分式和分式方程專題復(fù)習(xí)講義(含答案)

1、分式和分式方程 專題復(fù)習(xí)講義中考考點(diǎn)知識(shí)梳理：一、分式1、分式的概念一般地,用A、B表示兩個(gè)整式,A+ B就可以表示成 A的形式,如果B中含有字母,式子 4就叫做分BB式.其中,A叫做分式的分子,B叫做分式的分母.分式和整式通稱為有理式.2、分式的性質(zhì)(1)分式的根本性質(zhì)：分式的分子和分母都乘以(或除以)同一個(gè)不等于零的整式,分式的值不變.(2)分式的變號(hào)法那么：分式的分子、分母與分式本身的符號(hào),改變其中任何兩個(gè),分式的值不變.3、分式的運(yùn)算法那么a c ac a . c a d ad 二' 一二一 一二;JJ(1) b d bd b d b c bcn(亙)n =A(n為整數(shù))；(2

2、) b ba b a - b 二;J(3) c c ca c ad - bc土=(4) b d bd二、分式方程1、分式方程分母里含有未知數(shù)的方程叫做分式方程.2、分式方程的一般方法解分式方程的思想是將“分式方程轉(zhuǎn)化為“整式方程.它的一般解法是：(1)去分母,方程兩邊都乘以最簡(jiǎn)公分母(2)解所得的整式方程(3)驗(yàn)根：將所得的根代入最簡(jiǎn)公分母,假設(shè)等于零,就是增根,應(yīng)該舍去；假設(shè)不等于零,就是原方程的根.3、分式方程的特殊解法換元法：換元法是中學(xué)數(shù)學(xué)中的一個(gè)重要的數(shù)學(xué)思想,其應(yīng)用非常廣泛,當(dāng)分式方程具有某種特殊形式,一般的去分母不易解決時(shí),可考慮用換元法.考點(diǎn)典例一、分式的值x 2【例1】當(dāng)x=

3、時(shí),分式2x+ 5的值為0.【答案】2.【解析】x 2試題分析：: -一二的值為0,x-2=0 且2x+5 W0,解得x=2.2x + 5考點(diǎn)：分式.【點(diǎn)睛】使分式的值為零必須滿足分子等于0分母不等于零這兩個(gè)條件.【舉一反三】1.使分式,有意義的x的取值范圍是x -1A. xwlB. xw TC. x< 1D. x>1【答案】A【解析】試題分析；,分式一二有意義,解得#1.應(yīng)選A.X-1考點(diǎn)：分式有意義的條件.-x2 -1 ,2.右分式的值為0,那么x =x 1【答案】1【解析】一 , 一, 、,、一x2 -1,、一 , r試題分析：根據(jù)題意可知這是分式方程,x一1 = 0,然后根

4、據(jù)分式方程的解法分解因式后約分可得x-1=0,解之得x=1,經(jīng)檢驗(yàn)可知x=1是分式方程的解 答案為1.考點(diǎn)：分式方程的解法 考點(diǎn)典例二、分式的化簡(jiǎn)【例2】化簡(jiǎn)-1 a +1的結(jié)果是C.2a -1a -12a -1D. a -1試題分析：原式a2 M -1,應(yīng)選 A.a -1a -1考點(diǎn)：分式的加減法.【點(diǎn)睛】觀察所給式子,能夠發(fā)現(xiàn)是異分母的分式減法.利用異分母分式的減法法那么計(jì)算即可得到結(jié)果.【舉一反三】1.化簡(jiǎn):k+32.x2+3x試題分析:原式2x 3 (x-2)2 (x-2)2 x(x 3) - x考點(diǎn)：分式的化簡(jiǎn).2.計(jì)算:5c2 3bTab *7275c2a3 .試題分析:先約分,再

