4二、填空題3.()已知集合A=xR|ax23x+2=0,aR,若A中元素至多有1個，則a的取值范圍是_.4.()x、yR,A=(x,y)|x2+y2=1,B=(x,y)| =1,a>0,b>0,當(dāng)AB只有一個元素時，a,b的關(guān)系式是_.三、解答題5.()集合A=x|x2ax+a219=0,B=x|log2(x25x+8)=1，C=x|x2+2x8=0,求當(dāng)a取什么實數(shù)時，AB 和AC=同時成立.6.()已知an是等差數(shù)列，d為公差且不為0，a1和d均為實數(shù)，它的前n項和記作Sn,設(shè)集合

7、A=(an,)|nN*,B=(x,y)| x2y2=1,x,yR.試問下列結(jié)論是否正確，如果正確，請給予證明；如果不正確，請舉例說明.(1)若以集合A中的元素作為點的坐標(biāo)，則這些點都在同一條直線上；(2)AB至多有一個元素；(3)當(dāng)a10時，一定有AB.7.()已知集合A=z|z2|2,zC,集合B=w|w=zi+b,bR,當(dāng)AB=B時，求b的值.8.()設(shè)f(x)=x2+px+q,A=x|x=f(x),B=x|ff(x)=x.(1)求證：AB;(2)如果A=1，3，求B.參考答案難點磁場解：由得x2+(m1)x+1=0AB方程在區(qū)間0，2上至少有一個實數(shù)解.首先，由=(m1)240,得m3或

8、m1,當(dāng)m3時，由x1+x2=(m1)0及x1x2=1>0知，方程只有負(fù)根，不符合要求.當(dāng)m1時，由x1+x2=(m1)>0及x1x2=1>0知，方程只有正根，且必有一根在區(qū)間(0，1內(nèi)，從而方程至少有一個根在區(qū)間0，2內(nèi).故所求m的取值范圍是m1.殲滅難點訓(xùn)練一、1.解析：對M將k分成兩類：k=2n或k=2n+1(nZ),M=x|x=n+,nZx|x=n+,nZ,對N將k分成四類，k=4n或k=4n+1,k=4n+2,k=4n+3(nZ),N=x|x=n+,nZx|x=n+,nZx|x=n+,nZx|x=n+,nZ.答案：C2.解析：AB=A，BA,又B,即2m4.答案：D

9、二、3.a=0或a4.解析：由AB只有1個交點知，圓x2+y2=1與直線=1相切，則1=,即ab=.答案：ab=三、5.解：log2(x25x+8)=1,由此得x25x+8=2，B=2,3.由x2+2x8=0，C=2,4,又AC=，2和4都不是關(guān)于x的方程x2ax+a219=0的解，而AB ,即AB,3是關(guān)于x的方程x2ax+a219=0的解，可得a=5或a=2.當(dāng)a=5時，得A=2，3，AC=2，這與AC=不符合，所以a=5(舍去)；當(dāng)a=2時，可以求得A=3，5，符合AC=，AB ，a=2.6.解：(1)正確.在等差數(shù)列an中，Sn=,則(a1+an),這表明點(an,）的坐標(biāo)適合方程y(

10、x+a1),于是點(an, )均在直線y=x+a1上.(2)正確.設(shè)(x,y)AB,則(x,y)中的坐標(biāo)x,y應(yīng)是方程組的解，由方程組消去y得：2a1x+a12=4(*)，當(dāng)a1=0時，方程(*)無解，此時AB=；當(dāng)a10時，方程(*)只有一個解x=,此時，方程組也只有一解,故上述方程組至多有一解.AB至多有一個元素.(3）不正確.取a1=1,d=1,對一切的xN*,有an=a1+(n1)d=n>0, >0,這時集合A中的元素作為點的坐標(biāo)，其橫、縱坐標(biāo)均為正，另外，由于a1=10.如果AB,那么據(jù)(2）的結(jié)論，AB中至多有一個元素(x0,y0）,而x0=0,y0=0,這樣的(x0,

11、y0）A,產(chǎn)生矛盾，故a1=1,d=1時AB=，所以a10時，一定有AB是不正確的.7.解：由w=zi+b得z=,zA,|z2|2,代入得|2|2,化簡得|w(b+i)|1.集合A、B在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點的集合是兩個圓面，集合A表示以點(2，0）為圓心，半徑為2的圓面，集合B表示以點(b,1)為圓心，半徑為1的圓面.又AB=B，即BA，兩圓內(nèi)含.因此21,即(b2)20，b=2.8.(1)證明：設(shè)x0是集合A中的任一元素，即有x0A.A=x|x=f(x),x0=f(x0).即有ff(x0)=f(x0)=x0,x0B,故AB.(2)證明：A=1,3=x|x2+px+q=x,方程x2+(p1)x+q

