相似三角形難題集錦

1、相似三角形難題集錦相似三角形1 .如圖，在RtABC中，/ ACB=90 , AC=3, BC=4,過點(diǎn)B作射線BB1/AC.動(dòng)點(diǎn)D從點(diǎn)A出發(fā)沿射線 AC方向以每秒5個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)，同 時(shí)動(dòng)點(diǎn)E從點(diǎn)C沿射線AC方向以每秒3個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng). 過點(diǎn)D作DHL AB于H,過點(diǎn)E作EF，AC交射線BB1于F, G是EF中點(diǎn)，連接DG設(shè) 點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒.(1)當(dāng)t為何值時(shí)，AD=AB并求出此時(shí) DE的長度；(2)當(dāng) DEG與4ACB相似時(shí)，求t的值./窿_£ / &d CD E2 .如圖，在 ABC中，Z ABG= 90° , AB=6m BC=8m動(dòng)點(diǎn)P以2m/s

2、的速度從 A點(diǎn)出發(fā)，沿 AC向點(diǎn)C移動(dòng).同時(shí)，動(dòng)點(diǎn) Q以1m/s的速度從 C 點(diǎn)出發(fā)，沿CB向點(diǎn)B移動(dòng).當(dāng)其中有一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，它們都停止移動(dòng).設(shè)移動(dòng)的時(shí)間為 t秒.(1)當(dāng)t=2.5s時(shí)，求 CPQ勺面積；求 CPQ的面積S (平方米)關(guān)于時(shí)間t (秒)的函數(shù)解析式;3.如圖1 ,在RtABC中, 足為N.(1)當(dāng)AD= CD時(shí)，求證:/ACB= 90° , AC= 6, BC= 8,點(diǎn)D在邊AB上運(yùn)動(dòng)，DE平分/ CDB交邊BC于點(diǎn)E, EML BR垂足為 M, EN± CD垂DE/ AC; (2)探究:AD為何值時(shí)， BME與4CN曲目似?4.如圖所示，在 ABC中，

3、BA= BC= 20cm, AC= 30cm,點(diǎn)P從A點(diǎn)出發(fā)，沿著 AB以每秒4cm的速度向B點(diǎn)運(yùn)動(dòng)；同時(shí)點(diǎn) Q從C點(diǎn)出發(fā)，沿CA以每秒3cm的速度向A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，當(dāng)P點(diǎn)到達(dá)B點(diǎn)時(shí)，Q點(diǎn)隨之停止運(yùn)動(dòng).設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為x.(1)當(dāng)x為何值時(shí)，PQ/ BC?(2) 4APQ與ACQB否相似？若能，求出 AP的長；若不能說明理由.5.如圖，在矩形 ABC計(jì)，AB=12cm BC=6cm點(diǎn)P沿AB邊從A開始向點(diǎn) 移動(dòng).如果P、Q同時(shí)出發(fā)，用t (s)表示移動(dòng)的時(shí)間(0Vt <6)。(1)當(dāng)t為何值時(shí)， QAP為等腰直角三角形？(2)當(dāng)t為何值時(shí)，以點(diǎn) Q A、P為頂點(diǎn)的三角形與 ABC相似？B以2cm

4、/s的速度移動(dòng)；點(diǎn) Q沿DA邊從點(diǎn)D開始向點(diǎn)A以1cm/s的速度(2)在P, Q移動(dòng)的過程中，當(dāng) CPQ為等腰三角形時(shí)，求出t的值.6 .在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(2, 1),正比例函數(shù)y=kx的圖象與線段OA的夾角是45。，求這個(gè)正比例函數(shù)的表達(dá)式.7 .在4ABC中，AB=245, AC=4, BC=Z以AB為邊在C點(diǎn)的異側(cè)作 ABQ使 ABD為等腰直角三角形，求線段 CD的長.8 .在 ABC中，AC=BC /ACB=90，點(diǎn)M是AC上的一點(diǎn)，點(diǎn) N是BC上的一點(diǎn)，沿著直線 MN疊，使得點(diǎn) C 恰好落在邊 AB上的P點(diǎn).求證：MC NC=AP PB.9 .如圖，在直角坐標(biāo)系

