第四章 矩陣力學(xué)基礎(chǔ)——表象理論

1、第四章矩陣力學(xué)基礎(chǔ)()表象理論4.1態(tài)和算符的表象表示 1態(tài)的表象表示 (1) 坐標(biāo)表象 以坐標(biāo)算符的本征態(tài)為基底構(gòu)成的表象稱為坐標(biāo)表象。以一維的x坐標(biāo)為例。算符本征方程是 (4-1-1)本征函數(shù)是量子態(tài)總可按x的本征函數(shù)系展開，得 （4.1.2）展開系數(shù)必就是該量子態(tài)在x表象的表示，即波函數(shù)。 (2) 動量表象 以動量算符的本征態(tài)為基底構(gòu)成的表象是動量表象。選x為自變量，動量算符的本征函數(shù)是平面波。以動量算符為例，其本征態(tài)為： (4 .1 .3)將量子態(tài)按展開 (4 .1 .4)C(px)就是動量表象中的波函數(shù)。這正是第二章中已熟知的結(jié)果。 動量表象也可以用動量為自變量表示。在Px表象中，粒

2、子具有確定動量分量Px的波函數(shù)是以Px為自變量的函數(shù) （4.1.5）在動量表象中的波函數(shù)也可以用類似于(4. 1. 2)式的方式給出。(3) 任意表象設(shè)有某一線性厄米算符。為敘述方便起見，假定算符具有分立本征值譜。它的本征方程為 (4.1.6)將波函數(shù)按算符的正交歸一本征函數(shù)系展開 （4.1.7）展開系數(shù)an(t)就是波函數(shù)必在Q表象中的表示。它可由的正交歸一性推出。將(4.1.7)式兩邊分別乘并對空間積分，得 (4 .1 .8)an(t)的物理意義是：當(dāng)體系處在以(r,t)所描述的狀態(tài)時，力學(xué)量Q具有確定值Qn的概率是具有和波函數(shù)統(tǒng)計解釋相同的概率解釋。因此我們可以用一組系數(shù)(t)代替戶(,

3、t)來描述該狀態(tài)。將數(shù)列a 1(t)，a2(t)，an(t)，寫成一個列矩陣，則(r,t)在Q表象的表示為 （4.1.9）它的共軛矩陣是 （4.1.10）歸一條件是 （4.1.10） (4.1.9)式是波函數(shù)在Q表象中的表示。 現(xiàn)在對上述態(tài)的表象表示作些說明： (i)希爾伯特空間，空間的維數(shù)等于完備、正交、歸一的本征函數(shù)系中本征函數(shù)的個數(shù)，它可以是有限維的，也可以是無窮維的，而且空間的基底既可以是個實(shí)向量也可以是個復(fù)函數(shù)。態(tài)矢量是個復(fù)矢量。 (ii)剛好是的本征態(tài)，滿足 (4.1.11)由于已歸一，故有,代入(4-1-8)式，得 （4.1.12）(iii) 本征譜連續(xù)，則相應(yīng)的表示式為 (4.

4、1.13) (4.1.14) (4.1.15) 波函數(shù)在表象中用相應(yīng)的連續(xù)的列矩陣表示。(iiii)，可以給出下述對應(yīng)關(guān)系 量子態(tài)希爾伯特空間中的態(tài)矢量； 波函數(shù)態(tài)矢量在特定基底中的分量，可用列矩陣或用函數(shù)表示； 任意算符的本征函數(shù)系表象的基； 不同表象不同基，不同坐標(biāo)系；本征函數(shù)基矢；厄米算符的本征函數(shù)系一組完備的基矢 2算符的表象表示假定在原來的x表象中，波函數(shù) 經(jīng)算符作用后變?yōu)榱硪徊ê瘮?shù) ，即 （4.1.16）只是x的函數(shù)。將及分別按展開 （4.1.17） （4.1.18）則在表象中，態(tài)和分別由 及 這兩個列矩陣表示。將（4.1.17）及（4.1.l8）式代入4.1.16式，得 （4.1

5、.19）以乘（4.1.19）式兩端并對x作積分，得即 （4.1.20）其中 （4.1.21）（4.1.20）式也可直接用矩陣表示為 （4.1.21）（4.1.21）式是算符在 表象中的表示。在選定表象后，算符對一個矩陣。這個矩陣的第n行第m列的矩陣元Fnm是算符 作用在第m個基矢um(x)后得出的函數(shù) 與第n個基矢的內(nèi)積。 容易將上述結(jié)果推廣到連續(xù)譜的情況。作為例子，假定算符就是動量算符，則在動量表象中的矩陣元是 （4.1.24）若是厄米算符，則它在表象所對應(yīng)的矩陣必為厄米矩陣.的確，對(4.1.21)式取復(fù)數(shù)共厄并由的厄米性得 (4.1.25)這說明矩陣F與它的共扼矩陣相等 (4. 1.26

