數(shù)學(xué)分析試題與答案

1、2014 -2015學(xué)年度第二學(xué)期數(shù)學(xué)分析2» A試卷學(xué)院 班級(jí) 學(xué)號(hào)（后兩位） 姓名 題號(hào)一一二四五六七八總分核分人得分.判斷題（每小題3分，共21分）（正確者后面括號(hào)內(nèi)打?qū)?，否則打叉）1 . 若f（x）在a,b】連續(xù)，則f （x ）在Q,b上的不定積分Jf（xHx可表為xI f (t dt +C ().2 .若 f (x), g(x)為連續(xù)函數(shù)，則1f a g(x dx = k f (x dx1g(x dx().f（xdx絕對(duì)收斂，f-g（xdx條件收斂，則 廣0 f（x）-g（xdx必aa然條件收斂（）.4 .若廣f（xdx收斂，則必有級(jí)數(shù)H f （n ）收斂（） n 15

2、.若"n與gn）均在區(qū)間I上內(nèi)閉一致收斂，則"n+gn也在區(qū)間I 上內(nèi)閉一致收斂（）.qQ6 .若數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)£ an條件收斂，則一定可以經(jīng)過(guò)適當(dāng)?shù)闹嘏攀蛊浒l(fā)散 n 1于正無(wú)窮大（）.7 .任何幕級(jí)數(shù)在其收斂區(qū)間上存在任意階導(dǎo)數(shù)，并且逐項(xiàng)求導(dǎo)后得到 的新幕級(jí)數(shù)收斂半徑與收斂域與原幕級(jí)數(shù)相同（）.二.單項(xiàng)選擇題（每小題3分，共15分）1 .若f（x）在a,b】上可積，則下限函數(shù)1）僅舊乂在,口上（） xA.不連續(xù) B. 連續(xù) C. 可微 D.不能確定2 .若g（x ）在a,b】上可積，而f （x）在b,b】上僅有有限個(gè)點(diǎn)處與g（x ）不相等，則()A. f (xa,b上

3、一定不可積；B. f (xa,b上一定可積，但是 f f (x dx ¥ 1 g(x)dx ；a'abbC. f (x 評(píng)E a,b】上一定可積，并且f (x dx = / g(x dx ;D. f(x)在b,b】上的可積性不能確定.3 .級(jí)數(shù) 11+(-2'% n nA.發(fā)散B.絕對(duì)收斂C.條件收斂D.不確定4 .設(shè)£ Un為任一項(xiàng)級(jí)數(shù)，則下列說(shuō)法正確的是()A. 若lim 4 =0 ,則級(jí)數(shù)工un 一定收斂； n_.B. 若lim U弛=P<1,則級(jí)數(shù)工4 一定收斂； n unC. 若：3N,當(dāng)n >N時(shí)有,|手卜1,則級(jí)數(shù)Z Un一定收斂;

4、D. 若：3N,當(dāng)n >N時(shí)有,|詈，1,則級(jí)數(shù)Z 4一定發(fā)散;5 .關(guān)于幕級(jí)數(shù)Z anxn的說(shuō)法正確的是()A. Z anxn在收斂區(qū)間上各點(diǎn)是絕對(duì)收斂的；B. £ anxn在收斂域上各點(diǎn)是絕對(duì)收斂的；C. Z anxn的和函數(shù)在收斂域上各點(diǎn)存在各階導(dǎo)數(shù);D. £ anxn在收斂域上是絕對(duì)并且一致收斂的；.計(jì)算與求值(每小題5分，共10分)1.2.四.1.1 lim n n 1 n 2 n nn- 'n *dx cos x判斷斂散性（每小題5分，共15分）二 3 x -1 . dx0 1 、x x22.二 n! 上一 n3.:-1n 2nnm n12nn 3

5、 n五.判別在數(shù)集D上的一致收斂性（每小題5分，共10分）j . sinnx1. fn x,n -1,2 , D -二，二n22. ' n D -二，-2 L 2, " i x六.已知一圓柱體的的半徑為 R,經(jīng)過(guò)圓柱下底圓直徑線并保持與底圓面300角向斜上方切割，求從圓柱體上切下的這塊立體的體積。（本題滿10分）七.將一等腰三角形鐵板倒立豎直置于水中（即底邊在上），且上底邊距水表 面距離為10米，已知三角形底邊長(zhǎng)為20米，高為10米，求該三角形鐵板所受 的靜壓力。（本題滿分10分）八.證明：函數(shù)f（x）=£ 竿/在（g,+電）上連續(xù)，且有連續(xù)的導(dǎo)函數(shù). n（本題滿分

