抽象函數(shù)奇偶性對稱性周期性總結

1、抽象函數(shù)的對稱性、奇偶性與期性常用結論一.概念：抽象函數(shù)是指沒有給出具體的函數(shù)解析式或圖像，只給出一些函數(shù)符號及其滿足的條件的函數(shù)，如函數(shù)的定義域，解析遞推式，特定點的函數(shù)值，特定 的運算性質等中是高中函數(shù)部分的難點也是大學高等數(shù)學函數(shù)部分的一個銜接 點，由于抽象函數(shù)沒有具體的解析表達式作為載體因此理解研究起來比較困難， 所以做抽象函數(shù)的題目需要有謹?shù)倪壿嬎季S能力、豐富的想象力以及函數(shù)知識靈活運用的能力1、期函數(shù)的定義：對于f(x)定義域的每一個x,都存在非零常數(shù) T,使得f(x T) f(x)恒成立，則稱函數(shù)f(x)具有期性，T叫做f(x)的一個期，則kT ( k 乙k 0)也是f(x)的期

2、，所有期中的最小正數(shù)叫 f (x)的最小正期。分段函數(shù)的期：設y f(x)是期函數(shù)，在任意一個期的圖像為c：y f(x),x a,b,T b a。把y f(x)沿x軸平移KT K(b a)個單位即按向量a (kT,0)平移，即得y f(x)在其他期的圖像：y f (x kT), x kT a, kT b。f(x)f(x)a,bf (x kT)kT a,kT b2、奇偶函數(shù)：設 y f (x), x a,b 或x b, a a,b若f( x) f(x)，則稱y f(x)為奇函數(shù)；若f( x)f(x)則稱y f(x)為偶函數(shù)。分段函數(shù)的奇偶性3、函數(shù)的對稱性：(1)中心對稱即點對稱：點A(x, y

3、)與B(2a x,2b y)關于點(a,b)對稱；點A(a x,b y)與B(a x,b y)關于(a,b)對稱；函數(shù)y f(x)與2b y f (2a x)關于點(a,b)成中心對稱；函數(shù)b y f (a x)與b y f (a x)關于點(a,b)成中心對稱；函數(shù)F (x, y) 0與F(2a x,2b y) 0關于點(a,b)成中心對稱。(2)軸對稱：對稱軸程為：Ax By C 0。/ /2A(Ax By C) 2B(Ax By C)、?工點A(x, y)與B(x ,y ) B(x 北一次,y 滔一次)關于A BA B直線Ax By C 0成軸對稱;2B(Ax By C) - 2A(Ax

4、 By C)、函數(shù) y f(x)Vy J一y一f f (x 一 J一y一)關于直線A2 B2A2 B2Ax By C 0成軸對稱。2A(Ax By C) 2B(Ax By C)、 F(x, y) 0與F(x J一1一-,y 一J一三一-) 0關于直線A2 B2A2 B2Ax By C 0成軸對稱。、函數(shù)對稱性的幾個重要結論(一)函數(shù)yf(x)圖象本身的對稱性(自身對稱)若 f(x a) f (x b),則 f (x)具有期性；若 f(a x) f (b x),則 f(x)具有對稱性：“同表示期性，反表示對稱性”。1、f(a x) f (b x) y f (x)圖象關于直線 x (a x) (b

5、 x) -ab 對稱 22推論1： f(a x) f (a x) yf(x)的圖象關于直線x a對稱推論2、f(x) f (2a x) y f(x)的圖象關于直線 x a對稱推論3、f ( x) f (2a x) y f(x)的圖象關于直線x a對稱- 一 一一 一 a b ,一2、 f (a x) f (b x) 2c y f(x)的圖象關于點(c)對稱2_J推論1、f (a x) f (a x) 2b yf(x)的圖象關于點(a,b)對稱推論2、f (x) f (2a x) 2byf(x)的圖象關于點(a,b)對稱推論3、f ( x) f (2a x) 2by f(x)的圖象關于點(a,b

6、)對稱(二)兩個函數(shù)的圖象對稱性(相互對稱)(利用解析幾中的對稱曲線軌跡程理解)1、偶函數(shù)y f (x)與y f( x)圖象關于Y軸對稱2、奇函數(shù)y ”*)與丫 f( x)圖象關于原點對稱函數(shù)3、函數(shù)y f(x)與y f(x)圖象關于X軸對稱1 -4、互為反函數(shù)y f(x)與函數(shù)y f (x)圖象關于直線y x對稱一 “，, ba5.函數(shù)yf (a x)與y f (b x)圖象關于直線 x 二對稱推論1：函數(shù)y f (a x)與y f (a x)圖象關于直線x 0對稱推論2:函數(shù)y”*)與丫f (2a x)圖象關于直線x a對稱推論3:函數(shù)y f ( x)與y f (2a x)圖象關于直線x

