排列組合知識點與方法歸納

1、學遠教育排列組合一、知識網(wǎng)絡(luò).組合數(shù)公式與®用二、高考考點1、兩個計數(shù)原理的掌握與應(yīng)用；2、關(guān)于排列與組合的定義的理解：關(guān)于排列與組合數(shù)公式的掌握：關(guān)于組合數(shù)兩個性 質(zhì)的掌握；3、運用排列與組合的意義與公式解決簡單的應(yīng)用問題（多為排列與組合的混合問題）三、知識要點一.分類計數(shù)原理與分步計算原理1分類計算原理（加法原理）：完成一件事，有n類辦法，在第一類辦法中有皿種不同的方法，在第二類辦法中有叫 種不同的方法，在第n類辦法中有叫種不同的方法,那么完成這件事共有N=nh+ + a種不同的方法。2分步計數(shù)原理（乘法原理）：完成一件事，需要分成n個步驟，做第1步有皿種不同的方法，做第2步有叫

2、種不同 的方法，做第n步有四種不同的方法，那么完成這件事共有N二m,X m：X-X m.種 不同的方法。3、認知：上述兩個原理都是研究完成一件事有多少種不同方法的計數(shù)依據(jù)，它們的區(qū)別在于，加 法原理的要害是分類：將完成一件事的方法分成若干類，并且各類辦法以及各類辦法中的各 種方法相互獨立，運用任何一類辦法的任何一種方法均可獨立完成這件事：乘法原理的要害 是分步：將完成一件事分為若干步驟進行，各個步驟不可缺少，只有當各個步驟依次完成后 這件事才告完成（在這里，完成某一步的任何一種方法只能完成這一個步驟，而不能獨立完 成這件事）。二.排列1定義（1）從n個不同元素中取出m （潴*盟）個元素，按照一

3、定的順序排成一列，叫做從 n個不同元素中取出m個元素的一排列。（2）從n個不同元素中取出m （潴*盟）個元素的所有排列的個數(shù),叫做從n個不同元素中取出m個元素的排列數(shù),記為4 .2排列數(shù)的公式與性質(zhì)山（1）排列數(shù)的公式：& =n （n-1） （n-2）（n-m+l）二（劉一弘）！ 特例：當m=n時，遙=n!二n （n-1） （n-2） -X3X2X1規(guī)定：0! =1（2）排列數(shù)的性質(zhì)：雙©1 0 4占1 = 4町（I ） 4二題“（排列數(shù)上標、下標同時減1 （或加1）后與原排列數(shù)的聯(lián)系）<=+1 = Ci（H） 力一加 為一詡（排列數(shù)上標加1或下標減1后與原排列數(shù)的聯(lián)系

4、）（IH）眩=%月言+限】 （分解或合并的依據(jù)）三.組合1定義（1）從n個不同元素中取出施儂工期 個元素并成一組，叫做從n個不同元 素中取出m個元素的一個組合（2）從n個不同元素中取出加儂“期 個元素的所有組合的個數(shù)，叫做從n個不同元 素中取出m個元素的組合數(shù)，用符號片表示。2組合數(shù)的公式與性質(zhì)（1）組合數(shù)公式:一 1）（左- 2）（g一的+1）（乘枳表示）特例：°； y=1= （,2 6 兇且郎 <n）'活陋一 .?。A乘表示）（2）組合數(shù)的主要性質(zhì)：（上標變換公式）（II）+ c« = %。（楊輝恒等式）認知：上述恒等式左邊兩組合數(shù)的下標相同，而上標為相鄰