5、根據(jù)分式的乘除法運(yùn)算的計(jì)算法那么計(jì)算即可,即原式5c 12a a25c2a3 .考點(diǎn)：分式的運(yùn)算.3.計(jì)算:5 c2 3b6ab /亡5c【答案】2a3 .5c 1 5c丁 2 二 732a a 2a【解析】試題分析：先約分,再根據(jù)分式的乘除法運(yùn)算的計(jì)算法那么計(jì)算即可,即原式考點(diǎn)：分式的運(yùn)算.考點(diǎn)典例三、分式方程、一 53【例3】方程一-3 =0的解為.x -2 x【答案】x=- 3.【解析】試題分析：去分母,得：5工T (工->二力整理得：2<+6=0?解得： S經(jīng)檢險(xiǎn):人=-3是原分式方 程的解？故答案為工戶-,考點(diǎn)：解分式方程.【點(diǎn)睛】先去掉分母,方程兩邊乘最簡(jiǎn)公分母,可以把

6、分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程求解,然后解一元一次方程,最后檢驗(yàn)即可求解.【舉一反三】121.方程2x x 3的解是.【答案】x=-1.【解析】試題分析：方程兩邊同乘以2x (x-3)得,x-3=4x ,解得x=-1 ,經(jīng)檢驗(yàn)x=-1是原方程的解考點(diǎn)：解分式方程2.用換元法解方程x2 -12xx2 -12=3時(shí),設(shè)x -12=y,那么原方程可化為A. y= 一 - 3=0 B . y - - - 3=0 C . y - - +3=0 D . y - - +3=0yyyy【答案】B.【解析】y=3,即y3=0.故答案選B.試題分析：設(shè) x -12=y,那么2x =1,原方程可轉(zhuǎn)化為: xx -12 y考

7、點(diǎn)：換元法解分式方程.考點(diǎn)典例四、分式方程的應(yīng)用【例5】穿越青海境內(nèi)的蘭新高鐵極大地改善了沿線人民的經(jīng)濟(jì)文化生活,該鐵路沿線甲,乙兩城市相距480km,乘坐高鐵列車比乘坐普通快車能提前4h到達(dá),高鐵列車的平均行駛速度比普通列車快160km/h ,設(shè)普通列車的平均行駛速度為xkm/h,依題意,下面所列方程正確的選項(xiàng)是480480,480480,480480,480480,-=4- = 4 - = 4 - = 4A. x+160 x B. x x+160 C. xx-160d. x-160x【答案】B.【解析】試題分析：設(shè)普通列車的平均行駛速度為聯(lián)加/h,那么高鐵列車的平均速度為根據(jù)題意,可得：4

8、80 =4j 應(yīng)選b.x x+160考點(diǎn)：由實(shí)際問題抽象出分式方程.【點(diǎn)睛】方程的應(yīng)用解題關(guān)鍵是設(shè)出未知數(shù),找出等量關(guān)系,列出方程求解【舉一反三】1. A B兩種機(jī)器人都被用來搬運(yùn)化工原料,A型機(jī)器人比B型機(jī)器人每小時(shí)多搬運(yùn) 40千克,A型機(jī)器人搬運(yùn)1200千克所用時(shí)間與 B型機(jī)器人搬運(yùn)800千克所用時(shí)間相等.設(shè)B型機(jī)器人每小時(shí)搬運(yùn)化工原料x千克,根據(jù)題意可列方程為1200 8001200_8001200_ 8001200_ 800A. x 40 xB. x -40 xC. x x -40D. x x 40【答案】A【解析】試題分析：設(shè)B型機(jī)器人每小時(shí)搬運(yùn)化工原料*千克,那么A型機(jī)器人每小時(shí)搬

