2019-2020學(xué)年高中數(shù)學(xué)第二章《二分法求方程的近似解》導(dǎo)學(xué)案蘇教版必修1.doc

1、2021-2021學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第二章?二分法求方程的近似解?導(dǎo)學(xué)案蘇教版必修11.掌握用二分法求函數(shù)零點近似值的步驟 .2,能夠借助計算機或計算器求方程的近似解.3.掌握函數(shù)零點與方程根之間的關(guān)系 ,初步形成用函數(shù)觀點處理問題的水平 .第一層級知識記憶與理解-制學(xué)區(qū),不看不講聚識累帆此尋靠化知識體系梳理G ««««在一個風(fēng)雨交加的夜里,從某水庫閘房到防洪指揮部的 線路發(fā)生了故障.這是一條10 km長的線路,如果沿著線路一小段一小段查找 ,非常困難,每查一個點要爬一次電線桿 ,10 km長,大約有200多根電線桿.知用導(dǎo)學(xué)問題1:請你幫他設(shè)計一個較為簡便

2、的維修方案來迅速查出故障所在利用二分法的原理進行查找,如圖,A CEO R記兩地分別為 A B,首先從中點C開始查,用話機向兩端測試,假設(shè)AC正常,那么斷定故障在 BC再至ij BC的中點D向兩側(cè)查找,這次假設(shè)發(fā)現(xiàn)BD正常,那么故障在CD段,再到CD勺中點E去查. 這樣每查一次,就可以把待查的線路長度縮減一半,故經(jīng)過7次查找,就可將故障發(fā)生的范圍縮小到50100 m之間,即一兩根電線桿附近.問題2:什么是二分法？對于在區(qū)間a,b上連續(xù)不斷且f (a)f (b) <0的函數(shù)y=f(x),通過不斷地把函數(shù) f(x)的零 點所在的區(qū)間一分為二,使區(qū)間的兩個端點逐步逼近零點,進而得到零點近似值的

3、方法叫作 二分法.問題3:用二分法求函數(shù)f( x)零點近似值的步驟是怎樣的？(1)首先要有初始“解區(qū)間ac, be,驗證滿足f(a.) f(b0)<0,給定精確度 £,其方法 "般有、等；(2)求區(qū)間(a.,b°)的中點X1；(3)計算f(x1),那么X1就是函數(shù)的零點；假設(shè),那么令b=X1(此時零點 X0 £ (a., x1);假設(shè),貝U令 a=x1(此時零點 xq ( x1, b.)；(4)判斷是否到達精確度要求.假設(shè)將a、b按四舍五入法精確到要求的e所得到的值相同,那么就認為到達要求的精確度.否那么重復(fù)(2)(3)(4).以上求函數(shù)f (x)

4、零點近似值的方法也稱為二分法.問題4：二分法蘊含的數(shù)學(xué)思想有 、補集(正難那么反)等重要數(shù)學(xué)思想,但二分法 的計算量大,不利于人工計算,在計算機未創(chuàng)造之前不被人重視,但隨著科技的不斷開展,計算機計算水平越來越精密、快速,二分法得到了廣泛的應(yīng)用,一些求方程的根的難題都迎刃而解了 .、根底學(xué)習(xí)交流1 .對于連續(xù)函數(shù)f (x)在定義域內(nèi)用二分法的求解過程如下：f (2007) <0, f(2021) <0, f (2021) >0,那么以下表達正確的選項是 .函數(shù)f (x)在(2007,2021)內(nèi)不存在零點；函數(shù)f (x)在(2021,2021)內(nèi)不存在零點；函數(shù)f (x)在(2

5、021,2021)內(nèi)存在零點,并且僅有一個；函數(shù)f (x)在(2007,2021)內(nèi)可能存在零點.2 .用二分法求函數(shù)f(x) =x3+5的零點可以取的初始區(qū)間是以下區(qū)間中的 . -2,1;-1,0;0,1;1,2.3 .用二分法求函數(shù)y=f(x)在區(qū)間2,4上的近似零點(精確度為0.01),驗證f(2) - f(4) <0,輻取區(qū)間2,4的中點xi=_!=3,計算得f (2) f (xi) <0,那么此時零點x.所在區(qū)間是14 .用二分法求函數(shù)f(x) =3x-x- 4的一個零點,得到的參考數(shù)據(jù)如,下：f (1.6000) =0. 20'0 f (1 . 5875)=0.

