(完整word版)專升本高數(shù)復(fù)習(xí)資料(超新超全)

1、嚴(yán)格依據(jù)大綱編寫：筆記目錄第一章極限和連續(xù)第一節(jié)極限復(fù)習(xí)考試要求1. 了解極限的概念（對極限定義 等形式的描述不作要求）。會求函數(shù)在一點 處的左極限與右極限，了解函數(shù)在一點處極限存在的充分必要條件。2. 了解極限的有關(guān)性質(zhì)，掌握極限的四則運算法則。3. 理解無窮小量、無窮大量的概念，掌握無窮小量的性質(zhì)、無窮小量與無窮大量的關(guān) 系。會進(jìn)行無窮小量階的比較（高階、低階、同階和等價）。會運用等價無窮小量代 換求極限。4. 熟練掌握用兩個重要極限求極限的方法。第二節(jié)函數(shù)的連續(xù)性復(fù)習(xí)考試要求1. 理解函數(shù)在一點處連續(xù)與間斷的概念，理解函數(shù)在一點處連續(xù)與極限存在之間的關(guān) 系，掌握判斷函數(shù)（含分段函數(shù)）在一

2、點處連續(xù)性的方法。2. 會求函數(shù)的間斷點。3. 掌握在閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)會用它們證明一些簡單命題。4. 理解初等函數(shù)在其定義區(qū)間上的連續(xù)性，會利用函數(shù)連續(xù)性求極限。第二章一元函數(shù)微分學(xué)第一節(jié)導(dǎo)數(shù)與微分復(fù)習(xí)考試要求1. 理解導(dǎo)數(shù)的概念及其幾何意義，了解可導(dǎo)性與連續(xù)性的關(guān)系，會用定義求函數(shù)在一 點處的導(dǎo)數(shù)。2. 會求曲線上一點處的切線方程與法線方程。3. 熟練掌握導(dǎo)數(shù)的基本公式、四則運算法則以及復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)方法。4. 掌握隱函數(shù)的求導(dǎo)法與對數(shù)求導(dǎo)法。會求分段函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。5. 了解高階導(dǎo)數(shù)的概念。會求簡單函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)。6. 理解微分的概念，掌握微分法則，了解可微和可導(dǎo)的關(guān)系，會求函數(shù)的一階微

3、分。 第二節(jié)導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用復(fù)習(xí)考試要求1. 熟練掌握用洛必達(dá)法則求 1 產(chǎn)弓“0 =”、“= -型未定式的極限的方法。2. 掌握利用導(dǎo)數(shù)判定函數(shù)的單調(diào)性及求函數(shù)的單調(diào)增、減區(qū)間的方法。會利用函數(shù)的 單調(diào)性證明簡單的不等式。3. 理解函數(shù)極值的概念，掌握求函數(shù)的駐點、極值點、極值、最大值與最小值的方法， 會解簡單的應(yīng)用題。4. 會判斷曲線的凹凸性，會求曲線的拐點。5. 會求曲線的水平漸近線與鉛直漸近線第三章一元函數(shù)積分學(xué)第一節(jié)不定積分復(fù)習(xí)考試要求1. 理解原函數(shù)與不定積分的概念及其關(guān)系，掌握不定積分的性質(zhì)。2. 熟練掌握不定積分的基本公式。3. 熟練掌握不定積分第一換元法，掌握第二換元法（僅限三角代