5、中，矩形ABCO勺邊OA在x軸上，邊OC在y軸上，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（1,3）,將矩形沿對(duì)角線AC翻折B點(diǎn)落在D點(diǎn)的位置，且 AD交y軸于點(diǎn)E.那么D點(diǎn)的坐標(biāo)為（）1.1. 已知，如圖，直線 y=-2x + 2與坐標(biāo)軸交于 A B兩點(diǎn).以AB為短邊在第一象限做一個(gè)矩形 ABCD使得 矩形的兩邊之比為1 ： 2。求C、D兩點(diǎn)的坐標(biāo)。AD=AC BC邊上的中線 AE交CD于F11 .如圖： ABC中，D是AB上一點(diǎn),AB CF求證：-才12 .四邊形ABC計(jì)，AC為AR AD的比例中項(xiàng)，且 AC平分/ DAB求證：二 X13 .在梯形ABC計(jì)，AB/ CD, AB= b, CD= a, E為AD邊上的任

6、意一點(diǎn)，EF/ AB,且EF交BC于點(diǎn)F,某同學(xué)在研究這一問題時(shí)，發(fā)現(xiàn)如下事實(shí):DE _ 1 a + bn a + 2h當(dāng) AE 時(shí)，EF= 2 ; （2）當(dāng) Aff 時(shí)，EF= 3;DE . q + 曳？ r）ff = 3 上1 =七a、b和k表示EF的一般結(jié)論，并給出證明.（3）當(dāng)月左 時(shí)，EF= 4 .當(dāng)月立 時(shí)，參照上述研究結(jié)論，請(qǐng)你猜想用15.證明：（1）重心定理：三角形頂點(diǎn)到重心的距離等于該頂點(diǎn)對(duì)邊上中線長的 三角形一個(gè)角的平分線分對(duì)邊所成的兩條線段與這個(gè)角的兩鄰邊對(duì)應(yīng)成比例.2三.（注：重心是三角形三條中線的交點(diǎn)）.（2）角平分線定理:14 .已知：如圖，在 ABC中，M是AC的

7、中點(diǎn)，E、F是BC上的兩點(diǎn)，且 BE= EF= FC 求 BN NQ QM16 .如圖，在等邊 ABC中，汕N分別是邊 AB, AC的中點(diǎn)，D為MN上任意一點(diǎn)，BD CD的延長線分別交 AC AB于點(diǎn)113十 =求證：CE月產(chǎn) AB.17 .已知：如圖，梯形 ABC計(jì)，AB/DC,對(duì)角線 AC BD交于O,過O作EF/AB分別交 AD BC于E、F1 1 _ ：求證：mCDHd.18 .如圖，在 ABC中，已知CD為邊AB上的高，正方形 EFGH勺四個(gè)頂點(diǎn)分別在 ABC上求證：AB CD .19 .已知，在 ABC中作內(nèi)接菱形CDEF設(shè)菱形的邊長為a.求證：1 一七一20. (1)如圖1,點(diǎn)尸

8、在平行四邊形 ABCD的對(duì)角線BD上，一直線過點(diǎn) P分別交BA, BC的延長線于點(diǎn)Q, S,交2，于點(diǎn)氏 丁.求證:FQ FR = PK PT(2)如圖2,圖3,當(dāng)點(diǎn)F在平行四邊形ABCD的對(duì)角線£口或。B的延長線上時(shí)，F(xiàn)。.尸田= FS，F(xiàn)T是否仍然成立？若成立，試給出證明；若不成立，試說明理由(要求僅以圖2為例進(jìn)行證明或說明)；21 .如圖，在平行四邊形 ABC而，過點(diǎn)A作AELBC,垂足為E,連接DE, F為線段DE上一點(diǎn)，且/ AFE= / B. (1)求證： ADD DEC若 AB= 4,AD= 3 J3 ,AE = 3,求 AF 的長.22 .如圖，已知等腰三角形ABC中

9、，AD,BF分別為BC,AC邊上的高，過 D作AB的垂線交AB于E,交BF于G,交AC延長線于H。求證：DE=EG?EH23.已知如圖，P為平行四邊形 ABCD的對(duì)角線AC上一點(diǎn)，過P的直線與AR BC CD的延長線、AB的延長線分別相交于點(diǎn) E、F、G H.28.如圖，四邊形 ABCD DEF圃是正方形，連接 AE、CG,AE與C。目交于點(diǎn)M, CG AD相交于點(diǎn)N.求證：4加斯.26如圖，在 RtABC中，CD是斜邊AB上的高，點(diǎn) M在CD上，DFUBM且與AC的延長線交于點(diǎn) E. 求證：(1) AEgACBM (2) 怨 07皿=£0 如24.已知，如圖,銳角 ABC中，AD&