6、9分）2014 -2015學(xué)年度第二學(xué)期數(shù)學(xué)分析2B卷答案學(xué)院班級(jí)學(xué)號(hào)（后兩位） 姓名題號(hào)一一二四五六七八總分核分人得分、判斷題（每小題3分，共21分，正確者括號(hào)內(nèi)打?qū)?，否則打叉）1.? 2.? 3.? 4. ? 5. ? 6. ? 7. ?.單項(xiàng)選擇題（每小題3分，共15分）1. B ; 2.C ; 3.A ; 4.D; 5.B.求值與計(jì)算題（每小題5分，共10分）1. limnj二32x sindx2x x e解：由于0 Mx3 sin2 x edx <2x戶xn 0dxlim 3 xndx = limn ）： ： 0n "n 1 34故由數(shù)列極限的迫斂性得:ndx =

7、0x3. 22x求£_f(xdx,：91 - xx sin x e2.設(shè) f (sin2 x )= x , sin x解：令x = sin2t得f (x dx= j sin t =f (sin2t d(sin2t)2 分d-x.1-sin2tsint t2sint costdtcost sin t2 tsintdt=-2t cost 2sint C=-2小-x arcsin JX + 2JX +C5 分四.判別斂散性（每小題5分，共10分）2.1.1 arctan x . dxx2解：1 arctan x arctan x 二2 - lim :1 _ x2x 1 _0 . 1 x 4

8、,2一 1且p = 1<1,二由柯西判別法知, 2瑕積分 farcanxdx收斂 50 -1-x200Z n =2ln nln n解： lim ln n 二二n ”二有 ln n e23n0 w N +, 當(dāng) n > n0 時(shí)2 ,11從而 當(dāng) n >n0-inn < -4ln n n由比較判別法Z 收斂5n/ lnn分五.判別在所示區(qū)間上的一致收斂性（每小題 5分，共15分）1.fn X =,n =1,2 , D = 0 ,二解：極限函數(shù)為 f(x)=lim fn(x)=x xw D2fn (x ) f (x)= Jx + -12 - Jx1< n3n j二二從

9、而，lim sup fn - f =0n_jpc 1故知該函數(shù)列在D上一致收斂.5分x2. v 2n sin =,D =-1,13n解：因當(dāng) x w D 時(shí)，un 僅！) = 2n sin V M 1 2 分3n13 !而正項(xiàng)級(jí)數(shù)工土！收斂，43分由優(yōu)級(jí)數(shù)判別法知，該函數(shù)列在 D上一致收斂.5 分解：易知，級(jí)數(shù)£ (-1?的部分和序列&一致有界，-2分一 ，1而 對(duì)X/xW D ,Vn (x )= 是單調(diào)的，又由于x n 11八Vx= D, Vn(x) = F<-* 0(nT 00 ), 4分x2 n n所以Ln(x)=：在D上一致收斂于0, x2 n從而由狄利克雷判別

10、法可知，該級(jí)數(shù)在D上一致收斂。-5分 六.設(shè)平面區(qū)域D是由圓x2+y2=2,拋物線y=x2及x軸所圍第一象限部分,求由D繞y軸旋轉(zhuǎn)一周而形成的旋轉(zhuǎn)體的體積（本題滿分10分）22-2解：解方程組J” y 2得圓x2+y2 =2與拋物線y = x2在第一象限、y = x的交點(diǎn)坐標(biāo)為：（1,1）,3分則所求旋轉(zhuǎn)體得體積為：121V 二二 0 2 - y dy - 二 0 ydy 分7=一二610分7 .現(xiàn)有一直徑與高均為10米的圓柱形鐵桶（厚度忽略不計(jì)），內(nèi)中盛滿水，求從中將水抽出需要做多少功？（本題滿分10分）解：以圓柱上頂面圓圓心為原點(diǎn)，豎直向下方向?yàn)?x軸正向建立直角坐標(biāo)系 則分析可知做功微元

11、為：2dW -5 、xdx =25/ xdx10W=215二 ' 0 xdx105分故 所 求 為：8分=1250 二,=12250 n（千焦）分8 .設(shè)Un（x） （n=1,2思a,b上的單調(diào)函數(shù)，證明：若£ u0（a舊Z 4（b）都 絕對(duì)收斂，則Z un（x而a,b上絕對(duì)且一致收斂.（本題滿分9分）證明：un（x ） （n =1,2）是a,b上的單調(diào)函數(shù)，所以有Un(xU Un(a，+ |Un(b)又由£ Un (aZ Un(b郁絕對(duì)收斂，所 以 £ M(ab+Un(bb1收 斂7分由優(yōu)級(jí)數(shù)判別法知：E un(x府a(chǎn),b上絕對(duì)且一致收斂.2013 -2