4、換與簡單的根式代換）4. 熟練掌握不定積分的分部積分法。5. 掌握簡單有理函數(shù)不定積分的計算。第二節(jié)定積分及其應(yīng)用復(fù)習(xí)考試要求1. 理解定積分的概念及其幾何意義，了解函數(shù)可積的條件2. 掌握定積分的基本性質(zhì)3. 理解變上限積分是變上限的函數(shù)，掌握對變上限積分求導(dǎo)數(shù)的方法。4. 熟練掌握牛頓一萊布尼茨公式。5. 掌握定積分的換元積分法與分部積分法。6. 理解無窮區(qū)間的廣義積分的概念，掌握其計算方法。7. 掌握直角坐標(biāo)系下用定積分計算平面圖形的面積以及平面圖形繞坐標(biāo)軸旋轉(zhuǎn)所生成 的旋轉(zhuǎn)體的體積。第四章多元函數(shù)微分學(xué)復(fù)習(xí)考試要求1. 了解多元函數(shù)的概念，會求二元函數(shù)的定義域。了解二元函數(shù)的幾何意義。

5、2. 了解二元函數(shù)的極限與連續(xù)的概念。3. 理解二元函數(shù)一階偏導(dǎo)數(shù)和全微分的概念，掌握二元函數(shù)的一階偏導(dǎo)數(shù)的求法。掌 握二元函數(shù)的二階偏導(dǎo)數(shù)的求法，掌握二元函數(shù)的全微分的求法。4. 掌握復(fù)合函數(shù)與隱函數(shù)的一階偏導(dǎo)數(shù)的求法。5. 會求二元函數(shù)的無條件極值和條件極值。6. 會用二元函數(shù)的無條件極值及條件極值解簡單的實際問題。第五章概率論初步復(fù)習(xí)考試要求1. 了解隨機(jī)現(xiàn)象、隨機(jī)試驗的基本特點；理解基本事件、樣本空間、隨機(jī)事件的概念。2. 掌握事件之間的關(guān)系：包含關(guān)系、相等關(guān)系、互不相容關(guān)系及對立關(guān)系。3. 理解事件之間并（和）、交（積）、差運算的意義，掌握其運算規(guī)律。4. 理解概率的古典型意義，掌握

6、事件概率的基本性質(zhì)及事件概率的計算。5. 會求事件的條件概率；掌握概率的乘法公式及事件的獨立性。6. 了解隨機(jī)變量的概念及其分布函數(shù)。7. 理解離散性隨機(jī)變量的意義及其概率分布掌握概率分布的計算方法。8. 會求離散性隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望、方差和標(biāo)準(zhǔn)差。第一章極限和連續(xù)第一節(jié)極限復(fù)習(xí)考試要求1. 了解極限的概念（對極限定義-一等形式的描述不作要求）。會求函數(shù)在一點 處的左極限與右極限，了解函數(shù)在一點處極限存在的充分必要條件。2. 了解極限的有關(guān)性質(zhì)，掌握極限的四則運算法則。3. 理解無窮小量、無窮大量的概念，掌握無窮小量的性質(zhì)、無窮小量與無窮大量的關(guān) 系。會進(jìn)行無窮小量階的比較（高階、低階、同階和

7、等價）。會運用等價無窮小量代 換求極限。4. 熟練掌握用兩個重要極限求極限的方法。主要知識內(nèi)容（一）數(shù)列的極限1.數(shù)列定義按一定順序排列的無窮多個數(shù) 稱為無窮數(shù)列，簡稱數(shù)列，記作xn，數(shù)列中每一個數(shù)稱為數(shù)列的項，第 n 項 xn 為數(shù) 列的一般項或通項，例如（1） 1, 3, 5,，（2n-1 ）,（等差數(shù)列）（2） 站卜；T （等比數(shù)列）（3） 揺;V 廣（遞增數(shù)列）（4） 1, 0, 1, 0,一，（震蕩數(shù)列）都是數(shù)列。它們的一般項分別為（2n-1 ）。對于每一個正整數(shù)n,都有一個xn與之對應(yīng)， 所以說數(shù)列 xn 可看作自變量n的函數(shù) xn=f （n） ,它的定義域是全體正整數(shù)，當(dāng)自變量

