基本不等式典型例題

1、精品文檔高中數(shù)學(xué)必修五典題精講典題精講1 例1 (1)已知Ov xv，求函數(shù)y=x(1-3x)的最大值;31(2)求函數(shù)y=x+ 的值域.x思路分析：(1)由極值定理，可知需構(gòu)造某個(gè)和為定值，可考慮把括號(hào)內(nèi)外x的系數(shù)變成互為相反數(shù)；(2)中，未指出x > 0,因而不能直接使用基本不等式，需分x> 0與x v 0討論.1(1) 解法一：/ 0v xv , A 1-3x > 0.3a y=x(1-3x)=1 3x(1-3x) w13x(13x):2-丄,當(dāng)且僅當(dāng)3x=1-3x ,1即x-1時(shí)，等號(hào)成3321261立.A X-1時(shí)，函數(shù)取得最大值16121解法二：/ 0v xv ,

2、. 1-x > 0.331xx1 x= -x,1a y=x(1-3x)=3x(-x)<3 :3:2=,1當(dāng)且僅當(dāng)1即x-1時(shí),等號(hào)成立.32123611A x=時(shí)，函數(shù)取得最大值 丄.6121 1(2)解：當(dāng)x>0時(shí)，由基本不等式，得 y=x+ 支、.x? =2,當(dāng)且僅當(dāng)x=1時(shí)，等號(hào)成立X X當(dāng)xv 0時(shí),1 y-x+ =-x1(-x)+:.(x)/ -x > 0, A(-x)+11菠，當(dāng)且僅當(dāng)-x-,即x=-1時(shí)，等號(hào)成立(x)x1a y=x+ W2.x1綜上，可知函數(shù)y=x+的值域?yàn)?-壬-2 : U :2,+旳.x綠色通道：利用基本不等式求積的最大值，關(guān)鍵是構(gòu)造

3、和為定值，為使基本不等式成立創(chuàng)造條件, 同時(shí)要注意等號(hào)成立的條件是否具備.1變式訓(xùn)練1當(dāng)x> -1時(shí)，求f(x)=x+的最小值.x 11思路分析：x >-1x+1 > 0,變x=x+1-1時(shí)x+1與的積為常數(shù).x 1解：/ x> -1, a x+1 > 0./ f(x)=x+丄=X+1 +丄-1 多(x 1)?1-仁1.X 1 X 1(x 1)1當(dāng)且僅當(dāng)x+仁丄,即x=0時(shí)，取得等號(hào)x 1f(x) min=1.變式訓(xùn)練2求函數(shù)y=4 小 2x 3xx213的最小值.8歡迎下載思路分析：從函數(shù)解析式的結(jié)構(gòu)來看，它與基本不等式結(jié)構(gòu)相差太大，而且利用前面求最值的方 法不

4、易求解，事實(shí)上，我們可以把分母視作一個(gè)整體，用它來表示分子，原式即可展開 解：令 t=x 2+1,則 t 羽 且 x2=t-1.4x.y=2xx2 = (t 1)213(t1)3tt2 t 1t1.1 / 1 1 t羽，.t+ -絲，t? =2,當(dāng)且僅當(dāng)t=-,即t=1時(shí)，等號(hào)成立.t tt當(dāng)x=0時(shí)，函數(shù)取得最小值3.19例2已知x> 0,y > 0,且一+=1，求x+y的最小值.x y思路分析：要求x+y的最小值，根據(jù)極值定理，應(yīng)構(gòu)建某個(gè)積為定值，這需要對(duì)條件進(jìn)行必要的 變形，下面給出三種解法，請(qǐng)仔細(xì)體會(huì).解法一：利用1的代換”1+9=1, x+y=(x+y) ( 1+ 9 )

5、=10+ y 空y x y/ x>0,y >0, x9xy汛？弐=6.x y當(dāng)且僅當(dāng)乂 9x，即y=3x時(shí)，取等號(hào)x y又丄+ 9 =1, x=4,y=12.當(dāng)x=4,y=12時(shí)，x+y取得最小值16.解法二：由 1+ 9 =1，得 x=y.x yy 9/ x>0,y >0, y >9.yy 999小 9“x+y= +y=y+=y+1=(y-9)+10.y 9y 9 y 9y 9 y> 9, y-9 > 0. y 9 y99 "c c 99) ?=6.y 9當(dāng)且僅當(dāng)y-9=9，即y=12時(shí)，取得等號(hào)，此時(shí)y 9x=4. 當(dāng) x=4,y=12

