變量之間的關系(一)

1、變量之間的關系一【小故事】函數(shù)概念的歷史變遷當自變量在其取值范圍內的每個值,因變量都有惟一的值與其對應時,我們 就說這個因變量是自變量的函數(shù).本章我們是在初步了解函數(shù).最初是笛卡爾引入的函數(shù)概念,17世紀末,德國數(shù)學家萊布尼茲首先使 用 了 “函數(shù)這一術語,不過當時它是被用來表示“幕、“坐標、“切線長等概 念.在這一意義上的“函數(shù)與現(xiàn)在所指的函數(shù)是全然不同的.到了 18世紀,瑞士數(shù)學家約翰貝努利和法國數(shù)學家達朗貝爾給函數(shù)下的 定義,才更接近于現(xiàn)在函數(shù)的定義.但其只是我們現(xiàn)在的研究的函數(shù)的一種表達 形式一一解析法.1748 年,瑞士數(shù)學家歐拉明確定義“函數(shù)是解析表達式：“變量的函數(shù)是一個解析表達

2、式,它是由這個變量和一些常量以任何方式組成的. 1775年歐拉又給出了另一種定義：“如果某些變量,以這樣一種方式依賴于另一些變量,即 當后面這些變量變化時,前面這些變量也隨之變化,那么前面的變量稱為后面變 量的函數(shù).最早提出與現(xiàn)行課本上函數(shù)類似定義的是 19世紀的法國數(shù)學家柯西.1837 年,德國數(shù)學家狄里克萊提出函數(shù)是一種對應關系,與柯西同時代的德國數(shù)學家黎曼也提出了類似的想法.以上我們看到：函數(shù)這一概念可謂是歷盡滄桑,經歷了 “解析的函數(shù)概念 、 圖象的函數(shù)概念直至“對應關系的函數(shù)概念.現(xiàn)行中學教材所采用的是“對 應關系的函數(shù)概念.【知識要點梳理】1 .常量：在一個變化過程中,數(shù)值保持不變

3、的量叫做常量.2 .變量：在一個變化過程中,可以取不同數(shù)值的量叫做變量 .變量又分為自變量和因變量 假設一個變量y隨著另一個變量x的變化而變化,那么把 x叫做自變量,y叫做因變量3 .表述自變量與因變量之間關系的三種方法： 表格法：如圖1表示小球由靜止開始在一個斜坡上向下滾動時,滾動距離和滾動時間之間的關系:【典型例題探究】例1.某市為了鼓勵市民節(jié)約用水,規(guī)定自來水的收費標準如下表:每月每戶用水量(噸)每噸價格(元)不超過10噸局部0. 50超過10噸但不超過20噸局部0. 75超過20噸局部1 . 50問題:(1)胡老師家四月份用水 18噸,那么應該繳納水費 元;(2)假設胡老師家五月份繳納

4、水費17元,那么他家五月份用水 噸;(3)寫出每月每戶的水費 y (元)與用水量x (噸)之間的關系式.例2.聲音在空氣中彳播的速度 y(m/s)(簡稱音速)與氣溫 x(P足間的關系如下表:氣溫x( C )05101520音速y(m/s)331334337340343(1)這一變化過程中,自變量和因變量各是什么？(2)音速y(m/s)與氣溫xC后間的關系式.(3)氣溫x =22二C時,某人看到煙花燃放 5s后才聽到聲音,那么此人與燃煙花的所在 地約相距多遠？貨物數(shù)x與售價y之間例3.商店出售貨物時,要在進貨價格根底上再加上一定利潤,的關系如下表：數(shù)量x (千克)12345售價y (元)0.30

5、+0.050.60+0.100.90+0.151.20+0.201.50+0.25(1)隨著x的變化,y的變化情況如何?(2)寫出用x表示y的公式.(3)計算2.5千克貨物的價格.例4. 一個梯形,它的下底比上底長2cm,它的高為3cm,設它的上底長為 x cm ,它的面積為 y cm2.(1)寫出y與x之間的關系式,并指出哪個變量是自變量,哪個變量是因變量(2)當x由5變到7時,y如何變化？(3)用表格表示當x從3變到10時(每次增加1), y的相應值.(4)當x每增加1時,y如何變化？說明你的理由.(5)這個梯形的面積能等于 9 cm2嗎？能等于2 cm2嗎？為什么？例5.公路上依次有 A

