彈簧類問題的幾種模型及其處理方法

1、v1.0可編輯可修改彈簧類問題的幾種模型及其處理方法學(xué)生對彈簧類問題感到頭疼的主要原因有以下幾個方面：首先，由于彈簧不斷發(fā)生形變，導(dǎo)致物體的 受力隨之不斷變化，加速度不斷變化，從而使物體的運動狀態(tài)和運動過程較復(fù)雜。其次，這些復(fù)雜的運動 過程中間所包含的隱含條件很難挖掘。還有，學(xué)生們很難找到這些復(fù)雜的物理過程所對應(yīng)的物理模型以及 處理方法。根據(jù)近幾年高考的命題特點和知識的考查，筆者就彈簧類問題分為以下幾種類型進(jìn)行分析，供一、彈簧類命題突破要點1 彈簧的彈力是一種由形變而決定大小和方向的力。當(dāng)題目中岀現(xiàn)彈簧時，首先要注意彈力的大小 與方向時刻要與當(dāng)時的形變相對應(yīng)，在題目中一般應(yīng)從彈簧的形變分析入手

2、，先確定彈簧原長位置、現(xiàn)長 位置、平衡位置等，找岀形變量 x與物體空間位置變化的幾何關(guān)系，分析形變所對應(yīng)的彈力大小、方向， 結(jié)合物體受其他力的情況來分析物體運動狀態(tài)。2因軟質(zhì)彈簧的形變發(fā)生改變過程需要一段時間，在瞬間內(nèi)形變量可以認(rèn)為不變，因此，在分析瞬 時變化時，可以認(rèn)為彈力大小不變，即彈簧的彈力不突變。3在求彈簧的彈力做功時，因該變力為線性變化，可以先求平均力，再用功的定義進(jìn)行計算，也可據(jù)動能 定理和功能關(guān)系：能量轉(zhuǎn)化和守恒定律求解。同時要注意彈力做功的特點：彈力做功等于彈性勢能增量的負(fù)值。彈性勢能的公式-，高考不作定量要求，可作定性討論，因此在求彈力的功或彈性勢能的改變時，一般以能量的轉(zhuǎn)化

3、與守恒的角度來求解。、彈簧類問題的幾種模型1 平衡類問題例1.如圖1所示，勁度系數(shù)為ki的輕質(zhì)彈簧兩端分別與質(zhì)量為 m、m的物塊拴接，勁度系數(shù)為 k2的 輕質(zhì)彈簧上端與物塊 m拴接，下端壓在桌面上（不拴接），整個系統(tǒng)處于平衡狀態(tài)?，F(xiàn)施力將m緩慢豎直上提，直到下面那個彈簧的下端剛脫離桌面。在此過程中，m的重力勢能增加了 ，m的重力勢能增加了。分析：上提m之前，兩物塊處于靜止的平衡狀態(tài)，所以有：二：冷7 , 十丿一 -， 其中，“：、D分別是彈簧ki、k2的壓縮量。當(dāng)用力緩慢上提 m,使k2下端剛脫離桌面時，宀二i，彈簧k2最終恢復(fù)原長，其中，-為 此時彈簧ki的伸長量%屋1 - 嚴(yán)f答案：m上升

4、的高度為?:，增加的重力勢能為I , m上升的高度為-1.,潛兇+花用)/崗沖空+沖馬增加的重力勢能為一"-!點評：此題是共點力的平衡條件與胡克定律的綜合題，題中空間距離的變化，要通過彈簧形變量的計 算求岀。注意緩慢上提，說明整個系統(tǒng)處于動態(tài)平衡過程。例2.如上圖2所示，A物體重2N, B物體重4N,中間用彈簧連接，彈力大小為 2N,此時吊A物體的 繩的拉力為T，B對地的壓力為F，則T、F的數(shù)值可能是A. 7N, 0B . 4N, 2NC . 1N, 6ND . 0，6N分析：對于輕質(zhì)彈簧來說，既可處于拉伸狀態(tài)，也可處于壓縮狀態(tài)。所以，此問題要分兩種情況進(jìn)行 分析。(1)若彈簧處于壓