6、 133 f (1 . 5750)=0.067f (1 .5500) =-0. 06029f (1 . 5625) =0. 00 f (1 . 55625) =-0. 0據(jù)此數(shù)據(jù),求f (x) =3x-x- 4的一個零點的近似值(精確度0. 01).第二層飄思維探究與創(chuàng)新一導(dǎo)學(xué)EL ,不議不講技能泰祐化總統(tǒng)布性*t重點難點探究si-二分法的概念以下關(guān)于二分法的表達,正確的選項是.二分法可求函數(shù)所有零點的近似值 ；利用二分法求方程的近似解時,可以精確到小數(shù)點后的任意一位有效數(shù)字二分法無規(guī)律可循,無法在計算機上實施；只在求函數(shù)零點時,才可用二分法.cy探克二利用二分法求函數(shù)的近似零點或方程的近似解

7、借助計算器用二分法求方程2x+3x=7的近似解為 .(精確到0. 1)利用二分法思想在實際問題中的應(yīng)用在26枚嶄新的金幣中,有一枚外表與真金幣完全相同的假幣(質(zhì)量小一點),現(xiàn)在只有臺天平,那么應(yīng)用二分法的思想,最多稱 次就可以發(fā)現(xiàn)這枚假幣.方去眥力化“俺i力具體化思維拓展應(yīng)用應(yīng)用一函數(shù)f(x)的圖 象如下圖,其中零點的個數(shù)與可以用二分法求解的個數(shù)分別 為.應(yīng)用二借助計算器,用二分法求函數(shù)f(x)=2x+0. 5, g( x) =7x的圖象交點的橫坐標(精確到0.1).應(yīng)用三從上海到美國舊金山的海底電纜有15個接點,現(xiàn)某接點發(fā)生故障,需及時修理,為了盡快找出故障的發(fā)生點,一般最多需要檢查多少個接

8、點？技栽應(yīng)用與拓展固學(xué)區(qū),不鞋不講E的媼能他T智根底智能檢測1 .以下函數(shù)圖象與x軸均有交點,其中不能用二分法求函數(shù)零點的近似值的是 .2 .假設(shè)函數(shù)f(x)滿足f(1) f (2) <0,用二分法逐次求f(x)零點的近似值,下一步應(yīng)該求的值是.3 .設(shè)函數(shù)f(x)=3x+3x-8,用二分法求方程3x+3x- 8=0在x (1,2)內(nèi)近似解的過程中得f(1) <0, f (1. 5)>0, f(1. 25) <0,那么方程的根所在的區(qū)間為 (區(qū)間長度0. 25).4 .證實函數(shù)f(x)=2x+3x-6在區(qū)間(1,2)內(nèi)有唯一零點,并求出這個零點(精確度0.1).時桿也界

9、砧機克,星化金新視角拓展函數(shù) f(x)=ln x+2x- 6.(1)求證：函數(shù)f( x)在其定義域上是增函數(shù)；(2)求證：函數(shù)f( x)有且只有一個零點；(3)求這個零點所在的一個區(qū)間,使這個區(qū)間的長度不超過 二.(不能用方t算器)考題變式(我來改編):第四局嫌總結(jié)評價與反思、盾學(xué)區(qū),不思不復(fù)學(xué)w樂依牝比電異#化,學(xué)習(xí)體騏分享第11課時二分法求方程的近似解知識體系梳理問題3:(1)估測法列表法圖象法 (3)假設(shè)f(x1)=0f(a.)- f(x1)<0f(x. f (b0)<0問題4:分類討論 根底學(xué)習(xí)交流1 . f (2007) f (2021) >0不能說明函數(shù)f (x)