10、#177;BC于D, H為垂心(三角形三條高線的交點(diǎn))；在AD上有一點(diǎn)P,且/ BPC為直角.求證：PD = AD- DH25.已知如圖，CD是RtABC斜邊AB上的高，E為BC的中點(diǎn)，ED的延長線交 CA于F 求證：三，二二二三7 ZSFE _ PH求證：L 'G-27.如圖， ABC是直角三角形，/ ACB=90 , CDL AB于D, E是AC的中點(diǎn)，ED的延長線與 CB的延長線交于點(diǎn) F.(1)求證：.(2)若G是BC的中點(diǎn)，連接 GQ GD與EF垂直嗎？并說明理由1)中的一對(duì)相似三角形外，能否再找出一29 .如圖，BD CE分別是 ABC的兩邊上的高，過 D作DGL BC于G

11、 分另U交 CE及BA的延長線于 F、H。 入 、 .2求證： DG= BG- CQ (2) BG- CG= GF- GH30 . ABCW DEF是兩個(gè)等腰直角三角形，/ A=/ D=90° , DEF的頂點(diǎn)E位于邊BC的中點(diǎn)上.(1)如圖1,設(shè)DE與AB交于點(diǎn) M EF與AC交于點(diǎn)N,求證： BEMh ACNE(2)如圖2,將 DEF繞點(diǎn)E旋轉(zhuǎn)，使得 DE與BA的延長線交于點(diǎn) M, EF與AC交于點(diǎn)N,于是，除 對(duì)相似三角形并證明你的結(jié)論.31 .如圖，四邊形 ABC的四邊形ACEDO是平行四邊形，點(diǎn) R為DE的中點(diǎn)，BR分別交AG CD于點(diǎn)P、Q(1)請(qǐng)寫出圖中各對(duì)相似三角形(

12、相似比為 1除外)；(2)求 BR PQ QRAS AC32 .如圖，在 ABC中，AD± BC于 D, DEX AB 于 E, DF±AC于 F。求證： AF AB33 .如圖，RtAAB C 是由RgABC點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到的，連結(jié) CC交斜邊于點(diǎn)E, CC的延長線交BB于點(diǎn)F. (1)證明： ACZ FBE(2)設(shè)/ ABC , / CAC =,試探索 、滿足什么關(guān)系時(shí)， ACETFBE全等三角形，并說明理由.CA34 .在直角梯形OAB沖,CB OA /C®= 90o, CB= 3, OA6, BA= 3爐.分別以O(shè)A OC邊所在直線為x軸、y軸建立如圖1

13、所示的平面直角坐 標(biāo)系.(1)求點(diǎn)B的坐標(biāo)； 已知DE分別為線段OCOB±的點(diǎn)，OD= 5,OE= 2EB,直線DE交x軸于點(diǎn)F.求直線DE的解析式；(3)點(diǎn)M是(2)中直線DE上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，在 x軸上方的平面內(nèi)是否存在另一個(gè)點(diǎn)N.使以。D M N為頂點(diǎn)的四邊形是菱形？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)N的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.35.在圖15-1至圖15-3中，直線MNT線段AB相交于點(diǎn)O, / 1 = /2 = 45° .(1)如圖15-1，若AO = OB請(qǐng)寫出AO與BD的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系；(2)將圖15-1中的MN點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到圖15-2，其中AO = OB求證：AC(3)

14、將圖15-2中的OB拉長為AO的k倍得到圖15-3,求BD的值.ACN圖 15-2N圖 15-32FC2 GFAB2 GB36 .如圖，在正方形 ABC阱，E是BC上的一點(diǎn)，連結(jié)AE彳BF，AE,垂足為 H交CD于F,作CG/ AE交BF于G(1)求證 C6BH (2)FC2=BF- GF (3)B=90° , / A=30° , BC=6cm 圖中,/ D=90° , /37 .劉衛(wèi)同學(xué)在一次課外活動(dòng)中，用硬紙片做了兩個(gè)直角三角形，見圖、.圖中，/E=45° , DE=4cm.圖是劉衛(wèi)同學(xué)所做的一個(gè)實(shí)驗(yàn)：他將DEF的直角邊DE與 ABC的斜邊AC重合在

