高三數(shù)學(xué) 2010年高考數(shù)學(xué)試題匯編:第三章 數(shù)列 第四節(jié) 數(shù)列綜合應(yīng)用_第1頁
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文檔簡介

1、第三章 數(shù)列四 數(shù)列綜合應(yīng)用【考點(diǎn)闡述】數(shù)列綜合應(yīng)用【考試要求】(4)運(yùn)用等差數(shù)列、等比數(shù)列及求和知識解決數(shù)列綜合問題。【考題分類】(一)選擇題(共2題)1.(湖北卷文7)已知等比數(shù)列中,各項(xiàng)都是正數(shù),且,成等差數(shù)列,則A. B. C. D【答案】C2.(江西卷理5)等比數(shù)列中,=4,函數(shù),則( )A B. C. D. 【答案】C【解析】考查多項(xiàng)式函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式,重點(diǎn)考查學(xué)生創(chuàng)新意識,綜合與靈活地應(yīng)用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識、思想和方法。考慮到求導(dǎo)中,含有x項(xiàng)均取0,則只與函數(shù)的一次項(xiàng)有關(guān);得:。(二)填空題(共1題)1.(遼寧卷理16)已知數(shù)列滿足則的最小值為_.(三)解答題(共14題)1.(安徽卷文

2、21)設(shè)是坐標(biāo)平面上的一列圓,它們的圓心都在軸的正半軸上,且都與直線相切,對每一個正整數(shù),圓都與圓相互外切,以表示的半徑,已知為遞增數(shù)列.()證明:為等比數(shù)列;()設(shè),求數(shù)列的前項(xiàng)和. 【命題意圖】本題考查等比列的基本知識,利用錯位相減法求和等基本方法,考察抽象概括能力以及推理論證能力.【解題指導(dǎo)】(1)求直線傾斜角的正弦,設(shè)的圓心為,得,同理得,結(jié)合兩圓相切得圓心距與半徑間的關(guān)系,得兩圓半徑之間的關(guān)系,即中與的關(guān)系,證明為等比數(shù)列;(2)利用(1)的結(jié)論求的通項(xiàng)公式,代入數(shù)列,然后用錯位相減法求和.【方法技巧】對于數(shù)列與幾何圖形相結(jié)合的問題,通常利用幾何知識,并結(jié)合圖形,得出關(guān)于數(shù)列相鄰項(xiàng)與

3、之間的關(guān)系,然后根據(jù)這個遞推關(guān)系,結(jié)合所求內(nèi)容變形,得出通項(xiàng)公式或其他所求結(jié)論.對于數(shù)列求和問題,若數(shù)列的通項(xiàng)公式由等差與等比數(shù)列的積構(gòu)成的數(shù)列時,通常是利用前n項(xiàng)和乘以公比,然后錯位相減解決.2.(福建卷文17)數(shù)列 中,前n項(xiàng)和滿足- (n). ( I ) 求數(shù)列的通項(xiàng)公式以及前n項(xiàng)和; (II)若S1, t ( S1+S2 ), 3( S2+S3 ) 成等差數(shù)列,求實(shí)數(shù)t的值。3.(湖北卷文19)已知某地今年年初擁有居民住房的總面積為a(單位:m2),其中有部分舊住房需要拆除。當(dāng)?shù)赜嘘P(guān)部門決定每年以當(dāng)年年初住房面積的10%建設(shè)新住房,同事也拆除面積為b(單位:m2)的舊住房。()分別寫出

4、第一年末和第二年末的實(shí)際住房面積的表達(dá)式:()如果第五年末該地的住房面積正好比今年年初的住房面積增加了30%,則每年拆除的舊住房面積b是多少?(計算時取1.15=1.6)4.(湖南卷文20)給出下面的數(shù)表序列:其中表n(n=1,2,3 )有n行,第1行的n個數(shù)是1,3,5,2n-1,從第2行起,每行中的每個數(shù)都等于它肩上的兩數(shù)之和。(I)寫出表4,驗(yàn)證表4各行中數(shù)的平均數(shù)按從上到下的順序構(gòu)成等比數(shù)列,并將結(jié)論推廣到表n(n3)(不要求證明); (II)每個數(shù)列中最后一行都只有一個數(shù),它們構(gòu)成數(shù)列1,4,12,記此數(shù)列為 求和: 5.(江蘇卷19)設(shè)各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列的前n項(xiàng)和為,已知,數(shù)列是公