12、014學(xué)年度第二學(xué)期數(shù)學(xué)分析2» A試卷學(xué)院 班級(jí) 學(xué)號(hào)（后兩位） 姓名 題號(hào)一一二四五六七總分核分人得分.判斷題（每小題2分，共16分）（正確者后面括號(hào)內(nèi)打?qū)矗駝t打叉）1 .若f（x）在a,b上可導(dǎo),則f（x）在a,b上可積.（）2 .若函數(shù)f（x）在a,b上有無(wú)窮多個(gè)間斷點(diǎn)，則f（x）在a,b上必不可積。（）3 .若f（x）dx與f g（x）dx均收斂，則f f （x）+g（x）dx一定條件收 aaa斂。（）4 .若*n（x1在區(qū)間I上內(nèi)閉一致收斂，則儲(chǔ)a，在區(qū)間I處處收斂（）5 .若£ an為正項(xiàng)級(jí)數(shù)（an A0）,且當(dāng)n An。時(shí)有：亙土之1 ，則級(jí)數(shù) nz1a

13、n工an必發(fā)散。（）n 16 . 若f（x）以2n為周期，且在【-五,冗】上可積，則的傅里葉系數(shù)為：1 2 二an = 1 f （x bosnxdx （）二0COCO7 .若 £ an = s，則工（an +any ）=2s + a1 （） n 1n 18 .幕級(jí)數(shù)在其收斂區(qū)間上一定內(nèi)閉一致收斂。（）二.單項(xiàng)選擇題（每小題3分，共18分）1 .下列廣義積分中，收斂的積分是（）1 1 dx-0 . x二 1dx1 、x-besinxdx- 0qQ2 .級(jí)數(shù)£n =1an收斂是L an部分和有界的n =1A必要條件B 充分條件充分必要條件關(guān)條件3 .正項(xiàng)級(jí)數(shù)Z Un收斂的充要條

14、件是A. lim un = 0n 1B.數(shù)列Ln單調(diào)有界C.部分和數(shù)列1有上界D.4 .設(shè) lim ： n1an 1止=a則幕級(jí)數(shù)工bnanX(bAl)的收斂半徑R二(1A. a B. abC.D.5.下列命題正確的是(QOA工an(x)在a,b絕對(duì)收斂必一致收斂 n 1 oOB Z an(x)在a,b一致收斂必絕對(duì)收斂 n =1qQC 若 lim |an(x)|=0,則 £ an(x)在a,b必絕對(duì)收斂 二n3D 9an(x)在a,b條件收斂必收斂 n 16.1. 幕級(jí)數(shù)工anxn的收斂域?yàn)?-1,1,則幕級(jí)數(shù)£ anxn在(-1,1】上A. 一致收斂B.絕對(duì)收斂 C.

15、連續(xù)D.可導(dǎo)3 .求值或計(jì)算（每題4分，共16分）1 . j xx（1 + ln x ）dx ；2 . 1dxsin xcosx 1.3 . Jjx +xedx .4 .設(shè)f（x）在0,1上連續(xù)，求“m（f依反dx4 .（16分）判別下列反常積分和級(jí)數(shù)的斂散性.1 .產(chǎn)改 1 3 2x4 -3x2 3c 11,2. dx0 1 x ln(1 x)3. Z lnJ；n =2n - 14n 1_n 一e n!5分,五、判別函數(shù)序列或函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)在所給范圍上的一致收斂性（每題 共10分）1. fn(x) = x2 n' , n =1,2, ;x (-二，二)；x D - - -,-0.5 一

16、0.5，二2: 2 (-1)n 1.n 33nxn六.應(yīng)用題型(14分)1 . 一容器的內(nèi)表面為由y=x2繞y軸旋轉(zhuǎn)而形成的旋轉(zhuǎn)拋物面，其內(nèi)現(xiàn) 有水冗（m3）,若再加水7n （m3）,問(wèn)水位升高了多少米？2 .把由y =e', x軸，y軸和直線x = w （名0 ）所圍平面圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)得1一一旋轉(zhuǎn)體，求此旋轉(zhuǎn)體的體積 V( n，并求潴足條件V(a)=-limV( w )白a .2 二七.證明題型 (10分)已知f (x )與g(x)均在a,b上連續(xù)，且在a,b上恒有f(x)«g(x),但f(x)不包等于g(x ),證明：2013 -2014學(xué)年度第二學(xué)期數(shù)學(xué)分析2»