10、在(2007,2021)內(nèi)無零點,錯；又 . f (2021) >0,f (2021) - f (2021) <0,故 f (x)在(2021,2021)內(nèi)存在零點,但不能說明僅有一個零點,故錯；正確.2 .二一(-2)=-3<0, f(1) =6>0,f(-2) - f(1) <0,故可以取區(qū)間-2,1作為計算的初始區(qū)間,用二分法逐次計算.3 . (2,3)Vf(2) - f(4) <0, f(2) - f(3) <0,:f(3) - f(4) >0,.xoC (2,3).4 .解：由表中 f(1 . 5625) =0. 003, f(1 .5

11、5625) =-0. 029,由于 1. 5625 與 1.55625 精確到 0. 01 的 近似值都為1.56,所以該函數(shù)的零點的近似值為1. 56.重點難點探究探究一：【解析】用二分法求零點的函數(shù)必須滿足函數(shù)圖象在零點附近是連續(xù)不斷的,且在該零點左右的函數(shù)值異號 ,故錯；二分法是有規(guī)律可循的,可以通過計算機來執(zhí)行,故 錯;求方程的近.似解也可用二分法,故錯.【答案】【小結(jié)】應(yīng)用二分法求函數(shù)的近似零點的前提條件是函數(shù)存在零點,并且滿足零點存在性定理,也就是函數(shù)連續(xù)不斷,且在零點左右兩側(cè)函數(shù)值異號,不滿足這些特征的函數(shù)是無法利用二分法來求解的.探究二：【解析】原方程可化為 2x=7-3x,在

12、同一坐標系中畫出函數(shù) y=2x與y=7-3x的圖象(如圖),由 圖可知交點的橫坐標在 1、2之間,考察函數(shù)f(x)=2x+3x-7,f(1) f(2) <0,所以函數(shù)f (x)在 區(qū)間(1,2)內(nèi)有零點 xo.取區(qū)間(1,2)的中點 Xi=1.5,用計算器可得 "1.5)=0.33,由于 f(1) - f(1 .5)<0,所一以 XoC (1,1 .5),再取(1,1 . 5)的中點 X2=1.25,用計算器求得 f(1 . 25) = -0.87,因此 f(1 .25) - f (1 . 5)<0,所以 XoC (1 . 25,1 . 5).依次可得 XoC (1

13、 . 375,1 . 5), XoC (1 . 375,1 . 4375),此時區(qū)間(1 . 375,1 . 4375)的兩個端點值精確到0 1的近似值都是1.4,所以原方程精確到0. 1的近似解為x= 1.4.【答案】xl .4【小結(jié)】用二分法求解方程的近似解要注意熟記步驟,同時要注意解的精確度.探究三：【解析】將26枚金幣平均分成兩份,分別放在天平兩端,那么假幣一定在質(zhì)量小的 那13枚金幣里面；從這13枚金幣中拿出1枚,然后將剩下的12枚金幣平均分成兩份,分別放 在天平兩端,假設(shè)天平平衡,那么假幣一定是拿出的那一枚,假設(shè)不平衡,那么假幣一定在質(zhì)量小的那6枚金幣里面；將這6枚金幣平均分成兩份

