2020-2021天津九年級數(shù)學(xué)圓的綜合的專項培優(yōu)練習(xí)題

1、2020-2021天津九年級數(shù)學(xué) 圓的綜合的專項 培優(yōu)練習(xí)題一、圓的綜合1 .如圖，4ABC是。的內(nèi)接三角形，點(diǎn) 合)，且四邊形 BDCE為菱形.uuuD在BC上，點(diǎn)E在弦AB上(E不與A重(1)求證：AC=CE(2)求證：BG - AC2=AB?AC；(3)已知OO的半徑為3.若公B = 5,求BC的長；AC 3AB當(dāng)為何值時，AB?AC的值最大?ACD - 3【答案】(1)證明見解析；(2)證明見解析；(3)BC=4 J2；一2【解析】分析：(1)由菱形知 /D=/BEC,由 / A+/D=/BEC+Z AEC=180 可得 / A=/AEC,據(jù)此得 證；(2)以點(diǎn)C為圓心，CE長為半徑作

2、OC,與BC交于點(diǎn)F,于BC延長線交于點(diǎn) G,則CF=CG=AC=CE=GDffiBEMBGA 得 BE 當(dāng)，即 BF?BG=BE?AB 將 BF=BC-CF=BC-BF BAAG BG=BC+CG=BC+A伏入可得；(3)設(shè) AB=5k、AC=3k,由 BCAC2=AB?AC知 BC=276 k,連接 ED交 BC于點(diǎn) M,1-:_RtA DMC 中由 DC=AC=3k MC=2BC=V6k 求得 DM=4cd2 CM 2 =3 k,可知 OM=OD-DM=3-£k,在 RtCOM 中，由 OM2+MC2=OC2可得答案. 設(shè) OM=d ,則 MD=3-d ,MC2=Od-OM2=

3、9-d2,繼而知 BC2= (2MC) 2=36-4d2、AC2=DC2=DM2+CM2= (3-d) 2+9-d2,由(2)得AB?AC=BC-AC2,據(jù)此得出關(guān)于d的二次函數(shù)，利用二次函數(shù)的性質(zhì)可得答案.詳解：(1)二.四邊形EBDC為菱形，/ D=Z BEG四邊形ABDC是圓的內(nèi)接四邊形,/ A+Z D=180 ,°又/ BEC+Z AEC=180,/ A=Z AEC,.AC=C(2)以點(diǎn)C為圓心，CE長為半徑作OC,與BC交于點(diǎn)F,于BC延長線交于點(diǎn) G,則CF=CG由（1）知 AC=CE=CD.CF=CG=AC四邊形AEFG是。C的內(nèi)接四邊形,/ G+Z AEF=180 ,

4、 °又 / AEF+/ BEF=180,/ G=Z BEF, / EBF=Z GBA, .BEFBGA,BE BG 目口 ,即 BF?BG=BE?ABBF BA BF=BC- CF=BO AC BG=BC+CG=BC+AC BE=CE=AC （BC- AC） （ BC+AQ =AB?AC,即 BC2 - AC2=AB?AC;（3）設(shè) AB=5k、AC=3k, BC2 - AC2=AB?AC,BC=2,6 k,連接ED交BC于點(diǎn)M,四邊形BDCE是菱形，DE垂直平分BC,則點(diǎn)E、O、M、D共線，在 RtA DMC 中,DC=AC=3k MC=1 BC=T6 k2 -DM= CD2 CM

5、 2、3k,.OM=OD- DM=3 - 73k,在 RtACOM 中，由 OM2+MC2=OC2得（3 k） 2+ （店 k） 2=32,解得：k=2百或k=0 （舍），3.BC=2、6 k=4 .2 ； 設(shè) OM=d,則 MD=3 - d, MC2=OC2 - OM2=9 - d2 BC2= (2MC) 2=36 4d2, AC2=DC2=DM2+CM2= (3-d) 2+9-d2, 由(2)得 AB?AC=BC AC2 =-4d2+6d+18=4 (d -)42 812+ 43當(dāng) d=-,即4【答案】1)證明見解析;(2)證明見解析；(3)25.38OM= 3時，AB?AC最大，最大值為

6、81 ,44.DC2=27 , 2.AC=DC=36 ,2eLi,此時些3.4AC 2點(diǎn)睛：本題主要考查圓的綜合問題，解題的關(guān)鍵是掌握圓的有關(guān)性質(zhì)、圓內(nèi)接四邊形的性 質(zhì)及菱形的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、二次函數(shù)的性質(zhì)等知識點(diǎn).2.如圖，AB是。的直徑，弦CD±AB,垂足為H,連結(jié)AC,過Bd上一點(diǎn)E作EG/ AC交CD的延長線于點(diǎn) G,連結(jié)AE交CD于點(diǎn)F,且EG=FG連結(jié)CE(1)求證：/G=/ CEF；(2)求證：EG是。的切線;(3)延長AB交GE的延長線于點(diǎn) M ,若tanG =3, AH=3j3 ,求EM的值.4試題分析：(1)由AC/ EG,推出/G=/ACG,由AB

