數(shù)列通項(xiàng)公式前n項(xiàng)和求法總結(jié)全

1、一.數(shù)列通項(xiàng)公式求法總結(jié)：1 .定義法一一直接利用等差或等比數(shù)列的定義求通項(xiàng)。特征：適應(yīng)于已知數(shù)列類型(等差或者等比).例1 .等差數(shù)列Q 是遞增數(shù)列，前n項(xiàng)和為Sn ,且ai,a3, a§成等比數(shù)列，S5 = a2 .求數(shù)歹心口 的通項(xiàng)公式.變式練習(xí)：2 .等差數(shù)列%中，a7 =4,ai9=2a9,求值的通項(xiàng)公式3 .在等比數(shù)列a。中，a?-&=2，且2a2為3ai和a3的等差中項(xiàng)，求數(shù)列烝的首項(xiàng)、公比及 前n項(xiàng)和.4 .公式法、S n = 1 .求數(shù)列an的通項(xiàng)an可用公式an =求解。、Sn-Snn22特征：已知數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn與an的關(guān)系例2.已知下列兩數(shù)列an的前

2、n項(xiàng)和Sn的公式，求an的通項(xiàng)公式。(1) Sn=n3 + n1。(2)Sn=n21變式練習(xí)：1 .已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,且Sn=2n2+n, nC N* ,數(shù)列b n滿足an =4log 2bn+3, nC N * .求 an , bn。2 .已知數(shù)列4的前n項(xiàng)和0 =-n2+kn (kN*)，且S的最大值為8,試確定常數(shù)k2并求an o2 .3.已知數(shù)列an)的前n項(xiàng)和&=nn, nW N”.求數(shù)列Gn)的通項(xiàng)公式。23.由遞推式求數(shù)列通項(xiàng)法類型1特征：遞推公式為an+=an +f(n)對(duì)策：把原遞推公式轉(zhuǎn)化為an+-an = f(n),利用累加法求解。例3.已知數(shù)列

3、67;n滿足a1=1, an4t=an十一一 ,求an。2n n變式練習(xí)：1 .已知數(shù)列an滿足an =an+2n+1, a1 =1 ,求數(shù)列an的通項(xiàng)公式。2 .已知數(shù)列：求通項(xiàng)公式類型2特征：遞推公式為 an. = f（n）%對(duì)策：把原遞推公式轉(zhuǎn)化為 電土 = f （n）,利用累乘法求解。an例4.已知數(shù)列配滿足ai =2, an¥=-an,求七。 3n 1變式練習(xí)：1 .已知數(shù)列aj中，a1=2, an干=3nan,求通項(xiàng)公式an。2 .設(shè)an是首項(xiàng)為1的正項(xiàng)數(shù)列，且（n+1 ）an -na2+an書an =0 （ n =1, 2, 3 ,），求數(shù)列的通項(xiàng)公式是an類型3特征：

4、遞推公式為an* = pan +q （其中p, q均為常數(shù)）對(duì)策：（利用構(gòu)造法消去q）把原遞推公式轉(zhuǎn)化為由an+= pan+q得an = pan+q（n之2）兩式相減并整理得an書an =p,構(gòu)成數(shù)列an書-an以a2-a1為首項(xiàng)，以p為公比的等比數(shù) an _ an 1歹I.求出an4-an的通項(xiàng)再轉(zhuǎn)化為類型1 （累加法）便可求出an.例 5.已知數(shù)列 L 中，a1 =1 , an+ = 2an +3 ,求 an .變式練習(xí)：1 .數(shù)列an滿足a1=1, 3an4 +an-7=0,求數(shù)列a。的通項(xiàng)公式。2 .已知數(shù)列an滿足a1=1,前書=3升+1.證明%+；2是等比數(shù)列，并求斗的通項(xiàng)公式。類

5、型4特征：遞推公式為an = pan + f（n）（其中p為常數(shù)）對(duì)策：（利用構(gòu)造法消去 p）兩邊同時(shí)除以pn*可得到 書=駕+"1） ,令粵=4 ,則 ppppbn+=bn+里，再轉(zhuǎn)化為類型1 （累加法），求出bn之后得an = pnbn p例6.已知數(shù)列an滿足an+ =2% +4 '3n,，a1 =1 ,求數(shù)列an的通項(xiàng)公式。變式練習(xí)：已知數(shù)列In1滿足a1 =1 , an=3n+2an（n±2）,求an.二.數(shù)列的前n項(xiàng)和的求法總結(jié)1.公式法（1）等差數(shù)列前n項(xiàng)和：Sn =g3 = na1+皿dn 212(2)等比數(shù)列前n項(xiàng)和:q=1 時(shí)，Sn=na1例1.

