平面向量全部講義

1、12鞏固練習(xí)：1 .將4(3a+2b) 2(b 2a)化簡(jiǎn)成最簡(jiǎn)式為 第一節(jié)平面向量的概念及其線性運(yùn)算1.向量的有關(guān)概念(1)向量：既有大小，又有方向的量叫向量;向量的大小叫做向量的模. (2)零向量：長(zhǎng)度為 0向向量，其方向是任意的.單位向量：長(zhǎng)度等于 1個(gè)單位的向量.(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量,又叫共線向量，規(guī)定：0與任一向量共線.(5)相等向量：長(zhǎng)度相等且方向相同的向量.(6)相反向量：長(zhǎng)度相等且方向相反的向量.例1 .若向量a與b不相等，則a與b 一定()A.有不相等的模B.不共線 C.不可能都是零向量D.不可能都是單位向量uuur uuur例2.給出下列命題：若|a|=

2、|b|,則a = b;若A, B, C, D是不共線的四點(diǎn)，則 AB = DC等價(jià)于四邊 形ABCD為平行四邊形；若 a = b, b = c,則2 =弓 a = b等價(jià)于| a| = | b|且a / b;若a / b, b / c,則a / c.其中正確命題的序號(hào)是()A.B,C.D.CA2.向量的線性運(yùn)算向量運(yùn)算定義法則(或幾何意義)運(yùn)算律加法求兩個(gè)向量和的運(yùn)算三角形法則(1)交換律：a + b = b+ a;(2)結(jié)合律：(a + b) + c= a + (b + c)平行四邊形法則減法求a與b的相反向量一b的和的運(yùn)算叫做a與b的差三角形法則a b= a + ( b)數(shù)乘求實(shí)數(shù)入與向量

3、a的積的運(yùn)算(1)| 同=| 川 a| ;(2)當(dāng)入0時(shí),油的方向與a的方向相同：當(dāng)入v 0時(shí)， 油的方向與a的方向相反: 當(dāng)入=0時(shí)，?a = 0Mwa)=(入 )a;(入+ a)a = As + 舊；Z(a + b) = ?a + Zb例 3:化簡(jiǎn) ACBD+ CDAB# () A.AB b.DA c.Bc D. 0uuu uuu uuur例4： (1)如圖，在正六邊形 ABCDEF中，BA+CD+ EF =()uuiruuuuuuA. 0 B. BE C. ADD. CF12 uuur uuur uuur(2)設(shè) D,E分別是ABC 的邊 AB, BC上的點(diǎn)，AD=AB,BE=；BC.若

4、 DE=入1 AB+ 加 AC(入1, M為實(shí)數(shù))，則入 1+旭的值為2 .若|OA+OB| =|OAOB|,則非零向量 OA, OB的關(guān)系是（）a.平行 b.重合 c.垂直 d.不確uuiruuu uuu3 .若菱形ABCD的邊長(zhǎng)為2,則| AB CB + CD | =uuu4 . D是 ABC的邊AB上的中點(diǎn)，則向量 CD等于（）uuur i uuuuuir 1 uuu uuur 1 uuuuuur 1 uuuA. BC +2 BA B. BC -2 BA C. BC -2BA D. BC +2 BAuuu uuruuir uuu uuur uuur uuur uuir5 .若A,B, C

5、,D是平面內(nèi)任意四點(diǎn)，給出下列式子：AB + CD =BC + DA;AC + BD= BC + AD;uuuruuir uuuruuirAc Bd = De + Ab .其中正確的有（）A. 0個(gè) B. 1個(gè) C. 2個(gè) D. 3個(gè)6 .如圖，在 ABC中，D, E為邊AB的兩個(gè)三等分點(diǎn)，CA= 3a, CB= 2b,求CD, CE.uuur 1 uuuruuir4如圖，在 ABC中，/ A= 60, / A的平分線交 BC于D,若AB = 4,且AD =- AC +入AB （/R）,則AD 的長(zhǎng)為（）A. 2/3B. 3/3C. 4/3D. 5/3fuur uuuruuuruuuruuuu