7、± CD推出AD AC ,推出/ CEF=Z ACD,推出/ G=Z CEF,由此即可證明；(2)欲證明EG是。的切線只要證明 EG± OE即可；(3)連接OC.設(shè)。的半徑為r.在RtOCH中，利用勾股定理求出 r,證明一 AH HC . 一 AHCAMEO,可得 ，由此即可解決問題;EM OE試題解析：(1)證明：如圖 1. .AC/ EGZG=Z ACG, v AB± CD,AD Ac，./CEf=/ACD, ，/G=/CEF, / ECF=/ ECG . . AECfAGCE/ OAE=Z OEA,.EG是。O的切線.HDCGE!圖2 GF=GE, . .

8、/ GFE=/GEF=/AFH, / OA=OE, /AFH+/FAH=90 ；ZGEF+Z AEO=90 ；Z GEO=90 ； .-.GE± OE,(3)解：如圖3中，連接OC.設(shè)。的半徑為r.CE0部AH 3在 RtAHC中，tan Z ACH=tan Z G=-HC-ah=3/3,.HC=4 而， 在 RtHOC 中,. OC=r, OH=r 3百，HC=473,(r 373)2 (473)2,，r=應(yīng)3 6. GM/AC, ，/CAH=/M, / ZOEM=ZAHC, AHC MEO,AHEMHCOE '3 34.3EM256，.em=25386點(diǎn)睛：本題考查圓綜合

9、題、垂徑定理、相似三角形的判定和性質(zhì)、銳角三角函數(shù)、勾股定 理等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，靈活運(yùn)用所學(xué)知識解決問題，正確尋找相 似三角形，構(gòu)建方程解決問題嗎，屬于中考壓軸題.3.（類比概念）三角形的內(nèi)切圓是以三個內(nèi)角的平分線的交點(diǎn)為圓心，以這點(diǎn)到三邊的距離為半徑的圓，則三角形可以稱為圓的外切三角形，可以得出三角形的三邊與該圓相切.以此類推，如圖1,各邊都和圓相切的四邊形稱為圓外切四邊形（性質(zhì)探究）如圖1,試探究圓外切四邊形的 ABCD兩組又邊AB, CD與BC, AD之間的數(shù) 事關(guān)系 猜想結(jié)論：（要求用文字語言敘述）寫出證明過程（利用圖 1,寫出已知、求證、證明）（性質(zhì)應(yīng)用） 初中

10、學(xué)過的下列四邊形中哪些是圓外切四邊形 （填序號）A:平行四邊形：B:菱形：C:矩形；D:正方形如圖2,圓外切四邊形 ABCD,且AB=12, CD=8,則四邊形的周長是 圓外切四邊形的周長為48cm,相鄰的三條邊的比為【答案】見解析5: 4: 7,求四邊形各邊的長.【解析】【分析】（1）根據(jù)切線長定理即可得出結(jié)論；（2）圓外切四邊形是內(nèi)心到四邊的距離相等，即可得出結(jié)論;根據(jù)圓外切四邊形的對邊和相等，即可求出結(jié)論；根據(jù)圓外切四邊形的性質(zhì)求出第四邊，利用周長建立方程求解即可得出結(jié)論.【詳解】性質(zhì)探討：圓外切四邊形的對邊和相等，理由：如圖1,已知：四邊形 ABCD的四邊AB, BC, CD, DA都

11、于。相切于G, F, E, H.求證：AD+BCAB+CD.證明：AB, AD 和。相切，AG=AH,同理：BG=BF, CE=CF, DE=DH, .AD+BC=AH+DH+BF+CF=AG+BG+CE+DE=AB+CD,即：圓外切四邊形的對邊和相等.故答案為：圓外切四邊形的對邊和相等；性質(zhì)應(yīng)用：二.根據(jù)圓外切四邊形的定義得：圓心到四邊的距離相等.平行四邊形和矩形不存在一點(diǎn)到四邊的距離相等，而菱形和正方形對角線的交點(diǎn)到四邊 的距離相等.故答案為：B, D；二.圓外切四邊形 ABCD,AB+CD=AD+BC.,. AB=12, CD=8,AD+BC=12+8=20,，四邊形的周長是 AB+CD

