第1章1.21.2.1第1課時排列與排列數(shù)公式

1、1.2排列與組合1.2.1 排歹U第1課時排列與排列數(shù)公式學(xué)習(xí)目標(biāo)核心素養(yǎng)1 .理解排列的概念，能正確寫出一些 簡單問題的所肩排列.(重點)2 .理解排列數(shù)公式，能利用排列數(shù)公 式進(jìn)行計算和證明.(難點)1 .通過學(xué)習(xí)排列的概念及排列數(shù) 公式，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)抽象的素養(yǎng).2 .借助排列數(shù)公式進(jìn)行計算培養(yǎng) 數(shù)學(xué)運算的素養(yǎng).自主預(yù)習(xí)檸播新加一.一 eFXJW f n - -:新知初探口1 .排列的概念從n個不同元素中取出m(m&n)個元素，按照一定的順序排成一列,叫做從 n個不同元素中取出m個元素的一個排列.2 .相同排列的兩個條件(1)<相同.順序相同.思考1:兩個排列相同的條件是什么？

2、提示兩個排列相同的條件：元素相同，元素的排列順序也相同.3 .排列數(shù)與排列數(shù)公式排列數(shù)定義及表示從n個不1司兀素中取出m(m< n)個兀素的所有/、|可排列的個數(shù)叫 做從n個不同元素中取出m個元素的排列數(shù)，用符號Am表示全排列的概念n個不同元素全部取出的一個排列階乘的 概念把n (n 1)2 1記作n!,讀作：n的階乘排列數(shù)Am = n(n 7)(n m+ 1)公式階乘式Am=. t (n, m N , m<n) n m !、'特殊情況An=n_!_,1!= L0! =1思考2:排列與排列數(shù)有何區(qū)別？提示“一個排列”是指：從n個不同的元素中任取m（m&n）個元素，按

3、照一定的順序排成一列，不是數(shù)；“排列數(shù)”是指從n個不同元素中取出m（m< n） 個元素的所有排列的個數(shù)，是一個數(shù).所以符號Am只表示排列數(shù)，而不表示具體的排列.匚j初試身七口1 .下列問題中：10本不同的書分給10名同學(xué)，每人一本；10位同學(xué)互通一次電話；10位同學(xué)互通一封信；10個沒有任何三點共線的點構(gòu)成的線段.屬于排列的有（）A. 1個B. 2個C. 3個D. 4個B 由排列的定義可知是排列，不是排列.2.甲、乙、丙三名同學(xué)排成一排，不同的排列方法有（）A. 3種B. 4種1. 6種D. 12 種C 由排列定義得，共有A3=6種排列方法.3. 90x 91X92X - X 100 可

4、以表示為（）A. A100B. A100C. A120D. A100B 由排列數(shù)公式得原式為A100,故選B.4. a4 =, A 3 =.12 6 A4=4X3=12; A3=3X2X 1=6.合作探究司是泰養(yǎng) 排列的概念【例1】判斷下列問題是否為排列問題.(1)北京、上海、天津三個民航站之間的直達(dá)航線的飛機(jī)票的價格(假設(shè)來回的票價相同)；(2)選2個小組分別去植樹和種菜；(3)選2個小組去種菜；(4)選10人組成一個學(xué)習(xí)小組；(5)選3個人分別擔(dān)任班長、學(xué)習(xí)委員、生活委員.思路點撥判斷是否為排列問題關(guān)鍵是選出的元素在被安排時，是否與順序有關(guān).若與順序有關(guān)，就是排列問題，否則就不是排列問題.

5、解(1)中票價只有三種，雖然機(jī)票是不同的，但票價是一樣的，不存在順 序問題，所以不是排列問題.(2)植樹和種菜是不同的，存在順序問題，屬于排列問題.(3)(4)不存在順序問題，不屬于排列問題.(5)中每個人的職務(wù)不同，例如甲當(dāng)班長或當(dāng)學(xué)習(xí)委員是不同的，存在順序 問題，屬于排列問題.所以在上述各題中(2)(5)屬于排列問題.1 .解決本題的關(guān)鍵有兩點：一是“取出元素不重復(fù)”，二是“與順序有關(guān)”，2 .判斷一個具體問題是否為排列問題，就看取出元素后排列是有序的還是無序的，而檢驗它是否有序的依據(jù)就是變換元素的“位置”(這里的“位置”應(yīng)視具體問題的性質(zhì)和條件來決定)，看其結(jié)果是否有變化，有變化就是排列

6、問題， 無變化就不是排列問題.1 .判斷下歹I問題是否是排歹I問題.(1)同宿舍4人，每兩人互通一封信，問他們一共寫了多少封信?(2)同宿舍4人，每兩人通一次電話，問他們一共通了幾次電話?解(1)是一個排列問題，相當(dāng)于從 4個人中任取兩個人，并且按順序排好.有多少個排列就有多少封信，共有 A4=12封信.(2)不是排列問題，“通電話”不講順序，甲與乙通了電話，也就是乙與甲 通了電話.孱*2排列的簡單應(yīng)用【例2】寫出下列問題的所有排列.(1)從1,2,3,4四個數(shù)字中任取兩個數(shù)字組成兩位數(shù)，共有多少個不同的兩位 數(shù)？(2)寫出A, B, C, D四名同學(xué)站成一排照相，A不站在兩端的所有可能站 法

