華羅庚學校數(shù)學教材(五年級上)第02講質(zhì)數(shù)、合數(shù)和分解質(zhì)因數(shù)

1、本系列共15講第二講 質(zhì)數(shù)、合數(shù)和分解質(zhì)因數(shù)文檔貢獻者：與你的緣一. 基本概念和知識1. 質(zhì)數(shù)和合數(shù)一個數(shù)除了 1和它本身，不再有別的約數(shù)，這個數(shù)叫做質(zhì)數(shù)（也 叫做素數(shù)）。一個數(shù)除了 1和它本身，還有別的約數(shù)，這個數(shù)叫做合數(shù)。要特別記住：1不是質(zhì)數(shù)，也不是合數(shù)。2. 質(zhì)因數(shù)與分解質(zhì)因數(shù)如果一個質(zhì)數(shù)是某個數(shù)的約數(shù)，那么就說這個質(zhì)數(shù)是這個數(shù)的質(zhì)因數(shù)。二. 例題例1:三個連續(xù)自然數(shù)的乘積是210,求這三個數(shù)。 210=2X 3X 5X7可知這三個數(shù)是 5、6、7。例2:兩個質(zhì)數(shù)的和是40,求這兩個質(zhì)數(shù)的乘積的最大值是多 少？解：把40表示為兩個質(zhì)數(shù)的和，共有三種形式：40=1723=1129=337

2、仃 X 23=391 11 X 29=319 3X 37=111,所求的最大值是391。例 3：自然數(shù) 123456789 是質(zhì)數(shù)，還是合數(shù)？為什么？解： 123456789 是合數(shù)。因為它除了約數(shù) 1 和它本身，至少還有約數(shù) 3，所以它是一個 合數(shù)。例 4：連續(xù) 9 個自然數(shù)中至多有幾個質(zhì)數(shù)？為什么？ 解：如果這連續(xù)九個自然數(shù)在 1 與 20 之間，那么顯然其中最 多有 4個質(zhì)數(shù)（如： 19 中有 4 個質(zhì)數(shù) 2、3、5、7）。如果這連續(xù)的九個自然數(shù)中最小的不小于13，那么其中的偶數(shù)顯然為合數(shù)，而其中奇數(shù)的個數(shù)最多有5 個。這 5個奇數(shù)中必只有一個個位數(shù)是 5，因而 5 是這個奇數(shù)的一個因數(shù)

3、，即這個奇數(shù)是 合數(shù)。這樣，至多另 4 個奇數(shù)都是質(zhì)數(shù)。綜上所述，連續(xù)九個自然數(shù)中至多有4 個質(zhì)數(shù)。例 5：把 5、6、7、14、15 這五個數(shù)分成兩組，使每組數(shù)的乘 積相等。解：5=5, 7=7, 6=2X 3, 14=2X 7, 15=3X 5。這些數(shù)中質(zhì)因數(shù) 2、3、5、7各共有 2 個，所以如把 14（=2X7)放在第一組，那么7和6 (=2X 3)只能放在第二組，繼而15 (=3X 5)只能放在第一組，則5必須放在第二組。這樣， 14X 15=210=5X 6X 7。這五個數(shù)可以分為 14和15, 5、6和7兩組。例 6：有三個自然數(shù)，最大的比最小的大6，另一個是它們的平均數(shù)，且三數(shù)

4、的乘積是42560。求這三個自然數(shù)。分析 先大概估計一下， 30X 30X 30=27000， 遠小于 42560， 40 X 40X 40=64000， 遠大于 42560。因此， 要求的三個自然數(shù)在 3040 之間。解：42560=2 6X 5X 7X 19=25X( 5X 7)X( 19X 2) =32X 35X 38(合題意)要求的三個自然數(shù)分別是32、35和38。例 7：有三個自然數(shù) a、b、c,已知 aX b=6, bX c=15, aX c=10。 求 aX bXc 是多少？解：6=2X 3, 15=3X 5, 10=2X 5。 (a X b) X (b X c) X (a X

