高考數(shù)學(xué)壓軸專題人教版?zhèn)鋺?zhàn)高考《不等式》真題匯編含答案

1、【高中數(shù)學(xué)】數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)題不等式知識點(diǎn)練習(xí)一、選擇題1.已知離散型隨機(jī)變量 X服從二項分布X B(n, p),且E(X) 4 , D(X) q ,則1 1 ,一，一一的取小值為()p qA. 2B. 5C. 9D. 42 4【答案】C【解析】【分析】根據(jù)二項分布X B n, p的性質(zhì)可得EX, D X ,化簡即4p q 4 ,結(jié)合基本不一 ，11 一等式即可得到一一的最小值.p q【詳解】離散型隨機(jī)變量x服從二項分布所以有E X 4 np,D X q np (1 p ,(p 0, q 0)5 _1 P 2 _q_ _p 5 1 94 4p q 4p q 44所以4P q 4,即p q 1 , 41

2、111 q所以一一 一一p -p q p q 44當(dāng)且僅當(dāng)q 2p 一時取得等號 3故選C.【點(diǎn)睛】 本題主要考查了二項分布的期望與方差，考查了基本不等式，屬于中檔題.2.已知點(diǎn)P, Q分別是拋物線x2 8y和圓x2 (y 2)2 1上的動點(diǎn)，點(diǎn)A(0,4),則IPAI2JAL的最小值為()|PQ|A. 10B. 4C. 2/3 2D. 4V2 1【答案】B【解析】【分析】設(shè)出點(diǎn)P的坐標(biāo)x0,y0 ,用y0表示出PA；根據(jù)圓上一點(diǎn)到定點(diǎn)距離的范圍，求得 |PQ的最大值，再利用均值不等式求得目標(biāo)式的最值【詳解】2設(shè)點(diǎn)P Xo,yo ,因為點(diǎn)P在拋物線上，所以xo 8yo y0 0 ,22 o因為

3、點(diǎn) A(0，則 |pa | x0 y0 4 8y0 y0 4 y0 16.又知點(diǎn)Q在圓x2 (y 2)2 1上，圓心為拋物線的焦點(diǎn) F(0,2),I PA 2要使的值最小，則|PQ|的值應(yīng)最大，即 PQ max PF 1 y0 3.| PQ|max222所以 I PA I2丫0 16y0 36 y0 3 25|PQ1y0 3y。 3y。3 -5- 6 2. y0 3256 4y0 3y0 3當(dāng)且僅當(dāng)y 2時等號成立.所以_ 2|PA| |PQ|的最小值為4.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查拋物線上一點(diǎn)到定點(diǎn)距離的求解，以及圓上一點(diǎn)到定點(diǎn)距離的最值，利用均值不 等式求最值，屬綜合中檔題.3.已知a b

4、 0,則下列不等式正確的是（）A.lnablnbaB.|看b|而a|C.In abIn baD.|Vab|17ba|【答案】C【解析】【分析】利用特殊值代入法，作差比較法，排除不符合條件的選項，即可求解，得到答案【詳解】由題意，因為 a b 0,取 a e,b 1,則 In a b 0, lnb a e, |Va b Je 1,Jb a e 1,可排除 a、d項；取 a 1,b：,則 Jab -7,|Vba 1-,可排除 B 項;4918112因為滿足a b 0條件的排除法，可得 A、B、D是錯誤的.故選：C【點(diǎn)睛】本題主要考查了不等式與不等關(guān)系，以及不等式的的基本性質(zhì)，其中解答中合理賦值，代

5、入排除是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力4.已知點(diǎn)A 4,3，點(diǎn)B為不等式組y 0x y 0所表示平面區(qū)域上的任意一點(diǎn)，則x 2y 6 0AB的最小值為（A. 5【答案】C【解析】【分析】)B. 115C. .5作出不等式組所表示的平面區(qū)域，標(biāo)出點(diǎn)A的位置，利用圖形可觀察出使得AB最小時點(diǎn)B的位置，利用兩點(diǎn)間的距離公式可求得AB的最小值.y 0作出不等式組 x y 0所表示的平面區(qū)域如下圖所示:x 2y 6 0 y 2由圖知AB的最小值即為A 4,3、B 2,2兩點(diǎn)間的距離,所以AB的最小值為J 4 2 23 2 2 J5.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查目標(biāo)函數(shù)為兩點(diǎn)之間的距離的線性規(guī)劃問題，