7、.解 所有兩位數(shù)是12,21,13,31,14,41,23,32,24,42,34,43共有12個不同 的兩位數(shù).(2)如圖所示的樹形圖：故所有可能的站法是 BACD, BADC, BCAD, BDAC, CABD, CADB, CBAD, CDAB, DABC, DACB, DBAC, DCAB,共 12 種.持右怙利用“樹形圖”法解決簡單排列問題的適用范圍及策略1 .適用范圍：“樹形圖”在解決排列元素個數(shù)不多的問題時，是一種比較 有效的表示方式.2 .策略：在操作中先將元素按一定順序排出，然后以先安排哪個元素為分 類標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行分類，再安排第二個元素，并按此元素分類，依次進(jìn)行，直到完成一 個排

8、列，這樣能做到不重不漏，然后再按樹形圖寫出排列.I頷曜蹤訓(xùn)2. (1)A, B, C三名同學(xué)照相留念，成“一”字形排隊，所有排列的方法種 數(shù)為()A. 3種B. 4種C. 6種D. 12 種種機(jī)票.(2)北京、廣州、南京、天津4個城市相互通航，應(yīng)該有C (2)12 (1)所有的排法有：A BC, ACB, BAC, BCA, CA B, CBA,共 6 種.(2)列出每一個起點和終點情況，如圖所示.廣州北京南麻南京廣州一天津、北京,天津 南京北京、廣州/北京天津廣州14故符合題意的機(jī)票種類有:北京廣州，北京南京,北京天津，廣州南京、廣州一天津、廣州北京，南京天津，南京北京，南京廣州，天津北京，

9、天津廣州，天津南京，共12種.排列數(shù)的計算與證明探究問題1 .排列數(shù)Am中，n, m滿足什么條件?提示n, mCN*, m<n.2 .等式Am=nAmj成立嗎？皿 r mn!m 1 n-1 !提小成立.An= nm!，An1=7m；AmJni ； =nAm118X7X6X5X4X3X2X1-9X8X7X6X58X7X6X5X 8+7,一一- - =1.8X7X6X5X 24-9. n m !2A8+7A4,【例3】(1)計算:aJa5 ; (2)求證：Am+ 1-Am = mAm 1思路點撥合理選用排列數(shù)的兩個公式進(jìn)行展開.(2)提取公因式后合并化簡.48 7A +58A 288A59A

10、2X8X7X6X5X4+7X8X7X6X5n!n m !n!n+ 1二-n m ! n+ 1 m-1、 m m n +1 !證明：.An+1-Z;nn!= mAm1.nm! n+1 m m n+1 m!n!.Am+1Am=mAm1排列數(shù)的計算方法1 .排列數(shù)的計算主要是利用排列數(shù)的乘積公式進(jìn)行，應(yīng)用時注意：連續(xù)正整數(shù)的積可以寫成某個排列數(shù)，其中最大的是排列元素的總個數(shù)，而正整數(shù)(因式)的個數(shù)是選取元素的個數(shù)，這是排列數(shù)公式的逆用.2 .應(yīng)用排列數(shù)公式的階乘形式時，一般寫出它們的式子后，再提取公因式， 然后計算，這樣往往會減少運算量.I明蹤訓(xùn)練.3 .求 3A8 = 4A91 中的 x.解原方程

11、3A8 = 4A9-1可化為3X8!8-x !4X 9!10-x !'口口 3X 8!4X9X8!即二1二二二-8x !10x 9x 8 x !化簡，得 x219x+78=0,解得 x1=6, x2=13.x< 8,由題意知解得x0 8.x- 1<9,所以原方程的解為x= 6.匚j課堂小結(jié)口1 .在判斷一個問題是否是排列時，可以考慮所取出的元素，任意交換兩個, 若結(jié)果變化，則是排列問題，否則不是排列問題.2 .排列數(shù)兩個公式的選取技巧(1)排列數(shù)的第一個公式 Am= n(n1)(n 2>-(n m+1)適用m已知的排列數(shù)的計算以及排列數(shù)的方程和不等式.e n! 一 .