5、縮狀態(tài)，則通過對A、B受力分析可得：了一，F(xiàn) 一二(2) 若彈簧處于拉伸狀態(tài)，則通過對A、B受力分析可得：?。憾?5 =19答案：B、Do點評：此題主要針對彈簧既可以壓縮又可以拉伸的這一特點，考查學(xué)生對問題進(jìn)行全面分析的能力。 有時，表面上兩種情況都有可能，但必須經(jīng)過判斷，若某一種情況物體受力情況和物體所處狀態(tài)不符，必 須排除。所以，對這類問題必須經(jīng)過受力分析結(jié)合物體運動狀態(tài)之后作出判斷。平衡類問題總結(jié)：這類問題一般把受力分析、胡克定律、彈簧形變的特點綜合起來，考查學(xué)生對彈簧 模型基本知識的掌握情況。只要學(xué)生靜力學(xué)基礎(chǔ)知識扎實，學(xué)習(xí)習(xí)慣較好，這類問題一般都會迎刃而解， 此類問題相對較簡單。2

6、突變類問題例3.（ 2001年上海）如圖3所示，一質(zhì)量為 m的小球系于長度分別為 丨1、丨2的兩根細(xì)線上，丨1的一 端懸掛在天花板上，與豎直方向夾角為0，丨2水平拉直，小球處于平衡狀態(tài)。現(xiàn)將丨2線剪斷，求剪斷瞬時小球的加速度。若將圖 3中的細(xì)線1 i改為長度相同、質(zhì)量不計的輕彈簧，如圖4所示，其他條件不變，求剪斷細(xì)線1 2瞬時小球的加速度。丁夕Z1/1Z1/I«<:/纟.-ffi 5ffl3分析：（1）當(dāng)剪斷細(xì)線l 2瞬間，不僅l 2對小球拉力瞬間消失，l 1的拉力也同時消失，此時，小球只受重力作用，所以此時小球的加速度為重力加速度g。（2）當(dāng)把細(xì)線l 1改為長度相同、質(zhì)量不計

7、的輕彈簧時，在當(dāng)剪斷細(xì)線丨2瞬間，只有丨2對小球拉力瞬間消失，彈簧對小球的彈力和剪斷 |2之前沒變化，因為彈簧恢復(fù)形變需要一個過程。如圖5所示，剪斷|2瞬間，小球受重力 G和彈簧彈力，所以有：H人，方向水平向右。點評：此題屬于細(xì)線和彈簧彈力變化特點的靜力學(xué)問題， 學(xué)生不僅要對細(xì)線和彈簧彈力變化特點熟悉, 還要對受力分析、力的平衡等相關(guān)知識熟練應(yīng)用，此類問題才能得以解決。突變類問題總結(jié)：不可伸長的細(xì)線的彈力變化時間可以忽略不計，因此可以稱為“突變彈力”，輕質(zhì) 彈簧的彈力變化需要一定時間，彈力逐漸減小，稱為“漸變彈力”。所以，對于細(xì)線、彈簧類問題，當(dāng)外 界情況發(fā)生變化時（如撤力、變力、剪斷），要重

8、新對物體的受力和運動情況進(jìn)行分析，細(xì)線上的彈力可 以突變，輕彈簧彈力不能突變，這是處理此類問題的關(guān)鍵。3碰撞型彈簧問題此類彈簧問題屬于彈簧類問題中相對比較簡單的一類，而其主要特點是與碰撞問題類似，但是，它與碰撞 類問題的一個明顯差別就是它的作用過程相對較長，而碰撞類問題的作用時間極短。例4.如圖6所示，物體B靜止在光滑的水平面上，B的左邊固定有輕質(zhì)的彈簧，與 B質(zhì)量相等的物體A以速度v向B運動并與彈簧發(fā)生碰撞， A B始終沿統(tǒng)一直線，則 A,B組成的系統(tǒng)動能損失最大的時刻A. A開始運動時B . A的速度等于v時C. B的速度等于零時D . A和B的速度相等時分析：解決這樣的問題，最好的方法就