12、=0有兩根1和3，應(yīng)用韋達(dá)定理，得f(x)=x2x3.于是集合B的元素是方程ff(x)=x,也即(x2x3)2(x2x3)3=x(*)的根.將方程(*)變形，得(x2x3）2x2=0解得x=1,3,.故B=，1，3.難點2 充要條件的判定充分條件、必要條件和充要條件是重要的數(shù)學(xué)概念，主要用來區(qū)分命題的條件p和結(jié)論q之間的關(guān)系.本節(jié)主要是通過不同的知識點來剖析充分必要條件的意義，讓考生能準(zhǔn)確判定給定的兩個命題的充要關(guān)系.難點磁場()已知關(guān)于x的實系數(shù)二次方程x2+ax+b=0有兩個實數(shù)根、，證明：|<2且|<2是2|a|<4+b且|b|<4的充要條件.案例探究例1已知p：

13、|1|2,q:x22x+1m20(m>0),若p是q的必要而不充分條件，求實數(shù)m的取值范圍.命題意圖：本題以含絕對值的不等式及一元二次不等式的解法為考查對象，同時考查了充分必要條件及四種命題中等價命題的應(yīng)用，強(qiáng)調(diào)了知識點的靈活性.知識依托：本題解題的閃光點是利用等價命題對題目的文字表述方式進(jìn)行轉(zhuǎn)化，使考生對充要條件的難理解變得簡單明了.錯解分析：對四種命題以及充要條件的定義實質(zhì)理解不清晰是解此題的難點，對否命題，學(xué)生本身存在著語言理解上的困難.技巧與方法：利用等價命題先進(jìn)行命題的等價轉(zhuǎn)化，搞清晰命題中條件與結(jié)論的關(guān)系，再去解不等式，找解集間的包含關(guān)系，進(jìn)而使問題解決.解：由題意知：命題：

14、若p是q的必要而不充分條件的等價命題即逆否命題為：p是q的充分不必要條件.p:|1|2212132x10q:x22x+1m20x(1m)x(1+m)0 *p是q的充分不必要條件，不等式|1|2的解集是x22x+1m20(m>0)解集的子集.又m>0不等式*的解集為1mx1+m，m9，實數(shù)m的取值范圍是9，+.例2已知數(shù)列an的前n項Sn=pn+q(p0,p1),求數(shù)列an是等比數(shù)列的充要條件.命題意圖：本題重點考查充要條件的概念及考生解答充要條件命題時的思維的嚴(yán)謹(jǐn)性.知識依托：以等比數(shù)列的判定為主線，使本題的閃光點在于抓住數(shù)列前n項和與通項之間的遞推關(guān)系，嚴(yán)格利用定義去判定.錯解分

15、析：因為題目是求的充要條件，即有充分性和必要性兩層含義，考生很容易忽視充分性的證明.技巧與方法：由an=關(guān)系式去尋找an與an+1的比值，但同時要注意充分性的證明.解：a1=S1=p+q.當(dāng)n2時，an=SnSn1=pn1(p1)p0,p1,=p若an為等比數(shù)列，則=p=p,p0，p1=p+q，q=1這是an為等比數(shù)列的必要條件.下面證明q=1是an為等比數(shù)列的充分條件.當(dāng)q=1時，Sn=pn1(p0,p1)，a1=S1=p1當(dāng)n2時，an=SnSn1=pnpn1=pn1(p1)an=(p1)pn1 (p0,p1)=p為常數(shù)q=1時，數(shù)列an為等比數(shù)列.即數(shù)列an是等比數(shù)列的充要條件為q=1.

16、錦囊妙計本難點所涉及的問題及解決方法主要有：(1)要理解“充分條件”“必要條件”的概念：當(dāng)“若p則q”形式的命題為真時，就記作pq，稱p是q的充分條件，同時稱q是p的必要條件，因此判斷充分條件或必要條件就歸結(jié)為判斷命題的真假.(2)要理解“充要條件”的概念，對于符號“”要熟悉它的各種同義詞語：“等價于”，“當(dāng)且僅當(dāng)”，“必須并且只需”，“，反之也真”等.(3)數(shù)學(xué)概念的定義具有相稱性，即數(shù)學(xué)概念的定義都可以看成是充要條件，既是概念的判斷依據(jù)，又是概念所具有的性質(zhì).(4)從集合觀點看，若AB，則A是B的充分條件，B是A的必要條件；若A=B，則A、B互為充要條件.(5)證明命題條件的充要性時，既要

17、證明原命題成立(即條件的充分性)，又要證明它的逆命題成立(即條件的必要性).殲滅難點訓(xùn)練一、選擇題1.()函數(shù)f(x)=x|x+a|+b是奇函數(shù)的充要條件是( )A.ab=0B.a+b=0C.a=bD.a2+b2=02.()“a=1”是函數(shù)y=cos2axsin2ax的最小正周期為“”的( )A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既非充分條件也不是必要條件二、填空題3.()a=3是直線ax+2y+3a=0和直線3x+(a1)y=a7平行且不重合的_.4.()命題A：兩曲線F(x,y)=0和G(x,y)=0相交于點P(x0,y0),命題B：曲線F(x,y)+G(x,y)=0(為常數(shù)