5、自然數(shù)：合二為一后的右邊 組合數(shù)下標等于左邊組合數(shù)下標加1,而上標取左邊兩組合數(shù)上標的較大者。3比較與鑒別由排列與組合的定義知，獲得一個排列需要“取出元素”和“對取出元素按一定順序排 成一列”兩個過程，而獲得一個組合只需要“取出元素”，不管怎樣的順序并成一組這一個 步驟。（1）排列與組合的區(qū)別在于組合僅與選取的元素有關(guān)，而排列不僅與選取的元素有關(guān), 而且還與取出元素的順序有關(guān)。因此，所給問題是否與取出元素的順序有關(guān)，是判斷這一問 題是排列問題還是組合問題的理論依據(jù)。（2）注意到獲得（一個）排列歷經(jīng)“獲得（一個）組合”和“對取出元素作全排列” 兩個步驟，故得排列數(shù)與組合數(shù)之間的關(guān)系：然 v .9

6、四、經(jīng)典例題例1、某人計劃使用不超過500元的資金購買單價分別為60、70元的單片軟件和盒裝 磁盤，要求軟件至少買3片，磁盤至少買2盒，則不同的選購方式是（）A . 5種B. 6種C. 7種D. 8種分析：依題意“軟件至少買3片，磁盤至少買2盒”，而購得3片軟件和2盒磁盤花去 320元，所以，只需討論剩下的180元如何使用的問題。解：注意到購買3片軟件和2盒磁盤花去320元，所以，這里只討論剩下的180元如何 使用，可從購買軟件的情形入手分類討論： 第一類，再買3片軟件，不買磁盤，只有1 種方法；第二類，再買2片軟件，不買磁盤，只有1種方法；第三類，再買1片軟件，再買1盒磁盤或不買磁盤，有2種

7、方法；第四類，不買軟件，再 買2盒磁盤、1盒磁盤或不買磁盤，有3種方法；于是由分類計數(shù)原理可知，共有N=l+l+2+3=7種不同購買方法，應(yīng)選Co例 2、已知集合 M二&1, 0, 1, N=2, 3, 4, 5,映射，當 時，燈+成燈 為奇數(shù)，則這樣的映射了的個數(shù)是（） A. 20B. 18C. 32D. 24分析：由映射定義知，當x£M時，當x£M時，這里的x可以是奇數(shù)也可以是偶數(shù)，但”,京»+叭月 必須為奇數(shù)，因 此，對X中x的對應(yīng)情況逐一分析，分步考察：第一步，考察xi 的象，當 x=-i 時,x+ + VW=-i + /（-1）+ （-0/（-9

8、 = -1 ,此時?。?1）可取N中任一數(shù)值，即M中的元素-1與N中的元素有4種對應(yīng)方法；第二步，考察x=0的象，當歸0時，*+汽幻+蟲燈=八°）為奇數(shù)，故了（口）只有2 種取法（了（口）=3或/（口）二5）,即M中的元素0與N中的元素有2種對應(yīng)方法;第三步，考察X=1的象，當x=l時，x+"x）+（x）=l + 2/（l）為奇數(shù)，故了可 為奇數(shù)也可為偶數(shù)，/ 可取N中任一數(shù)值，即M中的元素1與N中的元素有4種對應(yīng)方 法，丁是由分步計數(shù)原理可知，映射f共有4X2X4=32個。例3、在中有4個編號為1, 2, 3, 4的小三角形，要在每一個小三角形中涂上紅、藍、黃、白、黑五種

9、顏色中的一種，使有相鄰邊的小三角形顏色不同，共有多少種不同 的涂法？解：根據(jù)題意，有相鄰邊的小三角形顏色不同，但“對角”的兩個小三角形可以是相同 顏色，于是考慮以對角的小三角形1、4同色與不同色為標準分為兩類，進而在每一類中分 步計算。第一類：1與4同色，則1與4有5種涂法，2有4種涂法，3有4種涂法，故此時 有'=5X4X4=80種不同涂法。第二類：1與4不同色，則1有5種涂法，4有4種涂法，2有3種涂法，3有3種涂法, 故此時有N2=5X4X3X3=180種不同涂法。綜上可知，不同的涂法共有80+180=260種。點評；欲不重不漏地分類，需要選定一個適當?shù)姆诸悩藴?，一般地，根?jù)所給