8、n 依次取 1,2,3 切正整數(shù)時，對 應(yīng)的函數(shù)值就排列成數(shù)列。在幾何上，數(shù)列xn可看作數(shù)軸上的一個動點，它依次取數(shù)軸上的點x1,x2,x3，x n,2.數(shù)列的極限定義對于數(shù)列xn，如果當(dāng) n-時，xn 無限地趨于一個確定的常數(shù) A,則稱當(dāng) n 趨于 無窮大時，數(shù)列xn以常數(shù) A 為極限，或稱數(shù)列收斂于 A,記作也円辭-呵比如： 冷卜尹無限的趨向 0；畀話廣，無限的趨向 1否則，對于數(shù)列xn,如果當(dāng) n=時，xn 不是無限地趨于xn沒有極限，如果數(shù)列沒有極限，就稱數(shù)列是發(fā)散的數(shù)列極限的幾何意義：將常數(shù) A 及數(shù)列的項依次用數(shù)軸上的點表示，若數(shù)列xn以 A 為極限，就表示當(dāng) n 趨于無窮大時，點

9、 xn 可以無限靠近點 A,即點 xn 與點 A 之間 的距離|xn-A|趨于 0。比如：嶺卜#無限的趨向 0舄存角沖無限的趨向 1（二）數(shù)列極限的性質(zhì)與運算法則1.數(shù)列極限的性質(zhì)定理 1.1 (惟一性)若數(shù)列xn收斂，則其極限值必定惟一。定理 1.2 (有界性)若數(shù)列xn收斂，則它必定有界。個確定的常數(shù)，稱數(shù)列比如:1, 0,1,13,0,5,(2n-1 ),注意：這個定理反過來不成立，也就是說，有界數(shù)列不一定收斂。比如:1. 0，1, 0,寧有界：0, 12. 數(shù)列極限的存在準(zhǔn)則定理 1.3 (兩面夾準(zhǔn)則)若數(shù)列xn,yn,zn滿足以下條件：(1) . 1)(2) zm,則定理 1.4 若

10、數(shù)列xn單調(diào)有界，則它必有極限。3. 數(shù)列極限的四則運算定理。定理 1.5(1) 卜血心 TC-(2) 黒 l !于 好 (3) 當(dāng)舊 W 時,r 曲5(三) 函數(shù)極限的概念1.當(dāng) Xix0 時函數(shù) f (x)的極限(1)當(dāng) xTx0 時 f (x)的極限定義對于函數(shù) y=f (x)，如果當(dāng) x 無限地趨于 x0 時，函數(shù) f (x)無限地趨于一個常 數(shù) A,則稱當(dāng)XTx0 時，函數(shù) f (x)的極限是 A,記作現(xiàn)或 f (X)TA (當(dāng)XTx0 時)例 y=f (x) =2x+1XT1,f(X)T?X1XT1I-LJ1JL1V1J 10 3 JJQiJ3(2) 左極限當(dāng)XTx0 時 f (x

11、)的左極限 定義對于函數(shù) y=f (x),如果當(dāng) x 從 x0 的左邊無限地趨于 x0 時，函數(shù) f (x)無限地 趨于一個常數(shù) A,則稱當(dāng)XTx0 時，函數(shù) f (x)的左極限是 A,記作或 f (x0-0 ) =A(3) 右極限當(dāng)XTx0 時，f (x)的右極限定義對于函數(shù) y=f (x),如果當(dāng) x 從 x0 的右邊無限地趨于 x0 時，函數(shù) f (x)無限地 趨于一個常數(shù) A,則稱當(dāng)XTx0 時，函數(shù) f (x)的右極限是 A,記作嗚I 或 f (x0+0) =A例子：分段函數(shù)E5=n z=c的，求輛加,側(cè) E解：當(dāng) x 從 0 的左邊無限地趨于 0 時 f (x)無限地趨于一個常數(shù)

