對數知識點整理

1、1對數的概念如果a(a>0，且a1)的b次冪等于N，即，那么數b叫做以a為底N的對數，記作：,其中a叫做對數的底數，N叫做真數.由定義知：負數和零沒有對數;a>0且a1,N>0;, , ,特別地，以10為底的對數叫常用對數，記作,簡記為lgN；以無理數e(e=2.718 28)為底的對數叫做自然對數，記作，簡記為2對數式與指數式的互化式子名稱指數式(底數)(指數)(冪值)對數式(底數)(對數)(真數)3對數的運算性質如果a>0,a1,M>0,N>0,那么(1)(2(3)問：公式中為什么要加條件a>0,a1，M>0,N>0?_ (nR)對數式

2、與指數式的比較.(學生填表)運算性質,(a>0且a1,nR), (a>0,a1,M>0,N>0)難點疑點突破對數定義中，為什么要規(guī)定a0,，且a1?理由如下：若a0，則N的某些值不存在，例如log-28若a=0，則N0時b不存在；N=0時b不惟一，可以為任何正數若a=1時，則N1時b不存在；N=1時b也不惟一，可以為任何正數為了避免上述各種情況，所以規(guī)定對數式的底是一個不等于1的正數解題方法技巧1(1)將下列指數式寫成對數式：54=625；2-6=164；3x=27；13m=573.（2）將下列對數式寫成指數式：log1216=-4；log2128=7；log327=x

3、；lg0.01=-2；ln10=2.303；lg=k.解析由對數定義：ab=NlogaN=b.解答(1)log5625=4.log2164=-6.log327=x.log135.73=m.解題方法指數式與對數式的互化，必須并且只需緊緊抓住對數的定義：ab=NlogaN=b.(2)12-4=16.27=128.3x=27.10-2=0.01.e2.303=10.10k=.2根據下列條件分別求x的值：(1)log8x=-23；(2)log2(log5x)=0；(3)logx27=31+log32；(4)logx(2+3)=-1.解析(1)對數式化指數式，得：x=8-23=?(2)log5x=20=

4、1. x=?(3)31+log32=3×3log32=?27=x?(4)2+3=x-1=1x. x=?解答(1)x=8-23=(23)-23=2-2=14.(2)log5x=20=1，x=51=5.(3)logx27=3×3log32=3×2=6，x6=27=33=(3)6,故x=3.(4)2+3=x-1=1x,x=12+3=2-3.解題技巧轉化的思想是一個重要的數學思想，對數式與指數式有著密切的關系，在解決有關問題時，經常進行著兩種形式的相互轉化.熟練應用公式：loga1=0,logaa=1,alogaM=M,logaan=n.3已知logax=4,logay=

5、5，求A=x·3x-1y212的值.解析思路一，已知對數式的值，要求指數式的值，可將對數式轉化為指數式，再利用指數式的運算求值；思路二，對指數式的兩邊取同底的對數，再利用對數式的運算求值解答解法一logax=4,logay=5,x=a4,y=a5,A=x512y-13=(a4)512(a5)-13=a53·a-53=a0=1.解法二對所求指數式兩邊取以a為底的對數得logaA=loga(x512y-13)=512logax-13logay=512×4-13×5=0,A=1.解題技巧有時對數運算比指數運算來得方便，因此以指數形式出現(xiàn)的式子，可利用取對數的方

6、法，把指數運算轉化為對數運算.4設x,y均為正數，且x·y1+lgx=1(x110),求lg(xy)的取值范圍.解析一個等式中含兩個變量x、y，對每一個確定的正數x由等式都有惟一的正數y與之對應，故y是x的函數，從而lg(xy)也是x的函數.因此求lg(xy)的取值范圍實際上是一個求函數值域的問題，怎樣才能建立這種函數關系呢?能否對已知的等式兩邊也取對數?解答x>0,y>0,x·y1+lgx=1,兩邊取對數得：lgx+(1+lgx)lgy=0.即lgy=-lgx1+lgx(x110,lgx-1).令lgx=t, 則lgy=-t1+t(t-1).lg(xy)=lg

7、x+lgy=t-t1+t=t21+t.解題規(guī)律對一個等式兩邊取對數是解決含有指數式和對數式問題的常用的有效方法；而變量替換可把較復雜問題轉化為較簡單的問題.設S=t21+t,得關于t的方程t2-St-S=0有實數解.=S2+4S0，解得S-4或S0,故lg(xy)的取值范圍是(-,-40,+).5求值：(1)lg25+lg2·lg50+(lg2)2；(2)2log32-log3329+log38-52log53；(3)設lga+lgb=2lg(a-2b)，求log2a-log2b的值;(4)求7lg20·12lg0.7的值.解析(1)25=52,50=5×10.都

