數(shù)學(xué)歸納法的七種變式及其應(yīng)用(共10頁(yè))

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上數(shù)學(xué)歸納法的七種變式及其應(yīng)用摘要：數(shù)學(xué)歸納法是解決與自然有關(guān)命題的一種行之有效的方法，又是數(shù)學(xué)證明的又一種常用形式.數(shù)學(xué)歸納法不僅能夠證明自然數(shù)命題，在實(shí)數(shù)中也廣泛應(yīng)用，還能對(duì)一些數(shù)學(xué)定理進(jìn)行證明.在中學(xué)時(shí)學(xué)習(xí)了第一數(shù)學(xué)歸納法和第二數(shù)學(xué)歸納法，因而對(duì)一些命題進(jìn)行了簡(jiǎn)單證明.在原有的基礎(chǔ)上，給出了數(shù)學(xué)歸納法的另外五種變式，其中涉及到反向歸納法、二重歸納法、螺旋式歸納法、跳躍歸納法和關(guān)于實(shí)數(shù)的連續(xù)歸納法，并簡(jiǎn)單的舉例說明了每種變式在數(shù)學(xué)各分支的應(yīng)用.這就突破了數(shù)學(xué)歸納法僅在自然數(shù)中的應(yīng)用，為今后的數(shù)學(xué)命題證明提供了一種行之有效的證明方法數(shù)學(xué)歸納法.關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)歸納法；七種

2、變式；應(yīng)用1引言歸納法是由特殊事例得出一般結(jié)論的歸納推理方法，一般性結(jié)論的正確性依賴于各個(gè)個(gè)別論斷的正確性。數(shù)學(xué)歸納法的本質(zhì)是證明一個(gè)命題對(duì)于所有的自然數(shù)都是成立的.由于它在本質(zhì)上是與數(shù)的概念聯(lián)系在一起，所以數(shù)學(xué)歸納法可以運(yùn)用到數(shù)學(xué)的各個(gè)分支，例如：證明等式、不等式，三角函數(shù)，數(shù)的整除，在幾何中的應(yīng)用等.數(shù)學(xué)歸納法的基本思想是用于證明與自然數(shù)有關(guān)的命題的正確性的證明方法，如第一數(shù)學(xué)歸納法，操作步驟簡(jiǎn)單明了.在第一數(shù)學(xué)歸納法的基礎(chǔ)上，又衍生出了第二數(shù)學(xué)歸納法，反向歸納法，二重歸納法等證明方法.從而可以解決更多的數(shù)學(xué)命題.2 數(shù)學(xué)歸納法的變式及應(yīng)用2.1 第一數(shù)學(xué)歸納法 設(shè)是一個(gè)含有正整數(shù)的命題,

3、如果滿足：1） 成立（即當(dāng)時(shí)命題成立）；2）只要假設(shè)成立（歸納假設(shè)），由此就可證得也成立（是自然數(shù)），就能保證對(duì)于任意的自然數(shù)，命題都成立.通常所討論的命題不都全是與全體自然數(shù)有關(guān)，而是從某個(gè)自然數(shù)開始的，因此，將第一類數(shù)學(xué)歸納法修改為：設(shè)是一個(gè)含有正整數(shù)n的命題(，), 如果1）當(dāng)=時(shí),成立；2）由 成立必可推得成立, 那么對(duì)所有正整數(shù)都成立.例1 用數(shù)學(xué)歸納法證明. 證明： （1）當(dāng)時(shí)，左邊=，右邊=，因此等式成立.（2） 假設(shè)時(shí)成立，即成立.當(dāng)時(shí)，左邊= = = =右邊因此， 當(dāng)時(shí)等式也成立.2.2第二數(shù)學(xué)歸納法 設(shè)是一個(gè)含有正整數(shù)的命題，如果：1）當(dāng)=時(shí),成立；2）由對(duì)所有適合的正整數(shù)

4、成立的假定下，推得時(shí)命題也成立,那么對(duì)所有正整數(shù)都成立.例 2 利用數(shù)學(xué)歸納法證明第個(gè)質(zhì)數(shù) 證明：（1）當(dāng)時(shí)，命題成立.（2）設(shè)時(shí)命題成立，即，即，則.所以 的質(zhì)因子.又都不是的質(zhì)因子（相除時(shí)余1），故.即 .因此，.即時(shí)命題也成立.綜上（1）、（2）可知對(duì)于任何自然數(shù)命題都成立.2.3 反向歸納法反向歸納法也叫倒推歸納法.相應(yīng)的兩個(gè)步驟如下：（1） 對(duì)于無窮對(duì)個(gè)自然數(shù)，命題成立.（2） 假設(shè)成立，可導(dǎo)出也成立.由（1）、（2）可以判定對(duì)于任意的自然數(shù)都成立.例3 利用倒推歸納法證明. 證明：（1）首先證明，當(dāng)（為自然數(shù)）時(shí)，不等式（2）成立.對(duì)施行歸納法.當(dāng)時(shí)，即時(shí)，（已證）.當(dāng)時(shí)，即時(shí).因