12、1。我們稱當(dāng)XT0 時, f (X)的左極限是 1,即有4 I) I當(dāng) x 從 0 的右邊無限地趨于 0 時，f (x)無限地趨于一個常數(shù)-1。我們稱當(dāng) XT0 時, f (X)的右極限是-1，即有顯然，函數(shù)的左極限隔右極限與函數(shù)的極限忖產(chǎn)定理 1.6 當(dāng)XTx0 時，函數(shù) f (x)的極限等于 A 的必要充分條件是 反之，如果左、右極限都等于 A,則必有XT1 時 f(x)XM1XT1f(x)T2I團(tuán)職 T對于函數(shù) 心=3】，當(dāng)XT1 時，f (x)的左極限是 2,右極限也是 22.當(dāng)XTX時，函數(shù) f (x)的極限(1) 當(dāng) xTX時，函數(shù) f ( x)的極限y=f(x)xTXf(x)T?

13、y=f(x)=1+XTXf(x)=1 +：i - T1定義對于函數(shù) y=f (x),如果當(dāng) xTX時， f( x)無限地趨于一個常數(shù) A,則稱當(dāng) xT X時， 函數(shù) f (x)的極限是 A,記作黒咆 N 或 f(x)TA (當(dāng) xTX時)(2) 當(dāng) xT+X時，函數(shù) f(x)的極限定義對于函數(shù) y=f (x)，如果當(dāng)XT+X時，f(x)無限地趨于一個常數(shù) A,則稱當(dāng) xT+X時，函數(shù) f(x)的極限是 A,記作麗刊這個定義與數(shù)列極限的定義基本上一樣，數(shù)列極限的定義中nT+X的 n 是正整數(shù)；而在這個定義中，則要明確寫出XT+x,且其中的 x 不一定是正整數(shù)，而為任意實數(shù)。 y=f(x)xT+X

14、f(x)xT?XT+X,f(x) = 2+T2Id (J*1)-!JK例：函數(shù) f (x) =2+e-x，當(dāng)XT+X時，f(X)T?J之間有以下關(guān)系:解：f (x) =2+e-x=2+，,XT+x,f(X)=2+ T2所以(3)當(dāng) xT-x時，函數(shù) f(x)的極限定義對于函數(shù) y=f (x)，如果當(dāng)XT-X時，f(x)無限地趨于一個常數(shù) A,則稱當(dāng) xT- 乂時，f (x)的極限是 A,記作AxTOOf(x)?則 f(x)=2+ (xv0)x-oo,_x +Of(x)=2+ 2酣怙 T例：函數(shù)卜當(dāng) x-O時，f(x)T?解：當(dāng) x -O時，-x2,即有由上述 Xo,x +o,x -O時，函數(shù)

15、f ( x)極限的定義，不難看出：XO時 f (x) 的極限是 A 充分必要條件是當(dāng) x +O以及 x -o時，函數(shù) f (X)有相同的極限 A。例如函數(shù)|艸-T,當(dāng) X-O時，f (x)無限地趨于常數(shù) 1,當(dāng) X +O時，f ( x)也無限 地趨于同一個常數(shù) 1,因此稱當(dāng) XO時的極限是 1,記作其幾何意義如圖 3 所示a*-J- EB 3f(x)=1 +y=arcta nx:加，沁:不存在。但是對函數(shù) y=arctanx 來講，因為有即雖然當(dāng) x-o時，f(x)的極限存在，當(dāng) x +o時，f(x)的極限也存在，但這兩 個極限不相同，我們只能說，當(dāng) xo時，y=arctanx 的極限不存在。

16、x)=1 +Lirs (I* b-l十a(chǎn):y=arcta nxM 嚴(yán)1也弓加評血:加，沁:不存在。 但是對函數(shù) y=arctanx 來講，因為有ILF事更|rF去|即雖然當(dāng) X個極限不相同，我們只能說，當(dāng)（四）函數(shù)極限的定理 定理 1.7 （惟一性定理）如果臆戶 1 存在，則極限值必定惟一。定理 1.8 （兩面夾定理）設(shè)函數(shù)在點 的某個鄰域內(nèi)（可除外）滿足條件:（1）|曲f*，（2）焙心則有 注意：上述定理 1.7 及定理 1.8 對-也成立。下面我們給出函數(shù)極限的四則運算定理定理 1.9 如果（1）（2）（3）當(dāng)時，上述運算法則可推廣到有限多個函數(shù)的代數(shù)和及乘積的情形，有以下推論：（1）I.