6、/ ，:工、5 .在？ABCD 中，AB =a, AD =b, AN = 3 NC ,“為 BC 的中點(diǎn)，則 MN =（用、a , b表木）.uuur uuir uuur uuir uuur uuuu6 .設(shè)點(diǎn)M是線段BC的中點(diǎn)，點(diǎn)A在直線BC外，BC 2=16, | AB+ AC |= | AB AC| ,則| AM| =入，使得b =入auuuCD =3（a-b）,A. 1B. 2C. 3D. 4uuuuuuruuruuruuiruuir2.如圖，已知AB=a, AC=b, BD =3 DC ,用 a,b表示AD ,則AD3131131A. a +4bb.4a+4bc.4a+ 4bD.4a

7、 +4b3.已知向量a, b , c中任思四個(gè)都不共線，但a+bc c共線，且b+ c與向量 a + b + c=（）A. aB. bC. cD. 0入必為零.入,為實(shí)數(shù))，則科為實(shí)數(shù),=（）若油=肉，則a與b共線.其中錯(cuò)誤的命題的個(gè)數(shù)為 (a共線，則1DD2 鞏固練習(xí) 1。16a +6b 2。C 3。24。A 5。C 6,解：AB = AC + CB=- 3a + 2b, / D, E為AB的兩個(gè)三等分點(diǎn)，AD：% = -a + |b=DE. . CD=CA+ AD=3a-a+2b = 2a+2b. .-.CE= CD+ DE= 2a 3333+ 3b a + 3b = a + 3b.3.共

8、線向量定理：向量a(awO)與b共線等價(jià)于存在唯一一個(gè)實(shí)數(shù)例5.已知a與b是兩個(gè)不共線向量，且向量 a+ b與一(b 3a)共線，則uuruuir例6.設(shè)兩個(gè)非零向量 a與b不共線，(1)若AB=a+b, BC=2a +8b求證：A, B, D三點(diǎn)共線.(2)試確定實(shí)數(shù)k,使ka+b和a+kb共線.鞏固練習(xí):1 .給出下列命題: 兩個(gè)具有公共終點(diǎn)的向量，一定是共線向量.兩個(gè)向量不能比較大小，但它們的模能比較大小.1 uuiruuruuir例 5.3例 6.解(1)證明：AB=a + b, BC=2a+8b, CD=3(a-b),uuur uuir uuuuuir uuir uuurBD = B

9、C + CD =2a + 8b+3(a b) = 2a + 8b + 3a 3b = 5(a+b)=5AB .-, AB , BD 共線，又.它們有公共點(diǎn) B, /.A, B, D三點(diǎn)共線.(2) .ka + b 與 a + kb 共線，存在實(shí)數(shù) 入，使 ka + b = Xa+kb),即ka+b= Za+入b.，(k Z)a=(入卜1)b.a, b是不共線的兩個(gè)非零向量，.k一入=入卜1 = 0,k21 = 0. k= +1.11C B D B -4a+-b 24 .向量的中線公式： 若P為線段AB的中點(diǎn)，O為平面內(nèi)一點(diǎn)，則03=(戕+能).5 .三點(diǎn)共線等價(jià)關(guān)系 uuir uuuruuuu

10、uu uuuA, P, B 三點(diǎn)共線？AP= XAB(F 0? OP=(1t)OA+tOB(O 為平面內(nèi)異于A, P, B 的任uuu uuu uuu一點(diǎn)，tCR)? OP=xOA+yOB (O 為平面內(nèi)異于 A, P, B 的任一點(diǎn)，x C R, y C R, x+y = 1).第二節(jié)平面向量的基本定理及坐標(biāo)表示1 .平面向量基本定理如果e1，e2是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那么對(duì)于這一平面內(nèi)的任意向量a,有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)X,冷 使a = Xie1 + A2e2.其中，不共線的向量 ei, e2叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底2.平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算(i)3a + b-3c=3(5, 5

