知識講解_一元二次不等式及其解法_基礎(chǔ)

1、一元二次不等式及其解法【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1 .掌握一元二次不等式的解法，體會數(shù)形結(jié)合的思想；2 .理解一元二次不等式、一元二次方程與二次函數(shù)之間的關(guān)系；3 .能利用一元二次不等式解決簡單的實際問題【要點梳理】要點一、一元二次不等式及一元二次不等式的解集只含有一個未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的不等式，稱為一元二次不等式.比如：x2 5x 0 .一元二次不等式白一般形式：ax2 bx c 0(a 0)或ax2 bx c 0 (a 0).設(shè)一元二次方程ax2bx c 0(a0)的兩根為為、*2且xx2,則不等式ax2bx c 0的解集為xx xi或x x2 ,不等式ax2 bx c 0的解集為xx x

2、 x2要點詮釋：討論一元二次不等式或其解法時要保證(a 0)成立.要點二、一元二次不等式與相應(yīng)函數(shù)、方程之間的聯(lián)系22對于一兀一次萬程 ax bx c 0(a 0)的兩根為x1、x2且x x2,設(shè) b 4ac ,它的解按照 0,0,0可分三種情況，相應(yīng)地，二次函數(shù)y ax2 bx c (a 0)的圖像與x軸的位置關(guān)系也分為三種情況.因此我們分三種情況來討論一元二次不等式ax2 bx c 0 (a 0)或2ax bx c 0 (a 0)的解集.b2 4ac000二次函數(shù)2y ax bx c(a 0)的圖象042ax bx c 0(a 0)的根后兩相異實根xi, x2(xi x2)有兩相等實根bx

3、i x2一2a無實根ax2 bx c 0(a 0)的解集xx x1 或 xx2bx x 2aRax2 bx c 0(a 0)的解集x|x1 x x2要點詮釋：(1) 一元二次方程 ax2 bx c 0(a 0)的兩根x1、*2是相應(yīng)的不等式的解集的端點的取值，是拋物線y ax2 bx c與x軸的交點的橫坐標(biāo)；(2)表中不等式的二次系數(shù)均為正，如果不等式的二次項系數(shù)為負(fù)，應(yīng)先利用不等式的性質(zhì)轉(zhuǎn)化為二次項系數(shù)為正的形式，然后討論解決；(3)解集分 0,0,0三種情況，得到一元二次不等式ax2 bx c 0與ax2 bx c 0的解集.要點三、解一元二次不等式的步驟(1)先看二次項系數(shù)是否為正，若為

4、負(fù)，則將二次項系數(shù)化為正數(shù)；(2)寫出相應(yīng)的方程ax2 bx c 0(a 0),計算判別式： 0時，求出兩根xx2,且x x2 (注意靈活運用因式分解和配方法) 0時，求根x1 x2;2a 0時，方程無解(3)根據(jù)不等式，寫出解集.用程序框圖表示求解一元二次不等式ax2+bx+c>0(a>0)的過程2 .若相應(yīng)方程有實數(shù)根，求根時注意靈活運用因式分解和配方法；3 .寫不等式的解集時首先應(yīng)判斷兩根的大小，若不能判斷兩根的大小應(yīng)分類討論;找到不等式的解集與其4 .根據(jù)不等式的解集的端點恰為相應(yīng)的方程的根，我們可以利用韋達(dá)定理,系數(shù)之間的關(guān)系；5 .若所給不等式最高項系數(shù)含有字母，還需要

5、討論最高項的系數(shù)【典型例題】類型一：一元二次不等式的解法例1.解下列一元二次不等式222(1) x 5x0；(2) x 4x 4 0 ；(3) x 4x 5 0【思路點撥】轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的函數(shù)，數(shù)形結(jié)合解決，或利用符號法則解答【解析】(1)方法一：因為 (5)2 4 1 0 25 0所以方程x2 5x 0的兩個實數(shù)根為：x1 0, x2 5-2函數(shù)y x 5x的間圖為:x 5.方法二：x2 5x 0 x(x 5) 0x 0x 0八斛得 或 ，即0 x 5或xx 5x 5因而不等式x2 5x 0的解集是x|0 x 5.(2)方法一：因為 0,方程x2 4x 4 0的解為x1 x2 2.函數(shù)y x2

6、4x 4的簡圖為:所以，原不等式的解集是 x|x 2方法二：x2 4x 4 (x 2)2 0 (當(dāng) x 2 時，(x 2)2 0)所以原不等式的解集是x|x 2(3)方法一：原不等式整理得x2 4x 5 0 .所以不等式4x5的簡圖為:因為 0,方程x2 4x 5 0無實數(shù)解,x2 4x 5 0的解集是所以原不等式的解集是方法二： x2 4x 5 (x 2)2 11 0，原不等式的解集是【總結(jié)升華】1 .初學(xué)二次不等式的解法應(yīng)盡量結(jié)合二次函數(shù)圖象來解決，培養(yǎng)并提高數(shù)形結(jié)合的分析能力;2 .當(dāng)0時，用配方法，結(jié)合符號法則解答比較簡潔(如第 2、3小題)；當(dāng)0且是一個完全平方數(shù)時，利用因式分解和符