17、- 舛”；（2）（3） ；：. r 1用極限的運算法則求極限時，必須注意：這些法則要求每個參與運算的函數(shù)的極限存 在，且求商的極限時，還要求分母的極限不能為零。另外，上述極限的運算法則對于的情形也都成立（五）無窮小量和無窮大量1.無窮小量（簡稱無窮小）定義對于函數(shù)，如果自變量 X 在某個變化過程中，函數(shù)的極限為零，則稱在該變化過程中，為無窮小量，一般記作4常用希臘字母，來表示無窮小量。定理 1.10 函數(shù) 以 A 為極限的必要充分條件是：-可表示為 A 與一個無窮小量之和。注意：（1）無窮小量是變量，它不是表示量的大小，而是表示變量的變化趨勢無限趨 于為零。（2） 要把無窮小量與很小的數(shù)嚴(yán)格區(qū)

18、分開，一個很小的數(shù)，無論它多么小也不是無窮 小量。（3） 個變量是否為無窮小量是與自變量的變化趨勢緊密相關(guān)的。在不同的變化過程 中，同一個變量可以有不同的變化趨勢，因此結(jié)論也不盡相同。Lsn上小衛(wèi)* 亠r 畑2 |f -X時，f（ X）的極限存在，當(dāng) XT+X時，f（ X）的極限也存在，但這兩XTX時，y=arctanx 的極限不存在。lifli.Ui ：g(4 lim /(.t) im鞏 Q 丿埔T%i0 Eiror -04COST-11JUT夕siruTj2 I心心振蕩型發(fā)散0（4） 越變越小的變量也不一定是無窮小量，例如當(dāng) x 越變越大時，吋就越變越小，但 它不是無窮小量。（5） 無窮小

19、量不是一個常數(shù)，但數(shù)“ 0”是無窮小量中惟一的一個數(shù)，這是因為既2. 無窮大量（簡稱無窮大）定義；如果當(dāng)自變量 K （或乂）時，的絕對值可以變得充分大（也即無限地增大），則稱在該變化過程中，為無窮大量。記作 汰。注意：無窮大（乂）不是一個數(shù)值，“乂”是一個記號，絕不能寫成或市。3. 無窮小量與無窮大量的關(guān)系無窮小量與無窮大量之間有一種簡單的關(guān)系，見以下的定理。定理 1.11 在同一變化過程中，如果血為無窮大量，則卯為無窮小量；反之，如果昭為 無窮小量，且，則 1 亦 1 為無窮大量。當(dāng)宀：無窮大Is 方無窮小當(dāng)為無窮小一 U 廠無窮大4. 無窮小量的基本性質(zhì)性質(zhì) 1 有限個無窮小量的代數(shù)和仍是

20、無窮小量；性質(zhì) 2 有界函數(shù)（變量）與無窮小量的乘積是無窮小量；特別地，常量與無窮小量的 乘積是無窮小量。JiBLi （I7 Ix0, Fco罔幻性質(zhì) 3 有限個無窮小量的乘積是無窮小量。性質(zhì) 4 無窮小量除以極限不為零的變量所得的商是無窮小量。5. 無窮小量的比較定義設(shè)是同一變化過程中的無窮小量，即卩“。（1） 如果 則稱是比 較高階的無窮小量，記作；（2） 如果呀則稱匕與可為同階的無窮小量；（3） 如果 則稱與為等價無窮小量，記為-；（4） 如果 則稱是比較低價的無窮小量。當(dāng)?shù)葍r無窮小量代換定理：如果當(dāng)時-r；i：均為無窮小量，-均為無窮小又有 十.且:二討存在，貝 y 爲(wèi)討 h這個性質(zhì)常