7、a對稱(三)抽象函數(shù)的對稱性與期性1、抽象函數(shù)的對稱性性質1若函數(shù)y=f(x)關于直線x= a軸對稱，則以下三個式子成立且等價：(1) f(a + x)=f(a-x) (2) f(2a-x)= f(x) (3) f(2a+x)= f(x)性質2若函數(shù)y=f(x)關于點(a, 0)中心對稱，則以下三個式子成立且等價：(2) f(a + x)=- f(a-x) (2) f(2a x) = f(x) (3) f(2a +x)= f(x)易知，y=f(x)為偶(或奇)函數(shù)分別為性質1 (或2)當a=0時的特例。2、復合函數(shù)的奇偶性定義1、若對于定義域的任一變量x,均有fg( x) = fg(x),則復

8、數(shù)函數(shù)y= fg(x)為偶函數(shù)。定義2、若對于定義域的任一變量x,均有fg( x) = fg(x),則復合函數(shù)y=fg(x)為奇函數(shù)。說明：(1)復數(shù)函數(shù)fg(x)為偶函數(shù)，則fg(x) =fg(x)而不是fg(x)= fg(x),復合函數(shù) y=fg(x)為奇函數(shù),則 fg( x) = fg(x)而不是 fg(x) =fg(x)。(2)兩個特例：y = f(x +a)為偶函數(shù)，則 f(x+ a) = f( x + a) ； y=f(x + a) 為奇函數(shù)，則 f( x+a) = f(a + x)(3) y = f(x + a)為偶(或奇)函數(shù)，等價于單層函數(shù)y = f(x)關于直線x = a軸

9、對稱(或關于點(a, 0)中心對稱)3、復合函數(shù)的對稱性性質3復合函數(shù)y = f(a + xy= f(b x)關于直線x= (b-a) /2軸對稱性質4、復合函數(shù)y= £但+ 乂)與y= f(b x)關于點(b a) /2 , 0)中心 對稱推論1、復合函數(shù)丫=地+乂)與丫=皿乂)關于y軸軸對稱推論2、復合函數(shù)丫=*2+乂)與y= f(a x)關于原點中心對稱4、函數(shù)的期性若a是非零常數(shù)，若對于函數(shù)y=f(x)定義域的任一變量x點有下列條件之一 成立，則函數(shù)y=f(x)是期函數(shù)，且2|a|是它的一個期。 f(x + a)=f(x a) f(x+ a) = f(x) f(x+ a)=

10、1/f(x) f(x+ a)= 1/f(x)5、函數(shù)的對稱性與期性性質5若函數(shù)y= f(x)同時關于直線乂=2與乂= b軸對稱，則函數(shù)f(x)必為期函數(shù)，且T= 2|a b|性質6、若函數(shù)y=f(x)同時關于點(a, 0)與點(b, 0)中心對稱，則函數(shù) f(x)必為期函數(shù)，且T= 2|a-b|性質7、若函數(shù)y=f(x)既關于點(a, 0)中心對稱，又關于直線x= b軸對稱，則函數(shù)f(x)必為期函數(shù)，且T=4|ab|6、函數(shù)對稱性的應用(1)若 y f(x)關于點(h,k)對稱，則 x x/ 2h,y y/2k,即f(x) f(x/)f(x) f(2h x) 2kf(xi) fM)f(xn)

11、f(2h xn) f(2h xni)f (2h x1) 2nkWord資料(2)例題1、 f(x)關于點(工)對稱:2 2f(x)f (1 x) 1；41-f(x)x 1 1 2x 1 關于(0,1)對稱：f (x) f( x) 210。f(x) -( R,x 0)關于( J)對稱：f (x) f(-) x 12 2x2、奇函數(shù)的圖像關于原點(0, 0)對稱：f(x) f ( x)3、若f(x) f (2a x)或f (a x) f (a x),則y f(x)的圖像關于直線 x a對稱。設f (x) 0有n個不同的實數(shù)根，則x1x2xn x1(2ax)x2(2ax?)xn (2axn)na.2

12、2(當 n 2k 1時，必有 x1 2a x1，x1 a)(四)常用函數(shù)的對稱性三、函數(shù)期性的幾個重要結論1、f(x T) f(x)( T 0)y f(x)的期為 T, kT (k Z)也是函數(shù)的期2、 f (x a) f (x b) y ”*)的期為丁 b a3、f(x a)4、f (x a)5、f (x a)6、f(x a)7、 f (x a)f(x)1f(x)1f (x)1 f(x)1 f(x)1f(x) 1y f(x)的期為T 2ay f (x)的期為T 2ay f(x)的期為T 2ay f(x)的期為T 3a8、 f (x a)1 f(x)1 f(x)y f(x)的期為T 4a9、