12、+AD+BC=20+20=40.故答案為：40;相鄰的三條邊的比為 5： 4： 7, 設(shè)此三邊為5x, 4x, 7x,根據(jù)圓外切四邊形的性質(zhì) 得：第四邊為5x+7x-4x=8x.;圓外切四邊形的周長為48cm,，4x+5x+7x+8x=24x=48,，x=2,，此四邊形的四邊為4x=8cm, 5x=10cm, 7x=14cm, 8x=16cm.【點(diǎn)睛】本題是圓的綜合題，主要考查了新定義圓的外切的性質(zhì)，四邊形的周長，平行四邊形，矩 形，菱形，正方形的性質(zhì)，切線長定理，理解和掌握圓外切四邊形的定義是解答本題的關(guān) 鍵.4 .不用圓規(guī)、三角板，只用沒有刻度白直尺，用連線的方法在圖1、2中分別過圓外一點(diǎn)

13、【解析】【分析】根據(jù)直角所對的圓周角是直角，構(gòu)造直角三角形，利用直角三角形性質(zhì)可畫出垂線；或結(jié)合圓的軸對稱性質(zhì)也可以求出垂線【詳解】解：畫圖如下：【點(diǎn)睛】本題考核知識點(diǎn)：作垂線.解題關(guān)鍵點(diǎn)：結(jié)合圓的性質(zhì)和直角三角形性質(zhì)求出垂線5 .如圖，OB是以（O, a）為圓心，a為半徑的。01的弦，過B點(diǎn)作。Oi的切線，P為劣MOB上的任一點(diǎn)，且過 P作OB、AB OA的垂線，垂足分別是 D、E、F.（1）求證：PD2=PE?P（2）當(dāng)/BOP=30, P點(diǎn)為OB的中點(diǎn)時，求 D、E、F、P四個點(diǎn)的坐標(biāo)及 Smef.【答案】（1）詳見解析；（2） D （-&a, -a） , E （-義la, -a

14、） , F （-叵a,444420）, P （-3a,亙）；& DEF=3a2,2216【解析】試題分析：（1）連接PB, OP,利用AB切。Oi于B求證PBa4POD,得PB PE PB PD 小 ,出 ，同理，aopfabpd,得出 ，然后利用等量代換即可. OP PDOP PF（2）連接O1B, O1P,得出O1BP和OFO為等邊三角形，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)即可解得D、E F、P四個點(diǎn)的坐標(biāo).再利用三角形的面積公式可直接求出三角形DEF的面積.試題解析：（1）證明：連接PB, OP,-. PE± AB, PD）± OB,/ BEP=/ PDO=90 ；. AB

15、 切。O1 于 B, /ABP=/ BOP,PD2=PE?PE (2)連接 OiB, OiP,. AB 切 OOi 于 B, Z POB=30 , Z ABP=30 , Z OiBP=90 -30°=60 ；. 1 OiB=OiP,.Ch BP為等邊三角形， .OiB=BP,.P為弧BO的中點(diǎn),BP=OP,即OlPO為等邊三角形,. op=op=a Z OiOP=60 ,又; P為弧BO的中點(diǎn), . .OiP±OB,在OiDO 中, ZHOiOP=60 OiO=a,.OiD=a, OD=a,過 D 作 DM，OOi 于 M , 0D=ra,OM=3DM=H|-a,D (一V

16、3 3、va, 7a) 5 Z OiOF=90 , ZOiOP=60°Z POF=30 ,-.PE± OA,1 LPF-OP=-a.P (一y32aa, y),F (一等a, 0),i£di. AB 切。Oi 于 B, Z POB=30 ,Z ABP=Z BOP=30 , . PEXAB, PB=a,Z EPB=60 .PE 寧,1.P為弧BO的中點(diǎn),BP=PO,Z PBO=Z BOP=30 ,Z BPO=120 , / BPE吆 BPO=120 +60 = 180 :即OPE三點(diǎn)共線，OE=-a+a=a22過E作EM，x軸于M, .AO切。Oi于O,/ EOA=

17、30 ,°N _|33731. EM=_OE= a, OM= a.E (一:|3a，E (一a,DE邊上的高為:aSaa2故答案為：D （-a)42a2.16I a），E（-a) , F (k/3a, 0) , P (-a,.) ； Sx DEF=-a2.16a) , D (一6.如圖，正三角形ABC內(nèi)接于。O,P是BC上的一點(diǎn)，且PB<PC,PA交BC于E,點(diǎn)F是PC延長線上的點(diǎn)，CF=PB AB=A, PA=4.（1）求證：ABPACF;（2）求證：AC2=PA?AE；（3）求PB和PC的長.【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3） PB=1, PC=3【解析】試