18、)過點P(x0,y0),則A是B的_條件.三、解答題5.()設(shè)，是方程x2ax+b=0的兩個實根，試分析a>2且b>1是兩根、均大于1的什么條件？6.()已知數(shù)列an、bn滿足：bn=,求證：數(shù)列an成等差數(shù)列的充要條件是數(shù)列bn也是等差數(shù)列.7.()已知拋物線C：y=x2+mx1和點A(3，0)，B(0，3)，求拋物線C與線段AB有兩個不同交點的充要條件.8.()p:2<m<0,0<n<1;q:關(guān)于x的方程x2+mx+n=0有2個小于1的正根，試分析p是q的什么條件.(充要條件)參考答案難點磁場證明：(1）充分性：由韋達(dá)定理，得|b|=|·|=|

19、·|2×2=4.設(shè)f(x)=x2+ax+b,則f(x)的圖象是開口向上的拋物線.又|2,|2,f(±2)>0.即有4+b>2a>(4+b)又|b|44+b>02|a|4+b(2)必要性：由2|a|4+bf(±2)>0且f(x)的圖象是開口向上的拋物線.方程f(x)=0的兩根，同在(2，2）內(nèi)或無實根.，是方程f(x)=0的實根，同在(2，2）內(nèi)，即|2且|2.殲滅難點訓(xùn)練一、1.解析：若a2+b2=0,即a=b=0,此時f(x)=(x)|x+0|+0=x·|x|=(x|x+0|+b)=(x|x+a|+b)=f(x)

20、.a2+b2=0是f(x)為奇函數(shù)的充分條件，又若f(x)=x|x+a|+b是奇函數(shù)，即f(x)=(x)|(x)+a|+b=f(x),則必有a=b=0,即a2+b2=0.a2+b2=0是f(x)為奇函數(shù)的必要條件.答案：D2.解析：若a=1,則y=cos2xsin2x=cos2x,此時y的最小正周期為.故a=1是充分條件，反過來，由y=cos2axsin2ax=cos2ax.故函數(shù)y的最小正周期為,則a=±1,故a=1不是必要條件.答案：A二、3.解析：當(dāng)a=3時，直線l1:3x+2y+9=0;直線l2:3x+2y+4=0.l1與l2的A1A2=B1B2=11，而C1C2=941,即

21、C1C2,a=3l1l2.答案：充要條件4.解析：若P(x0,y0)是F(x,y)=0和G(x,y)=0的交點，則F(x0,y0)+G(x0,y0)=0，即F(x,y)+G(x,y)=0，過P(x0,y0);反之不成立.答案：充分不必要三、5.解：根據(jù)韋達(dá)定理得a=+,b=.判定的條件是p:結(jié)論是q:(注意p中a、b滿足的前提是=a24b0)(1)由，得a=+>2,b=>1,qp(2)為證明pq,可以舉出反例：取=4,=,它滿足a=+=4+>2,b=4×=2>1,但q不成立.綜上討論可知a>2,b>1是>1,>1的必要但不充分條件.6.

22、證明：必要性：設(shè)an成等差數(shù)列，公差為d,an成等差數(shù)列. 從而bn+1bn=a1+n·da1(n1) d=d為常數(shù). 故bn是等差數(shù)列，公差為d.充分性:設(shè)bn是等差數(shù)列，公差為d,則bn=(n1)dbn(1+2+n)=a1+2a2+nanbn1(1+2+n1)=a1+2a2+(n1)an得：nan=bn1an=,從而得an+1an=d為常數(shù)，故an是等差數(shù)列.綜上所述，數(shù)列an成等差數(shù)列的充要條件是數(shù)列bn也是等差數(shù)列.7.解：必要性：由已知得，線段AB的方程為y=x+3(0x3)由于拋物線C和線段AB有兩個不同的交點，所以方程組*有兩個不同的實數(shù)解.消元得：x2(m+1)x+4

23、=0(0x3)設(shè)f(x)=x2(m+1)x+4,則有充分性：當(dāng)3x時，x1=>0方程x2(m+1)x+4=0有兩個不等的實根x1,x2,且0x1x23,方程組*有兩組不同的實數(shù)解.因此，拋物線y=x2+mx1和線段AB有兩個不同交點的充要條件3m.8.解：若關(guān)于x的方程x2+mx+n=0有2個小于1的正根，設(shè)為x1,x2.則0x11,0x21,有0x1+x22且0x1x21,根據(jù)韋達(dá)定理：有2m0;0n1即有qp.反之，取m=0方程x2+mx+n=0無實根，所以pq綜上所述，p是q的必要不充分條件.難點3 運(yùn)用向量法解題平面向量是新教材改革增加的內(nèi)容之一，近幾年的全國使用新教材的高考試題

