第四章 矩陣力學(xué)基礎(chǔ)——表象理論

1、第四章矩陣力學(xué)基礎(chǔ)()表象理論4.1態(tài)和算符的表象表示 1態(tài)的表象表示 (1) 坐標(biāo)表象 以坐標(biāo)算符的本征態(tài)為基底構(gòu)成的表象稱為坐標(biāo)表象。以一維的x坐標(biāo)為例。算符本征方程是 (4-1-1)本征函數(shù)是量子態(tài)總可按x的本征函數(shù)系展開(kāi)，得 （4.1.2）展開(kāi)系數(shù)必就是該量子態(tài)在x表象的表示，即波函數(shù)。 (2) 動(dòng)量表象 以動(dòng)量算符的本征態(tài)為基底構(gòu)成的表象是動(dòng)量表象。選x為自變量，動(dòng)量算符的本征函數(shù)是平面波。以動(dòng)量算符為例，其本征態(tài)為： (4 .1 .3)將量子態(tài)按展開(kāi) (4 .1 .4)C(px)就是動(dòng)量表象中的波函數(shù)。這正是第二章中已熟知的結(jié)果。 動(dòng)量表象也可以用動(dòng)量為自變量表示。在Px表象中，粒

2、子具有確定動(dòng)量分量Px的波函數(shù)是以Px為自變量的函數(shù) （4.1.5）在動(dòng)量表象中的波函數(shù)也可以用類似于(4. 1. 2)式的方式給出。(3) 任意表象設(shè)有某一線性厄米算符。為敘述方便起見(jiàn)，假定算符具有分立本征值譜。它的本征方程為 (4.1.6)將波函數(shù)按算符的正交歸一本征函數(shù)系展開(kāi) （4.1.7）展開(kāi)系數(shù)an(t)就是波函數(shù)必在Q表象中的表示。它可由的正交歸一性推出。將(4.1.7)式兩邊分別乘并對(duì)空間積分，得 (4 .1 .8)an(t)的物理意義是：當(dāng)體系處在以(r,t)所描述的狀態(tài)時(shí)，力學(xué)量Q具有確定值Qn的概率是具有和波函數(shù)統(tǒng)計(jì)解釋相同的概率解釋。因此我們可以用一組系數(shù)(t)代替戶(,

3、t)來(lái)描述該狀態(tài)。將數(shù)列a 1(t)，a2(t)，an(t)，寫(xiě)成一個(gè)列矩陣，則(r,t)在Q表象的表示為 （4.1.9）它的共軛矩陣是 （4.1.10）歸一條件是 （4.1.10） (4.1.9)式是波函數(shù)在Q表象中的表示。 現(xiàn)在對(duì)上述態(tài)的表象表示作些說(shuō)明： (i)希爾伯特空間，空間的維數(shù)等于完備、正交、歸一的本征函數(shù)系中本征函數(shù)的個(gè)數(shù)，它可以是有限維的，也可以是無(wú)窮維的，而且空間的基底既可以是個(gè)實(shí)向量也可以是個(gè)復(fù)函數(shù)。態(tài)矢量是個(gè)復(fù)矢量。 (ii)剛好是的本征態(tài)，滿足 (4.1.11)由于已歸一，故有,代入(4-1-8)式，得 （4.1.12）(iii) 本征譜連續(xù)，則相應(yīng)的表示式為 (4.

4、1.13) (4.1.14) (4.1.15) 波函數(shù)在表象中用相應(yīng)的連續(xù)的列矩陣表示。(iiii)，可以給出下述對(duì)應(yīng)關(guān)系 量子態(tài)希爾伯特空間中的態(tài)矢量； 波函數(shù)態(tài)矢量在特定基底中的分量，可用列矩陣或用函數(shù)表示； 任意算符的本征函數(shù)系表象的基； 不同表象不同基，不同坐標(biāo)系；本征函數(shù)基矢；厄米算符的本征函數(shù)系一組完備的基矢 2算符的表象表示假定在原來(lái)的x表象中，波函數(shù) 經(jīng)算符作用后變?yōu)榱硪徊ê瘮?shù) ，即 （4.1.16）只是x的函數(shù)。將及分別按展開(kāi) （4.1.17） （4.1.18）則在表象中，態(tài)和分別由 及 這兩個(gè)列矩陣表示。將（4.1.17）及（4.1.l8）式代入4.1.16式，得 （4.1