18、題分析：（1）先根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到AB=AC,再利用圓的內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得/ACF=Z ABP,于是可根據(jù) “SA制斷ABPACF;(2)先根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到/ABC=/ ACB=60,再根據(jù)圓周角定理得/APC=/ ABB=60 力口上/ CAE=/ PAG于是可判斷 AC即 APC,然后利用相似比即可得 到結(jié)論；(3)先利用 AC2=PA?AE計算出AE=13 ,則PE=AP-AE=3 ,再證4APF為等邊三角形，得 44至I PF=PA=4貝U有PC+PB=4接著證明 AABPACEF得至U PB?PC=PE?A=3然后根據(jù)根與 系數(shù)的關(guān)系，可把 PB和PC看作方程x2-4x

19、+3=0的兩實數(shù)解，再解此方程即可得到PB和PC的長.試題解析：(1) . /ACP+/ ABP=180 ,又/ ACP+/ACF=180 , / ABP=Z ACF在ABP和ACF中， . AB=AC, /ABP=/ ACF, CF PB ABP ACF .(2)在 AEC和 ACP 中， Z APC=Z ABC,而 ABC是等邊三角形，故 / ACB=/ABC=60o, / ACE "PC .又 / CAE 之 PAC, AECs ACP 也些，即 AC2 PA AE .AP AC由(1)知 ABP w ACF ,，/BAP=/ CAF, CF PBZ BAP+Z PAC=Z C

20、AF+Z PAC / PA BAC=60 ；又 ZAPC= / ABC= 60 :APF是等邊三角形.AP=PF PB PC PC CF PF PA 4在PAB與CEP中， / BAP=Z ECP ,又 / APB=Z EPC=60,PAB" CEPPB PA，即 PB PC PA PEPE PC由(2) AC2 PA AE , _2 _ _ 2AC PB PC PA AE PA PE PA AE PE PA_2 _ _ 2 AC PB PC PA AE PA PE PA AE PE PA PB PC PA2 AC2 PA2 AB2 42.13 2 3因此PB和PC的長是方程x2 4

21、x 3 0的解.解這個方程，得xi 1 , X2 3 .1. PB<PB,PB=X1 1 , PC=X2 3 ,PB和PC的長分別是1和3?！军c(diǎn)睛】本題考查了圓的綜合題：熟練掌握圓周角定理、圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)和等邊三角 形的判定與性質(zhì)；會利用相似三角形證明等積式；會運(yùn)用根與系數(shù)的關(guān)系構(gòu)造一元二次方 程。7.已知， ABC內(nèi)接于eO,點(diǎn)P是弧AB的中點(diǎn)，連接 PA、PB ;(1)如圖 1,若 AC BC,求證：AB PC;(2)如圖2,若PA平分 CPM ,求證：AB AC ;24 一(3)在(2)的條件下，若sin BPC 一，AC 8,求AP的值.25圖ISI【答案】(1)見解析；(2

22、)見解析；(3)2店.【解析】【分析】由點(diǎn)P是弧AB的中點(diǎn)，可得出 AP=BP通過證明 APC BPC , ACE BCE可得 出 AECBEC進(jìn)而證明AB PC.(2)由PA是/ CPM的角平分線，得到 / MPA=Z APC,等量代換得到/ ABC=Z ACB,根據(jù)等腰三 角形的判定定理即可證得 AB=AC.過A點(diǎn)作AD)± BC有三線合一可知 AD平分BC,點(diǎn)O在AD上，連結(jié) OB,則/ BOD=/ BAC,根據(jù)圓周角定理可知 / BOD=Z BAC, / BPC=Z BAC,由/ BOD=Z BPC可得 BDsin BOD sin BPC ，設(shè)OB=25x ,根據(jù)勾股定理可算

23、出 OB、BD> OD、AD的 OB長，再次利用勾股定理即可求得AP的值.【詳解】解：(1) 丁點(diǎn)P是弧AB的中點(diǎn)，如圖1,.AP=BP,在 APC和 BPC中AP BP AC BC , PC PC2 .APCABPC (SS§ , / ACP= / BCP,在 ACE和 BCE中AC BC ACP BCP,CE CE3 .ACEABCE (SAS , / AEC= / BEG4 / AEG/BEC= 180 ；/ AEC= 90 ； .AB，PC；(2) PA平分/CPM,/ MPA= ZAPC, / APO / BPG/ ACB= 180 ； / MPA+Z APC/ BP

24、G= 180 ；/ AGB= / MPA= / APG, / APG= / ABC,/ ABG= / AGB, .AB= AG；(3)過A點(diǎn)作ADXBGX BG于D,連結(jié)OP交AB于E,如圖2,卸ffi：由(2)得出AB= AG, AD 平分 BG, 點(diǎn)O在AD上，連結(jié) OB,則 / BOD= / BAG, / BPG= / BAG,24 BDsin BOD sin BPG = ， 25 OB設(shè) OB= 25x,貝U BD= 24x, -OD= Job2 bd2 =7x，在 RtVABD 中，AD=25x+7x=32x, BD=24x, AB= , AD2 BD2 =40x，,.AG=8,.-