24、逐漸加大了對這部分內(nèi)容的考查力度，本節(jié)內(nèi)容主要是幫助考生運(yùn)用向量法來分析，解決一些相關(guān)問題.難點磁場()三角形ABC中，A(5，1)、B(1，7)、C(1，2)，求：(1)BC邊上的中線AM的長；(2)CAB的平分線AD的長；(3)cosABC的值.案例探究例1如圖，已知平行六面體ABCDA1B1C1D1的底面ABCD是菱形，且C1CB=C1CD=BCD.(1)求證：C1CBD.(2)當(dāng)?shù)闹禐槎嗌贂r，能使A1C平面C1BD？請給出證明.命題意圖：本題主要考查考生應(yīng)用向量法解決向量垂直，夾角等問題以及對立體幾何圖形的解讀能力.知識依托：解答本題的閃光點是以向量來論證立體幾何中的垂直問題，這就使幾

25、何問題代數(shù)化，使繁瑣的論證變得簡單.錯解分析：本題難點是考生理不清題目中的線面位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系的相互轉(zhuǎn)化，再就是要清楚已知條件中提供的角與向量夾角的區(qū)別與聯(lián)系.技巧與方法：利用aba·b=0來證明兩直線垂直，只要證明兩直線對應(yīng)的向量的數(shù)量積為零即可.(1)證明：設(shè)=a, =b,=c,依題意，|a|=|b|，、中兩兩所成夾角為，于是=ab，=c(ab)=c·ac·b=|c|·|a|cos|c|·|b|cos=0,C1CBD.(2)解：若使A1C平面C1BD，只須證A1CBD，A1CDC1，由=(a+b+c)·(ac)=|a|2+a&#

26、183;bb·c|c|2=|a|2|c|2+|b|·|a|cos|b|·|c|·cos=0,得當(dāng)|a|=|c|時，A1CDC1，同理可證當(dāng)|a|=|c|時，A1CBD，=1時，A1C平面C1BD.例2如圖，直三棱柱ABCA1B1C1，底面ABC中，CA=CB=1，BCA=90°，AA1=2，M、N分別是A1B1、A1A的中點.(1)求的長；(2)求cos<>的值；(3)求證：A1BC1M.命題意圖：本題主要考查考生運(yùn)用向量法中的坐標(biāo)運(yùn)算的方法來解決立體幾何問題.屬級題目.知識依托：解答本題的閃光點是建立恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系Oxyz,

27、進(jìn)而找到點的坐標(biāo)和求出向量的坐標(biāo).錯解分析：本題的難點是建系后，考生不能正確找到點的坐標(biāo).技巧與方法：可以先找到底面坐標(biāo)面xOy內(nèi)的A、B、C點坐標(biāo)，然后利用向量的模及方向來找出其他的點的坐標(biāo).(1)解：如圖，以C為原點建立空間直角坐標(biāo)系Oxyz.依題意得：B(0，1，0)，N(1，0，1)|=.(2)解：依題意得：A1(1，0，2)，C(0，0，0)，B1(0，1，2).=(0，1，2)=1×0+(1)×1+2×2=3|=(3)證明：依題意得：C1(0，0，2)，M()A1BC1M.錦囊妙計1.解決關(guān)于向量問題時，一要善于運(yùn)用向量的平移、伸縮、合成、分解等變換，

28、正確地進(jìn)行向量的各種運(yùn)算，加深對向量的本質(zhì)的認(rèn)識.二是向量的坐標(biāo)運(yùn)算體現(xiàn)了數(shù)與形互相轉(zhuǎn)化和密切結(jié)合的思想.2.向量的數(shù)量積常用于有關(guān)向量相等，兩向量垂直、射影、夾角等問題中.常用向量的直角坐標(biāo)運(yùn)算來證明向量的垂直和平行問題；利用向量的夾角公式和距離公式求解空間兩條直線的夾角和兩點間距離的問題.3.用空間向量解決立體幾何問題一般可按以下過程進(jìn)行思考：(1)要解決的問題可用什么向量知識來解決？需要用到哪些向量？(2)所需要的向量是否已知？若未知，是否可用已知條件轉(zhuǎn)化成的向量直接表示？(3)所需要的向量若不能直接用已知條件轉(zhuǎn)化成的向量表示，則它們分別最易用哪個未知向量表示？這些未知向量與由已知條件轉(zhuǎn)