10、問題的具 體情況，或是從某一位置的特定要求入手分類，或是從某一元素的特定要求入手分類，或是 從問題中某一事物符合條件的情形入手分類，或是從問題中有關(guān)事物的相對關(guān)系入手分類等 等。例4、將字1、2、3、4填入標號為1、2、3、4的四個方格里，每格填一個數(shù)，則每個 方格的標號與所填數(shù)字均不相同的填法有（）A.6種B.9種C. H 種I）. 23 種解法-（采用“分步”方法）：完成這件事分三個步驟。第一步：任取一個數(shù)字，按規(guī)定填入方格，有3種不同填法；第二步：取與填入數(shù)字的格子編號相同的數(shù)字，按規(guī)定填入方格，仍有3種不同填法：第三步：將剩下的兩個數(shù)字按規(guī)定填入兩個格子，只有1種填法；于是，由分步計數(shù)

11、原理得，共有N=3X3X1=9種不同填法。解法二：（采用“列舉”方法：從編號為1的方格內(nèi)的填數(shù)入手進行分類。第一類：編號為1的方格內(nèi)填數(shù)字2,共有3種不同填法：I2 | 4 | 1 | 3 '| 2 | 1 | 4 | 3 |2 | 3 | 4 | 1第二類：編號1的方格內(nèi)填數(shù)字3,也有3種不同填法:1314234123421第三類：編號為1的方格內(nèi)填數(shù)字4,仍有3種不同填法:412343124321于是由分類計數(shù)原理得共有N=3+3+3=9種不同填法，應(yīng)選B解法三（間接法）:將上述4個數(shù)字填入4個方格，每格填一個數(shù),共有吊=4X3X2X1=24 種不同填法，其中不合條件的是（1M個數(shù)

12、字與1個格子的編號均相同的填法有1種；（2） 恰有兩個數(shù)字與格子編號相同的填法有6種：(3)恰有1個數(shù)字與格子編號相同的填法有8種：因此，有數(shù)字與格子編號相同的填法共有N廣1+6+8=15種于是可知，符合條件的填法為24-15=9種。點評：解題步驟的設(shè)計原則上任意，但不同的設(shè)計招致計算的繁簡程度不同，一般地, 人們總是優(yōu)先考慮特殊元素的安置或特殊位置的安排，以減少問題的頭緒或懸念。當正而考慮頭緒較多時，可考慮運用間接法計算：不考慮限制條件的方法種數(shù)一不符合 條件的方法種數(shù);符合條件的方法種數(shù)。在這里，直接法中的“分析”與間接法主體的“分類”，恰恰向人們展示了 “分步”與 “分類”相互依存、相互

13、聯(lián)系的辯證關(guān)系。例5、用數(shù)字0, 1, 2, 3, 4, 5組成無重復數(shù)字4位數(shù)，其中，必含數(shù)字2和3,并且 2和3不相鄰的四位數(shù)有多少個？解：注意到這里“0”的特殊性，故分兩類來討論。第一類：不含“0”的符合條件的四位數(shù)，首先從1，4, 5這三個數(shù)字中任選兩個作排 列有另 種:進而將2和3分別插入前面排好的兩個數(shù)字中間或首尾位置,又有國 種排法, 于是由分步計數(shù)原理可知，不含0且符合條件的四位數(shù)共有年另二36個。第二類：含有“0”的符合條件的四位數(shù)，注意到正面考慮頭緒較多，故考慮運用“間 接法”：首先從1，4, 5這三個數(shù)字中任選一個，而后與0, 2, 3進行全排列，這樣的排列 共有用父個。