11、)+( 6, - 3)-3(i,8) =(i5-6-3, - i5-3-24) =(6, 42).(1)向量加法、減法、數(shù)乘向量及向量的模：設(shè) a = (xi, yi), b = (x2, y2),則 a + b=(xi + x2, yi + y2), a b=(xi x2, yi y2),(2)向量坐標(biāo)的求法：若向量的起點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn)，則終點(diǎn)坐標(biāo)即為向量的坐標(biāo).uur設(shè) A(xi, yi), B(x2, y2),則 AB =(x2xi, y2 yi)2 2) mb + nc= ( 6m + n , 3m+8n),B C C C C D 2ab 56m + n = 5,3m + 8n = 1 5

12、 ,解得m = i, n = i.平面向量基本定理及其應(yīng)用：如果，那么對(duì)這一平面內(nèi)的任一向量a,有且只有一對(duì)實(shí)數(shù) k, ?2, a=入iei+ Me2,其中ei, e2是一組基底.3 .平面向量共線的坐標(biāo)表示uuur | AB | = x2 xi2+y2 yi2設(shè) a = (xi, yi), b =(x2, y2),其中 b w 0a/ b? xiy2x2yi = 0.例 7.若 A(0,i) , B(i,2) , C(3,4),則 AB 2BC=_特別注意：若ei,e2是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，a= Xiei+尬e2,b1G2e2則ab22例i。：(i)如圖，平面內(nèi)有三個(gè)向量 OA, O

13、b, Oc,其中OA與麗的夾角為i20, OA與OC的夾角為30,且|OAI = |OB| = i, | OC| =2/3,若 OC=入OA+ g a 代 r),則入+ 科的值為uuur例8.已知點(diǎn)M(5, 6)和向量a=(i, 2),若MN =3a,則點(diǎn)N的坐標(biāo)為()A. (2,0) B. (- 3,6) C. (6,2)D. (-2,0)uuiruuur uur例 9.已知 A(2,4) , B(3, - i), C(-3, 4).設(shè) AB = a, BC = b , CA =c.(i)求 3a+b 3c；(2)求滿足a=mb+nc的實(shí)數(shù) m , n.uuur uuuuuir(2)已知AD

14、, BE分別是 ABC的邊BC,AC上的中線，且ADr uuu ruuirr ra, BE b,則BC可用向量a,b表示為鞏固練習(xí)：1 .若向量 a=(i,i) , b = ( i,i) , c = (4,2),則 c=() A. 3a+bB. 3a bC. a+3b D. a +3b2 .已知向量 a=(x, y), b=( i,2),且 a + b=(i,3),則 |a| 等于()A.72 B.J3 Ca/5 DW3 .已知向量 a=(3,2) ,b=(x,4),若 a/b,則 x=() A. 4 B. 5 C. 6 D. 74 .設(shè)點(diǎn)A(2,0) , B(4,2),若點(diǎn)P在直線AB上，且

15、|AB| =2| AP| ,則點(diǎn)P的坐標(biāo)為()A. (3,i) B. (i, - i)C. (3,i)或(i, i) D,無數(shù)多個(gè)5 .已知 a = (i,2) , b = ( 3,2),當(dāng) ka + b 與 a 3b 平行時(shí)，k=() a.1 B. -1 C.D.344336 .已知向量 a=(cos 0, sin 0),向量b =(詆，一i),則|2ab|的最大值、最小值分別是( )DA. 4 亞 0 B. 4 怎 4 C. 16,0 D. 4,07 .已知向量 a =(1,2) , b=(2,3), c=(4,i),若用 a 和 b 表示 c,則 c =.8 .已知向量 a=(3,i),

16、 b=(1,3) , c=(k,7),若(a c)/b,則 k =.mOA nOB(m,n R),則 mn =(3).如圖，已知 C為 OAB邊AB上一點(diǎn)，且 AC 2CB,OC變式訓(xùn)練：uuuuur uuur1.在AABC中，已知D是AB邊上一點(diǎn)，若AD 2DB,CDA.1 uur uuu -CA CBM3 2 D. 一 3B.C.12f 2.設(shè)D, E分別是ABC的邊AB, BC上的點(diǎn)，AD=AB, BE=BC.若DE= XiAB+ %AC(入i,位為實(shí)數(shù))，則 入i + 23入2的值為.例 7. (3, - 3) 例 8.A 例 9.解：由已知得 a = (5, 5), b = (-6,