29、化的向量有何關(guān)系？(4)怎樣對已經(jīng)表示出來的所需向量進(jìn)行運(yùn)算，才能得到需要的結(jié)論？殲滅難點訓(xùn)練一、選擇題1.()設(shè)A、B、C、D四點坐標(biāo)依次是(1，0)，(0，2)，(4，3)，(3，1)，則四邊形ABCD為( )A.正方形B.矩形C.菱形D.平行四邊形2.()已知ABC中，=a，=b，a·b<0，SABC=,|a|=3,|b|=5,則a與b的夾角是( )A.30°B.150°C.150°D.30°或150°二、填空題3.()將二次函數(shù)y=x2的圖象按向量a平移后得到的圖象與一次函數(shù)y=2x5的圖象只有一個公共點(3，1)，則向

30、量a=_.4.()等腰ABC和等腰RtABD有公共的底邊AB，它們所在的平面成60°角，若AB=16 cm,AC=17 cm,則CD=_.三、解答題5.()如圖，在ABC中，設(shè)=a， =b， =c, =a,(0<<1), =b(0<<1),試用向量a，b表示c.6.()正三棱柱ABCA1B1C1的底面邊長為a,側(cè)棱長為a.(1)建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，并寫出A、B、A1、C1的坐標(biāo)；(2)求AC1與側(cè)面ABB1A1所成的角.7.()已知兩點M(1，0)，N(1，0)，且點P使成公差小于零的等差數(shù)列.(1)點P的軌跡是什么曲線？(2)若點P坐標(biāo)為(x0,y0),Q為與

31、的夾角，求tan.8.()已知E、F、G、H分別是空間四邊形ABCD的邊AB、BC、CD、DA的中點.(1)用向量法證明E、F、G、H四點共面；(2)用向量法證明：BD平面EFGH；(3)設(shè)M是EG和FH的交點，求證：對空間任一點O，有.參考答案難點磁場解：(1)點M的坐標(biāo)為xM=D點分的比為2.xD=(3)ABC是與的夾角，而=(6，8），=(2，5）.殲滅難點訓(xùn)練一、1.解析： =(1，2）， =(1，2），=，又線段AB與線段DC無公共點，ABDC且|AB|=|DC|，ABCD是平行四邊形，又|=， =(5，3），|=，|,ABCD不是菱形，更不是正方形；又=(4，1），1·4

32、+2·1=60,不垂直于，ABCD也不是矩形，故選D.答案：D2.解析：·3·5sin得sin=,則=30°或=150°.又a·b0,=150°.答案：C二、3.(2,0) 4.13 cm三、5.解：與共線，=m=m()=m(ba),=+=a+m(ba)=(1m)a+mb又與共線，=n=n()=n(ab),=+=b+n(ab)=na+(1n)b由，得(1m）a+mb=na+(1n)b.a與b不共線，解方程組得：m=代入式得c=(1m)a+mb=(1)a+(1)b.6.解：(1)以點A為坐標(biāo)原點O，以AB所在直線為Oy軸，以A

33、A1所在直線為Oz軸，以經(jīng)過原點且與平面ABB1A1垂直的直線為Ox軸，建立空間直角坐標(biāo)系.由已知，得A(0，0，0），B(0，a,0）,A1(0,0,a),C1(a).(2)取A1B1的中點M，于是有M(0，a），連AM，MC1，有=(a,0,0）,且=(0，a,0）,=(0,0a)由于·=0，·=0，所以MC1面ABB1A1，AC1與AM所成的角就是AC1與側(cè)面ABB1A1所成的角.=所以所成的角，即AC1與側(cè)面ABB1A1所成的角為30°.7.解：(1)設(shè)P(x,y）,由M(1，0），N(1，0）得， =(1x,y）, =(1x,y), =(2,0),

34、83;=2(1+x), ·=x2+y21, =2(1x).于是，是公差小于零的等差數(shù)列，等價于所以，點P的軌跡是以原點為圓心，為半徑的右半圓.(2)點P的坐標(biāo)為(x0,y0)8.證明：(1）連結(jié)BG，則由共面向量定理的推論知：E、F、G、H四點共面，(其中=）(2）因為.所以EHBD，又EH面EFGH，BD面EFGH所以BD平面EFGH.(3）連OM，OA，OB，OC，OD，OE，OG由(2）知，同理，所以，EHFG,所以EG、FH交于一點M且被M平分，所以.難點4 三個“二次”及關(guān)系三個“二次”即一元二次函數(shù)、一元二次方程、一元二次不等式是中學(xué)數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，具有豐富的內(nèi)涵和密切的

35、聯(lián)系，同時也是研究包含二次曲線在內(nèi)的許多內(nèi)容的工具.高考試題中近一半的試題與這三個“二次”問題有關(guān).本節(jié)主要是幫助考生理解三者之間的區(qū)別及聯(lián)系，掌握函數(shù)、方程及不等式的思想和方法.難點磁場已知對于x的所有實數(shù)值，二次函數(shù)f(x)=x24ax+2a+12(aR)的值都是非負(fù)的，求關(guān)于x的方程=|a1|+2的根的取值范圍.案例探究例1已知二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c和一次函數(shù)g(x)=bx，其中a、b、c滿足a>b>c,a+b+c=0,(a,b,cR).(1)求證：兩函數(shù)的圖象交于不同的兩點A、B；(2)求線段AB在x軸上的射影A1B1的長的取值范圍.命題意圖：本題主要考查考生對