6、)因此F是厄米矩陣。 如果選擇的表象就是算符自身的表象，在表象中，算符對應(yīng)的矩陣元是 （4.1.27）(4-1.27)式表明:算符在自身的表象中對應(yīng)對角矩陣，對角線上的元素就是算符的本征值。4.2矩陣力學(xué)表述 在引入特定表象后，量子力學(xué)中的所有公式都可用矩陣表述，從而構(gòu)成矩陣力學(xué)。仍以表象為例，量子力學(xué)公式可通過下述公式表示:1波函數(shù)， （4.2.1） (2) 算符算符用矩陣表示，其矩陣元滿足 （m=1,2,.） (4.2.3) (3)平均值公式 （4.2.4） (4)歸一條件 將波函數(shù)及其共扼復(fù)數(shù)式按表象的基矢展開，即將(4. 1. 17)式代入歸一條件后，得 (4.2.6) (4.2.6)

7、式用矩陣形式表示為=1 (4.2.7)或記為 （4.2.8）（5） 本征值方程 算符的本征值方程為 （4.2.9）其中為本征值。將及在表象中表示出來，可得（4.2.9）式的矩陣形式： （4.2.10）（4.2.10）式可改寫成 （4.2.11）或 （4.2.12）方程（4.2.12）式是一個齊次線性代數(shù)方程組： ( m=1,2,n.) (4.2.13)這個方程組具有非零解的條件是它的系數(shù)行列式為零，即 (4.2.14) (4.2.14)式稱為久期方程，解久期方程得到一組的值:它們就是算符的 本征值。重根，因為這時體系可能有簡并。 (6) 薛定諤方程將(4.1.7)式代入薛定謬方程中，

8、可得出在表 象中的薛定諤方程，為 （4.2.15）在(4.2.15)式兩邊左乘，并對空間積分，得 （j1，2，.） (4.2.16)其中 （4.2.17） (4.2.16)式用矩陣形式寫出來是 （4.2.18）如果選取的表象就是能量表象，即算符就是。(4.2.17)式中的。.就是的本征函數(shù)，則顯然有 （4.2.19）這說明H是個對角矩陣，其對角線上的元素就是能蚤本征值。因此，求能量本征值的問題也就是使算符對應(yīng)的矩陣對角化的問題。如果不顯含時間t，求解定態(tài)的薛定謬方程就是求解哈密頓算符的本征值方程，按前面的討論，在矩陣力學(xué)中可把它歸結(jié)為算矩陣元及求解一組線性齊次代數(shù)方程組，用它代替波動力學(xué)中的求

9、解偏微分方程。這里又看到求解薛定諤方程的第三種方案:如果只涉及求薛定謬方程的能譜，即的本征值，也可以用矩陣運(yùn)算的方法，使所對應(yīng)的矩陣對角化而求得。將(4.2.19)式代入(4.2.16)式，得 （4.2.20） (4.2.20)式的解是 （4.2.21）在能量表象中定態(tài)波函數(shù)的振幅隨時間作簡諧振動，這正是波動力學(xué)中我們熟知的結(jié)果。4.3么正變換 設(shè)算符的本征函數(shù)為算符的本征函數(shù)為算符在A表象中的矩陣元為 (m,n=1,2,.) (4.3.1)在B表象中的矩陣元為 () (4.3.2)為找出A表象和B表象之間的關(guān)系，將表象中的本征函數(shù)按表象的本征函數(shù)系展開 （） （4.3.3） （） （4.3.

10、4） (4.3. 3 )及(4.3.4)式中的展開系數(shù)滿足 (4.3.5) (4.3.6)(4.3.3)式和(4.3.4)式可寫成矩陣形式， (4. 3.7) (4.3.8)或簡寫為 (4.3.9) (4.3.10)由(4.3.7)式及(4.3.8)式可見,S矩陣是個變換矩陣，通過S矩陣可以將A表象中的基矢變換為B表象中的基矢。(4.3.9)和(4.3.10)式中店是矩陣的轉(zhuǎn)置矩陣。是S的共扼矩陣。算符是聯(lián)系兩個不同表象A和B之間的變換. 現(xiàn)在討論變換S所滿足的條件.利用公式(4.3.3)和(4-3.4)式，及本征函數(shù)系的正交歸一性，有 (4.3.11)或?qū)懗?(4 .3.12)I是單位矩陣.