25、.AB=40x=8,解得：x=0.2,.OB=5, BD=4.8, OD=1.4, AD= 6.4,丁點(diǎn)p是Ab的中點(diǎn)， OP垂直平分AB,1.AE= -AB= 4, /AEP=/AEO= 90 ,2在 Rt AEO 中，OE= JaO2_AE2 3，PE= OP- OE= 5- 3 = 2,在 Rt ApE 中，Ap= Jpe2 ae2 J22 42 275 【點(diǎn)睛】本題是一道有關(guān)圓的綜合題，考查了圓周角定理、勾股定理、等腰三角形的判定定理和三線合一，是初中數(shù)學(xué)的重點(diǎn)和難點(diǎn)，一般以壓軸題形出現(xiàn)，難度較大8.定義：數(shù)學(xué)活動課上，李老師給出如下定義：如果一個三角形有一邊上的中線等于這條邊的一 半

26、，那么稱三角形為 智慧三角形”.理解：如圖1,已知上是。上兩點(diǎn)，請在圓上找出滿足條件的點(diǎn)C ,使1ASC為智慧三角形”（畫出點(diǎn)C的位置，保留作圖痕跡）；如圖2 ,在正方形A3U口中，石是TJC1的中點(diǎn)，F(xiàn)是8上一點(diǎn)，且CF = -CD，試 4判斷&4EF是否為 智慧三角形”，并說明理由；運(yùn)用：如圖3 ,在平面直角坐標(biāo)系 工5中，OC的半徑為1，點(diǎn)2是直線3 = 3上的一點(diǎn)，若 在。口上存在一點(diǎn)P ,使得。尸。為智慧三角形”，當(dāng)其面積取得最小值時，直接寫出此 時點(diǎn)P的坐標(biāo).【答案】（1）詳見解析；（2）詳見解析；（3） P的坐標(biāo)（ R! ,（ RI ,333-）. 3【解析】試題分析：(

27、1)連結(jié)AO并且延長交圓于 C1,連結(jié)BO并且延長交圓于 C2,即可求解； (2)設(shè)正方形的邊長為 4a,表示出DF=CF以及EC BE的長，然后根據(jù)勾股定理列式表示 出AF2、EF2、AE2,再根據(jù)勾股定理逆定理判定4AEF是直角三角形，由直角三角形的性質(zhì)可得4AEF為智慧三角形”；(3)根據(jù) 智慧三角形”的定義可得4OPQ為直角三角形, 根據(jù)題意可得一條直角邊為1,當(dāng)斜邊最短時，另一條直角邊最短，則面積取得最小值，由垂線段最短可得斜邊最短為3,根據(jù)勾股定理可求另一條直角邊，再根據(jù)三角形面積可求斜邊的高，即點(diǎn) P的橫坐標(biāo)，再根據(jù)勾股定理可求點(diǎn)P的縱坐標(biāo)，從而求解.試題解析：(1)如圖1所示：

28、圖1(2) 4AEF是否為智慧三角形”，理由如下：設(shè)正方形的邊長為 4a, .E是DC的中點(diǎn)，DE=CE=2a,. BC: FC=4: 1,FC=a, BF=4a- a=3a,在 RtADE中，AE2=(4a) 2+ (2a) 2=20a2,在 RtECF中,E盧=(2a) 2+a2=5a2,在 RtMBF 中,AF2=(4a) 2+ (3a) 2=25a2, .AE2+E*=AF2, .AEF是直角三角形， 斜邊AF上的中線等于 AF的一半， .AEF為智慧三角形”；(3)如圖3所示：由智慧三角形”的定義可得4OPQ為直角三角形，根據(jù)題意可得一條直角邊為1,當(dāng)斜邊最短時，另一條直角邊最短，則

29、面積取得最小值,由垂線段最短可得斜邊最短為3,由勾股定理可得 PQ=Jm?_f = 272，PM=1X2j2 + 3=,由勾股定理可求得 OM=卜_（紀(jì)2" =-，故點(diǎn)P的坐標(biāo)（-也,（工也,-）3335鄴考點(diǎn)：圓的綜合題.9.如圖，DABCD勺邊AD是4ABC外接圓。的切線，切點(diǎn)為 A,連接AO并延長交BC于 點(diǎn)E,交。O于點(diǎn)F,過點(diǎn)C作直線CP交AO的延長線于點(diǎn) P,且/ BCP= / ACD.（1）求證：PC是。的切線；（2）若/B= 67.5 °, BC= 2,求線段PC, PF與弧CF所圍成的陰影部分的面積 S.【答案】（1）見解析；（2） 1 4【解析】【分析】