36、函數(shù)中函數(shù)與方程思想的運(yùn)用能力.屬于題目.知識依托：解答本題的閃光點是熟練應(yīng)用方程的知識來解決問題及數(shù)與形的完美結(jié)合.錯解分析：由于此題表面上重在“形”，因而本題難點就是一些考生可能走入誤區(qū)，老是想在“形”上找解問題的突破口，而忽略了“數(shù)”.技巧與方法：利用方程思想巧妙轉(zhuǎn)化.(1)證明：由消去y得ax2+2bx+c=0=4b24ac=4(ac)24ac=4(a2+ac+c2)=4(a+c2a+b+c=0,a>b>c,a>0,c<0c2>0,>0,即兩函數(shù)的圖象交于不同的兩點.(2)解：設(shè)方程ax2+bx+c=0的兩根為x1和x2,則x1+x2=,x1x2=.

37、|A1B1|2=(x1x2)2=(x1+x2)24x1x2a>b>c,a+b+c=0,a>0,c<0a>ac>c,解得(2,)的對稱軸方程是.(2,)時，為減函數(shù)|A1B1|2(3,12),故|A1B1|().例2已知關(guān)于x的二次方程x2+2mx+2m+1=0.(1)若方程有兩根，其中一根在區(qū)間(1，0)內(nèi)，另一根在區(qū)間(1，2)內(nèi)，求m的范圍.(2)若方程兩根均在區(qū)間(0，1)內(nèi)，求m的范圍.命題意圖：本題重點考查方程的根的分布問題，屬級題目.知識依托：解答本題的閃光點是熟知方程的根對于二次函數(shù)性質(zhì)所具有的意義.錯解分析：用二次函數(shù)的性質(zhì)對方程的根進(jìn)行限制

38、時，條件不嚴(yán)謹(jǐn)是解答本題的難點.技巧與方法：設(shè)出二次方程對應(yīng)的函數(shù)，可畫出相應(yīng)的示意圖，然后用函數(shù)性質(zhì)加以限制.解：(1)條件說明拋物線f(x)=x2+2mx+2m+1與x軸的交點分別在區(qū)間(1，0)和(1，2)內(nèi)，畫出示意圖，得.(2)據(jù)拋物線與x軸交點落在區(qū)間(0，1)內(nèi)，列不等式組(這里0<m<1是因為對稱軸x=m應(yīng)在區(qū)間(0，1)內(nèi)通過)錦囊妙計1.二次函數(shù)的基本性質(zhì)(1)二次函數(shù)的三種表示法：y=ax2+bx+c;y=a(xx1)(xx2);y=a(xx0)2+n.(2)當(dāng)a>0,f(x)在區(qū)間p,q上的最大值M，最小值m,令x0= (p+q).若<p,則f(

39、p)=m,f(q)=M;若p<x0,則f()=m,f(q)=M;若x0<q,則f(p)=M,f()=m;若q,則f(p)=M,f(q)=m.2.二次方程f(x)=ax2+bx+c=0的實根分布及條件.(1)方程f(x)=0的兩根中一根比r大，另一根比r小a·f(r)<0;(2)二次方程f(x)=0的兩根都大于r (3)二次方程f(x)=0在區(qū)間(p,q)內(nèi)有兩根(4)二次方程f(x)=0在區(qū)間(p,q)內(nèi)只有一根f(p)·f(q)<0,或f(p)=0(檢驗)或f(q)=0(檢驗)檢驗另一根若在(p,q)內(nèi)成立.(5)方程f(x)=0兩根的一根大于p,

40、另一根小于q(p<q).3.二次不等式轉(zhuǎn)化策略(1)二次不等式f(x)=ax2+bx+c0的解集是：(,),+a<0且f()=f()=0;(2)當(dāng)a>0時，f()<f() |+|<|+|,當(dāng)a<0時，f()<f()|+|>|+|;(3)當(dāng)a>0時，二次不等式f(x)>0在p,q恒成立或(4)f(x)>0恒成立殲滅難點訓(xùn)練一、選擇題1.()若不等式(a2)x2+2(a2)x4<0對一切xR恒成立，則a的取值范圍是( )A.(,2B.2,2C.(2,2D.(,2)2.()設(shè)二次函數(shù)f(x)=x2x+a(a>0),若f(m