12、、一一(2)排列數(shù)的第二個公式Am= n m 1用于與排列數(shù)有關(guān)的證明、解萬程、 n m !解不等式等.提醒：公式中的n, m應(yīng)該滿足n, mCN*, m<n,當(dāng)m>n時不成立.當(dāng)堂達(dá)標(biāo)ns1. 判斷(正確的打”一，錯誤的打"X”)(1)兩個排列的元素相同，則這兩個排列是相同的排列.()(2)從六名學(xué)生中選三名學(xué)生參加數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)競賽，共有多少種選法 屬于排列問題.()(3)有十二名學(xué)生參加植樹活動，要求三人一組，共有多少種分組方案屬于 排列問題.()(4)從3,5,7,9中任取兩個數(shù)進(jìn)行指數(shù)運算，可以得到多少個事屬于排列問 題.()(5)從1,2,3,4中任取兩個數(shù)

13、作為點的坐標(biāo)，可以得到多少個點屬于排列問 題.()答案(1)X (2)V (3)X (4)V (5)V2. 4X5X6X- X (n1)Xn 等于()A. A4B. An 4C. (n4)!D. An 3D 4X5X6X- x (n-1)Xn中共有n 4+1 = n 3個因式，最大數(shù)為 n,最小數(shù)為4,故 4X5X6X x (n1)Xn = An 33. 5本不同的課外讀物分給 5位同學(xué)，每人一本，則不同的分配方法有種.120 利用排列的概念可知不同的分配方法有A5=120種.4.計算:a9+a9A60A5o解法A9+A4 _ 5A4 + A4 _ 5+1 _ 3A?0A50= 50A4 10

14、A4= 5010 = 20.9!9!a9 + a94F +5r5X9! +9!6X9!3法一：A60A50=10iOF = 5X10! 10! =4X10! =204!5!課時分層作業(yè)（三）排列與排列數(shù)公式（建議用時：60分鐘）基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)練一、選擇題1 .下列問題屬于排列問題的是（）從10個人中選2人分別去種樹和掃地；從10個人中選2人去掃地；從班上30名男生中選出5人組成一個籃球隊；從數(shù)字5,6,7,8中任取兩個不同的數(shù)作logab中的底數(shù)與真數(shù).A .B.C .D.A 根據(jù)排列的概念知是排列問題.2 .從2,3,5,7四個數(shù)中任選兩個分別相除，則得到的結(jié)果有（）A. 6 個B. 10個C.

15、12 個D. 16 個C 符合題意的商有 A2=4X3= 12.3.已知A2=132,貝U n等于（）A. 11B. 12C. 13D. 14B vAn=n(n-1), .由 n(n1)= 132 可知 n= 12.4 .計算 AA4A5=() /"5A.12B. 24C.30A7=7X6A4, A6=6A4, .給出下列4個等式:D. 36A7 A5 36A5所以 FF=7I = 36.n!n+ 1 !n+ 1B. 2D. 4n小 八 m . m 1 g n m11 , An=nAn 1; An= ；，n m !其中正確的個數(shù)為（）A. 1C. 3C 由排列數(shù)公式逐一驗證，成立，不

16、成立.故選 C.二、填空題6 .集合P = xX = Am, mCN*,則集合P中共有個元素.7 因為mC N*,且m<4,所以P中的元素為 a4 = 4, a4= 12, A4 = A4= 24,即集合P中有3個元素.8 .如果 Am= 15X14X13X12X11X10,那么 n =, m=.15 6 15X14X13X12X11X10= A65,故 n=15, m= 6.9 .現(xiàn)有8種不同的菜種，任選4種種在不同土質(zhì)的4塊地上，有 種不同的種法.（用數(shù)字作答）1 680 將4塊不同土質(zhì)的地看作4個不同的位置，從8種不同的菜種中任 選4種種在4塊不同土質(zhì)的地上，則本題即為從8個不同元

17、素中任選4個元素的 排列問題.所以不同的種法共有 A4=8X7X 6X5= 1 680仔中）.三、解答題10 從a, b, c, d, e五個元素中每次取出三個元素，可組成多少個以b為首的不同排列，試列出所有不同的排法.解畫出樹形圖如下：可知共 12 個，它們分別是 bac, bad, bae, bca, bcd, bce, bda, bdc, bde,bea, bec, bed11 .解方程：A4x+1 = 140A3.2x+1>4,解根據(jù)排列數(shù)的定義，x應(yīng)滿足 .x>3, xC N ,解彳3x> 3, xC N*.根據(jù)排列數(shù)公式，原方程化為 (2x+1) 2x (2x1)

18、 (2x2) = 140x (x 1) (x2） .因為 x> 3,于是得（2x+ 1）（2x 1） = 35（x 2）,即 4x235x+ 69=0, 一 .23解彳x x= 3或x= z（舍去）.所以原方程的解為x= 3.能力提升練1,若 s= a1 + a2+a3+-+ A2019,則 s的個位數(shù)字是（）1 . 0B. 32 . 5D. 8B A5= 120,. n5 時 An的個位數(shù)都為零，. 1! +2! +3! +4! =1 + 2+6+24= 33.故S的個位數(shù)字為3. . An一 .3 .滿足不等式屋5>12的n的最小值為（）A nA. 12B. 10C. 9D. 8 n! n 5 !_ .B 由排列數(shù)公式得兀一>12,則(n 5)(n 6)>12,解得n>9或n<2(舍n 7 n!去).又