8、化成lg2與lg5的關系式.(2)轉化為log32的關系式.(3)所求log2a-log2b=log2ab由已知等式給出了a,b之間的關系，能否從中求出ab的值呢?(4)7lg20·12lg0.7是兩個指數冪的乘積，且指數含常用對數，設x=7lg20·12lg0.7能否先求出lgx，再求x?解答(1)原式=lg52+lg2·lg(10×5)+(lg2)2=2lg5+lg2·(1+lg5)+(lg2)2=lg5·(2+lg2)+lg2+(lg2)2=lg102·(2+lg2)+lg2+(lg2)2=(1-lg2)(2+lg2)

9、+lg2+(lg2)2=2-lg2-(lg2)2+lg2+(lg2)2=2.(2)原式=2log32-(log325-log332)+log323-5log59=2log32-5log32+2+3log32-9=-7.(3)由已知lgab=lg(a-2b)2 (a-2b>0),ab=(a-2b)2, 即a2-5ab+4b2=0.ab=1或ab=4，這里a>0,b>0.若ab=1，則a-2b<0, ab=1（ 舍去）.ab=4,log2a-log2b=log2ab=log24=2.(4)設x=7lg20·12lg0.7,則lgx=lg20×lg7+lg

10、0.7×lg12=(1+lg2)·lg7+(lg7-1)·(-lg2)=lg7+lg2=14,x=14, 故原式=14.解題規(guī)律對數的運算法則是進行同底的對數運算的依據，對數的運算法則是等式兩邊都有意義的恒等式，運用法則進行對數變形時要注意對數的真數的范圍是否改變，為防止增根所以需要檢驗，如(3).對一個式子先求它的常用對數值，再求原式的值是代數運算中常用的方法，如(4).6證明(1)logaN=logcNlogca(a>0,a1,c>0,c1,N>0)；(2)logab·logbc=logac；(3)logab=1logba(b>

11、;0,b1)；(4)loganbm=mnlogab.解析(1)設logaN=b得ab=N,兩邊取以c為底的對數求出b就可能得證.(2)中l(wèi)ogbc能否也換成以a為底的對數.(3)應用(1)將logab換成以b為底的對數.(4)應用(1)將loganbm換成以a為底的對數.解答(1)設logaN=b，則ab=N,兩邊取以c為底的對數得：b·logca=logcN,b=logcNlogca.logaN=logcNlogca.(2)由(1)logbc=logaclogab.所以 logab·logbc=logab·logaclogab=logac.(3)由(1)loga

12、b=logbblogba=1logba.解題規(guī)律(1)中l(wèi)ogaN=logcNlogca叫做對數換底公式，(2)(3)(4)是(1)的推論，它們在對數運算和含對數的等式證明中經常應用. 對于對數的換底公式，既要善于正用，也要善于逆用.(4)由(1)loganbm=logabmlogaan=mlogabnlogaa= mnlogab.7已知log67=a,3b=4,求log127.解析依題意a,b是常數，求log127就是要用a,b表示log127，又3b=4即log34=b，能否將log127轉化為以6為底的對數，進而轉化為以3為底呢?解答已知log67=a,log34=b,log127=lo

13、g67log612=a1+log62.又log62=log32log36=log321+log32,由log34=b,得2log32=b.log32=b2,log62=b21+b2=b2+b.log127=a1+b2+b=a(2+b)2+2b.解題技巧利用已知條件求對數的值，一般運用換底公式和對數運算法則，把對數用已知條件表示出來，這是常用的方法技巧8已知x,y,zR+，且3x=4y=6z.(1)求滿足2x=py的p值；(2)求與p最接近的整數值；(3)求證：12y=1z-1x.解析已知條件中給出了指數冪的連等式，能否引進中間量m，再用m分別表示x,y,z?又想，對于指數式能否用對數的方法去解

14、答?解答（1）解法一3x=4ylog33x=log34yx=ylog342x=2ylog34=ylog316,p=log316.解法二設3x=4y=m,取對數得：x·lg3=lgm，ylg4=lgm,x=lgmlg3,y=lgmlg4,2x=2lgmlg3,py=plgmlg4.由2y=py, 得 2lgmlg3=plgmlg4,p=2lg4lg3=lg42lg3=log316.(2)2=log39<log316<log327=3,2<p<3.又3-p=log327-log316=log32716,p-2=log316-log39=log3169,而2716&