6、考查數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，屬中等 題.x y 4 0,5,若實數(shù)x, y滿足x 3y 0,，則y 2x y的最大值為（）y 0,A. 512B. 8C. 256D. 64【答案】C【解析】【分析】作出可行域，如下圖陰影部分所示，令 x y m,可知要使z 2m取到最大值，只需 取到最大值即可，根據(jù)圖像平移得到答案.【詳解】作出可行域，如下圖陰影部分所示，令x y m,可知要使z 2m取到最大值，只需 m取到最大值即可，觀察圖像可知，當(dāng)直線 x y m過點(diǎn)A 6,2時m取到最大值8,故y 2x y的最大值為256.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查了線性規(guī)劃問題，畫出圖像是解題的關(guān)鍵 2一 一 一 _.,

7、6,已知集合 A x x 2x 3 0 , B x 1g x 1A.x1x 3B.x 1x 9C.x1x 3D.x 1x 9【答案】C【解析】【分析】解出集合A、B ,再利用補(bǔ)集和交集的定義得出集合ERA B.解不等式x2 2x 3 0，得x 1或x 3;解不等式lg x 11,得0 x 1 10,解得1 x 9.A xx： 1或x；3 , B x 1 x 9 ,則 eRA x 1 x 3 ,因此，eRABx| 1 x 3 ,故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查集合的補(bǔ)集與交集的計算，同時也考查了一元二次不等式以及對數(shù)不等式的求 解，考查運(yùn)算求解能力，屬于中等題.3x y 3 07,已知x,y滿足2x

8、5y 0 ，則z U的最小值為（） x 6x y 1 0aYB.旦C. 1D, 2713713【答案】D【解析】畫出可行域，目標(biāo)函數(shù) z U 的幾何意義是可行域內(nèi)的點(diǎn)與定點(diǎn)P(6,3)連接的斜率，根x 6據(jù)圖像得到答案【詳解】畫出可行域如圖中陰影部分所示,目標(biāo)函數(shù)z L2的幾何意義是可行域內(nèi)的點(diǎn)與定點(diǎn)P(6,3)連接的斜率x 61 33 321 62旦13直線3x y 3 0與直線x y 1 0交于點(diǎn)a(5，/ 由圖可知，當(dāng)可行域內(nèi)的點(diǎn)為 A時，kPA最小，故Zmin故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查了線性規(guī)劃問題，畫出圖像是解題的關(guān)鍵8 .某企業(yè)生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品，銷售利潤分別為2千元/件、1千元/

9、件.甲、乙兩種產(chǎn)品都需要在AB兩種設(shè)備上加工，生產(chǎn)一件甲產(chǎn)品需用 A設(shè)備2小時，b設(shè)備6小時；生產(chǎn)一 件乙產(chǎn)品需用 A設(shè)備3小時，B設(shè)備1小時.A B兩種設(shè)備每月可使用時間數(shù)分別為 480 小時、960小時，若生產(chǎn)的產(chǎn)品都能及時售出，則該企業(yè)每月利潤的最大值為（）A. 320千元B. 360千元C. 400千元D. 440千元【答案】B【解析】設(shè)生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品 x件,y件時該企業(yè)每月利潤的最大值，由題意可得約束條件：2x 3y 4806x y 960 x 0, y 0x N, y N原問題等價于在上述約束條件下求解目標(biāo)函數(shù)z 2x y的最大值.繪制目標(biāo)函數(shù)表示的平面區(qū)域如圖所示，結(jié)合目標(biāo)函

10、數(shù)的幾何意義可知：目標(biāo)函數(shù)在點(diǎn)B 150,60處取得最大值：zmax 2x y 2 150 60 360千元.點(diǎn)睛：含有實際背景的線性規(guī)劃問題其解題關(guān)鍵是找到制約求解目標(biāo)的兩個變量，用這兩 個變量建立可行域和目標(biāo)函數(shù)，在解題時要注意題目中的各種相互制約關(guān)系，列出全面的 制約條件和正確的目標(biāo)函數(shù).9 .給出下列五個命題，其中正確命題的個數(shù)為（“x R ,均有 x2x 1 0"命題“ x° R ,使得x2 x0 1 0 ”的否定是若正整數(shù)m和n滿足m n ,則Jm nm在 ABC中，A B是sin A sin B的充要條件;一條光線經(jīng)過點(diǎn)P 1,3 ,射在直線l:x y 1 0