6、時(shí)，x+y 取得最小值 16.19解法三：由一+=1,得y+9x=xy,x y (x-1)(y-9)=9. x+y=10+(x-1)+(y-9) 羽0+2 .(X 1)(y 9)=16,19當(dāng)且僅當(dāng)x-1=y-9時(shí)取得等號(hào)又1 + 9=1,x y x=4,y=12.當(dāng)x=4,y=12時(shí)，x+y取得最小值16.綠色通道：本題給出了三種解法，都用到了基本不等式，且都對(duì)式子進(jìn)行了變形，配湊出基本不等式滿足的條件，這是經(jīng)常需要使用的方法，要學(xué)會(huì)觀察，學(xué)會(huì)變形，另外解法二，通過消元，化二元問題為一元問題，要注意根據(jù)被代換的變量的范圍對(duì)另外一個(gè)變量的范圍的影響黑色陷阱：本題容易犯這樣的錯(cuò)誤：1+9 2!，

7、即 2 w, jxy 為.x y , xyxy x+y汽、xy支0=12. x+y的最小值是 12.19產(chǎn)生不同結(jié)果的原因是不等式等號(hào)成立的條件是 丄=9，不等式 等號(hào)成立的條件是x=y.在同x y一個(gè)題目中連續(xù)運(yùn)用了兩次基本不等式，但是兩個(gè)基本不等式等號(hào)成立的條件不同，會(huì)導(dǎo)致錯(cuò)誤結(jié)論.a b變式訓(xùn)練 已知正數(shù)a,b,x,y 滿足a+b=10,=1, x+y的最小值為18,求a,b的值.x y思路分析：本題屬于1 ”的代換問題.a b bxav_ bx ay解：x+y=(x+y)()=a+b=10+.x y y xy x/ x,y > 0,a,b > 0, x+y 羽0+2 . a

8、b =18,即卩.ab =4.又 a+b=10,a2,a8,5J，p.5f或b8b2.4例 3 求 f(x)=3+lgx+的最小值(0v xv 1).lg x思路分析：T 0v x v 1, Igx v 0, v 0不滿足各項(xiàng)必須是正數(shù)這一條件，不能直接應(yīng)用基本不等式，正確的處理方法 lg x是加上負(fù)號(hào)變正數(shù).44解：/ 0v xv 1, Igx v 0, v 0. -> 0.lg xlg x (-lgx)+(-)多(lg x)(4 ) =4.lg x Igx lgx+ f(x)=3+lgx+lg x4lg x<3-4=-1.當(dāng)且僅當(dāng)lgx= ,即乂=丄時(shí)取得等號(hào)lg x 1004

9、則有f(x)=3+lgx+(0 v xv 1)的最小值為-1.lg x黑色陷阱：本題容易忽略0vxv 1這一個(gè)條件.51變式訓(xùn)練1已知xv ，求函數(shù)y=4x-2+的最大值.44x 55思路分析：求和的最值，應(yīng)湊積為定值 .要注意條件x V ,則4x-5 V 0.45 解：/ XV , a 4x-5 V 0.4y=4x_5+3=-(5-4x)+4x 515 4x4x)14x+3=-2+3=1.1當(dāng)且僅當(dāng)5-4x=,即x=1時(shí)等號(hào)成立.5 4x所以當(dāng)x=1時(shí)，函數(shù)的最大值是3變式訓(xùn)練2當(dāng)xV 3時(shí)，求函數(shù)21.y=x+ 2x8 -的最大值.3思路分析：本題是求兩個(gè)式子和的最大值須使用一些技巧對(duì)原式

10、變形.可以變?yōu)?但是x并不是定值,也不能保證是正值，所以，必2x 381y=2(2x-3 ) +2x 3(3 2x2) +3,再3 2x 2求最值.1解：y= (2x-3 )23當(dāng) x V 3 時(shí)，2+ 丄+ 3=-( L2x 3223-2x > 0,2x3 2x3 2x>22x3 2x?8=4,23 2x當(dāng)且僅當(dāng)3 2x，即3 2xx=-1丄時(shí)取等號(hào)22例4如圖3-4-1 圍成.55，故函數(shù)有最大值2 2,動(dòng)物園要圍成相同的長(zhǎng)方形虎籠四間,一面可利用原有的墻， 其他各面用鋼筋網(wǎng)(1)現(xiàn)有可圍36 m長(zhǎng)網(wǎng)的材料，每間虎籠的長(zhǎng)、寬各設(shè)計(jì)為多少時(shí)，可使每間虎籠面積最大？(2) 若使每間