5、c)=(2X3)X(3X5)X(2X5)a2Xb2Xc2=22X32X52(a x bx c) 2=(2 x 3X 5) 2ax bx c=2X 3X 5=30在例 7 中有 a2=22,b 2=32,c 2=52，其中 22=4，32=9，52=25，像 4、9、25 這樣的數(shù)，推及一般情況，我們把一個自然數(shù)平方所得到的 數(shù)叫做完全平方數(shù)或叫做平方數(shù)。如 口：1 2=1,2 2=4,3 2=9,4 2=16,，11 2=121, 122=144,其中1, 4, 9, 16,，121, 144,都叫做完全平方數(shù)。下面讓我們觀察一下，把一個完全平方數(shù)分解質(zhì)因數(shù)后，各質(zhì) 因數(shù)的指數(shù)有什么特征。例：

6、把下列各完全平方數(shù)分解質(zhì)因數(shù)。9, 36, 144, 1600, 275625。解： 9=3236=22x 32144=32x 241600=26x 52275625=32x54x72可見,一個完全平方數(shù)分解質(zhì)因數(shù)后,各質(zhì)因數(shù)的指數(shù)均是偶 數(shù)。反之,如果把一個自然數(shù)分解質(zhì)因數(shù)之后 ,各個質(zhì)因數(shù)的指數(shù)都是偶數(shù),那么這個自然數(shù)一定是完全平方數(shù)。如上例中, 36=6 2, 144=122, 1600=402, 275625=5252。例 8：一個整數(shù) a 與 1080 的乘積是一個完全平方數(shù),求最小值與這個完全平方數(shù)分析 a與1080的乘積是一個完全平方數(shù)。乘積分解質(zhì)因數(shù)后，各質(zhì)因的指數(shù)一定全是偶數(shù)

7、。解：1080X a=2 3X 3 3x 5X a,又 1080=23X 3 3X 5的質(zhì)因數(shù)分解中各質(zhì)因數(shù)的指數(shù)都是奇 數(shù)。 a必含質(zhì)因數(shù) 2、3、5,因此，a 最小為2X 3X 5。 1080X a=1080X 2X 3X 5=1080X 30=3240d答: a的最小值為30,這個完全平方數(shù)是 32400。例 9： 360 共有多少個約數(shù)？分析 360=23X3 2X5為了求360有多少個約數(shù)，我們先來看32X5有多少個約數(shù)，然后再把所有這些約數(shù)分別剩以 1、 2、 22、 23,即得到 23X3 2X5(=360)的所有約數(shù)。為了求 32X5有多少個約數(shù)，可以先求出 5 有多少個約數(shù),

8、然后再把這些約數(shù)分別乘以1、 3、3 2,即得到 32X5的所有約數(shù)。解：記5的約數(shù)個數(shù)為 Yi ,32X5的約數(shù)個數(shù)為丫2。360 (=23 X32X 5)的約數(shù)個數(shù)為 丫3。由上面的分析可知：Y3=4XY2,Y2=3XY i,顯然Yi=2 （5只有1和5兩個約數(shù)）。因此 Y3=4XY2=4X 3XY i=4X 3X2=24。所以， 360 共有 24 個約數(shù)。Y3=4XY 2中的“ 4 ”即為“ 1、2、22、23”中數(shù)的個數(shù)，也就 是其中2的最大指數(shù)加1,也就是360=23X 3 2X 5中質(zhì)因數(shù)2的個 數(shù)加 1；Y 2=3XY 1 中的“ 3”即為“ 1、3、3 2”中數(shù)的個數(shù)，也就是

9、 23 X 3 2 X 5中質(zhì)因數(shù)3的個數(shù)加1;而Yi=2中的“2”即為“1、5” 中數(shù)的個數(shù)，即23 X 3 2 X 5中質(zhì)因數(shù)5的個數(shù)加1。因此Y3=（31）X（ 21）X（ 11） =24。對于任何一個合數(shù),用類似于23X32X 5（=360）的約數(shù)個數(shù)的討論方式, 我們可以得到一個關于求一個合數(shù)的約數(shù)個數(shù)的重要 結論：一個合數(shù)的約數(shù)個數(shù), 等于它的質(zhì)因數(shù)分解式中每個質(zhì)因數(shù)的 個數(shù)（即指數(shù)）加 1 的連乘積。例 10：求 240 的約數(shù)的個數(shù)。解：240=24X 31X 5 1, 240的約數(shù)的個數(shù)是：（ 41 ）X（ 1 1 ）X（ 1 1 ） =20 個, 240有20個約數(shù)。請你列舉一下 240 的所有約數(shù)，再數(shù)一數(shù)，看一看是否是 20 個？習題二1 邊長為自然數(shù)，面積為 105 的形狀不同的長方形共有多少 種？211112