41、)<0,則f(m1)的值為( )A.正數(shù)B.負(fù)數(shù)C.非負(fù)數(shù)D.正數(shù)、負(fù)數(shù)和零都有可能二、填空題3.()已知二次函數(shù)f(x)=4x22(p2)x2p2p+1,若在區(qū)間1，1內(nèi)至少存在一個實數(shù)c,使f(c)>0,則實數(shù)p的取值范圍是_.4.()二次函數(shù)f(x)的二次項系數(shù)為正，且對任意實數(shù)x恒有f(2+x)=f(2x),若f(12x2)<f(1+2xx2),則x的取值范圍是_.三、解答題5.()已知實數(shù)t滿足關(guān)系式 (a>0且a1)(1)令t=ax,求y=f(x)的表達(dá)式；(2)若x(0,2時，y有最小值8，求a和x的值.6.()如果二次函數(shù)y=mx2+(m3)x+1的圖象

42、與x軸的交點至少有一個在原點的右側(cè)，試求m的取值范圍.7.()二次函數(shù)f(x)=px2+qx+r中實數(shù)p、q、r滿足=0,其中m>0,求證：(1)pf()<0;(2)方程f(x)=0在(0，1)內(nèi)恒有解.8.()一個小服裝廠生產(chǎn)某種風(fēng)衣，月銷售量x(件)與售價P(元/件)之間的關(guān)系為P=1602x,生產(chǎn)x件的成本R=500+30x元.(1)該廠的月產(chǎn)量多大時，月獲得的利潤不少于1300元？(2)當(dāng)月產(chǎn)量為多少時，可獲得最大利潤？最大利潤是多少元？參考答案難點磁場解：由條件知0,即(4a）24(2a+12)0,a2(1)當(dāng)a1時，原方程化為：x=a2+a+6,a2+a+6=(a)2+

43、.a=時，xmin=,a=時，xmax=.x.(2)當(dāng)1a2時，x=a2+3a+2=(a+)2當(dāng)a=1時，xmin=6,當(dāng)a=2時，xmax=12,6x12.綜上所述,x12.殲滅難點訓(xùn)練一、1.解析：當(dāng)a2=0即a=2時,不等式為40,恒成立.a=2,當(dāng)a20時，則a滿足,解得2a2,所以a的范圍是2a2.答案：C2.解析：f(x)=x2x+a的對稱軸為x=,且f(1)>0,則f(0)>0,而f(m)0,m(0,1),m10,f(m1)>0.答案：A二、3.解析：只需f(1)=2p23p+9>0或f(1)=2p2+p+1>0即3p或p1.p(3, ).答案：(3

44、，）4.解析：由f(2+x)=f(2x)知x=2為對稱軸，由于距對稱軸較近的點的縱坐標(biāo)較小，|12x22|1+2xx22|,2x0.答案：2x0三、5.解：(1）由loga得logat3=logty3logta由t=ax知x=logat，代入上式得x3=,logay=x23x+3，即y=a (x0).(2)令u=x23x+3=(x)2+ (x0),則y=au若0a1,要使y=au有最小值8，則u=(x)2+在(0，2上應(yīng)有最大值，但u在(0，2上不存在最大值.若a>1,要使y=au有最小值8，則u=(x)2+,x(0,2應(yīng)有最小值當(dāng)x=時，umin=,ymin=由=8得a=16.所求a=

45、16,x=.6.解：f(0)=1>0(1)當(dāng)m0時，二次函數(shù)圖象與x軸有兩個交點且分別在y軸兩側(cè)，符合題意.(2）當(dāng)m>0時，則解得0m1綜上所述，m的取值范圍是m|m1且m0.7.證明：(1),由于f(x)是二次函數(shù)，故p0,又m>0,所以，pf()0.(2)由題意，得f(0)=r,f(1)=p+q+r當(dāng)p0時，由(1）知f()0若r>0,則f(0)>0,又f()0,所以f(x)=0在(0，)內(nèi)有解;若r0,則f(1)=p+q+r=p+(m+1)=()+r=>0,又f()0,所以f(x)=0在(,1)內(nèi)有解.當(dāng)p0時同理可證.8.解：(1）設(shè)該廠的月獲利為

46、y,依題意得y=(1602x)x(500+30x)=2x2+130x500由y1300知2x2+130x5001300x265x+9000，(x20)(x45)0，解得20x45當(dāng)月產(chǎn)量在2045件之間時，月獲利不少于1300元.(2）由(1）知y=2x2+130x500=2(x)2+1612.5x為正整數(shù)，x=32或33時，y取得最大值為1612元，當(dāng)月產(chǎn)量為32件或33件時，可獲得最大利潤1612元.難點5 求解函數(shù)解析式求解函數(shù)解析式是高考重點考查內(nèi)容之一，需引起重視.本節(jié)主要幫助考生在深刻理解函數(shù)定義的基礎(chǔ)上，掌握求函數(shù)解析式的幾種方法，并形成能力，并培養(yǎng)考生的創(chuàng)新能力和解決實際問題的