9、是能夠?qū)蓚€物體作用的過程細(xì)化，明確兩個物體在相互作用 的過程中，其詳細(xì)的運動特點。具體分析如下:（1）彈簧的壓縮過程：A物體向B運動，使得彈簧處于壓縮狀態(tài)，壓縮的彈簧分別對A、B物體產(chǎn)生如右中圖的作用力，使 A向右減速運動，使 B向右加速運動。由于在開始的時候，A的速度比B的大，故兩者之間的距離在減小，彈簧不斷壓縮，彈簧產(chǎn)生的彈力越來越大，直到某個瞬間兩個物體的速度相等，彈簧壓縮到最短。（2）彈簧壓縮形變恢復(fù)過程： 過了兩物體速度相等這個瞬間，由于彈簧仍然處于壓縮狀態(tài)，A繼續(xù)減速，B繼續(xù)加速，這就會使得 B的速度變的比A的速度大，于是 A、B物體之間的距離開始變大，彈簧逐 漸恢復(fù)形變直至原長

10、。（3）彈簧的拉伸過程：由于B的速度比A的速度大，彈簧由原長變?yōu)槔鞝顟B(tài)。此時，彈簧對兩物 體的彈力方向向內(nèi)，使 A向右加速運動，B向右減速運動，直到 A B速度相等時彈簧拉伸到最長狀態(tài)。（4）彈簧拉伸形變恢復(fù)過程： 過了兩物體速度相等這個瞬間，由于彈簧仍然處于拉伸狀態(tài)，A繼續(xù)加速，B繼續(xù)減速，這就會使得 A的速度變的比B的速度大，于是 A、B物體之間的距離開始變小，彈簧逐漸 恢復(fù)形變直至原長。就這樣，彈簧不斷地壓縮、拉伸、恢復(fù)形變。當(dāng)外界用力壓彈簧時，彈簧會被壓縮，從而獲得彈性勢能， 當(dāng)彈簧開始恢復(fù)形變之后，它又會將所蓄積的彈性勢能釋放岀去，這個蓄積和釋放的過程，彈簧自身并不 會耗費能量。能

11、量在兩個物體和彈簧之間進(jìn)行傳遞。點評：在由兩個物體和彈簧組成的系統(tǒng)的運動中，具有下面的特點：（1）兩個物體速度相等時，彈簧處于形變量（壓縮或拉伸）最大的狀態(tài)，彈簧的彈性勢能達(dá)到最大。（2）兩個物體不停地進(jìn)行著加速和減速運動，但加速度時刻在變化，所以有關(guān)兩個物體運動的問題 不能采用運動學(xué)公式來解決。但此模型屬于彈性碰撞模型，所以滿足包括彈簧在內(nèi)的系統(tǒng)動量守恒和系統(tǒng) 機(jī)械能守恒。4:機(jī)械能守恒型彈簧問題對于彈性勢能，高中階段并不需要定量計算，但是需要定性的了解，即知道彈性勢能的大小與彈簧的形變 之間存在直接的關(guān)系，對于相同的彈簧，形變量一樣的時候，彈性勢能就是一樣的，不管是壓縮狀態(tài)還是 拉伸狀態(tài)。

12、例5. 勁度系數(shù)k=800N/m的輕質(zhì)彈簧兩端分別連接著質(zhì)量均為 m=12kg的物體A B,它們豎直靜止 在水平面上，如圖7所示。現(xiàn)將一豎直向上的變力 F作用在A上，使A開始向上做勻加速運動，經(jīng)物體 B 剛要離開地面。求：此過程中所加外力 F的最大值和最小值。此過程中力F所做的功。（設(shè)整個過程彈簧都在彈性限度內(nèi)，取g=10m/s2）分析：此題考查學(xué)生對 A物體上升過程中詳細(xì)運動過程的理解。在力F剛剛作用在A上時，A物體受到重力mg,彈簧向上的彈力 T,豎直向上的拉力 F。隨著彈簧壓縮量逐漸減小，彈簧對A的向上的彈力逐漸減小，則F必須變大，以滿足F+T-mg=ma當(dāng)彈簧恢復(fù)原長時，彈簧彈力消失，

13、只有F-mg=ma隨著A物體繼續(xù)向上運動，彈簧開始處于拉伸狀態(tài)，則物體A的受到重力mg,彈簧向下的彈力 T,豎直向上的拉力F，滿足F-T-mg=ma隨著彈簧彈力的增大，拉力F也逐漸增大，以保持加速度不變。等到彈簧拉伸到足夠長，使得B物體恰好離開地面時，彈簧彈力大小等于B物體的重力。答案：（1）開始時，對于A物體：飛 二，得彈簧壓縮量是厶x=B剛要離開地面時，對于B物體仍有：宀二 丄'，得彈簧伸長量厶x=因此A向上運動的位移是，由公式：- 求得：加速度是s2所以：開始時刻F=ma=45N為拉力最小值；B剛要離開地面時 F'-mg-k x=ma得F'=285N為拉力最大值。