5、此時(shí)，不等式（2）都成立.設(shè)當(dāng)時(shí)不等式（2）成立，那么當(dāng)時(shí)= . 由此可知，對(duì)于形狀的自然數(shù)，不等式（2）是成立的.即對(duì)無窮多個(gè)自然數(shù) 2， 4， 8， 16，不等式（2）是成立的.（2）下面再證倒推歸納法的第二步.假設(shè)時(shí)，不等式（2）成立.只要導(dǎo)出時(shí)不等式（2）也成立就可以了.為證 ， 設(shè) ，即.由假設(shè)，.即 由（1）、（2），對(duì)于任意的自然數(shù)，不等式（2）都成立.2.4 二重歸納法 設(shè)是一個(gè)含有兩個(gè)獨(dú)立正整數(shù)，的命題，如果（1）對(duì)任意正整數(shù)成立，對(duì)任意正整數(shù)成立；（2）在與成立的假設(shè)下，可以證明成立.那么對(duì)任意正整數(shù)和都成立.例4 設(shè)，都是正整數(shù)，則用數(shù)學(xué)歸納法證明不定方程的非負(fù)整數(shù)解的個(gè)

6、數(shù)為證明：（1）當(dāng)時(shí)，不定方程為顯然，方程的非負(fù)整數(shù)解為 ，共有組，而按式計(jì)算，方程的非負(fù)整數(shù)解的組數(shù)為，所以對(duì)任意正整數(shù)都成立.當(dāng)時(shí)，不定方程為 顯然，此方程只有一組解，而由式可知，方程的非負(fù)整數(shù)解的組數(shù)為，因此對(duì)任意正整數(shù)成立.（3） 假設(shè)結(jié)論對(duì)和成立,即假設(shè)不定方程的非負(fù)整數(shù)解的組數(shù)為，不定方程的非負(fù)整數(shù)解的組數(shù)為. 現(xiàn)在來考慮不定方程的非負(fù)整數(shù)解的組數(shù)，該方程的非負(fù)整數(shù)解可分為兩類： 第一類 當(dāng)時(shí)，方程變?yōu)?，所以方程滿足的非負(fù)整數(shù)解的組數(shù)為. 第二類 當(dāng)時(shí)，令，則方程變?yōu)?方程與方程實(shí)為同一方程，所以，方程滿足的非負(fù)整數(shù)解的組數(shù)為.因此,方程的非負(fù)整數(shù)解的組數(shù)為這表明，命題成立.于是，

7、由二重歸納法知，對(duì)任意正整數(shù)和，命題都成立.2.5 螺旋式歸納法現(xiàn)有兩個(gè)與自然數(shù)有關(guān)的命題，.如果滿足是正確的.假設(shè)成立，能導(dǎo)出成立，假設(shè)成立，能導(dǎo)出成立.這樣就能斷定對(duì)于任意的自然數(shù)，和都正確.例5 數(shù)列滿足，其中是自然數(shù)，又令表示數(shù)列的前項(xiàng)之和，求證： （1） （2）證明：這里可把等式（1）：看作命題，把等式（2）： 看作命題(為自然數(shù)). 時(shí)，等式（1）成立. 假設(shè)時(shí)，等式（1）成立.即那么=.即等式（2）也成立.這就是說，若成立可導(dǎo)出成立.又假設(shè)成立，即.那么=.這就是說，若命題成立，可以導(dǎo)出命題也成立.由、可知，對(duì)于任意的自然數(shù)等式（1）、（2）都成立.顯然，這種螺旋式歸納法也實(shí)用于