11、 不但如此，還可以證明 (4.3.13)的確，由 (4 .3.14)再將按展開 (4.3.15)將(4.3.15)式代入(4.3. 14)式，得 = (4.3.16)兩個表象之間的變換矩陣S滿足 (4 .3.17)滿足(4.3.17)式的矩陣稱為么正矩陣。從一個表象到另一個表象之間的變換是么正變換。必須強(qiáng)調(diào)指出，一般說來，么正矩陣的條件不同于厄米矩陣的條件，因為一般S并不等于 1. 1.       算符的變換 在B表象中，算符的矩陣元是知。在A表象中，算符的矩陣元是.它們兩者之間的關(guān)系是 (4.3.18)(4.3.18)式寫成矩陣形

12、式是 (4.3.19)或 (4.3.20) 2.波函數(shù)的變換考察波函數(shù)從A表象到B表象的變化。將分別按A表象和B表象的本征函數(shù)系及展開 （4.3.21） （4.3.22）在A表象和B表象的表示分別為兩個列矩陣: （4.3.23）利用(4-3.4)式、(4.3.21)式、(4.3.22)式和本征函數(shù)系的正交歸一性，得dxdx (4.3.24)或用矩陣形式寫作 (4.3.25)a=Sb (4. 3. 26) 3.么正變換不改變算符的本征值 算符在A表象中的本征方程是 (4.3.27)為相應(yīng)的本征值。作表象變換，使得從A表象經(jīng)過一個么正變換S換到B表象，由于，因此在B表象中，算符相應(yīng)的矩陣滿足 (4

13、-3-28) (4.3.29)或?qū)懽?(4.3.30)在方程(4.3.30)式的兩邊同時乘上后，再對k求和得 (4. 3.31)利用S的么正性，即,代入上式后得 (4 .3.32)將(4.3.32)式用矩陣形式寫出，即 (4.3.33) (4.3.33)式表明，S矩陣的第l列正是算符對應(yīng)于本征值為的本征函數(shù).因此，一般說來，要使算符對應(yīng)的矩陣對角化，就要求出對應(yīng)的本征函數(shù)系，然后把對應(yīng)于不同本征值的本征函數(shù)按列排好以構(gòu)成么正矩陣S，則必為對角矩陣。由此可見，除我們很容易找出么正矩陣S的一些特殊情況之外，一般說來，這種方法并未帶來太多好處。因為如果我們能求解方程(4.3.33)式以給出相應(yīng)于的本

14、征函數(shù)，自然也就得出了相應(yīng)的本征值。這種求本征值的方案，與其說提供了一種新的方案，毋寧說找到了一種可以驗證原來求解本征方程是否正確的行之有效的方法。 4-矩陣F的陣跡在么正變換下不變 矩陣的陣跡在物理上常常和物理量的觀測值聯(lián)系起來。比方說在統(tǒng)計物理學(xué)中每，自由能就和正則系綜的配分函數(shù)聯(lián)系在一起，而在能量表象中，正則配分函數(shù)實(shí)際上就是分布函數(shù)的跡: (4.3.34)式中|n>記的第n個本征態(tài)。可以證明，和的本征值相似，的陣跡在表象變換下不變。的確，在表象變換下，算符F變?yōu)椋?(4.3.35)的陣跡trF與所取的表象無關(guān)。 5.含時間的么正變換 (4.3.36)若已知初始時刻t0時的波函數(shù)

15、為，原則上可以通過求解(4.3.36)式給出以后任何時刻的波函數(shù)滬(t )，設(shè)和可以通過一個算符U(t)聯(lián)系起來，即 (4 .3.37)公稱為演化算符?，F(xiàn)在來求U (t)滿足的條件。將(4.3.37)式代入(4.3.36)式，注意到是任意波函數(shù)，可以得出U(t)所滿足的方程為 (4 .3.38)算符所滿足的初始條件是U(0)=1 (4.3.39)若不顯含t，滿足U(O)=1條件的方程(4-3-38)的解為 (4.3.40)顯然是么正算符，因為右 .U(t)所對應(yīng)矩陣是么正矩陣。 4. 4狄拉克符號 以符號|>表示一個態(tài)矢量，稱為刃矢，或簡稱刃(ket)。為表示某一個確定的刃矢常將A寫在|