11、上，反射后穿過點(diǎn) Q 1,1 ,則入射 光線所在直線的方程為 5x 3y 4 0；已知f(x) x3 mx2 nx k的三個零點(diǎn)分別為一橢圓、一雙曲線、一拋物線的離心 率，則m n k為定值.A. 2B. 3C. 4D. 5【答案】C【解析】【分析】根據(jù)特稱命題的否定的知識來判斷；根據(jù)基本不等式的知識來判斷；根據(jù)充要條件的知識來判斷；求得入射光線來判斷； 利用拋物線的離心率判斷.【詳解】2，命題" R,使得xo xo 1 0”的否定是“ x R,均有x2 x 1 0 ,故 錯誤.，由于正整數(shù) m和n滿足m n , n m 0 ,由基本不等式得Jm nm- mnm n,當(dāng)m n m即n

12、 2m時等號成立，故正確.B a b sin A sin B ,即 是sin A sin B的充要條件，故 正確.的對稱點(diǎn)為A a,b ,則線段AQ中點(diǎn)為0，解得a b 2,所以A 2, 2 .所以入射光1ABC中，由正弦定理得sin A sin B ,所以 A，設(shè)Q 1,1關(guān)于直線x,則kAQb 12b 12a 12線為直線AP ,即工2 3，由于拋物線的離心率是化簡得5x 3y 4 0 .故正確.1,所以f(1) 0,即 1 m n k 0,所以 m n k 1 為定值，所以正確.故選：C 【點(diǎn)睛】本小題主要考查特稱命題的否定，考查基本不等式，考查充要條件，考查直線方程，考查橢圓、雙曲線、

13、拋物線的離心率，屬于中檔題x y 010,已知x, y滿足約束條件 2x 3y 4,若z ax y的最大值為4,則a () y 01C. -2D.A. 2B.2【答案】A【解析】【分析】由約束條件可得到可行域，根據(jù)圖象可知最優(yōu)解為A 2,0，代入可構(gòu)造方程求得結(jié)果【詳解】由約束條件可知可行域如下圖陰影部分所示：當(dāng)直線l :y ax z經(jīng)VAOB區(qū)域時，當(dāng)l過點(diǎn)A 2,0時，在y軸上的截距最大,即A 2,0為最優(yōu)解，4 2a,解得：a 2.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查線性規(guī)劃中的根據(jù)目標(biāo)函數(shù)的最值求解參數(shù)值的問題，關(guān)鍵是能夠通過約束條件準(zhǔn)確得到可行域，根據(jù)數(shù)形結(jié)合的方式確定最優(yōu)解11 .在三角形A

14、BC中，給出命題P: ab c2"，命題q：C "，則p是4的（） 3A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】由余弦定理將c2化為a2 b2 2abcosC ,整理后利用基本不等式求得1 2cosc 2,求出C范圍，即可判斷充分性，取 a 4, b 7, c 6,則可判斷必要性不成立，兩者 結(jié)合可得正確的選項.【詳解】充分性：由余弦定理，c2 a2 b2 2abcosC ,所以 ab c2,即 ab a2 b2 2abcosC ,2 h2整理得，1 2cosC a, ab由基本不等式，aE 2"a2b2

15、2,ab ab當(dāng)且僅當(dāng)a b時等號成立,1此時，1 2cosc 2,即 cosC ,解得 C , 23充分性得證；必要性：取a 4, b 7, c6,則cosC16 49 36 29 1一,2 4 756 2故C 一，但ab328 c2,故C 一推不出ab c2.3故必要性不成立；故p是q的充分不必要條件 故選：A本題主要考查充分必要條件的判斷、余弦定理的應(yīng)用和基本不等式的應(yīng)用，考查學(xué)生分析 轉(zhuǎn)化能力，屬于中檔題.12.若兩個正實數(shù)x，y滿足y 2 ,一x - mm有解,4則實數(shù)m的取值范圍是（）A. ( 1,2)B.(,2)U(1,)C.2.1D.(,1)U(2,)【答案】D【解析】【分析】

16、將原問題轉(zhuǎn)化為求最值的問題,【詳解】然后利用均值不等式求最值即可確定實數(shù)m的取值范圍.若不等式m有解，即m (x-)min即可, 412x1,當(dāng)且僅當(dāng)2x12x2x8yx 12x y8x16x2,即 y4x時取等號,此時即 (x Jmin則由m2 m2得m20,1,即實數(shù)m的取值范圍是，12,故選D.【點(diǎn)睛】本題主要考查基本不等式的應(yīng)用，利用不等式有解轉(zhuǎn)化為最值問題是解決本題的關(guān)鍵.13.若均不為1的實數(shù)a、b滿足a b 0,且ab 1 ,則（）A. log a 3 logb3 B. 3a 3b 6C. 3abi 3abD. ab ba【答案】B【解析】【分析】舉反例說明A,C,D不成立，根據(jù)