17、 3), c=(1,8).3.若M為ABC內(nèi)一點(diǎn)，且滿足AM31 -AB AC,則 ABM與 ABC的面積之比為5m +4n = 3, m 9,3.解(1)由題意得(3,2) = m( 1,2)+n(4,1),所以得2m + n = 2,8n=34.若點(diǎn)M是4ABC所在平面內(nèi)的一點(diǎn)，且滿足5AM = AB+3AC,則 ABM與 ABC的面積比為(2)a + kc= (3 + 4k,2+k), 2b-a=(-5,2),由題意得 2 x (34k)( 5) x (2 k) = 0. . k =16131 A.52B.53C.59D.25219 A 21:4 C-2 r 4 r例 10： 6 2a

18、4b33平面向量共線的坐標(biāo)表示例11.已知a = （1,2） , b = （ 3,2）,當(dāng)實(shí)數(shù)k取何值時(shí),ka +2b 與 2a-4b 平行?平面向量的數(shù)量積及應(yīng)用知識(shí)梳理練習(xí)：1.已知向量 a = (2,3) , b = (1,2),若(ma+nb)/(a 2b),則m等于( )C11A. - 2B. 2C. -2D.2uuiruuu2.已知 A(1,1) , B(3, 1), C(a, b). (1)若 A, B, C 三點(diǎn)共線，求 a, b 的關(guān)系式；(2)若 AC = 2 AB ,求點(diǎn) C 的坐標(biāo).1 .兩個(gè)向量的夾角（1）定義：已知兩個(gè) 向量a和b,作OA = a, OB = b，則

19、 與向量b的夾角，記作a, b.（2）范圍：向量夾角 a, b的范圍是 ,且=b, a.向量垂直：如果a, b,則a與b垂直，記作稱作向量a2.平面向量的數(shù)量積（1）平面向量的數(shù)量積的定義： 叫作向量a和b的數(shù)量積（或內(nèi)積）,記作a b=.可見，a b 是實(shí)數(shù)，可以等于正數(shù)、負(fù)數(shù)、零. 其中| a|cos Wl b|cos 。）叫作向量a在b方向上（b在a方向上）的投影.3.平面內(nèi)給定三個(gè)向量a =(3,2) , b = (1,2), c = (4,1) . (1)求滿足 a = mb + nc 的實(shí)數(shù) m , n; (2)若(a + kc)/(2ba),求實(shí)數(shù)k;例11.解法一：,2a 4b

20、wQ存在唯一實(shí)數(shù)入，使ka + 2b=入(2a 4b).將a, b的坐標(biāo)代入上式，彳#(k-6,2 k+4)= 乂14, -4),得 k 6 = 14 入且 2k+4= 4 入，解得 k=- 1.k 2 入=0,解法二：同法一有 ka+2b= A(2a-4b),即(k 2 4a + (2 + 4 ?)b= 0. 丁 a 與 b 不共線，2 + 4 入=0.k= 1.uuiruuuuuin uuur1. C 2,解：(1)由已知得 AB=(2, 2), AC=(a 1, b-1), /A, B, C 三點(diǎn)共線，AB/ AC.2(b- 1) + 2(a-1)= 0,即 a+b = 2.（2）向量數(shù)

21、量積的運(yùn)算律a b =（交換律） （a+ b） c=（分配律） （Za） b = a （2）（數(shù)乘結(jié)合 律）.uuuuuir(2) AC =2 AB , . . (a-1, b- 1) = 2(2, 2).a- 1 = 4,b-1 = - 4,解得a= 5, b= - 3.點(diǎn)C的坐標(biāo)為（5, - 3）.性質(zhì)幾何表小坐標(biāo)表小定義a b =all b|cos a, b a b= a1b + a2b2模a a = | a| 2或l a| =aar .2/1 a 1 a a1 a2uur若 A(X1, y1), B(x2, y2),則 AB =(x2 x1, y2 y1)uuu .AB =U(X2 x