13、f(x 2a)f (x a) f(x)y f(x)的期為T 6ay f(x)的期為T 2a10、若 p Qf(px) f(px 2),則T Ay f(x)有兩條對稱軸x a和x b(b a) y f(x)期T 2(b a)推論：偶函數(shù)yf(x)滿足f (ax)f (ax)yf(x)期T2a12、y f(x)有兩個對稱中心(a,0)和(b,0) (b a) y f(x)期 T 2(b a)推論：奇函數(shù)yf(x)滿足f (ax)f (ax)yf(x)期T4a13、y f(x)有一條對稱軸 x a和一個對稱中心(b,0) (b a) f(x)的T 4(b a)四、用函數(shù)奇偶性、期性與對稱性解題的常見

14、類型靈活應用函數(shù) 奇偶性、期性與對稱性，可巧妙的解答某些數(shù)學問題，它對訓練學生分析問題與解決問題的能力有重要作用.下面通過實例說明其應用類型。1 .求函數(shù)值例1. ( 1996年高考題)設 “*)是(，)上的奇函數(shù)，f(2 x) f(x)，當0 x 1 時，f(x) x ,則 f (7.5)等于(-0.5 )(A) 0.5;(B) -0.5;(C) 1.5;(D) -1.5.例2. (1989年北京市中學生數(shù)學競賽題)已知f(x)是定義在實數(shù)集上的函數(shù)，且f(x 2) 1 f (x)1 f(x), f (1) 2 口，求 f(1989)的值.f (1989) 43 2。2、比較函數(shù)值大小例3.

15、若f(x)(x R)是以2為期的偶函數(shù)，當x 0,1時，f(x) x8,試比較f)101104f()、f()的大小.17151c 116 14 ,0117 19 15f(104).15解： f (x)(x R)是以2為期的偶函數(shù)，又 f(x) x夜8在0,1上是增函數(shù)，且f () f(16) f(14)，即 f(101f(98求函數(shù)解析式例4.( 1989年高考題)設f (x)是定義在區(qū)間()上且以2為期的函數(shù)，對k Z ,用Ik表示區(qū)間(2k 1,2k1),已知當xIo 時,f(x)x2.求f(x)在Ik上的解析式.解：設 x (2k 1,2k 1),2k 1x 2

16、k 11 x 2k 1.、2x I 0時，有 f(x) x ,x 2k 1 得 f(x 2k) (x 2k)2f (x)是以2為期的函數(shù),f (x2k) f (x), f (x) (x 2k)2.例5 .設f (x)是定義在()上以2為期的期函數(shù)，且f(x)是偶函數(shù)，在區(qū)間2,3, 一- 一 2,上，f (x)2(x 3)2 4.求 x1,2時，f(x)的解析式.解：當x 3, 2 ,即 x2f(x) f( x) 2( x 3)_ 242( x 3)4又f(x)是以2為期的期函數(shù)，于是當x 1,2 ,即 3x42時，有f (x) f(x 4)22f(x)2 (x 4)342(x1)2 4(1

17、x 2).f (x)2(x 1)24(1x2).4、判斷函數(shù)奇偶性例6.已知f(x)的期為4,且等式f(2 x) f (2 x)對任意x R均成立, 判斷函數(shù)f(x)的奇偶性.解：由 f (x)的期為 4,得 f(x) f (4 x),由 f(2 x) f (2 x)得f( x) f(4 x) , f( x)f (x)，故 f(x)為偶函數(shù).5、確定函數(shù)圖象與x軸交點的個數(shù)例7.設函數(shù)f(x)對任意實數(shù)x滿足f(2 x) f(2 x), f(7 x)f(7 x)且f(0) 0,判斷函數(shù)f(x)圖象在區(qū)間30,30上與x軸至少有多少個交點.解：由題設知函數(shù) f(x)圖象關于直線x 2和x 7對稱

18、，又由函數(shù)的性質得f (x)是以10為期的函數(shù).在一個期區(qū)間 0,10上，f(0) 0, f (4) f (2 2)f(2 2)f(0) 0且 f(x)不能恒為零，故f (x)圖象與x軸至少有2個交點.而區(qū)間 30,30有6個期，故在閉區(qū)間30,30上f(x)圖象與x軸至少有13個交點.6、在數(shù)列中的應用例8.在數(shù)列 an中，ai J3,an 1 an 1 (n 2),求數(shù)列的通項公式，并計算 1 an 1a1 a5 a9a1997.分析：此題的思路與例2思路類似.一1al1 tg解：令 a1 tg ，則 a2L tg (一)1 a11tg 4a31_a21 a21 tg(,)41 tg(/)