14、(2)拉力做的功等于系統(tǒng)增加的機(jī)械能，始末狀態(tài)彈性勢能相同。所以由丫 =此 和1 .WF 押？p + 爾呂 x 2A2，可得此過程中拉力做的功等于。點評：此類題的關(guān)鍵是要分析岀最大值和最小值時刻的特點，必須通過受力分析得岀物體運動的詳細(xì) 過程特征，只要把物體做每一種運動形式的力學(xué)原因搞清楚了，這類問題就會迎刃而解。所以，學(xué)生在平 時的訓(xùn)練中，必須養(yǎng)成良好的思維習(xí)慣，對于較復(fù)雜的物理過程，必須先分段研究，化一個復(fù)雜問題為若 干個簡單模型，針對若干個簡單的物理情景，逐一分析出現(xiàn)這一物理情景的力學(xué)原因，當(dāng)把每一個物理情 景都分析清楚了，整個問題的答案就會水到渠成。例6.如圖8所示，物體B和物體C用勁

15、度系數(shù)為k的彈簧連接并豎直地靜置在水平面上。將一個物體A從物體B的正上方距離B的高度為Ho處由靜止釋放，下落后與物體 B碰撞，碰撞后A和B粘合在一起 并立刻向下運動，在以后的運動中 A、B不再分離。已知物體 A B、C的質(zhì)量均為M,重力加速度為g,忽 略物體自身的高度及空氣阻力。求：(1) A與B碰撞后瞬間的速度大小(2) A和B 一起運動達(dá)到最大速度時，物體C對水平地面壓力為多大(3)開始時，物體 A從距B多大的高度自由落下時，在以后的運動中才能使物體C恰好離開地面分析：過程分析法:第一階段：A自由落體;第二階段：A B發(fā)生碰撞，作用時間極短，時間忽略;第三階段：AB成為一體的瞬間，彈簧形變

16、來不及發(fā)生改變，彈簧的彈力仍為mg小于AB整體重力2mg 所以物體AB所受合力仍然為向下，物體仍然向下加速，做加速度減小的加速運動。當(dāng)彈簧的彈力增大到正 好為2mg時，物體AB合力為0,物體繼續(xù)向下運動。第四階段：彈簧繼續(xù)被壓縮，壓縮量繼續(xù)增加，產(chǎn)生的彈力繼續(xù)增加，大于2mg,使得物體AB所受合力變?yōu)橄蛏希矬w開始向下減速，直至彈簧壓縮到最短，AB物體停止運動。所以，當(dāng)物體 AB所受合力為0時就是該物體速度最大的時候。1 2答案：（1）A自由下落由機(jī)械能守恒得：-，求得A與B碰撞，由于碰撞時間極短，由 A、B組成的系統(tǒng)動量守恒得：二一一 ' =一；_ -所以求得A與B碰撞后瞬間的速度大

17、?。?） 由前面分析知，A和B 一起運動達(dá)到最大速度的時刻，即為物體AB受合力為0的時刻：對C受力分析知地面對C的支持力'一。所以物體C對水平地面壓力也為 3mg。（3） 設(shè)物體A從距離B為H的高度自由落下時，在以后的運動中才能使物體 C恰好離開地面。要使C恰好離開地面，意味著當(dāng) A上升到最高點時彈簧的彈力為mg彈簧的伸長量為 ；，A、B相碰結(jié)束時刻彈簧的壓縮量也為 ：。所以，由A B物體以及彈簧組成的系統(tǒng)，從 A B相碰結(jié)束開始到 A B上升到 最高點的過程中，系統(tǒng)機(jī)械能守恒，初狀態(tài)A、B的動能全部轉(zhuǎn)化為末狀態(tài) A B的重力勢能，彈性勢能沒有變化。所以有：，求得:點評：高中階段的機(jī)械