47、能力.難點磁場()已知f(2cosx)=cos2x+cosx,求f(x1).案例探究例1(1)已知函數(shù)f(x)滿足f(logax)= (其中a>0,a1,x>0),求f(x)的表達(dá)式.(2)已知二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c滿足|f(1)|=|f(1)|=|f(0)|=1,求f(x)的表達(dá)式.命題意圖：本題主要考查函數(shù)概念中的三要素：定義域、值域和對應(yīng)法則，以及計算能力和綜合運(yùn)用知識的能力.屬題目.知識依托：利用函數(shù)基礎(chǔ)知識，特別是對“f”的理解，用好等價轉(zhuǎn)化，注意定義域.錯解分析：本題對思維能力要求較高，對定義域的考查、等價轉(zhuǎn)化易出錯.技巧與方法：(1)用換元法；(2)用待定

48、系數(shù)法.解：(1)令t=logax(a>1,t>0;0<a<1,t<0),則x=at.因此f(t)= (atat)f(x)= (axax)(a>1,x>0;0<a<1,x<0)(2)由f(1)=a+b+c,f(1)=ab+c,f(0)=c得并且f(1)、f(1)、f(0)不能同時等于1或1，所以所求函數(shù)為：f(x)=2x21或f(x)=2x2+1或f(x)=x2x+1或f(x)=x2x1或f(x)=x2+x+1或f(x)=x2+x1.例2設(shè)f(x)為定義在R上的偶函數(shù)，當(dāng)x1時，y=f(x)的圖象是經(jīng)過點(2，0)，斜率為1的射線，又

49、在y=f(x)的圖象中有一部分是頂點在(0，2)，且過點(1，1)的一段拋物線，試寫出函數(shù)f(x)的表達(dá)式，并在圖中作出其圖象.命題意圖：本題主要考查函數(shù)基本知識、拋物線、射線的基本概念及其圖象的作法，對分段函數(shù)的分析需要較強(qiáng)的思維能力.因此，分段函數(shù)是今后高考的熱點題型.屬題目.知識依托：函數(shù)的奇偶性是橋梁，分類討論是關(guān)鍵，待定系數(shù)求出曲線方程是主線.錯解分析：本題對思維能力要求很高，分類討論、綜合運(yùn)用知識易發(fā)生混亂.技巧與方法：合理進(jìn)行分類，并運(yùn)用待定系數(shù)法求函數(shù)表達(dá)式.解：(1)當(dāng)x1時，設(shè)f(x)=x+b射線過點(2，0).0=2+b即b=2，f(x)=x+2.(2)當(dāng)1<x&l

50、t;1時，設(shè)f(x)=ax2+2.拋物線過點(1，1)，1=a·(1)2+2,即a=1f(x)=x2+2.(3)當(dāng)x1時，f(x)=x+2綜上可知：f(x)=作圖由讀者來完成.錦囊妙計本難點所涉及的問題及解決方法主要有：1.待定系數(shù)法，如果已知函數(shù)解析式的構(gòu)造時，用待定系數(shù)法；2.換元法或配湊法，已知復(fù)合函數(shù)fg(x)的表達(dá)式可用換元法，當(dāng)表達(dá)式較簡單時也可用配湊法；3.消參法，若已知抽象的函數(shù)表達(dá)式，則用解方程組消參的方法求解f(x);另外，在解題過程中經(jīng)常用到分類討論、等價轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想方法.殲滅難點訓(xùn)練一、選擇題1.()若函數(shù)f(x)=(x)在定義域內(nèi)恒有ff(x)=x,則m等

51、于( )A.3B.C.D.32.()設(shè)函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于直線x=1對稱，在x1時，f(x)=(x+1)21,則x>1時f(x)等于( )A.f(x)=(x+3)21B.f(x)=(x3)21C.f(x)=(x3)2+1D.f(x)=(x1)21二、填空題3.()已知f(x)+2f()=3x,求f(x)的解析式為_.4.()已知f(x)=ax2+bx+c,若f(0)=0且f(x+1)=f(x)+x+1,則f(x)=_.三、解答題5.()設(shè)二次函數(shù)f(x)滿足f(x2)=f(x2),且其圖象在y軸上的截距為1，在x軸上截得的線段長為，求f(x)的解析式.6.()設(shè)f(x)是在(,+)上以4為周期的函數(shù)，且f(x)是偶函數(shù)，在區(qū)間2，3上時，f(x)=2(x3)2+4，求當(dāng)x1,2時f(x)的解析式.若矩形ABCD的兩個頂點A、B在x軸上，C、D在y=f(x)(0x2)的圖象上，求這個矩形面積的最大值.7.()動點P從邊長為1的正方形ABCD的頂點A出發(fā)順次經(jīng)過B、C、D再回到A，設(shè)x表示P點的行程，f(x)表示PA的長，g(x)表示ABP的面積，求f(x)和g(x),并作出g(x)的簡圖.8.()已知函數(shù)y=f(x)是定義在R上的周期函數(shù)，