5、差為的等差數(shù)列。(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式(用表示);(2)設(shè)為實(shí)數(shù),對滿足的任意正整數(shù),不等式都成立。求證:的最大值為。解析 本小題主要考查等差數(shù)列的通項(xiàng)、求和以及基本不等式等有關(guān)知識,考查探索、分析及論證的能力。滿分16分。(1)由題意知:, ,化簡,得:,當(dāng)時,適合情形。故所求(2)(方法一), 恒成立。 又,故,即的最大值為。(方法二)由及,得,。于是,對滿足題設(shè)的,有。所以的最大值。另一方面,任取實(shí)數(shù)。設(shè)為偶數(shù),令,則符合條件,且。于是,只要,即當(dāng)時,。所以滿足條件的,從而。因此的最大值為。6.(江西卷理22)證明以下命題:對任一正整a,都存在整數(shù)b,c(b<c),使得成等差數(shù)列。

6、存在無窮多個互不相似的三角形,其邊長為正整數(shù)且成等差數(shù)列。【解析】作為壓軸題,考查數(shù)學(xué)綜合分析問題的能力以及創(chuàng)新能力。 (1)考慮到結(jié)構(gòu)要證,;類似勾股數(shù)進(jìn)行拼湊。證明:考慮到結(jié)構(gòu)特征,取特值滿足等差數(shù)列,只需取b=5a,c=7a,對一切正整數(shù)a均能成立。結(jié)合第一問的特征,將等差數(shù)列分解,通過一個可做多種結(jié)構(gòu)分解的因式說明構(gòu)成三角形,再證明互不相似,且無窮。證明:當(dāng)成等差數(shù)列,則,分解得:選取關(guān)于n的一個多項(xiàng)式,做兩種途徑的分解對比目標(biāo)式,構(gòu)造,由第一問結(jié)論得,等差數(shù)列成立,考察三角形邊長關(guān)系,可構(gòu)成三角形的三邊。下證互不相似。任取正整數(shù)m,n,若m,相似:則三邊對應(yīng)成比例, 由比例的性質(zhì)得:

7、,與約定不同的值矛盾,故互不相似。7.(江西卷文22)正實(shí)數(shù)數(shù)列中,且成等差數(shù)列.(1) 證明數(shù)列中有無窮多項(xiàng)為無理數(shù);(2)當(dāng)為何值時,為整數(shù),并求出使的所有整數(shù)項(xiàng)的和.證明:(1)由已知有:,從而,方法一:取,則()用反證法證明這些都是無理數(shù).假設(shè)為有理數(shù),則必為正整數(shù),且,故.,與矛盾,所以()都是無理數(shù),即數(shù)列中有無窮多項(xiàng)為無理數(shù);方法二:因?yàn)?,?dāng)?shù)哪┪粩?shù)字是時,的末位數(shù)字是和,它不是整數(shù)的平方,也不是既約分?jǐn)?shù)的平方,故此時不是有理數(shù),因這種有無窮多,故這種無理項(xiàng)也有無窮多(2) 要使為整數(shù),由可知:同為偶數(shù),且其中一個必為3的倍數(shù),所以有或當(dāng)時,有()又必為偶數(shù),所以()滿足即()時