30、（1）過C點(diǎn)作直徑CM,連接MB,根據(jù)CM為直徑，可得ZM+ZBCM=90°, 再根據(jù) AB/ DC可得/ ACD= / BAC,由圓周角定理可得 / BAC= / M , / BCP= / ACD,從 而可推導(dǎo)得出/ PCM=90°,根據(jù)切線的判定即可得；（2）連接OB,由AD是。的切線，可得 /PAD= 90°,再由BC/ AD,可得API BC,從而得BE= CE= 1 BC= 1 ,繼而可得到/ABC=/ACB= 67.5 ;從而得到Z BAC= 45°,由圓周2角定理可得/BOC=90,從而可得Z BOE= Z COE= Z OCE= 45 &

31、#176;,根據(jù)已知條件可推導(dǎo)得出OE= CE= 1, PC= OC= JOE2 CE2 J2 ,根據(jù)三角形面積以及扇形面積即可求得陰影部分的面積.【詳解】（1）過C點(diǎn)作直徑CM,連接MB,.CM為直徑，/ MBC= 90 °,即 / M+ / BCM= 90 °, 四邊形ABCD是平行四邊形， .AB/ DC, AD/ BC, / ACA / BAC, / BAC= ZM, / BCF / ACD,Z M = Z BCF, / BCP+Z BCM= 90 ；即/ PCM= 90 °,CMXFC,.FC與。O相切；(2)連接OB,.AD是。的切線，切點(diǎn)為 A, O

32、AXAD,即 / FAD= 90 ；11.BC/ AD, ZAEB=Z FAD= 90 , /.AFI BC. . BE= CE= - BC= 1,2AB= AC, / ABC= / ACB= 67.5 ,° / BAC= 180 ABC- / ACB= 45 °, / BOC= 2/ BAC= 90 ;-. OB=OC, AFXBC,Z BOE= Z COE= Z OCE= 45 ,° / FCM= 90 ；/ CFO= / COE= / OCE= 45 ,.oe=ce= 1, fc= oc= Joe2_ce2 亞，【點(diǎn)睛】本題考查了切線的判定與性質(zhì)、圓周角定理

33、、垂徑定理、扇形面積等，綜合性較強(qiáng)，準(zhǔn)確添加輔助線是解題的關(guān)鍵7t10.如圖1,是用量角器一個角的操作示意圖，量角器的讀數(shù)從M點(diǎn)開始(即M點(diǎn)的讀數(shù)為0),如圖2,把這個量角器與一塊 30。(/CAB= 30。)角的三角板拼在一起，三角板的 斜邊AB與量角器所在圓的直徑 MN重合，現(xiàn)有射線 C繞點(diǎn)C從CA開始沿順時針方向以每 秒2°的速度旋轉(zhuǎn)到與 CB,在旋轉(zhuǎn)過程中，射線 CP與量角器的半圓弧交于 E.連接BE.(1)當(dāng)射線CP經(jīng)過AB的中點(diǎn)時，點(diǎn)E處的讀數(shù)是 ,此時4BCE的形狀是； (2)設(shè)旋轉(zhuǎn)x秒后，點(diǎn)E處的讀數(shù)為V,求y與x的函數(shù)關(guān)系式；(3)當(dāng)CP旋轉(zhuǎn)多少秒時，4BCE是等腰

34、三角形？【答案】(1) 60°,直角三角形；(2) y=4x (0<x<45 ; ( 3) 7.5秒或30秒【解析】【分析】(1)根據(jù)圓周角定理即可解決問題；(2)如圖2-2中，由題意ZACE2x, / AO曰y,根據(jù)圓周角定理可知 ZAOE= 2/ACE 可得 y= 2x (0»w 45 ;(3)分兩種情形分別討論求解即可；【詳解】解：(1)如圖2-1中，. /ACB= 90 °, OA= OB, .OA=OB= OC,/ OCA= / OAC= 30 °,/ AOE= 60 ；，點(diǎn)E處的讀數(shù)是60 °, / E= / BAC=

35、30 °, OE= OB,/ OBE= ZE= 30 ；/ EBC= / OBE+ZABC= 90 °,.EBC是直角三角形；故答案為60。，直角三角形；(2)如圖2 2中，. /AC& 2x, /AOy, / AOE= 2/ACE, . y= 4x (0蟲w 45 .BC,(3) 如圖2-3中，當(dāng)EB= EC時，EO垂直平分線段 . AC± BC,1. EO/ AC,/ AOE= ZBAC= 30 ;/1 ,。 ./ ECA= /AOE= 15 :2.x=7.5.若2-4中，當(dāng)BE= BC時, E圉2 3易知 / BEC= / BAC= / BCE= 3

