六奧第十六講勾股與弦圖

1、第十六講勾股與弦圖【知識概述】在小學奧數(shù)中，會涉及到很多有關正方形的圖形面積問題，我們在解決類似問 題的時候，用的比較多的就是弦圖和旋轉。1.弦圖弦圖其實是在勾股定理的前提下引出的，大家知道，在直角三角形中，兩直角 邊的平方和等于斜邊的平方，這就是勾股定理。自古至今，勾股定理的證明方法不 下百種，這里我們借助其中的一種來進入今天的學習。第一種拼法：有四個完全相同的直角三角形，直角邊分別為a和b （假設a>b）, 斜邊為c,將他們按下圖方式，拼成正方形。圖中AF=q DF=h AD=c正方形ABCD勺面積等于c2正方形的面積=4個直角三角形的面積+中間小正方形EHGF勺面積1=4x 2 x

2、 ax b+（a b）2= a2 + b2即 a2+b2=c2第二種拼法：有四個完全相同的直角三角形，直角邊分別為a和b （假設a>b）, 斜邊為c,將他們按下圖方式，拼成正方形。圖中AE=a AH=b EH=c,正方形ABCD勺面積=（a b）2正方形ABCD勺面積=4個直角三角形的面積+中間小正方形EHGF勺面積1=4X 2 x ax b+c2=2ab+c2故(a b)2 =2ab+c2即得到a2+b2 = c2熟記這兩種圖形的模型，對我們解決有關正方形的面積有很大幫助。勾股定理：直角三角形兩直角邊的平方的和，等于斜邊的平方?！揪x例題】例1、如圖所示，在直線l上的一側擺放著七個正方

3、形。已知斜放置的 3個正方形的 面積分別是1, 2, 3,水平放置的四個正方形的面積依次計為 S,S2,S3和&。試確定 Si+S+S+S 的值.。例2、如圖所示，4個形狀大小完全相同的直角三角形和一個面積等于 4的正方形，恰可拼成一個面積等于52的大正方形，試確定直角三角形的兩條直角邊的長。例3、小華與小明分別用4個形狀大小完全相同的直角三角形拼圖。 小華拼成的長方 形的周長等于20cm.小明拼成一個大正方形，而大正方形中間有一個面積為1cm2的小 正方形的空洞。求小明拼成的大正方形的周長？例4、如圖，三角形 ABC中，/ ACB=90,分別以AC,BC,AB為邊向形外作正方形ACG

4、F,BCHK ABDE正方形ABDE勺面積是25平方厘米，正方形BCHK勺面積是9平方厘米，問：圖中陰影四邊形 AFBD勺面積是多少平方厘米？例5、如圖，CDEFM正方形，ABC虛等腰梯形，它的上底 AD=23厘米，下底BC=35 厘米，求三角ADE勺面積。C例6、ABO一個直角三角形，分別以 AC BC為邊向？ABC#作正方形，又以AB為斜 邊向？ABC#作等腰直角三角形？ABD AD=BD若陰影部份和為8,求？ABD勺面積。例7、如圖，已知四邊形ABCB口 DEFG正方形，且三角形 ADG勺面積為5,求三角形DEC勺面積。例8、下圖是一個面積為18cm2、CD7 cm的四邊形ABCD .其

5、兩條對角線BD和AC在四邊形ABCD的內部相交，當BD 10 cmAC BCBCA 90時，求4ACD的面積.例9、 ABC是直角三角形，在邊AB、 BC、CA上分別取點AD AFFC EC .當4DEF成為等腰直角三角形、BE 3cm、 DB 1cm 時，求 ABC 的面積。例10、如圖，P是正方形ABCD外面的一點，PB 12厘米，4APB的面積是90平方厘米, CPB的面積是48平方厘米。請問：正方形ABCD的面積是多少平方厘米？【課后習題】1 . 如圖，由四個相同的直角三角形拼成的（直角邊長分別為 2 和 3） ，問大正方形的面積是多少?2 .如圖直角梯形ABCM, AD與BC平行，且

6、AB與BCB直，AD=2 BC=3將腰CD以D為中心逆時針旋轉90至EQ連AE CE則4ADE的面積是多少？3 .如圖，梯形 ABC前，AB與DC平行， ADC BCD 90 ,且DC=2AB分別以DA AB BC為邊向梯形外作正方形，其面積分別為 §、S2、S3,則§、斗S3之間有什么樣 的關系？4 .如圖AE= AB, BG= CD / EABh BCD=90 ,那么，按照圖中所標注的數(shù)據(jù)，圖中實線所圍成的圖形面積為是多少？5 .如圖所示，沿長方體表面系一根繩子連接A點與B點。如果讓繩子的長度達到最短，其長度應是多少厘米？6 .如圖，三角形AGD勺面積為5,分別以AG GD AD為邊向外彳正方形 AGHI DGFEABCD 求 Smbi +&hg