9、運(yùn)化工原料x+40千克, 由A型機(jī)器人搬運(yùn)1200千克所用時(shí)間與B型機(jī)器人搬運(yùn)8C0千克所用時(shí)間相等n可得方程衛(wèi)" .故 工 + 40 x選A.考點(diǎn)：由實(shí)際問題抽象出分式方程.2.在求3x的倒數(shù)的值時(shí),嘉淇同學(xué)將3x看成了 8x,她求得的值比正確答案小 5.依上述情形,所列關(guān)系式成立的是=8x '5 = 8x , 5C. 3xD. 3x1 153x 8x5A. 3x 8xB.【答案】B.3X的倒數(shù)比8X的倒數(shù)大5,故答案選B.【解析】試題分析：根據(jù)題意,考點(diǎn)：倒數(shù).課后自測(cè)小練習(xí)一.選擇題1 .以下運(yùn)算結(jié)果為 x-1的是2 .21 x -1 x x 1 , 1 x 2x11

10、一一 A. xB,x x+1 C, x x-1 d,x+1【答案】B.試題分析：選項(xiàng)A,原式=-1;選項(xiàng)B,原式=x-1 ; x【解析】選項(xiàng)C,原式="選項(xiàng)D,原式=x+1,故答案選xB.考點(diǎn)：分式的計(jì)算.2.以下分式中,最簡(jiǎn)分式是x2 -1 k+L x2- 2xyy2- 36乂上+1T工二"2k+12【答案】A.【解析】工+1試題分析：選項(xiàng)A為最簡(jiǎn)分式*選項(xiàng)E化簡(jiǎn)可得原式二-I,3一k二二P選項(xiàng)二化茴可得原式=3占'忖化簡(jiǎn)可得原式磊二號(hào),故答案選A.考點(diǎn)：最簡(jiǎn)分式.3,以下計(jì)算正確的選項(xiàng)是()xy2?5=2xy(y 10)、(xy3)2=x2y62a 7=7(y1

11、0)BC、2*x+3 _ y = 5 xy(x30,y3o)【答案】D.【解析】試題分析：選項(xiàng)A錯(cuò)誤;xy2 ? 一 = xy2選項(xiàng)b,2 y2 y = 2xy3,錯(cuò)誤；選項(xiàng)不是同類二次根式,不能進(jìn)彳T加減法,錯(cuò)誤；選項(xiàng) 口根據(jù)哥的乘方運(yùn)算法那么就可以得出答案,正確,故答案選D.考點(diǎn)：代數(shù)式的運(yùn)算.4,假設(shè)關(guān)于x的方程 二1m +m- =3的解為正數(shù),那么 m的取值范圍是x - 33 - xA.mx9 B.mK9 且nmt C.m> - D.mi> 一且nmt -224【答案】B.【解析】.、用+9試題分析；去分母得：- 9,整理得:2x= -、解得：工=,關(guān)于x的方程二十三二3的

12、解為正數(shù),所以-2mW>0,解得1n<,當(dāng)2時(shí),三爐,解得二逋二g,所93以他的取值范圍是：磯<?且加聲彳.故答案選R.考點(diǎn)：分式方程的解.5,某次列車平均提速 20km/h,用相同的時(shí)間,列車提速行駛400kmi提速后比提速前多行駛 100km設(shè)提速400 400 100400 400-100刖列車的平均速度為 xkm/h,以下萬(wàn)程正確的選項(xiàng)是A. = B. =xx 20x x-20C 400 _400 100D 400 _400 -100 "x- - x -20, "T - x 20【答案】B.【解析】試題分析：設(shè)提速前列車的平均速度為xkmfh,根據(jù)

13、題意可得：?jiǎn)?400 一100 .應(yīng)選 B.x x -20考點(diǎn)：由實(shí)際問題抽象出分式方程.二.填空題, .、,、 x -1 一 ,6.當(dāng)x= 時(shí),分式的值為0.【答案】1.【解析】x -1試題分析：當(dāng)x-1=0時(shí),x=1,此時(shí)分式 的值為0.故答案為：1.考點(diǎn)：分式的值為零的條件.、一 27.方程x =1的正根為.x【答案】x=2.【解析】試題分析：去分母得x2 -2 = Xj整理得x* -X- - = 0 ,運(yùn)潺二二,過二一1,經(jīng)檢險(xiǎn)$ = 2,第二一1都是分式方程的解,所以原方程的正根為戶,故答案為：戶,考點(diǎn)：分式方程的解., 、一 128 .分式方程,+二J=0的解是. x T x T【