8、多個(gè)命題的情形，在原有的基礎(chǔ)上再加入也是成立的.2.6 跳躍歸納法若一個(gè)命題對(duì)自然數(shù),都是正確的；如果由假定命題對(duì)自然數(shù)正確，就能推出命題對(duì)自然數(shù)正確則命題對(duì)一切自然數(shù)都正確證明：因?yàn)槿我庾匀粩?shù)由于命題對(duì)一切中的都正確，所以命題對(duì)都正確，因而對(duì)一切命題都正確例6 求證用面值分和分的郵票可支付任何()分郵資證明：顯然當(dāng)，時(shí)，可用分和分郵票構(gòu)成上面郵資（時(shí)，用一個(gè)分郵票和一個(gè)分郵票，時(shí)，用個(gè)分郵票，時(shí)，用個(gè)分郵票）下面假定時(shí)命題正確，這時(shí)對(duì)于，命題也正確，因?yàn)榉挚捎梅峙c分郵票構(gòu)成，再加上一個(gè)分郵票，就使分郵資可用分與分郵票構(gòu)成由跳躍歸納法知命題對(duì)一切都成立2.7 關(guān)于實(shí)數(shù)的連續(xù)歸納法設(shè)是關(guān)于實(shí)數(shù)的

9、一個(gè)命題，如果： 有，當(dāng)時(shí)，成立；如果對(duì)所有小于的，成立，則由，使得對(duì)所有小于的，成立；則對(duì)所有實(shí)數(shù)，成立.例7 證明連續(xù)函數(shù)的介值定理：設(shè)是上的連續(xù)函數(shù)，則有，使得. 證明： 不妨令在上恒為，在上恒為.用反證法，設(shè)沒有實(shí)數(shù)，使得.考慮命題：.則有：顯然，當(dāng)時(shí)成立；如果對(duì)所有小于的，成立，即；由連續(xù)性可得.由反證法假設(shè)，不能為，故.再由連續(xù)性，有，使得在上成立.故有，對(duì)所有小于的，成立.由連續(xù)歸納法，對(duì)所有實(shí)數(shù)，成立：.這與矛盾，說明反證法假設(shè)不成立.下面，我們用連續(xù)歸納法證明柯西收斂準(zhǔn)則.例8（Cauchy 收斂準(zhǔn)則）數(shù)列收斂，存在一個(gè)正整數(shù)，.證明：必要性易證.現(xiàn)證充分性. 若有無窮多項(xiàng)相

10、等，不妨設(shè)，則收斂于.事實(shí)上，由條件，存在一個(gè)正整數(shù)，,使得=，即. 若沒有無窮多項(xiàng)相等，則有無窮多個(gè)互異的項(xiàng)，即集合是無限集.下面用反證法證明收斂.假設(shè)不收斂，仿照上面證明，可知，對(duì)任意，都不是的極限，因此存在，使得中最多含有的有限項(xiàng)，否則，中含有的無限多項(xiàng)，由已知條件，對(duì)于，存在一個(gè)正整數(shù)，一定存在，且，從而，即，得出矛盾.故,存在，使得中最多含有的有限項(xiàng).引入命題：在中最多含有的有限項(xiàng).取，對(duì)于任意，顯然有真；如果有某個(gè)，使得對(duì)一切有真，因?yàn)椴皇堑臉O限，故有開區(qū)間，使，而內(nèi)只有的有限個(gè)點(diǎn)，內(nèi)取，由歸納法假定，內(nèi)只有的有限個(gè)點(diǎn)，內(nèi)也只有的有限個(gè)點(diǎn)，于是內(nèi)只有的有限個(gè)點(diǎn)，于是對(duì)一切，有為真.由連續(xù)性歸納法知，對(duì)于一切內(nèi)只有的有限個(gè)點(diǎn).取，可推出是有限集，這與題設(shè)矛盾.故收斂.命題得證.結(jié)束語(yǔ)經(jīng)過這次的學(xué)習(xí)，對(duì)數(shù)學(xué)歸納法有了更深入的了解.數(shù)學(xué)歸納法不僅在自然數(shù)上廣泛應(yīng)用，在實(shí)數(shù)上的應(yīng)用也是相當(dāng)廣泛的，甚至對(duì)許多數(shù)學(xué)定理的證明起到了很大的幫助.有了這七種變式，在今后的數(shù)學(xué)命題的證明過程中，又會(huì)有更多的方法，方便解題.當(dāng)然，數(shù)學(xué)歸納法的內(nèi)容是十分豐富的，不僅僅是 只有這七種形式，如在今后學(xué)習(xí)過程中遇到，再做詳細(xì)了解.參考文獻(xiàn)1蔣文蔚,楊延齡.數(shù)學(xué)歸納法M.北京：北京師范大學(xué)出版社，1985.52王志蘭.數(shù)學(xué)歸納法及其在數(shù)論方面的應(yīng)用J.青海師專學(xué)報(bào)，2009.5