14、,分別放在天平兩端,那么假幣一定在質(zhì)量小的那3枚金幣里面；從這3枚金幣中任拿出2枚,分別放在天平兩端,假設(shè)天平平衡,那么剩下的那一枚即 是假幣,假設(shè)不平衡,那么質(zhì)量小的那一枚即是假幣.綜上可知,最多稱4次就可以發(fā)現(xiàn)這枚假幣.【答案】4【小結(jié)】二分法思想在此題中還不是最正確方法,這類題目采用三分法思想能更加有效地發(fā)現(xiàn)假幣,即三分26枚硬幣,不能整除那么第3組少一枚,即分為9、9、8,把硬幣數(shù)9枚的兩 組硬幣的放天平兩端,假設(shè)相等,那么假幣在8枚硬幣的組里,假設(shè)不相等,那么假幣在較輕的硬幣組 里,三分法思想能更快地發(fā)現(xiàn)假幣 ,但二分法思想更具有普遍性. 思維拓展應(yīng)用應(yīng)用一 :4,3 圖象與x軸有4

15、個交點,所以零點的個數(shù)為4;左右函數(shù)值異號的零點有3個,所以能用二分法求解的個數(shù)為3.應(yīng)用二：令 h(x)=f (x) -g (x) =2x- 7x+0. 5. h(0) =0. 5, h(1) =-4. 5, ：h(0) - h(1) <0.:函數(shù)h(x)的零點x°e (0,1).取區(qū)間(0,1)的中點Xi=0. 5,借助計算器計算得h(0.5) -0.732,.h(0.5) - h(0) <0,二函數(shù) h(x)的零點 X0 (0,0 . 5),同理可得,X0 (0.25,0 .5), X0 6(0.25,0.375), X0 (0.25,0 .3125),由于區(qū)間(0

16、.25,0.3125)兩端點值精確到 0. 1的近似值都是0. 3.:函數(shù)h(x)精確到0. 1的零點值為0. 3,即函數(shù)f(x)與g(x)的圖象交點的橫坐標為0. 3.應(yīng)用三：先檢查中間的1個接點,假設(shè)正常,那么可斷定故障在其另一側(cè)的 7個接點中；然后檢 查這一段中間的1個接點,假設(shè)仍正常,那么可斷定故障在其另一側(cè)的3個接點中；最后只需檢查這3個接點中間的1個,即可找出故障所在.故一般最多只需檢查3個接點.根底智能檢測1 .從圖象上可以看出 中圖象在零點左右兩邊都大于零,所以不能用二分法求函數(shù)零點的近似值.2 .f (1 . 5)由題意,下一步應(yīng)求f (1 .5),即區(qū)間1,2的中點的函數(shù)值

17、.3 . (1 .25,1 .5)f(1) <0, f(1,25) <0, f (1 . 5) >0,故方程的根落在(1.25,1. 5)上.(1 . 875,1 . 21.218755)4 .解：由于f (1) =-1<0, f (2) =4>0,又函數(shù)f (x)是單調(diào)增函數(shù),所以函數(shù)在區(qū)間(1,2)內(nèi)有唯一 零點,不妨設(shè)零點為Xo,那么XoC (1,2).下面用二分法求解.區(qū)間中點的中點函數(shù)的近值似值(1,2)1.51. 328(1,1 .5)1.250. 128(1,1 .25)(1 . 125,1 . 21. 125-0.4441.1875-0. 1605

18、)-0.016(1 . 21875,1 1.23437 0. 056.25)5所以XoC(1 .21875,1 .234375),又1.21875與1.234375精確到0.1的近似值都為1.2,所以函數(shù)在(1,2)內(nèi)的零點的近似值為1.2.全新視角拓展(1)函數(shù) f(x)的定義域為(0, +°°),設(shè) X1<X2,貝U ln X1<ln X2,2 X1<2X2. ： ln X1+2x1-6<lnX2+2X2- 6, ：f(X1)<f(X2),：函數(shù) f (X)在(0, +00)為增函數(shù).(2) ,. f(2) =ln 2 -2<0, f(3) =ln 3 >0. . 4(2) - f (3) <0,：f(X)在(2,3)上至少有一個零點.由(1)知f(x)在(0, +8)上至多有一個零點,從而f (x)在(0, +8)上有且只有一個零點.(3)由 f(2) <0, f(