15、lt;169,log32716<log3169,p-2>3-p.與p最接近的整數是3.解題思想提倡一題多解.不同的思路，不同的方法，應用了不同的知識或者是相同知識的靈活運用，既發(fā)散了思維，又提高了分析問題和解決問題的能力，何樂而不為呢?(2)中涉及比較兩個對數的大小.這是同底的兩個對數比大小.因為底3>1，所以真數大的對數就大，問題轉化為比較兩個真數的大小，這里超前應用了對數函數的單調性，以鼓勵學生超前學習，自覺學習的學習積極性.(3)解法一令3x=4y=6z=m,由于x，y，zR+，k>1，則 x=lgmlg3,y=lgmlg4,z=lgmlg6,所以1z-1x=lg

16、6lgm-lg3lgm=lg6-lg3lgm=lg2lgm，12y=12·lg4lgm=lg2lgm，故12y=1z-1x.解法二3x=4y=6z=m，則有3=m1x,4=m1y，6=m1z，÷，得m1z-1x=63=2=m12y.1z-1x=12y.9已知正數a,b滿足a2+b2=7ab.求證：logma+b3=12(logma+logmb)(m>0且m1).解析已知a>0,b>0,a2+b2=7ab.求證式中真數都只含a,b的一次式，想：能否將真數中的一次式也轉化為二次，進而應用a2+b2=7ab?解答logma+b3=logm(a+b3)212=解題

17、技巧將a+b3向二次轉化以利于應用a2+b2=7ab是技巧之一.應用a2+b2=7ab將真數的和式轉化為ab的乘積式，以便于應用對數運算性質是技巧之二.12logma+b32=12logma2+b2+2ab9.a2+b2=7ab,logma+b3=12logm7ab+2ab9=12logmab=12(logma+logmb),即logma+b3=12(logma+logmb).思維拓展發(fā)散1數學興趣小組專門研究了科學記數法與常用對數間的關系.設真數N=a×10n.其中N>0,1a<10,nZ.這就是用科學記數法表示真數N.其科學性體現(xiàn)在哪里?我們只要研究數N的常用對數，就

18、能揭示其中的奧秘.解析由已知，對N=a×10n取常用對數得，lgN=n+lga.真數與對數有何聯(lián)系?解答lgN=lg(a×10n)=n+lga.nZ,1a<10，lga0,1).我們把整數n叫做N的常用對數的首數，把lga叫做N的常用對數的尾數，它是正的純小數或0.小結：lgN的首數就是N中10n的指數，尾數就是lga,0lga<1;有效數字相同的不同正數它們的常用對數的尾數相同，只是首數不同；當N1時，lgN的首數n比它的整數位數少1，當N(0，1)時，lgN的首數n是負整數，|n|-1與N的小數點后第一個不是0的有效數字前的零的個數相同.師生互動什么叫做科學

19、記數法？N>0,lgN的首數和尾數與a×10n有什么聯(lián)系？有效數字相同的不同正數其常用對數的什么相同？什么不同？2若lgx的首數比lg1x的首數大9，lgx的尾數比lg1x的尾數小0380 4，且lg0.203 4=1.308 3,求lgx,x,lg1x的值.解析lg0.203 4=1308 3,即lg0.203 4=1+0.308 3，1是對數的首數，0.308 3是對數的尾數，是正的純小數；若設lgx=n+lga，則lg1x也可表出.解答設lgx=n+lga,依題意lg1x=(n-9)+(lga+0.380 4).又lg1x=-lgx=-(n+lga),(n-9)+(lga

20、+0380 4)=-n-lga，其中n-9是首數，lga+0380 4是尾數，-n-lga=-(n+1)+(1-lga),-(n+1)是首數1-lga是尾數，所以：n-9=-(n+1)lga+0.380 4=1-lgan=4,lga=0.308 3.lgx=4+0.308 3=4.308 3,lg0.203 4=1.308 3,x=2.034×104.lg1x=-(4+0.308 3)=5.691 7.解題規(guī)律把lgx的首數和尾數，lg1x的首數和尾數都看成未知數，根據題目的等量關系列方程.再由同一對數的首數等于首數，尾數等于尾數，求出未知數的值，是解決這類問題的常用方法.3計算：(1)log2-3(2+3)+log6(2+3+2-3);(2)2lg(lga100)2+lg(lga).解析(1)中.2+3與2-3有何關系?2+3+2-3雙重根號，如何化簡?(2)中分母已無法化簡，分子能化簡嗎?解題方法認真審題、理解題意、抓住特點、找出明確的解題思路和方法，不要被表面的繁、難所嚇倒.解答(1)原式=