17、基本不等式證明B成立.【詳解】當(dāng) a 9,b3 時 loga3 10gb3；當(dāng)a2,b 1 時 3abi 3ab ；當(dāng) a 4,b 2 時 abba；因為 a b0, ab 1 ,所以 3a3b 273a3r 2737V 2,32阿 6，綜上選B.【點(diǎn)睛】本題考查比較大小，考查基本分析論證能力，屬基本題14.已知直線y kx 2k 1與直線y1 c 、一、，xx 2的交點(diǎn)位于第一象限，則實數(shù)k的取2值范圍是（）1 1 、A.kB. k 或k2 6【答案】D【解析】【分析】11,1C.6 k 2 D k262y聯(lián)立ykx 2k 11,可解得交點(diǎn)坐標(biāo)（x,y）,由于直線y kx 2k 1與直線1x

18、 221 x 0y - x 2的交點(diǎn)位于第一象限，可得八，解得即可.2 y 0解：聯(lián)立kx 2k 11,解得x 222 4k2k 16k 12k 1【詳解】Q直線y kx 2k 1與直線y12 x 2的交點(diǎn)位于第一象限,2 4k2k 16k 12k 1故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查兩直線的交點(diǎn)和分式不等式的解法，以及點(diǎn)所在象限的特征.15.某學(xué)生到工廠實踐，欲將一個底面半徑為2,高為3的實心圓錐體工件切割成一個圓柱體，并使圓柱體的一個底面落在圓錐體的底面內(nèi).若不考慮損耗，則得到的圓柱體的最大體積是（）A 16【答案】A【解析】【分析】C.1627D.827根據(jù)條件求出圓柱的體積，利用基本不等式研究

19、函數(shù)的最值即可.【詳解】解：設(shè)圓柱的半徑為r ,高為x ,體積為V ,則由題意可得匚3 23c 3x 3 - r2 ， 2,c 3c、圓柱的體積為V(r) r (3 -r)(0 r 2),則V(r)169g4rg4染33c3r r 3 r3r),詈g4-)32939334當(dāng)且僅當(dāng)r3r,即r時等號成立.423圓柱的最大體積為16【點(diǎn)睛】本題考查圓柱的體積和基本不等式的實際應(yīng)用，利用條件建立體積函數(shù)是解決本題的關(guān) 鍵，是中檔題.16.若實數(shù)x, y滿足不等式組x y 1,則2x y的最小值是()y 1A. 3B. 3C. 0D. 3【答案】D【解析】【分析】根據(jù)已知的約束條件畫出滿足約束條件的可

20、行域，再由目標(biāo)函數(shù)z 2x y可得y 2x z ,此時Z為直線在y軸上的截距，根據(jù)條件可求 Z的最小值.【詳解】解：作出不等式組所表示的平面區(qū)域，如圖所示得陰影部分的ABC,由z 2x y可得y 2x z ,則z為直線在y軸上的截距y x把直線l：y 2x向上平移到A時，z最小，此時由 )可彳# A( 1, 1)y 1-4-本題考查用圖解法解決線性規(guī)劃問題，分析題目的已知條件，找出目標(biāo)函數(shù)中的z的意義是關(guān)鍵，屬于中檔題.2 人？17.已知函數(shù)f(x) lgx, a b 0, f(a) f(b),則a一b_的最小值等于() a bA. 75B. 2 網(wǎng)c. 2 73D. 242【答案】D【解析】

21、試題分析：因為函數(shù) f(x) lgx, a b 0, f(a) f(b)所以1g a 1g b1 .所以 a 一，即 ab 1 , a b 0 b3 (a b)22ab 曳宜，(a b)工 2. (a b) 22/2a b a ba ba b , a b2當(dāng)且僅當(dāng)a b -2-，即a b J2時等號成立a2 b2_所以ab_的最下值為2J2 a b故答案選D考點(diǎn)：基本不等式.18.設(shè) x R ,則 |'x 1| 1”是 x2A.充分而不必要條件C.充分必要條件【答案】A【解析】x 20”的()B.必要而不充分條件D.既不充分也不必要條件x 1 11x110 x 2 , x2 x 2 0條件.1x2,故為充分不必要,a19.已知a,b都是正實數(shù)，則2a b2ba 2b的最大值是(A. 2嫗3【答案】A【解析】【分析】B. 3 2.2C. 2.2 12工網(wǎng),3m 3n設(shè) m 2a b,n a 2b,將_ _2b_，轉(zhuǎn)化為 _a_