16、>中,即|>.由于量子力學(xué)中的波函數(shù)可以是復(fù)數(shù)，或者說，希爾伯特空間是復(fù)空間，因此相應(yīng)的態(tài)矢量是個復(fù)矢量。故而除了刃矢|>外，也可以用它的共扼復(fù)式來表示，記作t1,稱為刁矢，或簡稱刁(bra),表示一個確定刁矢B的狄拉克符號是(B)。如同一個復(fù)數(shù)的實(shí)部和虛部(或取為復(fù)數(shù)和它的共扼復(fù)數(shù))是兩個獨(dú)立的部分一樣，刃矢和刁矢也是兩種性質(zhì)不同的相互獨(dú)立的矢量。選定表象后，它們在同一表象中的相應(yīng)分量互為共扼復(fù)數(shù) (1)標(biāo)量積 在同一表象中，|A>和<B|相應(yīng)的分量的乘積之和稱為|A>與<B|的標(biāo)量積，簡稱標(biāo)積。記作<B|A顯然，標(biāo)量積滿足<B|A &g

17、t;=<A|B> (4.4.2)若<B|A>=0,則稱態(tài)矢量|A>和<B|正交。歸一條件為 <A|A>1 (4.4.3)若|A>,|B>為某一線性厄米算符對應(yīng)于本征值i和j的本征態(tài)，將|A>和<B|分別記為|i>和|j>,則其正交歸一條件為 <i|j>=1 (4.4.4)若能譜為連續(xù)譜，比方在x表象中，二的本征函數(shù)的正交歸一條件是 (4-4.5)在p表象中,P的正交歸一條件是 (4.4-6) 2完備系和態(tài)矢量的狄拉克符號表示由于厄米算符的本征函數(shù)組成完備系，因而表示這些本征函數(shù)的刃矢(或刁矢)也組成

18、完備系，記為謐k7。態(tài)矢量可用這套刃矢展開: (4.4.7)展開系數(shù)為 （4.4.8）代入(4.4.7)式得 （4.4.9） 由(4.4.9)式可見，定義算符為 (4.4.10)它對任何矢量的運(yùn)算，相當(dāng)于把這個矢量投影到基矢上去，使它變成在基矢k)方向上的分量，即 (4.4.11)稱為投影算符。由(4. 4. 9 )式還可看出，由于任意，有 (4.4.11)式就是本征函數(shù)的封閉性。如果是坐標(biāo)表象，本征函數(shù)是連續(xù)譜本征函數(shù)，封閉性可寫成 (4.4.12)如果是動量表象，封閉性可寫成 (4.4.13)如果在某一本征函數(shù)系既有分立譜又有連續(xù)譜，封閉性表示為 （4.4.14）在Q表象中，態(tài)和的標(biāo)積可寫

19、成: (4.4.14)這正是 4. 4. l 式，如果選擇的表象是x表象，其本征函數(shù)是函數(shù)，波函數(shù)在x表象的內(nèi)積是 （4.4.15）(3)算符的狄拉克符號表示算符作用在態(tài)矢量中，得出另一個態(tài)矢量 (4.4.16)如同在矢量空間中通過一個運(yùn)算將一個矢量變成另一個矢量一樣，此式并未選定具體的表象。 現(xiàn)在在Q表象中將算符用狄拉克符號表示出來，由 (4.4.17)在上式的最后一步用了(4.4.11)式。(4. 4.17)式其實(shí)就是公式的狄拉克符號表示，而(4.4.18)就是公式的狄拉克符號表示。的本征方程 (4.4.19)在表象中的表示是 (4.4.20)即 (4.4.21)或?qū)懗?(4.4.22)(

20、4.4.22)式是(4. 2. 13)式的狄拉克符號表示。特別若就是哈密頓算符，薛定謬方程可寫為 (4 .4.23)在表象中， (4.4 .23)(4.4.23)式就是(4.2.16)式。定態(tài)的薛定愕方程的矩陣形式用狄拉克符號寫出是 (4，4 .24)平均值公式是 (4，4 .25)在Q表象中，(4. 4.25)式為 (4，4 .26) (4)表象變換的狄拉克符號表示 設(shè)A表象的基矢為|m>,),B表象的基矢為，必在A表象中的表示為 (4 .4.27)在B表象中的表示為 (4 .4.28)雖然有 (4 .4.29)方程(4.4.29)式其實(shí)就是公式，即(4.3.26)式。因此是B表象的基