15、一起，并將 DEF沿AC方向移動(dòng).在移動(dòng)過程中，D E兩點(diǎn)始終在AC邊上(移動(dòng)開始時(shí)點(diǎn)D與點(diǎn)A重合).(1) 在4DEF沿AC方向移動(dòng)的過程中，劉衛(wèi)同學(xué)發(fā)現(xiàn)：F、C兩點(diǎn)間的距離逐漸 .( 填“不變”、“變大”或“變小”)(2) 劉衛(wèi)同學(xué)經(jīng)過進(jìn)一步地研究，編制了如下問題：問題：當(dāng) DEF移動(dòng)至什么位置，即 AD的長為多少時(shí)，F(xiàn)、C的連線與AB平行？問題：當(dāng) DEF移動(dòng)至什么位置，即 AD的長為多少時(shí)，以線段 AR FC、BC的長度為三邊長的三角形是直角三角形？問題：在 DEF的移動(dòng)過程中，是否存在某個(gè)位置，使得/ FCD=15 ?如果存在，求出AD的長度；如果不存在，請(qǐng)說明理由.請(qǐng)你分別完成上述

16、三個(gè)問題的解答過程.38.已知 ABC中，AB= 2 邪,AC= 4遙,BC= 6(1)如圖1點(diǎn)M為AB的中點(diǎn)，在線段 AC上取點(diǎn)N,使AMMf AABCffi似，求線段 MN6勺長；(2)如圖2,是由100個(gè)邊長為1的小正方形組成的10X10正方形網(wǎng)格，設(shè)頂點(diǎn)在這些小正方形頂點(diǎn)的三角形為格點(diǎn)三角形，請(qǐng)你在所給的 網(wǎng)格中畫出格點(diǎn)4 ABC,使得 ABC與4ABC全等(畫出一個(gè)即可，不需證明)試直接寫出在所給的網(wǎng)格中與 ABC相似且面積最大的格點(diǎn)三角形的個(gè)數(shù)，并畫出其中的一個(gè)(不需證明)Td_、_L已知直角坐標(biāo)系中菱形 ABCD勺位置如圖，C, D兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(4,0) , (0,3).現(xiàn)有

17、兩動(dòng)點(diǎn)P,Q分別從A C同時(shí)出發(fā)，點(diǎn)P沿線段AD向終點(diǎn)D 運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q沿折線CBAO終點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒.(1)填空：菱形ABCD勺邊長是、面積是、高BE的長是;(2)探究下列問題：若點(diǎn)P的速度為每秒1個(gè)單位，點(diǎn)Q的速度為每秒2個(gè)單位.當(dāng)點(diǎn)Q在線段BA上時(shí)，求APQ勺面積S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式，以及S的最大值。若點(diǎn)P的速度為每秒1個(gè)單位，點(diǎn)Q的速度變?yōu)槊棵雓個(gè)單位，在運(yùn)動(dòng)過程中，任何時(shí)刻都有相應(yīng)的k值，使得 APQ令它的一邊翻折，翻折前后兩個(gè)三角形組成的四邊形為菱形.請(qǐng)?zhí)骄慨?dāng)t =4秒時(shí)的情形，并求出k的值.40.4ABC中，AB=AC D為BC的中點(diǎn)，以 D為頂點(diǎn)作/ MDN4 B.圖（1）圉（2）備用圖（1）如圖（1）當(dāng)射線DN經(jīng)過點(diǎn)A時(shí)，DM交AC邊于點(diǎn)E,不添加輔助線，寫出圖中所有與 ADE相似的三角形.（2）如圖（2）,將/ MDN點(diǎn)D沿逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，DMDN分別交線段AC,AB于E,F點(diǎn)（點(diǎn)E與點(diǎn)A不重合），不添加輔助線，寫出圖中所有的相似三角形，并證明你的結(jié)論.（3）在圖（2）中，若AB=AC=10 BC=12,當(dāng) DE