36、0°,/ OBE= / OBC= 60 ；.OE= OB,.OBE是等邊三角形，/ BOE= 60 °,/ AOB= 120 ；1/ ACE= - ZACB= 60 ,.x=30,綜上所述，當(dāng)CP旋轉(zhuǎn)7.5秒或30秒時，4BCE是等腰三角形；【點(diǎn)睛】本題考查幾何變換綜合題、創(chuàng)新題目、圓周角定理、等腰三角形的判定和性質(zhì)等知識，解 題的關(guān)鍵是理解題意，學(xué)會用分類討論的思想思考問題，屬于中考壓軸題.11.1. 圖，4ABC中，/ACB= 90°, /A=30°, AB=6. D是線段AC上一個動點(diǎn)(不與點(diǎn)A重合)，OD與AB相切，切點(diǎn)為E, OD交時線,DC于

37、點(diǎn)F,過F作FG± EF交克線,BC于 點(diǎn)G,設(shè)OD的半徑為r.(1)求證 AE= EF;(3)當(dāng)點(diǎn)G落在。D內(nèi)部時，直接寫出r的取值范圍.【答案】(1)見解析，(2)r=、3,(3) .3 r(2)當(dāng)。D與直線BC相切時，求r的值;6.35(1)連接 DE,貝U / ADE=60 =/DEF+/ DFE,而 / DEF=Z DFE 貝U / DEF=Z DFE=30 = /A, 即可求解；(2)如圖2所示，連接 DE,當(dāng)圓與BC相切時，切點(diǎn)為 F, /A=30°, AB=6,則BF=3,AD=2r,由勾股定理，即可求解；(3)分點(diǎn)F在線段AC上、點(diǎn)F在線段AC的延長線上兩

38、種情況，分別求解即可.【詳解】解：設(shè)圓的半徑為r；(1)連接 DE,則 / ADE=60 =/ DEF+Z DFE,而 / DEF=/ DFE,貝U / DEF=/ DFE=30 = Z A, .AE=Ep(2)如圖2所示，連接DE,當(dāng)圓與BC相切時，切點(diǎn)為 FZA=30 ； AB=6,則 BF=3, AD=2r, 由勾股定理得：（3r） 2+9=36, 解得：r=J3；連接DE、DG,FC 3/3 3r, GC3FC 9 3.3r當(dāng)點(diǎn)F在線段AC的延長線上時，如圖 4所示，連接DE、DG,兩種情況下GC符號相反，GC2相同，由勾股定理得：DG2=CD2+CG2,點(diǎn)G在圓的內(nèi)部，故： DG2v

39、r2,即：(3/3 2r)2 (3.3r 9)2 r2整理得：5r2 11.3r 18 0解得：3 r 6-5【點(diǎn)睛】本題考查了圓的綜合題：圓的切線垂直于過切點(diǎn)的半徑；利用勾股定理計算線段的長.12.如圖1,四邊形ABCD是正方形，點(diǎn)E是邊BC上一點(diǎn)，點(diǎn)F在射線CM 上,/AEF=90, AE=EF，過點(diǎn)F作射線BC的垂線，垂足為 H,連接AC.(1)試判斷BE與FH的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；(2)求證：/ACF=90°連接AF,過A, E, F三點(diǎn)作圓，如圖 2.若EC=4, ZCEF=15°,雨費(fèi)的長.圖1圖2【答案】(1) BE="FH”;理由見解析(2)證明

40、見解析福=2兀【解析】試題分析：(1)由ABEEHF (SA。即可得到 BE=FH(2)由(1)可知AB=EH,而BC=AB, FH=ER從而可知 FHC是等腰直角三角形，/ FCH為45°,而/ ACB也為45°,從而可證明(3)由已知可知/EAC=30, AF是直徑，設(shè)圓心為 O,連接E0,過點(diǎn)E作ENL AC于點(diǎn)N, 則可得4ECN為等腰直角三角形，從而可得EN的長，進(jìn)而可得 AE的長，得到半徑，得到遍所對圓心角的度數(shù)，從而求得弧長 試題解析：(1) BE=FH理由如下： 四邊形 ABCD是正方形/ B=90 ； . FHXBC / FHE=90 °又/ A

41、EF=90/ AEB+Z HEF="90"且 / BAE+Z AEB=90/ HEF=Z BAE / AEB=Z EFH 又AE=EF .ABEAEHF (SAS，BE=FH(2)AABEAEHFBC=EH, BE=FH 又BE+EC=EC+CH BE="CH".CH=FH/ FCH=45 ,°/ FCM=45 °.AC是正方形對角線，Z ACD=45 °/ ACF=Z FCM +/ ACD =90 °(3) AE=EF，4AEF是等腰直角三角形 AEF外接圓的圓心在斜邊 AF的中點(diǎn)上.設(shè)該中點(diǎn)為 O.連結(jié)EO得/