14、答案】x= -3【解析】試題分析：由于 x2-1= (x+1) (x-1 ),所以可確定最簡(jiǎn)公分母(x+1) (x-1),然前方程兩邊同乘最簡(jiǎn)公分母 將分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程求解即可,注意檢驗(yàn).試題解析：方程兩邊同乘(x+1) (x-1),得 x+1+2=0,解得x=-3.經(jīng)檢驗(yàn)x=-3是分式方程的根.考點(diǎn)：解分式方程.9 .假設(shè)分式方程一旦=2有增根,那么這個(gè)增.根是x -11 -x【答案】x=1.【解析】試題分析：由于分式方程有增根,所以x- 1=0,即x=1,故方程的增根為 x=1.故答案是x=1.考點(diǎn)：分式方程的增根.10 .分式方程二一-2的解為 x - 3 3 - x【答案】x=4

15、【解析】試題分析:解分式方程,應(yīng)先去分母,將分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程求解.另外,由于此題是選擇題,除了上面的解法外,還可以將四個(gè)選擇支中的數(shù)分別代入驗(yàn)證得以求解.此題作為解做題時(shí),易漏掉險(xiǎn)根過程.在方程兩邊同乘以一 3),解得汽=4.檢蛉：當(dāng)乂=4時(shí),原一切力.所以J原方程的解是艾F(xiàn)考點(diǎn)：分式方程的解法.三、解做題- - 4a+2 a-111.先化簡(jiǎn),再求值：a + ( 一 2石-r- 4a+4 ),其中a=/2 .【答案】原式=(a - 2) 2,當(dāng)a=,2,原式=(亞- 2) 2=6- 4 Q【解析】試題分析：先把括號(hào)內(nèi)通分化簡(jiǎn)后把乘除化為乘法,再進(jìn)行約分,化為最簡(jiǎn)分式后代入計(jì)算即可.l 4

16、/ 1 4/ - a試題解析：原式=& -&(&-2)-&(52)1a二 4a- 4=a a(a-2) 2士 a (a-2) 2=? 一二=(a-2) 2,. a=近,.原式=(&-2)2=64加考點(diǎn)：分式的化簡(jiǎn)求值. 1 1 l L112.先化簡(jiǎn),再求值：己一b(b-a)+ b ,其中a=2, b=3.j1【答案】原式二,當(dāng)a=2, b=M時(shí),原式=6.【解析】試題分析：先把所給的分式進(jìn)行化簡(jiǎn)后,再代入求值即可.a a-b+a-1 1 a-13試題解析：原式=a-b ab 卜旦1 臺(tái)當(dāng)鏟2, b=飭寸尸原式二3 .考點(diǎn)：分式的化簡(jiǎn)求值a a .212

17、( 一)23_ 3a 2 又 a -1 #02 ,原式13.先化簡(jiǎn),再求值：a -2a +1 a -1 a,其中a是方程2x + x 3 = 0的解.c 2x2 = _【答案】原式=a1,由2x+x3=0,得 x1 i,910(-3)2 2-3-12【解析】試題分析：先把分式化簡(jiǎn)后,再解方程確定a的值,最后代入求值即可a(a1).2a-(a -1)a(a1) a(a-1) a2,一 一“, g /,、22,試題解析：原式=(a -1) a(a -1) = (a -1) a 1 =a -132 x2 = 一由 2x +x 3 =0,得 X -1 ,23 a = 又 a 1 #02 .(-2)93