22、1)2+(y2 y1)2a b的等價(jià)條件a b= 0a1b1 + a2b2= 0夾角a bcos a, b= l all bl(l all bl 豐 0)a2b22cos( a, b= j ja a2a2fb2b；|a b| 與l all b| 的a b|wa| b|,1122 2, 2l a1bla2b21 a a1 a24 bl b23.平面向量數(shù)量積的性質(zhì)：已知非零向量 a = （a1，a2）, b=（b1，b2）uurCD ；關(guān)系一、平面向量數(shù)量積的運(yùn)算uuu uuu例1(1)在等邊三角形 ABC中，D為AB的中點(diǎn)，AB= 5,求AB EC,(2)若 a=(3, 4), b = (2,

23、1),求(a 2b) (2a + 3b)和 | a + 2b|.變式訓(xùn)練1 .已知 | a|=2,| b |=5, a - b=-3，則| a + b |=,| a-b |=*2 .右向量a, b滿足|a|=1, |b|=2且a與b的夾角為則| a + b| =(答:9);3.4ABC 中，|AB| 3, | AC| 4, | BC | 5,則 aB bC變式訓(xùn)練1.已知下列各式:4.已知向量3x 3xx xa = cos-2, sin-2 , b = cs2, 一 sin-，且 x C7t(1)求 a b 及| a + b| ;|a|2=a2;=0;(a b)2 = a2b2;(a b)2=

24、 a2 2a b + b2,其中正確的有().I a| aA. 1個(gè)B. 2個(gè)C. 3個(gè)D. 4個(gè)(2)若f(x)=a b |a + b| ,求f(x)的最大值和最小值.2.下列命題中 a (b c) abac0)a (b c) (a b) c22_2(a b) |a|2|a| |b| |b| ； 三、求夾角例 3 已知 |a| =4, | b| =3, (2a 3b) (2a + b) = 61.(1)求 a 與 b 的夾角 0;若a b r3.已知ar r r0,則a 0或b 0；若ab c r r rr2, b 36與巾勺夾角為120,求(1ar r rb,貝Ua c；r %b;a其中正

25、確的是%r r rb ; (3) (2a b) (a(答：)r3b)r4.已知ar3, br r3 r r r r4, a與b的夾角為；4 ,求(3a b) (a 2b)。變式訓(xùn)練:di5.已知 a = (1 , A. (26 , 78) 3), b = (4,6) , c=(2,3),則(b c)a 等于(B. (-28, 42) C. 52 D.).78r rr r2 .若a,b是非零向量且滿足(a 2b)r r r r r ra , (b 2a) b ，則a與b的夾角(、求平面向量的模例2. (1)設(shè)向量a,b滿足ab 1 及 3ar 2br r3,求3a b的值2A. B. C. r

26、r3.已知a, b是兩個(gè)非零向量，且D.r r r，則a與a b的夾角為(答：30)A、45 B、60 0 C、135 0 D、rrr r4、已知a (6,0) , b ( 5,5),則a與b的夾角為()(2)設(shè)平面向量A.小a= (1,2) , b = (-2, y),若 a/b,則 |3a + b| 等于(B.乖 C.屈 D. V26)120r i r i r r5.已知 a (1,2),b (0, 2),c ar ir kb,dr r r ua b, c與d的夾角為-,則k等于(答:1);A.0,-B. 一 , 3C.D.12,則向量a在向量b上的投影為12)5(2)已知 a ( ,2 )(3 ,2)，如果a與b的夾角為銳角，則的取值范圍是變式訓(xùn)練.1.設(shè)平面向量a=(21)b二(入，一1),若a與b的夾角為鈍角,則入的取值范圍是()答案：A四。利用數(shù)量積解決垂直問題UrLTurLT例