11、虎籠面積為 24 m2，則每間虎籠的長(zhǎng)、寬各設(shè)計(jì)為多少時(shí)，可使圍成四間虎籠的鋼 筋總長(zhǎng)度最??？ 思路分析：設(shè)每間虎籠長(zhǎng)為 x m,寬為y 口，則(1)是在4x+6y=36的前提下求xy的最大值；而 則是在xy=24的前提下來求4x+6y的最小值.解：(1 )設(shè)每間虎籠長(zhǎng)為 x m，寬為y m,則由條件，知4x+6y=36，即2x+3y=18. 設(shè)每間虎籠的面積為 S,則S=xy.方法一：由于 2x+3y 絲 2x 3y =2.6xy,2727 2 6xy 噸得 xy 訪，即 SWy當(dāng)且僅當(dāng)2x=3y時(shí)等號(hào)成立2x2x2y,3y 18,解得4.5,3.故每間虎籠長(zhǎng)為4.5 m，寬為3 m時(shí)，可使

12、面積最大.3方法二:由 2x+3y=18，得 x=9- y.2/ x> 0, 0v y v 6.3 3S=xy=(9-y)y= (6-y)y.22/ 0v y v 6, 6-y > 0. sw3 (6 y) y: 2=27.2 2 2當(dāng)且僅當(dāng)6-y=y,即y=3時(shí)，等號(hào)成立，此時(shí)x=4.5.故每間虎籠長(zhǎng)4.5 m,寬3 m時(shí)，可使面積最大 由條件知S=xy=24.設(shè)鋼筋網(wǎng)總長(zhǎng)為I,則l=4x+6y.方法一 ：/ 2x+3y2 2x ?3y =2 . 6xy=24, l=4x+6y=2(2x+3y) 羽8,當(dāng)且僅當(dāng)2x=3y時(shí)，等號(hào)成立.丄 2x 3y, 一口 x 6,由y解得xy

13、24, y 4.故每間虎籠長(zhǎng)6 m,寬4 m時(shí)，可使鋼筋網(wǎng)總長(zhǎng)最小.方法二：由xy=24 , l=4x+6y= 96+6y=6( 16+y)為& Z16 y =48,當(dāng)且僅當(dāng) 16 =y，即 y=4 時(shí)，等號(hào)成立，此時(shí) x=6. y y . yy故每間虎籠長(zhǎng)6 m,寬4 m時(shí)，可使鋼筋總長(zhǎng)最小.綠色通道：在使用基本不等式求函數(shù)的最大值或最小值時(shí)，要注意：(1) x,y都是正數(shù)；(2) 積xy (或x+y)為定值；(3) x與y必須能夠相等，特別情況下，還要根據(jù)條件構(gòu)造滿足上述三個(gè)條件的結(jié)論變式訓(xùn)練某工廠擬建一座平面圖為矩形且面積為200平方米的三級(jí)污水處理池 (平面圖如圖3-4-2所示

14、),由于地形限制，長(zhǎng)、寬都不能超過 16米，如果池外周壁建造單價(jià)為每米 400元，中間兩道隔 墻建造單價(jià)為每米 248元,池底建造單價(jià)為每平方米 80元,池壁的厚度忽略不計(jì)，試設(shè)計(jì)污水處理 池的長(zhǎng)和寬，使總造價(jià)最低,并求出最低造價(jià)思路分析：在利用均值不等式求最值時(shí)，必須考慮等號(hào)成立的條件，若等號(hào)不能成立，通常要用函數(shù) 的單調(diào)性進(jìn)行求解.解：設(shè)污水處理池的長(zhǎng)為x米,則寬為200米(0 v x<16,0 v 200 06), 12.5 0W6.xx于是總造價(jià) Q(x)=400(2x+2 X200 )+248 X2X-200 +80X200.xx324324=800(x+)+16 000 為0

15、0X2 x?+16 000=44 800,xl x324當(dāng)且僅當(dāng) x= (x > 0),即 x=18 時(shí)等號(hào)成立，而 18: 12.5,16 : , Q(x) > 44 800.x下面研究Q(x)在12.5,16 上的單調(diào)性.2對(duì)任意 12.5 <<1 v X2<16,貝U X2-x 1>0,x 1X2v 16 v 324.1 1Q(X2)-Q(x 1)=800 : (X2-X1)+324():X2X1(x2 x1 )(x1x2324)小=800 X 112v 0,X1X2 Q(X2)> Q(X1). Q(x) 在: 12.5,16 上是減函數(shù). Q(x)如(16)=45 000.答：當(dāng)污水處理池的長(zhǎng)為16米，寬為12.5米時(shí)，總造價(jià)最低,最低造價(jià)為45 000元.問題探究問題某人要買房，隨著樓層的升高，上下樓耗費(fèi)的精力增多，因此不滿意度升高.當(dāng)住第n層樓 時(shí),上下樓造成的