21、常使用在極限運算中，它能起到簡化運算的作用。但是必須注意：等價無 窮小量代換可以在極限的乘除運算中使用。常用的等價無窮小量代換有：當(dāng)h八時，sinxx;tanx;arctanxx;arcsinx（六）兩個重要極限1.重要極限I重要極限I是指下面的求極限公式S tHTl - = 1unii-sDI蜜口4這個公式很重要，應(yīng)用它可以計算三角函數(shù)的 其結(jié)構(gòu)式為：i-d,sin：3- I .(JE+ IJnn.fr3-T)M t .亠.ji i-1 aaT (?-l)=訕*+t.g迥3=2Il2 (宀I)2.重要極限H重要極限H是指下面的公式:liSifL-s-i)* a-*JtElHnCl + t）f

22、c三d其中 e 是個常數(shù)（銀行家常數(shù)），叫自然對數(shù)的底，它的值為e=2.718281828495045其結(jié)構(gòu)式為：lim （1.貝*嚴(yán)3* =r重要極限I是屬于 型的未定型式，重要極限H是屬于“ ”型的未定式時，這兩個重 要極限在極限計算中起很重要的作用，熟練掌握它們是非常必要的。（七）求極限的方法：1. 利用極限的四則運算法則求極限；2. 利用兩個重要極限求極限；x；型的極限問題。|dxrvsiK i亠吐- =3. 利用無窮小量的性質(zhì)求極限；4. 利用函數(shù)的連續(xù)性求極限；5. 利用洛必達(dá)法則求未定式的極限;6. 利用等價無窮小代換定理求極限?；緲O限公式,（2）lam - 0C ty Lim

23、 r =d（3）（4）Id4B-制aJ*0 +-+*例 1.無窮小量的有關(guān)概念（1）9601下列變量在給定變化過程中為無窮小量的是A.嚴(yán)嚴(yán)詢 B.云卄D,興“心答CQi沖:發(fā)散C.卜?。?A.Bi-frhf經(jīng)Ij1S * i）十i fr -tggXI z-3r-31-1D.不 T 阿 TTR 初 S（2）0202當(dāng) 時，與 x 比較是A.高階的無窮小量 B.等價的無窮小量C.非等價的同階無窮小量 D.低階的無窮小量答B(yǎng)解:當(dāng)，與 x 是 LaH . I “亠.I JLD-ni（l+xJi-j D r r-0 x1丄二百m昭a(bǔ) + lJJTr-tft=Lziff = j極限的運算：0611laf

24、ri_ - _Jj. Lza+3J-IJI耐Itji-l亍-|.JSDT十1 lioi（J+1）一 十1liqlux口+訓(xùn)刀 * 血盅打3（2） 0621計算.疋-工2lll 一- 3 jrJ-4答甘解：答案卜 1例 2.型因式分解約分求極限（1） 0208答解：_4一沖-2X+I片解：例 3.型有理化約分求極限（1）0316 計算鶴 H答卄、爲(wèi)-麗_ .心屜解：，=hm-F = tdEQi w產(chǎn)-旅斥4旳】說I(2)9516聖疼穩(wěn)答睥解：_吧*務(wù)21-2+2)皀JEhp4帖*芻14 ?)沖禺22 - Wfl 3例 4.當(dāng)時求型的極限答(1) 0308 %丹一 一般地，有OC# )應(yīng)寧他2.