17、; B試卷學(xué)院 班級(jí) 學(xué)號(hào)(后兩位) 姓名 題號(hào)一一二四五六七總分核分人得分、判斷題(每小題2分，共18分，正確者括號(hào)內(nèi)打?qū)?，否則打叉)1 .對(duì)任何可導(dǎo)函數(shù)f(x)而言，f'(xdx= f(x)+C成立。()2 .若函數(shù)f(x)在la,b】上連續(xù)，則F(x)=f f (tpt必為f(x)在a,b】上的 原函數(shù)。()3 .若級(jí)數(shù)工an收斂，必有l(wèi)imnan=0。() nmx二4.若 lim n；ann-JpcY=九1,則級(jí)數(shù)Z an發(fā)散.n工5 .若幕級(jí)數(shù)£anxn在x=2處收斂，則其在-2,2上一致收斂.( n zi6 .如果f (x )在以a,b為端點(diǎn)的閉區(qū)間上可積，則必

18、有bbL f 僅 dx w I f (x )dx.( aa7.設(shè)f (x施1,+ s止有定義，則be注| -f(xdx與級(jí)數(shù)£ f(n)同斂散.()8.設(shè)f (x堆a(bǔ),b亞子區(qū)間可積,b為f(x)的暇點(diǎn)，則bf f(xdx 與a1 X, 1一b -a"f b - idt 同斂放.() t Jt2fn x 廿 an n N9.設(shè)fn(x y在 D = (a,x0 L(x0,b )上一致收斂，且 limx )x0存在，則 lim lim fn x = lim lim fn x . n)二x 及x X0n )-：二.單項(xiàng)選擇題(每小題3分，共15分)1 .函數(shù)f(x)在a,b上可

19、積的必要條件是()A連續(xù) B 有界 C 無(wú)間斷點(diǎn) D 有原函數(shù)2 .下列說(shuō)法正確的是()00cocoA. Z an和工bn收斂，工anbn也收斂 n 1n z!n =1oOoOoOB. £ an和工bn發(fā)散，Z (an +bn)發(fā)散 n 1n z!nWC. :fan收斂和9bn發(fā)散，克(an+bn)發(fā)散 n z!n 4n 1D. Z an收斂和Z bn發(fā)散，工anbn發(fā)散 n 工n 1n 1oO3 . Z an(x)在a,b收斂于 a(x),且 a0(x)可導(dǎo)，則()n 1A. £a；(x)=a'(x) B. a(x)可導(dǎo) n 1二-bbC. 、an(x)dx =

20、a(x)dx D.aan 1Jan(x)一致收斂，則a(x)必連續(xù) n 1n 44.級(jí)數(shù) £ 1 J2)n n d nA.發(fā)散B.絕對(duì)收斂 C.條件收斂D.不確定:n5.幕級(jí)數(shù)2 - n =0 1 n2 xn的收斂域?yàn)?A. (-0.5Q.5 ) B.-0.5,0.5 C.-0.5,0.5)D. (-0.5,0.5】三.求值與計(jì)算題（每小題4分，共16分）1.sin xcosx .-dx2 sin xx ,2. dxx v x2 一 13. lim 1 n'n(n +1n + (n -1 ： n >:nb4. 2x -a -bdxLa四.判別斂散性(每小題4分，共16分

21、)/二 xarctanx上 1- 3 dx；1 1 xoOn 13n工4. £ n 1 -cos- in 壬 1n ）五.判別在所示區(qū)間上的一致收斂性（每小題5分，共10分）1. fnx = 1 一（n 1）x，0*1/（n ° n=1,2,. x- b,10, 1/（n 1）；x 1二 - 1n/2. x （-二，二）nm（x . n）n六. 應(yīng)用題型（16分）1 .試求由曲線丫=*2及曲線丫=2-*2所平面圖形的面積.2 .將ftcOsxdx表達(dá)為級(jí)數(shù)形式，并確定前多少項(xiàng)的和作為其近似，可 0 x使之誤差不超過(guò)十萬(wàn)分之一.七.（9分）證明：若函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù) Z un（xX足