7、號法則比較快捷，(如第 1小題).3 .當(dāng)二次項的系數(shù)小于 0時，一般都轉(zhuǎn)化為大于 0后，再解答舉一反三:【高清課堂：一元二次不等式及其解法387159題型元二次不等式的解法】【變式1】已知函數(shù)f(x)2x 2x, x 0,2x 2x, x 0解不等式f(x)>3.【答案】由題意知x 0, x2 2xT x 0, 或 93x2 2x 3,解得：x> 1.故原不等式的解集為x|x>1 .2_ 一【變式2】(2015重慶)函數(shù)f(x)log2 (x2x 3)的定義域是()A.-3,1B.(-3,1)C.(-8, -3 u 1.+ oo)D. (-8, -3)U(1.+ oo)【答

8、案】由題意得：X2 2x 3 0,即(x 1)(x 3) 0解得x>1或x<-3,所以定義域為(-8, -3) U (1.+ 8), 故選D。類型二：含字母系數(shù)的一元二次不等式的解法例2.解下列關(guān)于x的不等式(1) x2-2axVa2+1;(2) x2-ax+1>0；(3) x2-(a+1)x+a<0 ；【思路點撥】解不等式時首先應(yīng)判斷兩根的大小，若不能判斷兩根的大小應(yīng)分類討論； 【解析】(1) x2 2ax a2 1 0(x a) 1(x a) 1 0 a 1 x a 1,原不等式的解集為x|a 1 x a 1.(2) A2=a2 2當(dāng)A>Q即a>2或a&

9、lt;-2時，原不等式的解集為x|x aa一4或x a一422a.當(dāng)A=Q即a=2或-2時，原不等式的斛集為x|x .2當(dāng)A<Q即-2<a<2時，原不等式的解集為R.(3) (x-1)(x-a)<0當(dāng)a>1時，原不等式的解集為x|1<x<a當(dāng)a<1時，原不等式的解集為x|a<x<1當(dāng)a=1時，原不等式的解集為【總結(jié)升華】對含字母的二元一次不等式，一般有這樣幾步：定號：對二次項系數(shù)大于零和小于零分類，確定了二次曲線的開口方向；求根：求相應(yīng)方程的根.當(dāng)無法判斷判別式與 0的關(guān)系時，要引入討論，分類求解；定解：根據(jù)根的情況寫出不等式的解集；

10、當(dāng)無法判斷兩根的大小時，引入討論舉一反三：21【變式1】解關(guān)于x的不等式：x2 (a -)x 1 0(a 0)a一一，1【答案】原不等式化為(x a)(x -) 0aa=1或a=-1時，解集為 ；1 1當(dāng) 0<a<1 或a<-1 時，a ,解集為：x|a x ； aa11當(dāng) a>1 或-1<a<0時，a ,解集為：x| x a.aa0 ( a R)【答案】x2 (a a2)x a30,2、 一(x a)(x a ) 0當(dāng)a< 0或a> 1時，解集為x | x a或x a2;當(dāng)a=0時，解集為x|x 0；當(dāng)0v av 1時，解集為x | x a2或

11、x a；當(dāng)a=1時，解集為x|x 1;【變式3】(2015春 房山區(qū)校級期中)解關(guān)于 x的不等式56x2+ax-a2<0o 【答案】aa、一-.1 56x2+ax a2< 0,(7x+ a)(8x a)v 0, 即x (二)(x 二)0。78當(dāng)a=0時,a a-,不等式化為x2<0,解得xe7 8aaa當(dāng)a>0時，不等式解集為x| 787,aaa當(dāng)a v 0時，一一，不等式解集為x | a7 88例3.解關(guān)于x的不等式：ax2 (a+1)x+1 <0.7【解析】若a=0,原不等式x+1v011右a<0,原不等式x(1)xaa11若a>0,原不等式x2(

12、1-)xaax> 1 ；10 (x -)(x 1) 0a10 (x -)(x 1) 0, a1其解的情況應(yīng)由1與1的大小關(guān)系決定，故 a(1)當(dāng)a=1時，原不等式x ；一一 1(2)當(dāng)a> 1時，原不等式 一 x 1 ;a1(3)當(dāng)0vav 1時，原不等式 1 x 一a綜上所述：1當(dāng)av0,解集為x|x 一或x 1； a當(dāng)a=0時,解集為x|x > 1;【變式2】解關(guān)于x的不等式：x2 (a a2)x a3-、，1當(dāng)0vav1時，解集為x|1 x ；a當(dāng)a=1時，解集為 ；1當(dāng)a > 1時，斛集為x | x 1.a【總結(jié)升華】熟練掌握一元二次不等式的解法是解不等式的基礎(chǔ)