42、AOE=90。BH過E作EN± AC于點(diǎn)NRtA ENC 中，EC=4, Z ECA=45°, . . EN=NC=7RtA ENA 中，EN =2戊又 / EAF=45 / CAF=Z CEF=15 （等弧對等角）/ EAC=30 °.AE=RtA AFE 中，AE工走=EF,，AF=8AE所在的圓O半徑為4,其所對的圓心角為 /AOE=90°蔡=2 兀- 490 - 36。° =2 ?？键c(diǎn)：1、正方形；2、等腰直角三角形；3、圓周角定理；4、三角函數(shù)13.如圖1,等腰直角4ABC中，/ACB=90°, AC=BC過點(diǎn)A, C的圓交

43、 AB于點(diǎn)D,交BC 于點(diǎn)E,連結(jié)DE（1）若AD=7, BD=1,分別求 DE, CE的長（2）如圖2,連結(jié)CD,若CE=3, 4ACD的面積為10,求tan / BCD（3）如圖3,在圓上取點(diǎn) P使得/PCD=Z BCD （點(diǎn)P與點(diǎn)E不重合），連結(jié) PD,且點(diǎn)D是4CPF的內(nèi)心請你畫出CPR說明畫圖過程并求 /CDF的度數(shù) 設(shè)PC=a, PF=b）, PD=c,若（a-J2c） （ b-拒c） =8,求 CPF的內(nèi)切圓半徑長.【答案】(1) DE=1, CE=3V2； (2) tan/BCD=1 ； (3) 135。；2.4【解析】【分析】(1)由A、C、E、D四點(diǎn)共圓對角互補(bǔ)為突破口求解

44、；(2)找/ BDF與/ ODA為對頂角，在。0中，/ COD=2Z CAD,證明OCD為等腰直角三 角形，從而得到 Z EDC-+Z ODA=45 ,即可證明/CDF=135;(3)過點(diǎn)D做DH CB于點(diǎn)H,以D為圓心，DH為半徑畫圓，過點(diǎn) P做eD切線PF 交CB的延長線于點(diǎn)F,結(jié)合圓周角定理得出 / CPD=Z CAD=45 ,再根據(jù)圓的內(nèi)心是三角形 三個內(nèi)角角平分線的交點(diǎn)，得出/CPF=90,然后根據(jù)角平分線性質(zhì)得出11DCF CFD PCF PFC 45 ,最后再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理即可求 22解；證明/DCF+/ CFD=45,從而證明/CPF是直角，再求證四邊形 PKDN是正方形

45、，最后 以4PCF面積不變性建立等量關(guān)系，結(jié)合已知(a-J2c) (b-J2c) =8,消去字母a, b求出c值，即求出4CPF的內(nèi)切圓半徑長為,2c.2【詳解】(1)由圖可知:設(shè)BC=x在RtABC中，AC=BC由勾股定理得:AG2+BC2=AB2, . AB=AD+BD, AD=7, BD=1, x2+x2=82,解得：x=4、2 - O O內(nèi)接四邊形，/ ACD=90 ,°/ ADE=90/ EDB=90 / B=45 ,° .BDE是等腰直角三形.DE=DB,又 DB=1, .DE=1,又 CE=BC-BECE=472 金 3M(2)如圖所示:圖2在4DCB中過點(diǎn)D

46、作DMBE,設(shè)BE=y,則DM=-y2，又.<£=3,BC=3+y, - Sa ace=Sacd+Sdce3,1 -114。2 4/2 103 y y2 22解得：y=2或y=-11 (舍去).EM=1,CM=CE+ME=1+3=4又 / BCD=Z MCD,tanZ BCD=tanZ MCD,在 RtDCM 中，tanZ MCD=-DM- = 1 ,CM 4 .tan / BCD=1 .4(3)如下圖所示：過點(diǎn)D做DH CB于點(diǎn)H,以D為圓心，DH為半徑畫圓，過點(diǎn) P做eD切線PF交CB的延長線于點(diǎn)F. Z CAD=45 ,Z CPD土 CAD=45 , 又點(diǎn)D是 CPF的內(nèi)心， ：PD、CD DF都是角平分線，Z FPD=Z CPD =45，/ PCD之 DCF, Z PFD=Z CFDZ CPF=90 °Z PCF吆 PFC=90 °11DCF CFD - PCF - PFC 45 22如下圖所示過點(diǎn)D分別作DKLPC,Z CDF=180-Z DCF-Z CFD F=90+45 =135 , 即/CDF的度數(shù)為135°.DM ± CF, DNLPF于直線PC, CF和PF于點(diǎn)K, M , N三點(diǎn),設(shè)4PCF內(nèi)切圓的半徑為 m,則DN=m