25、22-1i 定七i U丄IIE 0+$3SIMR-I例 5.用重要極限I求極限M篡IJCTJE(1) 9603下列極限中，成立的是ill nn/_=血1如、圍iE3I1JID XA. B.C.漑 D.皿;=答B(yǎng)S!H( (-1)I. I(2)0006答憐十I如解：泄工hgL.=如出丄丄X1+5-6 wl(J + fitJF-D r-L fl-工十TL盤一1i! .t + o例 6.用重要極限H求極限Lm 1*弓_產(chǎn)門irtHTd嬴巧(1)0416計算答解析解一：令MT，砂TQ匝式LH就Q$Fnd31|5!|1+/|#，2?-*D3解二：JI-dU-b 0+-p卩-lin (1*- *rx*03

26、060601即#丿(2) 0118計算答解： 例 7.用函數(shù)的連續(xù)性求極限0407解：J-SOLin ln0十JD*(2) 0406設(shè) 解析答1y(0 + C =IIAj= litni-r-H*例 10.求極限的反問題寧 3 則常數(shù)廠活+屮，即 i 一屮“, ,得-.(1)已知忸解析解法一：角軍法 : 令 - ，解得-.得解法三：(洛必達(dá)法則)即 ，得=.麗亍求 a,b 的值.解析 型未定式. 當(dāng)話時寸，T .(2)3 *!1 + a?i*i=(X-UCA+JR!)于是I即卩 - - -所以-0017，則 k=,得心.(答：ln2 )5t = Jn Il 2 - Bia 2A- In 2前面我

27、們講的內(nèi)容：極限的概念；極限的性質(zhì)；極限的運算法則；兩個重要極限；無窮小量、無窮大量的 概念；無窮小量的性質(zhì)以及無窮小量階的比較。第二節(jié)函數(shù)的連續(xù)性復(fù)習(xí)考試要求1. 理解函數(shù)在一點處連續(xù)與間斷的概念，理解函數(shù)在一點處連續(xù)與極限存在之間的關(guān) 系，掌握判斷函數(shù)(含分段函數(shù))在一點處連續(xù)性的方法。2. 會求函數(shù)的間斷點。3. 掌握在閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)會用它們證明一些簡單命題。4. 理解初等函數(shù)在其定義區(qū)間上的連續(xù)性，會利用函數(shù)連續(xù)性求極限。主要知識內(nèi)容(一)函數(shù)連續(xù)的概念1. 函數(shù)在點 x0 處連續(xù)定義 1 設(shè)函數(shù) y=f (x)在點 x0 的某個鄰域內(nèi)有定義， 如果當(dāng)自變量的改變量 x (初

28、值為 xO)趨近于 0 時，相應(yīng)的函數(shù)的改變量厶 y 也趨近于 0,即則稱函數(shù) y=f (x)在點 xO 處連續(xù)。函數(shù) y=f ( x)在點 xO 連續(xù)也可作如下定義：定義 2 設(shè)函數(shù) y=f (x)在點 xO 的某個鄰域內(nèi)有定義，如果當(dāng) XixO 時，函數(shù) y=f (x) 的極限值存在，且等于 xO 處的函數(shù)值 f (xO) ,即卩定義 3 設(shè)函數(shù) y=f (x),如果現(xiàn),貝卩稱函數(shù) f (x)在點 xO 處左連續(xù)；如果-：,則稱函數(shù) f (x)在點 xO處右連續(xù)。 由上述定義 2可知如果函數(shù) y=f (x)在點 xO處連 續(xù)， 則 f (x)在點 xO 處左連續(xù)也右連續(xù)。2. 函數(shù)在區(qū)間a