6、、B、C三個汽車站,上午 8時,小明騎自行車從 A、B兩站之間距離A站8千米處出發(fā),向 C站勻速前進,他騎車的速度是每小時16.5千米.(1)在小明騎車用去的時間與所走的路程這兩個變量中,哪個是自變量？哪個是因變量？(2)設小明出發(fā)x小時后,離A站的路程為y千米,請寫出y與x之間的關系式.(3)假設A B兩站間的路程是 26千米,B C兩站間的路程是 15千米,那么小明在上午 9時是否已經經過了 B站？(4)小明大約在什么時間能夠到達C站？【根底達標演練】1 . 一個三角形的面積始終保持不變,它的一邊的長為 xcm,這邊上的高為ycm, y與x的關d落下時,彈跳高度b與下系如圖：從圖像中可以看

7、出：(1)當x越來越大時,y越來越(2)這個三角形的面積等于 cm , 3.當一個圓錐的底面半徑變?yōu)樵瓉淼?倍,局變?yōu)樵瓉淼?時,它的體積變?yōu)樵瓉淼?) (3)可以想像：當x非常大非常大時,y一定非常小非常小,這個三角形顯得很“扁,但無論x多么的大,y總是(填“大于、“小于或“等于)2 .下面的圖表列出了一項試驗的統(tǒng)計數(shù)據(jù),表示將皮球從高處落高度d的關系：d (cm)5080100150b (cm)25405075(1)隨著下落高度d的變化,彈跳高度 b是怎樣變化的?(2)試問能夠正確表示這種關系的式子是()A . b=d2 B . b = 2d C . b =- D . d +2522 1

8、9B.4-94.如右圖所示的三角形是有規(guī)律地從里到外逐層排列的,設y為第n層n為正整數(shù)三角形的個數(shù),那么以下關系式中正確的選項是A . y =4n -4B. y =4nC. y = 4n 42D. y = n5.廣州的土地總面積是7434平方千米,人均占有的土地面積B.C.D.S 單位：平方千米/人隨全市人口 n 單位：人的變化而變化,那么 S與n的關系式是3 ,一一7.根據(jù)以下圖所示的程序計算 y值,假設輸入x的值為3時,那么輸出的結果為2C21 .球的體積Vcm 3與球的半徑Rcm的變化關系式是 V=4n R3 ,在這一個變化過程中,3是自變量,是因變量.2 .等腰三角形的底角度數(shù)y與頂角

9、度數(shù)x的關系式是 3 .汽車由南方駛往相距 300km的上海,它的平均速度是100km/時,那么汽車距上海的路程 Skm 與行駛時間t 小時的關系式是 4 .一個正方形的邊長為 10 cm,它的邊長減少xcm后,得到的新正方形的面積為y cm 6.如下圖,AABC的底邊邊長BC=a,當頂點A沿BC邊上的高AD向D點移動到E點,使 . DE=1AE時,MBC的面積將變?yōu)樵瓉淼?,那么y與X之間的關系式為5 .梯形上底的長是 5,下底的長是x ,高是6,(1)梯形的面積y與下底長x之間的關系式是 ；(2)當下底長 x=7時,梯形的面積 y =;當x=8時,y =;當x=0時,y =,此時它表示6

10、.設 ABC的底邊BC=a , BC上的高AD=h,假設BG AD都增加x ,那么面積也會發(fā)生變化,(1)在這個變化過程中,自變量和因變量各是什么？(2)設 ABC面積的增加用T表示,請寫出T的表達式.(3)當a =4, h=3, x=2時,計算 T的值.7 .小紅幫助母親預算 4月份的用電量,小紅記錄了 4月初連續(xù)8天每天早上電表顯示的讀 數(shù),列成了表格如下：日 期12345678電表顯示/千瓦時2124283235394246(1)這個表格反映哪兩個變量之間的關系？哪個是自變量？哪個是因變量?(2) 4月5日早上電表的讀數(shù)是多少？(3)這個月的前5天共用電多少？(小紅家每天只在晚上用電)(

11、4)估計在4月9日早上電表的讀數(shù)是多少？(5)估計4月份的總用電量8 .如下圖程序計算,假設輸入 x的值為1,那么輸出y的值為【走近中考前沿】10元,學生票1. (2021寧德)張老師帶著x名學生到某動物園參觀,成人票每張 每張5元,設門票的總費用為 y元,那么y =.2. 2021廣州函數(shù) y = 2,當x=1時,y的值是 x13. 2021濟寧在函數(shù)y=中,自變量x的取值范圍是 x-3A.xw0 B. x>3 C. x w 3 D. x3【數(shù)學競賽花園】1.南方A市欲將一批容易變質的水果運往 B市銷售,假設有飛機、火車、汽車三種運輸方式, 現(xiàn)只選擇其中一種,這三種運輸方式的主要參考數(shù)據(jù)如下表所示：運輸工具途中速度km/h途中費用元/