13、，對最高項含有字母系數(shù)的不等式，要注意按字母的取值情況進(jìn)行分類討論，分類時要不重不漏舉一反三：【變式1 解關(guān)于x的不等式：(ax-1)(x-2)【答案】當(dāng)a=0時,xC (- ,2.1-當(dāng) aw財，方程(ax-1)(x-2)=0 兩根為 x1 , x22a當(dāng)a>0時，八 -1 八 _1._1.右 a 0, 2,即 0 a 時，x (,2,)；a2a1 八一1 .右 a0, = 2,即a時，xCR；a21-11右 a0,2,即a時，x(，一 2,).a2a一11當(dāng) a<0時，則有：-2 , , x -2.aa【變式2解關(guān)于x的不等式：ax2+2x-1<0 ;1【答案】當(dāng)a=0時

14、，x (,1).2當(dāng) aw(M, A =4+4a=4(a+1),a>0時，則 A>Q x ( 1、1a, 1 "1 a). aaa<0時，若a<0, <0, 即a<-1 時，xC R；若a<0, =0, 即a=-1 時，xCR且xwi;若a<0, A>0, 即-1<a<0時， x (,-a) ( 1 *1a,).aa【高清課堂：一元二次不等式及其解法387159題型二含參數(shù)的一元二次不等式的解法】【變式3】求不等式12x2ax>a2(a C R)的解集【答案】當(dāng)a>0時，不等式的解集為x|x -或x a;4

15、3當(dāng)a=0時，不等式的解集為x|xC R且xw0;當(dāng)a<0時，不等式的解集為x|x ?或x -a.3 4類型三：一元二次不等式的逆向運用例4.不等式x2 mx n 0的解集為x (4,5),求關(guān)于x的不等式nx2 mx 1 0的解集 【思路點撥】由二次不等式的解集為(4,5)可知：4、5是方程x2 mx n 0的二根，故由韋達(dá)定理可求出 n的值，從而解得.【解析】由題意可知方程 x2 mx n 0的兩根為x 4和x 5由韋達(dá)定理有4 5 m, 4 5 nm 9, n 202一一.一 2一一 一 一 2一一 nx mx 1 0化為20x9x1 0,即 20x9x1 01 1(4x 1)(5

16、x 1) 0,解得一x -,4 52.一, 11故不等式nx mx 1 0的解集為(一，一).45.根據(jù)不等式的解集【總結(jié)升華】二次方程的根是二次函數(shù)的零點，也是相應(yīng)的不等式的解集的端點 的端點恰為相應(yīng)的方程的根，我們可以利用韋達(dá)定理，找到不等式的解集與其系數(shù)之間的關(guān)系，這一點 是解此類題的關(guān)鍵舉一反三:【變式1】(2015浙江校級模擬)設(shè)關(guān)于 x的不等式(ax-1)(x+1)<0(aC R)的解集為x|-1<x<1,則a的值是()A.-2B.-1C.0D.1【答案】二關(guān)于x的不等式(ax-1)(x+1)<0(aC R)的解集為x|-1<x<1,對應(yīng)一元二次

17、方程(ax-1)(x+1)=0的兩個實數(shù)根為-1和1,x - 1 或 x=-1, a即a的值是1,故選D?！咀兪?】已知ax2 2x【答案】由韋達(dá)定理有：，代入不等式 cx2 2x11、一、0的斛為一x，試求a、321211 c,， a2a32aa 0得 2x2 2x 12 0,即 x2 x 6 0 , (x 3)(x2)c,并解不等式12,c 2.cx2 2x a 0.故不等式 cx2 2x a 0的解集為：(2,3).【變式3】已知關(guān)于x的不等式x2 ax b 0的解集為(1,2),求關(guān)于x的不等式bx2 ax 1 0的解集.a 1 2 -a 39【答案】由韋達(dá)定理有：，解得，代入不等式b

18、x2 ax 1 0得b 1 2b 221 ,2x 3x 1 0,即(2x 1)(x 1) 0,解得 x 或x 1.2bx2 ax 1 0 的解集為：(，1)U(1，).類型四：不等式的恒成立問題【高清課堂：一元二次不等式及其解法 387159題型三 不等式恒成立的問題】例5.已知不等式ax2+4x+ a>1 2x2對一切實數(shù)x恒成立，求實數(shù)a的取值范圍.【思路點撥】不等式對一切實數(shù)恒成立，即不等式的解集為R,要解決這個問題還需要討論二次項的系數(shù)?！窘馕觥吭坏仁降葍r于 (a+2)x2+4x+a- 1>0對一切實數(shù)恒成立，顯然a= 2時，解集不是R,因此a 2,a 2 0,從而有 o42 4(a 2)(a 1) 0.整理，得a 2,(a 2)(a 3) 0.解得a>2.故a的取值范圍是(2, +8).【總結(jié)升華】當(dāng)我們遇到二次項系數(shù)含有字母時，一般需討論舉一反三：【變式1】已知關(guān)于x的不等式(m2+4m-5)x2-4(m-1)x+3>0對一切實數(shù)x恒成立，求