21、矢在A表象的投影，正是么正變換所對應(yīng)的么正矩陣.這正是(4.3.5)式。 §4.5線性諧振子和占有數(shù)表象 線性諧振子的哈密頓算符是 (4 .5. 1)算符滿足泊松關(guān)系 = (4.5.2)利用對易關(guān)系公式 (4.5.3)可求得算符的運(yùn)動方程分別為 (4 .5.4) (4.5.5) (4.5.4)式和(4.5.5)式的物理意義是顯明的。(4-5-4)式就是動量,而(4-5-5)式就是因為。引入無量綱算符 (4.5.6)線性諧振子的哈密頓算符(4.5.1)式可改寫為 (4. 5.7)在(4.5.7)式中,和以完全同等的方式出現(xiàn)。引入兩個新的算符和，令 （4.5.8） （4.5.9）這些算符

22、之間滿足的對易關(guān)系是 ,= (4.5.10)-i,=1(4.5.11) (4.5.12) (4.5.13)利用(4.5.7)( 4. 5.8)和(4-5-9)式，可以將坐標(biāo)算符和，表示成: (4.5.14) (4 .5.15) (4.5.16)在(4.5. 16)式中，只出現(xiàn)算符項，不出現(xiàn)及等項。設(shè)若算符具有本征值n,n=0,1,2,(4. 5. 16)式將直接給出諧振子的能譜，而且n, 的本征態(tài)也就是算符的本征態(tài)。 現(xiàn)在來證明上述說法成立。記的本征方程為 (4.5 .17)則由(4.5. 16)式得) (4 .5.18)又因(>本身就是>的模的平方，故有 <> (4.

23、 5.19)由（4.5.18）及（4.5.19）式得 （4.5.20）即 （4.5.21） 等號只在滿足=0時才成立。最小的值，即介最低的本征值為。 為求出其他的本征值，由(4. 5. 12)及(4-5. 16)式，有 （4.5.22）即 |>=() (4 .5.23) (4.5.24)=(4.5.25) 因此，也是的本征態(tài)，相應(yīng)的本征值為亦即,，也是介的本征值。而且這個本征值系列只有當(dāng)=0時才會中斷。但事實(shí)上不可能為零，因為由(4.5.11)和(4.5.16)式得) （4.5.26）若0，則(4. 5. 25)式右端為零，從而得出這和的最低的本征值為即(4.5.21)式矛盾。因此本征值

24、系列,.,無上界。的本征值譜是 （n=0,1,2,） (4.5.27)這正是我們熟知的線性譜振子的結(jié)果。在自身的表象中，所對應(yīng)的矩陣是 (4 .5.28)現(xiàn)在來求在能量表象中,的矩陣表示。為方便起見，以|0>,|1>,|n>記的本征值分別為,.等的本征矢，即 (4.5.29) (4.5.30) 為求出算符在能量表象中的矩陣表示，先計算矩陣元 (4.5.31)另外，由(4-5.30)式，又直接可得 (4.5.32)由(4.5.31)和(4. 5.32)式有=0 (4.5.33)或?qū)懗?0 (4.5.34)即 （4.5.35）同理，對于算符的矩陣元，有 （4.5.36）以及. (

25、4.5.37)比較(4.5.36)及(4.5.37)式得 =0 （4.5.38）即 （4.5.39）綜合(4.5.35)及(4.5.39)式，對于算符和，只有矩陣元及不為零?，F(xiàn)在來求這些矩陣元的數(shù)值。由對易關(guān)系(4.5.11)式得 (4.5.40)再由本征函數(shù)得的封閉性，有 (4，5, 41)利用(4.5.35)及(4.5.39)式，可將(4.5.41)寫 （4.5.42）即 （4.5.43）同理，由 (4.5.44)得(4.5.45)或?qū)懗?（4.5.46）對（4.5.6.46）式逐次遞推后.得 （4.5.47）即和的矩陣元為 （4.5.48） （4.5.49）由(4. 5. 43),(4. 5. 48)及(4. 5. 49)式，我們最后得出算符和所對應(yīng)的矩陣是 ,(4.5.50) (4.5.50)式表明，和所對應(yīng)的矩陣都不是厄米矩陣，和都不是厄米算符。但算符是厄米算符。而且由公式(4-5. 16)式可見，它的本征態(tài)就是的本征態(tài)，相應(yīng)的本征值是n (4.5.51)算符稱為粒子數(shù)算符。也是的本征態(tài)，相應(yīng)的本征值為+1)。引入準(zhǔn)粒子概念后，相應(yīng)的態(tài)是。因此有 (4 .5.52)因為和是同一個態(tài)(4. 5. 52)式中的是特定 的依賴于n的常數(shù)。 (4.5.53)(4. 5.52)和(4.5.53)式的共扼方程是 (4.5.54) (4 .5.