14、其中，有如下三種情況不合題意，應(yīng)當排險：(1)0在首位的，有4層 個：(2) 0在百位或十位，但2與3相鄰的，有2國國 個(3) 0在個位的，但2與3相鄰的，有其個因此，含有0的符合條件的四位數(shù)共有屋£一(及俅二30個于是可知，符合條件的四位數(shù)共有36+30=66個點評：解決元素不相鄰的排列問題，一般采用“插空法”，即先將符合已知條件的部分 元素排好,再將有“不相鄰”要求的元素插空放入:解決元素相鄰的排列問題，一般采用“搠 綁法”，即先將要求相鄰的元素“捆綁”在一起，作為一個大元素與其它元素進行排列，進 而再考慮大元素內(nèi)部之間的排列問題o例6、某人在打靶時射擊8槍，命中4槍，若命中的

15、4槍有且只有3槍是連續(xù)命中的，那么該人射擊的8槍，按“命中”與“不命中”報告結(jié)果，不同的結(jié)果有()A.720 種B.480 種C. 24 種D. 20 種分析：首先，對未命中的4槍進行排列，它們形成5個空擋，注意到未命中的4槍“地 位平等”，故只有一種排法，其次，將連中的3槍視為一個元素，與命中的另一槍從前面5 個空格中選2個排進去，有種排法，于是由乘法原理知，不同的報告結(jié)果菜有月？=加 種點評：這里的情形與前而不同，按照問題的實際情況理解，未命中的4槍“地位平等”，連續(xù)命中的3槍亦“地位平等”.因此，第一步排法只有一種，第二步的排法種數(shù)也不再乘 以國。解決此類“相同元素”的排列問題，切忌照搬

16、計算相同元素的排列種數(shù)的方法，請 讀者引起注意。例7、*3«-1 .2 . jr-rl7»（1）+ C12+» +4.+2A =.（2）若 = %。+,則 口=；（3） 2個+98+12學 + 5蔣=;112c （4）若可 °； 或，則n的取值集合為e=碟（5）方程“的解集為解：17 -d（1）注意到n滿足的條件w*,原式二C；h Cll +C17 +（2）運用楊輝恒等式，已知等式O'修=+=0cm屋寸OC；+2 = C；一3M一4=032 2,且M£jr）="4 所求"4。廣用. z-vW-1（3）根據(jù)楊輝恒等式。

17、田=% '%原式二2（管+球）+ 7（琢+ C：） +5吹+瑞二2（隨+匾）+ 5（。射+ %）% 2(咫+ 2)儂 + 1)37)24（4）注意到這里n滿足的條件n25且nCM在之下，3!4!2x5!原不等式<孔G?- 1)(?3- 2) 雙冏-1)(?- 2)格-3)死G?- l)(z? - 2)(?- 3)(4-4)_ 3 (為一 3)(為-4)40<=>m2 -llu-12 <0=-1<足<12，由、得原不等式的解集為5, 6, 7,，11）（5）由8=像得丁 = 2丁或01 = 0或1=3注意到當y=0時，始】無意義，原方程組可化為7C7&

18、quot; - -CyJLx = 3y='_ 7)8+1) 2 2貫2y + l)=9由此解得y=3>=9*經(jīng)檢驗知b=3是原方程組的解。例8、用紅、黃、綠3種顏色的紙做了 3套卡片，每套卡片有寫上R、B、C、D、E字母 的卡片各一張，若從這15張卡片中，每次取出5張，則字母不同，且3種顏色齊全的取法 有多少種？解：符合條件的取法可分為6類第一類:取出的5張卡片中，1張紅色,1張黃色,3張綠色,種取法;第二類:取出的5張卡片中，1張紅色,2張黃色,2張綠色,種取法:第三類:取出的5張卡片中，1張紅色,3張黃色,1張綠色，有感燧解種取法;第四類:取出的5張卡片中，2張紅色,1張黃色