8、,為整數(shù);同理有()也滿足,即()時,為整數(shù);顯然和()是數(shù)列中的不同項(xiàng);所以當(dāng)()和()時,為整數(shù);由()有,由()有.設(shè)中滿足的所有整數(shù)項(xiàng)的和為,則8.(全國新卷理17)設(shè)數(shù)列滿足求數(shù)列的通項(xiàng)公式;令,求數(shù)列的前n項(xiàng)和解:()由已知,當(dāng)n1時,。而 所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為。()由知 從而 -得 。即 9. (上海卷理20)已知數(shù)列的前項(xiàng)和為,且,(1)證明:是等比數(shù)列;(2)求數(shù)列的通項(xiàng)公式,并求出n為何值時,取得最小值,并說明理由。解析:(1) 當(dāng)n=1時,a1=-14;當(dāng)n2時,an=Sn-Sn-1=-5an+5an-1+1,所以,又a1-1=-150,所以數(shù)列an-1是等比數(shù)列;(2)

9、 由(1)知:,得,從而(nÎN*);解不等式Sn<Sn+1,得,當(dāng)n15時,數(shù)列Sn單調(diào)遞增;同理可得,當(dāng)n15時,數(shù)列Sn單調(diào)遞減;故當(dāng)n=15時,Sn取得最小值10. (上海卷文21)已知數(shù)列的前項(xiàng)和為,且,(1)證明:是等比數(shù)列;(2)求數(shù)列的通項(xiàng)公式,并求出使得成立的最小正整數(shù).解析:(1) 當(dāng)n=1時,a1=-14;當(dāng)n2時,an=Sn-Sn-1=-5an+5an-1+1,所以,又a1-1=-150,所以數(shù)列an-1是等比數(shù)列;(2) 由(1)知:,得,從而(nÎN*);由Sn+1>Sn,得,最小正整數(shù)n=1512. (天津卷理22)在數(shù)列中,且對任

10、意,成等差數(shù)列,其公差為。()若=2k,證明成等比數(shù)列();()若對任意,成等比數(shù)列,其公比為. (i)設(shè)1.證明是等差數(shù)列; (ii)若,證明【命題意圖】本小題主要考查等差數(shù)列的定義及通項(xiàng)公式,前n項(xiàng)和公式、等比數(shù)列的定義、數(shù)列求和等基礎(chǔ)知識,考查運(yùn)算能力、推理論證能力、綜合分析和解決問題的能力及分類討論的思想方法?!窘馕觥浚ǎ┳C明:由題設(shè),可得。所以=2k(k+1)由=0,得于是。所以成等比數(shù)列。()證法一:(i)證明:由成等差數(shù)列,及成等比數(shù)列,得當(dāng)1時,可知1,k從而所以是等差數(shù)列,公差為1。()證明:,可得,從而=1.由()有所以因此,以下分兩種情況進(jìn)行討論:當(dāng)n為偶數(shù)時,設(shè)n=2m

11、()若m=1,則.若m2,則+所以(2)當(dāng)n為奇數(shù)時,設(shè)n=2m+1()所以從而···綜合(1)(2)可知,對任意,有證法二:(i)證明:由題設(shè),可得所以由可知??傻茫允堑炔顢?shù)列,公差為1。(ii)證明:因?yàn)樗浴K?,從而,。于是,由(i)可知所以是公差為1的等差數(shù)列。由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式可得= ,故。從而。所以,由,可得。于是,由(i)可知以下同證法一。13. (天津卷文22)在數(shù)列中,=0,且對任意k,成等差數(shù)列,其公差為2k.()證明成等比數(shù)列;()求數(shù)列的通項(xiàng)公式;()記,證明.【命題意圖】本小題主要考查等差數(shù)列的定義及前n項(xiàng)和公式、等比數(shù)列的定義、數(shù)列求和等基礎(chǔ)知識,考查運(yùn)算能力、推理論證能力、綜合分析和解決問題的能力及分類討論的思想方法?!窘馕觥浚↖)證明:由題設(shè)可知,。從而,所以,成等比數(shù)列。(II)解:由題設(shè)可得所以 .由,得 ,從而.所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為或?qū)憺?,。(III)證明:由(II)可知,以下分兩種情況進(jìn)行討論:當(dāng)n為偶數(shù)時,設(shè)n=2m若,則,若,則

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