18、 1 二-10,原式=2.考點(diǎn)：分式的化簡(jiǎn)求值；一元二次方程的解法 214 .先化簡(jiǎn),再求值：a23a4-j_zl ,a_J ,其中 a = 2021a ' a a -1 a -1【答案】原式=a 1=2021+1=2021【解析】試題分析：先進(jìn)行分式的化簡(jiǎn)后再代入求值即可.試題解析：原式=:;-=d + l=2021aa +1J a-3a-1考點(diǎn)：分式的化簡(jiǎn)求值.15 .解方程：_3_ x+3 _0 x -1 X2 -1【答案】x=0.【解析】試題分析：觀察可得最簡(jiǎn)公分母是( x-1) (x+1),方程兩邊乘最簡(jiǎn)公分母,可以把分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程求解即可.試題解析：方程白兩邊同乘(

19、x-1) (x+1),得3x+3 -x-3=0,解得x=0.檢驗(yàn)：把 x=0 代入(x1) (x+1) =-10.,原方程的解為：x=0.考點(diǎn)：解分式方程.16 .某商場(chǎng)第一次用11000元購(gòu)進(jìn)某款拼裝機(jī)器人進(jìn)行銷售,很快銷售一空,商家又用24000元第二次購(gòu)進(jìn)同款機(jī)器人,所購(gòu)進(jìn)數(shù)量是第一次的2倍,但單價(jià)貴了 10元.(1)求該商家第一次購(gòu)進(jìn)機(jī)器人多少個(gè)？(2)假設(shè)所有機(jī)器人都按相同的標(biāo)價(jià)銷售,要求全部銷售完畢的利潤(rùn)率不低于20% (不考慮其它因素),那么每個(gè)機(jī)器人的標(biāo)價(jià)至少是多少元？【答案】(1) 100; (2) 1190元.【解析】試題分析：(1)設(shè)該商家第一次購(gòu)進(jìn)機(jī)器人I個(gè)J根據(jù)“第一

20、次用11000元購(gòu)進(jìn)某款拼裝機(jī)器人,用24000元第二次購(gòu)進(jìn)同款機(jī)器人,所購(gòu)進(jìn)數(shù)量是第一次的二倍,但單價(jià)貴了 1.元列出方程并解答厘(2)設(shè)每個(gè)機(jī)器人的標(biāo)價(jià)是元.根據(jù)仃全部銷售完畢的利澗率不低于二?比不等式并解答.試題解析： 設(shè)該商家第一次購(gòu)進(jìn)機(jī)器人工個(gè),依題意得： %2+io=土",解得x2x經(jīng)檢險(xiǎn)A100是所列方程的解,目符合題意.答：該商家第一次購(gòu)進(jìn)機(jī)器人100個(gè).<2)設(shè)每個(gè)機(jī)器人的標(biāo)價(jià)是1元.那么依題意得：(1如+卻0)(1-11000-240005= (11000+24000) X20S,解得蹊號(hào) 1190.答：每個(gè)機(jī)器人的標(biāo)價(jià)至少是1W0元.考點(diǎn)：分式方程的應(yīng)用；一元一次不等式的應(yīng)用.17 .我市某學(xué)校開展“遠(yuǎn)是君山,磨礪意志,保護(hù)江豚,愛鳥護(hù)鳥為主題的遠(yuǎn)足活動(dòng).學(xué)校與君山島相距24千米,遠(yuǎn)足效勞人員騎自行車, 學(xué)生步行,效勞人員騎自行車的平均速度是學(xué)生步行平均速度的2.5倍,效勞人員與學(xué)生同時(shí)從學(xué)校出發(fā),到達(dá)君山島時(shí),效勞人員所花時(shí)間比學(xué)生少用了3.6小時(shí),求學(xué)生步行的平均速度是多少千米 /小時(shí).【答案】3.【解析】試題分析：設(shè)學(xué)生步行的平均速度是每小時(shí)x千米,效