19、,2張綠色,種取法:第五類:取出的5張卡片中，2張紅色,2張黃色,1張綠色,種取法:第六類:取出的5張卡片中，3張紅色,1張黃色,1張綠色,種取法;于是由分類計數(shù)原理知，符合條件的取法共有點評：解決本題的關(guān)鍵在于分類，分類討論必須選擇適當?shù)姆诸悩藴剩谶@里，以紅色 卡片選出的數(shù)量進行主分類，以黃色卡片選出的數(shù)量進行次分類，主次結(jié)合，確保分類的不 重不漏，這一思路值得學習和借鑒。例9、（1）從5雙不同的襪子中任取4只，則至少有2只襪子配成一雙的可能取法種數(shù)是多少？（2）設(shè)有編號為1, 2, 3, 4, 5的五個小球和編號為1, 2, 3, 4, 5的五個盒子，將 五個小球放入五個盒子中（每個盒子

20、中放一個小球），則至少有兩個小球和盒子編號相同的 放法有多少種？（3）將四個不同的小球放入編號為1, 2, 3, 4的四個盒子中，則恰有一個空盒的放法 共多少種？（4）某產(chǎn)品共有4只次品和6只正品，每只產(chǎn)品均不相同，現(xiàn)在每次取出一只產(chǎn)品測 試，直到4只次品全部測出為I匕則最后一只次品恰好在第五次測試時被發(fā)現(xiàn)的不同情況有 多少種？解：（1）滿足要求的取法有兩類，一類是取出的4只襪子中恰有2只配對，這只要從5雙 襪子中任取1雙，再從其余4雙中任取2雙，并從每雙中取出1只，共有四種選 法：另一類是4只襪子恰好配成兩雙，共有8種選法，于是由加法原理知，符合要求的取 法為備口+出=130種。（2）符合條

21、件的放法分為三類：第一類：恰有2個小球與盒子編號相同，這只需先從5個中任取兩個放入編號相同的盒 子中，有變 種放法，再從剩下的3個小球中取出1個放入與其編號不同的盒子中，有用 種 方法，則最后剩下的兩個小球放入編號不同的盒中只有1種放法，故此類共有6=20 種不同方法；第二類：恰有3個小球與盒子編號相同，這只需先從5個中任取三個放入編號相同的盒 子中，有或種放法，則最后剩下的兩個小球放入編號不同的盒中只有1種放法，故此類共 有砥=10種不同方法；第三類：恰有5個小球與盒子編號相同，這只有1種方法： 于是由分類計數(shù)原理得， 共有N=20+10+1=31種不同方法。（3）設(shè)計分三步完成：第一步，取

22、定三個空盒（或取走一個空盒），有點（或以）種取法：第二步，將4個小球分為3堆，一堆2個，另外兩堆各一個，有一 種分法；第三步，將分好的3堆小球放入取定的3個空盒中，有&種放法；Cl -（受棗£） .盧=國=144于是由乘法原理得共有：21種不同方法。（4）分兩步完成：第一步，安排第五次測試，由于第五次測試測出的是次品，故有四種方法：第二步，安排前4次測試，則在前四次測試中測出3只次品和1只正品的方法種數(shù)為于是由分布計數(shù)原理可知，共有加=心月14 = 576種測試方法。點評：為了出現(xiàn)題設(shè)條件中的“巧合”，我們需要考慮對特殊情形的“有意設(shè)計”，本 例（1）則是這種“有意設(shè)計”的典

23、型代表，而這里的（3）,則是先“分堆”后“分配”的 典型范例。五、高考真題（一）選擇題1、過三棱柱任意兩個頂點的直線共15條，其中異面直線有（）A、18 對B、24 對C、30 對D、36 對分析：注意到任一四而體中異而直線的對數(shù)是確定的，所以，這里欲求異面直線的對數(shù), 首先確定上述以單直線可構(gòu)成的四面體個數(shù)。由上述15條直線可構(gòu)成,*3 = 12個四面 體，而每一四而體有3對異面直線，故共有36對異而直線，應(yīng)選D。2、不共面的四個定點到平而«的距離都相等，這樣的平而共有（）A、3個B、4個C、6個D、7個分析：不共而的四點可構(gòu)成一個四面體，取四而體各棱中點，分別過有公共頂點的三棱