29、 , b上連續(xù)定義如果函數(shù) f (x)在閉區(qū)間a , b上的每一點 x 處都連續(xù)，則稱 f (x)在閉區(qū)間a , b上連續(xù)，并稱 f (x)為a , b上的連續(xù)函數(shù)。這里，f (x)在左端點 a 連續(xù)，是指滿足關(guān)系：，在右端點 b 連續(xù)，是指滿足關(guān)系：，即 f (x)在左端點 a 處是右連續(xù)，在右端點 b 處是左連續(xù)。可以證明：初等函數(shù)在其定義的區(qū)間內(nèi)都連續(xù)。3. 函數(shù)的間斷點定義如果函數(shù) f (x)在點 xO 處不連續(xù)則稱點 xO 為 f (x) 一個間斷點。由函數(shù)在某點連續(xù)的定義可知，若 f (x)在點 xO 處有下列三種情況之一：(1) 在點 xO 處，f (x)沒有定義；(2) 在點

30、xO 處，f (x)的極限不存在；(3) 雖然在點 xO 處 f (x)有定義，且-存在，但則點 xO 是 f (x) 一個間斷點。F-1,期i,: “曲g g,則 f (x) 在A.x=O,x=1 處都間斷 B.x=O,x=1 處都連續(xù)C. x=O 處間斷，x=1 處連續(xù)D. x=O 處連續(xù)，x=1 處間斷解：x=0 處，f (0) =0轉(zhuǎn)軒0*1Vf (0-0 )工 f ( 0+0)x=0 為 f (X)的間斷點x=1 處，f (1) =1.過+6 竝口-f ( 1-0 ) =f ( 1+0) =f ( 1) f (x)在 x=1 處連續(xù)答案C9703設(shè) T：,在 x=0 處連續(xù)，則 k

31、等于A.0 B.1C. D.2分析：f (0) =k- 1曲一:Ed =IlTflI切劇答案B例 30209設(shè) 在 x=0 處連續(xù)，則 a=解：f (0) =e0=1Lftt-CfJs* lififtf * t kill Liro(d r a)*JVf(0)=f(0-0)=f(0+0)a=1答案1(二) 函數(shù)在一點處連續(xù)的性質(zhì)由于函數(shù)的連續(xù)性是通過極限來定義的，因而由極限的運算法則，可以得到下列連續(xù) 函數(shù)的性質(zhì)。定理 1.12 (四則運算)設(shè)函數(shù) f (x), g (x)在 x0 處均連續(xù)，則(1) f (x) g (x)在 x0 處連續(xù)(2) f (x) g (x)在 x0 處連續(xù)(3) 若

32、 g (x0)工 0,則料在 x0 處連續(xù)。定理 1.13 (復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性)設(shè)函數(shù) u=g (x)在 x=x0 處連續(xù)，y=f (u)在 u0=g (x0) 處連續(xù)，則復(fù)合函數(shù) y=fg (x)在 x=x0 處連續(xù)。在求復(fù)合函數(shù)的極限時，如果 u=g (x)，在 x0 處極限存在，又 y=f (u )在對應(yīng)的川： 處連續(xù)，則極限符號可以與函數(shù)符號交換。即血亦燼門、H塑曲JI隔空/!日匸=XI楓嘩:=定理 1.14 (反函數(shù)的連續(xù)性)設(shè)函數(shù) y=f (x)在某區(qū)間上連續(xù)，且嚴(yán)格單調(diào)增加(或 嚴(yán)格單調(diào)減少)，則它的反函數(shù) x=f-1 (y)也在對應(yīng)區(qū)間上連續(xù)，且嚴(yán)格單調(diào)增加(或 嚴(yán)格單調(diào)減少)。(三) 閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)在閉區(qū)間a，b上連續(xù)的函數(shù) f (x)，有以下幾個基本性質(zhì)，這些性質(zhì)以后都要用到。定理 1.15 (有界性定理)如果函數(shù) f (x)在閉區(qū)間a , b上連續(xù)，則 f (x)必在a , b上有界。定理 1.16 (最大值和最小值定理)如果函數(shù) f (x)在閉區(qū)間a , b上連續(xù)，則在這個 區(qū)間上一定存在最大值和最小值。定理 1.17 (介值定理)如果函數(shù) f