6、已知log 3 x = -1 ,求x + x2 +x3 +xn +的前n項(xiàng)和. log2 3變式練習(xí)：1 .設(shè)等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn.已知a2=6, 6a1+a3=30，求an和Sn.2 .設(shè)a。是等差數(shù)列，bn是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，且 ai = bi=1, a3 + bs = 21, a5 +b3 =13 o(1)求 an , bn；(2)求數(shù)列%的前n項(xiàng)和Sn。an3 .錯(cuò)位相減法若數(shù)列an為等差數(shù)列，數(shù)列bn為等比數(shù)列，則數(shù)列an bn的求和就要采用此法.將數(shù)列Qn bn的每一項(xiàng)分別乘以bn的公比，然后在錯(cuò)位相減，進(jìn)而可得到數(shù)列 % bn 的 前n項(xiàng)和.例 2.求 1 + 2x

7、 + 3x2 + 4x3 + +nxn，的和變式練習(xí)：1 .已知數(shù)列a的前n項(xiàng)和為Sn,且Sn = 2n2+n ,n C N*，數(shù)列bn滿足an = 4log2n+ 3n C N * .(1)求 an, bn；(2)求數(shù)列Qn bn 的前n項(xiàng)和Tn .2 .若公比為c的等比數(shù)列4的首項(xiàng)為&=1,且滿足烝=+*10=3,4,.)。2(1)求c的值；(2)求數(shù)列nan的前n項(xiàng)和&3 .倒序相加法如果一個(gè)數(shù)列4,與首末兩項(xiàng)等距的兩項(xiàng)之和等于首末兩項(xiàng)之和，則可用把正著寫與倒著寫的兩個(gè)和式相加，就得到了一個(gè)常數(shù)列的和，這種求和方法稱為倒序相加法。特征： a1 , an =a2 an4 =

8、.把數(shù)列的各項(xiàng)順序倒寫，再與原來順序的數(shù)列相加。例3.已知f(x)x2門)k 則”"+fHf(3) ff(4) f變式練習(xí):1.求122212 10222 92Q22母.川記彳的和.2.求 sin21 -十sin2 2" + sin23"+ 十sin288°+sin289 -的值。4 .裂項(xiàng)相消法般地，當(dāng)數(shù)列的通項(xiàng)an(an b1)(an b2)(a,bi,b2,c為常數(shù))時(shí)，往往可將an變成兩項(xiàng)的差，采用裂項(xiàng)相消法求和. 可用待定系數(shù)法進(jìn)行裂項(xiàng):設(shè)anan b2通分整理后與原式相比較,根據(jù)對(duì)應(yīng)項(xiàng)系數(shù)相等得c= , b2 - b從而可得(an b1)(a

9、n b2) (b21bl)(an b1an b2”常用裂項(xiàng)形式有:1=1_ 1 .n(n 1) n n T 1111)； 22k2k2 -112 k -1 k 1k 1 (k 1)k1：記：(k -1)k k -1 k一1 . n(n 1)(n 2)2 n(n 1) (n 1)(n 2)' 2(，n , 1 -、n) =2 :二1：二 2= 2(、. n -n -d)n . n 1、. n , n . n -1例4.求數(shù)列1 3'n(n 2),的前n項(xiàng)和S.變式練習(xí):1.在數(shù)列a n中,an =+ +,又bn=-2,求數(shù)列bn的前n項(xiàng)的和. n 1an an 12.等比數(shù)列4的

10、各項(xiàng)均為正數(shù)，且2a1+3a2=1,a32=9a2a6.(I)求數(shù)列Gn的通項(xiàng)公式.(II) 設(shè) bn =log3al+log3 a2 + ,+log3 an,求數(shù)歹U4一的刖項(xiàng)和. bn5.分組求和法有一類數(shù)列，既不是等差數(shù)列，也不是等比數(shù)列，若將這類數(shù)列適當(dāng)拆開，可分為幾個(gè)等差、等比或常見的數(shù)列，然后分別求和，再將其合并即可.一般分兩步：找通向項(xiàng)公式由通項(xiàng)公式確定如何分組.1111例5.求數(shù)列2,4,6，J|L2n,的刖n項(xiàng)和Sn . 4 8 162變式練習(xí)：1 .求數(shù)列11,21,3',4211的前n項(xiàng)和 3 9 27 812 .若數(shù)列an 的通項(xiàng)公式an =2an +3na -1(a =0),求an的前n項(xiàng)和6 .記住常見數(shù)列的前