24、中點可得到與相應(yīng)底面平行的4個截而，這4個截而到四個定點距離相等：又與三組對棱分 別平行且等距的平而有3個，故符合條件的平面共7個，應(yīng)選D。3、北京財富全球論壇期間，某高校有14名志愿者參加接待工作，若每天排早、中、 晚三班，每班4人，每人每天最多值一班，則開幕式當天不同的排班種數(shù)為（）分析：排班工作分三步完成:第一步，從14人中選出12人，有,；：種選法；第二步，將第一步選出的12人平均分C：2c衿 成三組，有力：種分法;第三步，對第二步分出的3組人員在三個位置上安排，有另 種排法;（，L4-3 為=128于是由乘法原理得不同的排班種數(shù)為兩，應(yīng)選A4、從6人中選4人分別到巴黎、倫敦、悉尼、莫

25、斯科四個城市游覽，要求每個城市各 一人游覽，每人只游覽一個城市，且這6人中甲、乙兩人不去巴黎游覽，則不同的選擇方案 共有（）A、300 種B、240 種 C、114 種 D、96 種分析：注意到甲、乙兩人不去巴黎，故選人分三類情況（1）不選甲、乙，不同方案有4：='： =24種：（2）甲、乙中選1人，不同方方 案有?，敚? 144 種;（3）甲、乙均入選，不同方案有（GC；）（2 國）= 72種：于是由加法原理得不同的方案總數(shù)為 24+144+72=240,應(yīng)選 B。5、4位同學參加某種形式的競賽，競賽規(guī)則規(guī)定：每位同學必須從甲、乙兩道題中任 選一題作答，選甲題答對得100分，答錯得T

26、OO分；選乙題答對得90分，答錯得-90分， 若4位同學的總分為0,則這四位同學不同的得分情況的種數(shù)是（）A、 48B、 36C、 24D、 18分析：注意到情況的復雜，故考慮從“分類”切入第一類：四人全選甲題，2人答對，2人答錯，有°； .考 種情況：第二類:2人選甲題一對一錯,2人選乙題一對一錯,有U巖）.仁：度）=或名另 種 情況：第三類：四人全選乙題，2對2錯，有°：青 種情況。于是由加法原理得不同得分情況共有20；日+或再用=36種，應(yīng)選Bj6、四棱錐的8條棱代表8種不同的化工產(chǎn)品，有公共點的兩條棱代表的化工產(chǎn)品放在 同一倉庫是危險的，沒有公共頂點的兩條棱代表的化

27、工產(chǎn)品放在同一倉庫是安全的，現(xiàn)打算 用編號為、的4個倉庫存放這8種化工產(chǎn)品，那么安全存放的不同方法種數(shù)為 （ ）A、 96B、 48C、 24D、 0分析：本題的關(guān)犍是找“異而直線對"的個數(shù)，設(shè)四棱錐為 ，S-ABCD,沒有公共頂點的棱只能分成4組，每組兩條棱（否則三條棱必有公共點），每8條棱分成4組，每組兩條無公共點的棱/ ： yx.僅有下而兩種情況：/他、（l）SACD： SBAD： SCAB： SDBC（本組中同一棱 / 一以不重復出現(xiàn)）k（2） SABC： SBCD； SCAD； SDAB（本組中同一,B條棱不重復出現(xiàn)）于是問題可轉(zhuǎn)化為：四種不同產(chǎn)品放入4個不同倉庫的排列問題

28、，故不同的安排分法是2/種，應(yīng)選人（二）填空題1、在由數(shù)字0, 1，2, 3, 4, 5所組成的沒有重復數(shù)字的四位數(shù)中，不能被5整除的 數(shù)共有（）個。分析：考慮直接解法：這樣四位數(shù)的個位數(shù)為1, 2, 3, 4中的一個，有®種法，千 位從余下的4個非零數(shù)當中任取一個是凡種排法：中間兩位是反 種排法，于是由分步計 數(shù)原理知， 共是：4團* =1"種不同排法，應(yīng)填192。2、用1、2、3、4、5、6、7、8組成沒有重復數(shù)字的八位數(shù)，要求1與2相鄰，3與4 相鄰，5與6相鄰，而7與8不相鄰，這樣的八位數(shù)共有（）個（用數(shù)字作答）。分析： 第一步，將1與2, 3與4, 5與6組成3個