22、：(1) VXWD, |Un(x) "n (n=1,2" ) ； (ii) £不 收斂.則函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)Z Un(x在D上一致收斂.014 -2015學(xué)年度第二學(xué)期數(shù)學(xué)分析2» A卷,答案判斷題(每小題3分，共21分)1 . ? 2. ? 3. ? 4.? 5. ? 6. ? 7. ?.單項(xiàng)選擇題（每小題3分，共15分）B, C, C, D, A.計(jì)算與求值（每小題5分，共10分）1.解：原式=lim nn1+""Ik、1 , lim exp但 In 1 +一 > n n - k 1 1 expdim>Z ln 1 + i ”

23、n n2.12 exP 11ln xdx =4e原式=Jln(sinxd(tanx )ln sin x tanx - tanx cotxdxIn sin x tan x -x C四.判斷斂散性1.:叫 x32x二二（每小題5分，共15分）13 x:2 =3由柯西判別法知,廣臣冷收斂。2.由比式判別法an 1lim 二 lim1：ann >：:該-5n!n級(jí)3. 解：由萊布尼茲判別法知,<1二 lim 1 1/n交錯(cuò)級(jí)數(shù)=e，< 14 分1上山收斂 nJn知其單調(diào)且有界,故由阿貝爾判5五.1.解：極限函數(shù)為級(jí)數(shù)收斂.f x )=lim fn xj>0n )二二fn x -

24、 f x =sin nxlim sunT 二2.2 nn x解2nn2.上2n分故知該函數(shù)列在D上一致收斂.2而正項(xiàng)級(jí)數(shù)n二收斂, 2n由優(yōu)級(jí)數(shù)判別法知，該函數(shù)列在 D上一致收斂.六.已知一圓柱體的的半徑為 R,由圓柱下底圓直徑線并保持與底圓面300角向斜上方切割，求所切下這塊立體的體積。（本題滿分10分） 解：在底圓面上以所截直徑線為x軸，底圓的圓心為原點(diǎn)示坐標(biāo)系, 過(guò)x處用垂直x軸的平面取截該立體，所褥直角三角形的面積為：七.解：建立圖示坐標(biāo)系（豎立方向?yàn)閤軸）象限等腰邊的分= 293 R3_ xxS x =； R2 x2 tan300、R2 -x2故所求立體的體積為：103則第方程為二1

25、0壓力微元為：dF =2 10 -x 10 x . dx =2、. 100 -x2 dx故所求為F =2、.ioo 100 -x2 dx7% 1333.33v （噸）上 13066.67（千牛）10分八.證明：: Un（X）=cosnx（n =1 ,2每一項(xiàng)在（-9 ,+ g ）上連續(xù),5分又 Un x 二 學(xué)1 一一而v T收斂3n致收斂q c nxJ 3 n3故由定理結(jié)論知cosnx（_g,十g） 上 連再者u；（xb=曰詈2而£收斂n nn所以Un u；（x位（-妙，+ s比一致收斂，結(jié)合u；（x而，+餡）上的連續(xù)性c onxs 可知f（x）=£上乎在（-叫+電）上有

26、連續(xù)的導(dǎo)函數(shù). n9 分2014 -2015學(xué)年度第二學(xué)期數(shù)學(xué)分析2» B試卷學(xué)院 班級(jí) 學(xué)號(hào)(后兩位) 姓名 題號(hào)一一二四五六七八總分核分人得分、判斷題(每小題3分，共21分，正確者括號(hào)內(nèi)打?qū)?，否則打叉)1.若f(x)為偶函數(shù)，則f(xdx必為奇函數(shù)().x2 . y=sgn(x )為符號(hào)函數(shù)，則上限函數(shù) y= sgn(t譏在(-8，十的)上連續(xù) ().3 .若 產(chǎn)f(xdx 收斂，必有 lim f(x)=0 (). ax-1 二4 .若fn城區(qū)間I上內(nèi)閉一致收斂，則fn在區(qū)間I上處處收斂().qQqQ5 .若£ un (x)在la, b】上內(nèi)閉一致收斂，則 Z un(x)在kb】上一致收斂 n 1n 1(). qQ6 .若數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)£ an絕對(duì)收斂，則經(jīng)過(guò)任意重拍后得到的新級(jí)數(shù)仍然絕對(duì) n 1收斂，并且其和不變().7 .若函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)£ Un(x)在a,b】上的某點(diǎn)收斂，且工un(x)在a,b】上一致收斂，則Z un(x)也在a,b】上一致收斂().二.單項(xiàng)選擇題(每小題3分，共15分)1 .函數(shù)f(x)是奇函數(shù)，且在-a,a上可積，則()aaaA g f (x)dx = 2 &