19、4tg(2 4an1tg (n 1) 4，于是an1 an 11 an 1tg(n 1)4不難用歸納法證明數(shù)列的通項為：an tg(-n )，且以4為期.44于是有1, 5, 91997是以4為公差的等差數(shù)列，a1a5 a9 a1997 ,由 1997 1 (n 1) 4得總項數(shù)為 500 項,a a5 a9a1997500 a1 500 3.7、在二項式中的應用.一.92一例9.今天是星期三，試求今天后的第92天是星期幾？分析：轉化為二項式的展開式后，利用一為七天這個循環(huán)數(shù)來進行計算即可9292 c 092 c 191c 902 c 91Il牛：92(91 1) C929IC92 91C92

20、 91 C 92 91 19292 (7 13 1)92C92(7 13)92 C；2(7 13)91C920(7 13)2C92(7 13) 1因為展開式中前92項中均有7這個因子，最后一項為 1,即為余數(shù)， 故9292天為星期四.8、復數(shù)中的應用1 3例10.(上海市1994年圖考題)設z i(i是虛數(shù)單位)，則滿足等式z z,2 2且大于1的正整數(shù)n中最小的是(A) 3;(B) 4;(C) 6;(D) 7.一1, 3分析：運用z i哥的期性求值即可. 22解：znz,z(zn1 1)0 zn11 ,z3 1, n 1必須是3的倍數(shù)，即n 1 3k(k N),n3k1(kN).k 1時,n

21、最小，(n)min4.故選擇(B)9、解“立幾”題例11.ABCDA1B1C1D1是單位長體，黑白二蟻都從點 A出發(fā)，沿棱向前爬行，每走一條棱稱為走完一段”。白蟻爬行的路線是AA1ADi ，黑蟻爬行的路線是ABBBi.它們都遵循如下規(guī)則：所爬行的第i 2段所在直線與第i段所在直線必須是異面直線(其中iN).設黑白二蟻走完第1990段后，各停止在正體的某個頂點處，這時黑白蟻的距離是(A) 1;(B)42 ; (C) £3 ;(D) 0.解：依條件列出白蟻的路線AA1A1D1D1c1C1cCBBA AAi，立即可以發(fā)現(xiàn)白蟻走完六段后又回到了A點.可驗證知：黑白二蟻走完六段后必回到起點，可

22、以判斷每六段是一個期1990=6 331 4,因此原問題就轉化為考慮黑白二蟻走完四段后的位置，不難計算出 在走完四段后黑蟻在D1點，白蟻在C點，故所求距離是J2.例題與應用例 1 : f(x)是 R 上的奇函數(shù) f(x)= f(x+4) , xC 0, 2時 f(x)=x ,求 f(2007)的值例2:已知f(x)是定義在 R上的函數(shù),且滿足 f(x+2)1 f(x)=1+f(x) , f(1)=2 ,求f(2009) 的值。故 f(2009)= f(251 X8+1)=f(1)=2例3:已知f(x)是定義在 R上的偶函數(shù)，f(x)= f(4-x),且當x 2,0時，f(x)= 2x+1 ,則

23、當x 4,6時求f(x)的解析式例4:已知f(x)是定義在 R上的函數(shù)，且滿足 f(x+999)=- , f(999+x)=f(999 -x), 試f(x)判斷函數(shù)f(x)的奇偶性.例5:已知f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，f(x)= f(4-x),且當x 2,0時，f(x)是減函數(shù)，求證當x 4,6時f(x)為增函數(shù)例 6: f(x)滿足 f(x) =-f(6-x) , f(x)= f(2-x),若 f(a) =-f(2000) , aC5, 9且 f(x)在5, 9上 單調.求a的值.例 7:已知 f(x)是定義在 R上的函數(shù)，f(x)= f(4 -x), f(7+x)= f(7 x),f(0)=0,求在區(qū)間 1000, 1000上f(x)=0至少有幾個根？解：依題意f(x)關于x=2, x=7對稱，類比命題 2 (2)可知f(x)的一個期是10故 f(x+10)=f(x)f(10)=f(0)=0 又 f(4)=f(0)=0即在區(qū)間(0, 10上，程f(x)=0至少兩個根又f(x)是期為10的函數(shù)，每個期上至少有兩個根，因此程f(x)=0在區(qū)間 1000, 1000上至少有1+ 2 -2000=401個根.10例1、函數(shù)y=f(x)是定義在實數(shù)集R上的函數(shù)，那么y=胞+ 4)與丫= f(6x)的圖象之間(D )A.關于直線x= 5對稱B.關于直線x=1對稱C.關于點(5,