29、大元素進行排列，是國 種排法；第二步，將7與8插入上述3個大元素隊列的間隙或兩端，是國 種方法：第三步，對3個大元素內(nèi)部進行全排列，各是另 種方法；于是由分步計數(shù)原理得共有城高.（考田國”576個，應(yīng)填576。3、從集合0、P、Q、R、S與0、1、2、3、4、5、6、7、8、9中各任取2個元素排成 一排（字母與數(shù)字均不能重復）。每排中字母0、Q和數(shù)字。至多只出現(xiàn)一個的不同排法種數(shù)是（）分析：考慮分類計算第一類：字母0、Q和數(shù)字。均不出現(xiàn)，是c£c；M= 2592種排法：第二類：字母0、Q出現(xiàn)一個，數(shù)字。不出現(xiàn)，是必 種排法；第三類：字母0、Q不出現(xiàn)，數(shù)字0出現(xiàn)，是（肉或）國=648種

30、排法：于是分類計數(shù)原理知共是2592+5184+648=8424種不同排法，應(yīng)填8424。點評：以受限制的字母0、Q和數(shù)字。出現(xiàn)的情況為主線進行分類，在每一類中又合理 地設(shè)計步驟，是分解題的關(guān)鍵所在，以某些特殊元素為主線進行分類是解決復雜的排列組合 問題的基本策略。方法歸納1重復排列“住店法”重復排列問題要區(qū)分兩類元素：一類可以重復，另一類不能重復。把不能重復的元素看 作“客”，能重復的元素看作“店”，則通過“住店法”可順利解題C例1 8名同學爭奪3項冠軍，獲得冠軍的可能性有 （）A 83 B 3s C DC；解析冠軍不能重復，但同一個學生可獲得多項冠軍。把8名學生看作8家“店”，3 項冠軍看

31、作3個“客”，他們都可住進任意一家“店”，每個客有8種可能，因此共有8,種 不同的結(jié)果。選（A）o評述類似問題較多。如：將8封信放入3個郵筒中，有多少種不同的結(jié)果？這時8 封信是“客”，3個郵筒是“店”，故共有寸種結(jié)果。要注意這兩個問題的區(qū)別。2特色元素“優(yōu)先法”某個（或幾個）元素要排在指定位置，可優(yōu)先將它（們）安排好，后再安排其它元素。例2乒乓球隊的10名隊員中有3名主力隊員，派5名參加比賽，3名主力隊員要安排 在第一、三、五位置，其余7名隊員選2名安排在第二、四位置，那么不同的出場安排共有 種（用數(shù)字作答）。解析3名主力的位置確定在一、三、五位中選擇，將他們優(yōu)先安排，有用種可能；然后從其余

32、7名隊員選2名安排在第二、四位置，有A；種排法。因此結(jié)果為=252種。例3 5個“1”與2個“2”可以組成多少個不同的數(shù)列？解析按一定次序排列的一列數(shù)叫做數(shù)列。由于7個位置不同，故只要優(yōu)先選兩個位置 安排好“2”，剩下的位置填“1”（也可先填“1”再填"2”）。因此，一共可以組成仁。各21 個不同的數(shù)列。3相鄰問題“捆綁法”把相鄰的若干特殊元素“捆綁”為一個“大元素”，與其余普通元素全排列，是為“搠 綁法”，又稱為“大元素法”。不過要注意“大元素”內(nèi)部還需要進行排列。例4有8本不同的書，其中數(shù)學書3本，外文書2本，其他書3本，若將這些書排成一 列放在書架上，則數(shù)學書恰好排在一起，外文