18、能守恒等式分為："守恒式"、“轉(zhuǎn)移式"和“轉(zhuǎn)化式"三種，對于任何研究對象，無論是單個物體還是系統(tǒng)，都可以采用“守恒式”列等式，選好零勢能面，確定初、末狀態(tài)的機(jī)械能，此方法思路簡單，但等式復(fù)雜，運算量較大?！稗D(zhuǎn)移式"只能針對一個系統(tǒng)，如兩個物體A B組成的系統(tǒng)，若A物體機(jī)械能減小，B物體的機(jī)械能一定增加，且變化量相等，A減小的機(jī)械能轉(zhuǎn)移到B上導(dǎo)致B物體機(jī)械能增加?！稗D(zhuǎn)化式"體現(xiàn)了機(jī)械能守恒中機(jī)械能從一種形式轉(zhuǎn)化成另外一種形式，在轉(zhuǎn)化過程中總的機(jī)械能不變。即：二 -''：，若物體或系統(tǒng)動能增加了，勢能必然減小, 且增加的動

19、能等于減小的勢能。此類模型是涉及彈簧在內(nèi)的系統(tǒng)機(jī)械能守恒，在這類模型中，一般涉及動能、重力勢能和彈性勢能, 列等式一般采用“轉(zhuǎn)移式”或“轉(zhuǎn)化式”。5簡諧運動型彈簧問題彈簧振子是簡諧運動的經(jīng)典模型，有一些彈簧問題，如果從簡諧運動的角度思考，利用簡諧運動的周 期性和對稱性來處理，問題的難度將大大下降。例7如圖9所示，一根輕彈簧豎直直立在水平面上，下端固定。在彈簧正上方有一個物塊從高處自由下落到彈簧上端 0,將彈簧壓縮。當(dāng)彈簧被壓縮了 X。時，物塊的速度減小到零。從物塊和彈簧接觸開始到物塊速度減小到零過程中，物塊的加速度大小a隨下降位移大小x變化的圖像，可能是下圖中的分析：我們知道物體所受的力為彈力

20、和重力的合力，而彈力與形變量成正比，所以加速度與位移之間 也應(yīng)該是線性關(guān)系，加速度與位移關(guān)系的圖像為直線。物體在最低點的加速度與重力加速度之間的大小關(guān) 系應(yīng)該是本題的難點，借助簡諧運動的加速度對稱性來處理最方便。若物塊正好是原長處下落的，根據(jù)簡 諧運動對稱性，可知最低點時所受的合力也是mg方向向上，所以彈力為 2mg,加速度為g。現(xiàn)在，初始位置比原長處要高，這樣最低點的位置比上述情況要低，彈簧壓縮量也要大，產(chǎn)生的彈力必定大于2mg加速度必定大于g。例8如圖10所示，一質(zhì)量為m的小球從彈簧的正上方 H高處自由下落，接觸彈簧后將彈簧壓縮， 在 壓縮的全過程中（忽略空氣阻力且在彈性限度內(nèi)），以下說法

21、正確的是圖10A.小球所受彈力的最大值一定大于2mgB. 小球的加速度的最大值一定大于2gC. 小球剛接觸彈簧上端時動能最大D. 小球的加速度為零時重力勢能與彈性勢能之和最大解析：本題是一個典型的簡諧運動模型問題?？蓞⒖祭?分析即可。6綜合類彈簧問題例9.質(zhì)量均為m的兩個矩形木塊 A和B用輕彈簧相連接，彈簧的勁度系數(shù)為 k,將它們豎直疊放在水 平地面上，如圖13所示，另一質(zhì)量也是 m的物體C,從距離A為H的高度自由下落，C與A相碰，相碰時 間極短，碰后A、C不粘連，當(dāng)A C一起回到最高點時，地面對 B的支持力恰好等于 B的重力。若C從距 離A為2H高處自由落下，在 A C一起上升到某一位置，C與A分離，C繼續(xù)上升，求：(1) C沒有與A相碰之前，彈簧的彈性勢能是多少(2) C上升到最高點與 A C分離時的位置之間距離是多少E 11解：過程分析法啊= tKgH(1)C由靜止下落H高度。即與A相撞前的速度為二，則：-(2) C與A相撞，由動量守恒定律可得:-.-.得岀:(3) A、C一起壓縮彈簧至 A、C上升到最高點，由機(jī)械能守恒定律得:x2刪xv? + Ep - 2觀g x2 2 F 5得岀：(4) C由靜止下落2H高度時的速度為，則:(5) C與A相撞：得出:(6