33、書也恰好排在一起的排法共有 種（結(jié)果用數(shù)字表示）。解析將數(shù)學書與外文書分別捆在一起與其它3本書一起排，有封種排法，再將3本數(shù)學書之間交換有用種，2本外文書之間交換有A；種，故共有A；用用二1440種排法。評述這里需要說明的是，有一類問題是兩個已知元素之間有固定間隔時，也用“捆綁 法”解決。如：7個人排成一排，要求其中甲乙兩人之間有且只有一人，問有多少種不同的 排法？可將甲乙兩人和中間所插一人“捆綁”在一起做“大元素”，但甲乙兩人位置可對調(diào)，而且中間一人可從其余5人中任取，故共有= 1200種排法。4相間問題“插空法”元素不相鄰問題，先安排好其他元素，然后將不相鄰的元素按要求插入排好的元素之間

34、的空位和兩端即可。例5某班新年聯(lián)歡會原定的5個節(jié)目已排成門目單，開演前又增加了兩個新節(jié)目。如 果將這兩個節(jié)目插入原節(jié)目單中，且兩個新節(jié)目不相鄰，那么不同插法的種數(shù)為 （）A 6 B 12 C 15 D 30解析原來的5個在目中間和兩端可看作分出6個空位。將兩個新節(jié)目不相鄰插入，相 當于從6個位置中選2個讓它們按順序排列，故有力：=30種排法，選（D）。評述本題中的原有5個節(jié)目不需要再排列，這一點要注意。請練習以下這道題：馬路 上有編號為1、2、3、10的十盞路燈，為節(jié)約用電又能照明，現(xiàn)準備把其中的三部燈， 但不能關(guān)掉相鄰的兩盞或三盆，兩端的燈也不許關(guān)掉，求不同的關(guān)燈方式有多少種？可得結(jié) 果為C

35、；=20種。你能很快求解嗎？5多元問題“分類法”對于多個元素問題，有時有多種情況需要進行分類討論，然后根據(jù)分類計數(shù)原理將各種 可能性相加即得。需要注意的是，分類時要不重復不遺漏。例6在一塊并排10壟的田地中，選擇2壟分別種植A、B兩種作物，每種作物種植一 壟。為有利于作物生長，要求A、B兩種作物的間隔不小于6壟，則不同的選壟方法共有 種（用數(shù)字作答）。解析先考慮A種在左邊的情況，有三類：A種植在最左邊第一壟上時，B有三種不同 的種植方法：A種植在左邊第二壟上時，B有兩種不同的種植方法；A種植在左邊第三壟上時,B只有一種種植方法。又B在左邊種植的情況與A在左邊時相同。故共有2x（3+2 + 1）

36、=12 種不同的選壟方法。例7有11名翻譯人員，其中5名英語翻譯員，4名日語翻譯員，另2人英語、日語都 精通。從中找出8人，使他們組成兩個翻譯小組，其中4人翻譯英文，另4人翻譯日文，這 兩個小組能同時工作。問這樣的分配名單共可開出多少張？解析假設(shè)先安排英文翻譯，后安排日文翻譯。第一類，從5名只能翻譯英文的人員中 選4人任英文翻譯，其余6人中選4人任日文翻譯（若“多面手”被選中也翻譯日文），則有第二類，從5名只能翻譯英文的人員中選3人任英文翻譯，另從“多而手”中選1人任英文翻譯，其余剩下5人中選4人任日文翻譯，有第三類，從5名只能翻 譯英文的人員中選2人任英文翻譯，另外安排2名“多面手”也任英文翻譯，其余剩下4 人全部任日文翻譯，有三種情形相加即得結(jié)果185 （張）。評述本題當然也可以先安排日文翻譯再安排英文翻譯，請大家自己列式看看。6分球問題“隔板法”計數(shù)問題中有一類“分球問題”，說的是將相同的球分到不同的盒中。如：將10個相同 的球放入編號為1、2、3、4的