5、.19）以乘（4.1.19）式兩端并對(duì)x作積分，得即 （4.1.20）其中 （4.1.21）（4.1.20）式也可直接用矩陣表示為 （4.1.21）（4.1.21）式是算符在 表象中的表示。在選定表象后，算符對(duì)一個(gè)矩陣。這個(gè)矩陣的第n行第m列的矩陣元Fnm是算符 作用在第m個(gè)基矢um(x)后得出的函數(shù) 與第n個(gè)基矢的內(nèi)積。 容易將上述結(jié)果推廣到連續(xù)譜的情況。作為例子，假定算符就是動(dòng)量算符，則在動(dòng)量表象中的矩陣元是 （4.1.24）若是厄米算符，則它在表象所對(duì)應(yīng)的矩陣必為厄米矩陣.的確，對(duì)(4.1.21)式取復(fù)數(shù)共厄并由的厄米性得 (4.1.25)這說(shuō)明矩陣F與它的共扼矩陣相等 (4. 1.26

6、)因此F是厄米矩陣。 如果選擇的表象就是算符自身的表象，在表象中，算符對(duì)應(yīng)的矩陣元是 （4.1.27）(4-1.27)式表明:算符在自身的表象中對(duì)應(yīng)對(duì)角矩陣，對(duì)角線上的元素就是算符的本征值。4.2矩陣力學(xué)表述 在引入特定表象后，量子力學(xué)中的所有公式都可用矩陣表述，從而構(gòu)成矩陣力學(xué)。仍以表象為例，量子力學(xué)公式可通過(guò)下述公式表示:1波函數(shù)， （4.2.1） (2) 算符算符用矩陣表示，其矩陣元滿足 （m=1,2,.） (4.2.3) (3)平均值公式 （4.2.4） (4)歸一條件 將波函數(shù)及其共扼復(fù)數(shù)式按表象的基矢展開(kāi)，即將(4. 1. 17)式代入歸一條件后，得 (4.2.6) (4.2.6)

7、式用矩陣形式表示為=1 (4.2.7)或記為 （4.2.8）（5） 本征值方程 算符的本征值方程為 （4.2.9）其中為本征值。將及在表象中表示出來(lái)，可得（4.2.9）式的矩陣形式： （4.2.10）（4.2.10）式可改寫(xiě)成 （4.2.11）或 （4.2.12）方程（4.2.12）式是一個(gè)齊次線性代數(shù)方程組： ( m=1,2,n.) (4.2.13)這個(gè)方程組具有非零解的條件是它的系數(shù)行列式為零，即 (4.2.14) (4.2.14)式稱為久期方程，解久期方程得到一組的值:它們就是算符的 本征值。重根，因?yàn)檫@時(shí)體系可能有簡(jiǎn)并。 (6) 薛定諤方程將(4.1.7)式代入薛定謬方程中，

8、可得出在表 象中的薛定諤方程，為 （4.2.15）在(4.2.15)式兩邊左乘，并對(duì)空間積分，得 （j1，2，.） (4.2.16)其中 （4.2.17） (4.2.16)式用矩陣形式寫(xiě)出來(lái)是 （4.2.18）如果選取的表象就是能量表象，即算符就是。(4.2.17)式中的。.就是的本征函數(shù)，則顯然有 （4.2.19）這說(shuō)明H是個(gè)對(duì)角矩陣，其對(duì)角線上的元素就是能蚤本征值。因此，求能量本征值的問(wèn)題也就是使算符對(duì)應(yīng)的矩陣對(duì)角化的問(wèn)題。如果不顯含時(shí)間t，求解定態(tài)的薛定謬方程就是求解哈密頓算符的本征值方程，按前面的討論，在矩陣力學(xué)中可把它歸結(jié)為算矩陣元及求解一組線性齊次代數(shù)方程組，用它代替波動(dòng)力學(xué)中的求

9、解偏微分方程。這里又看到求解薛定諤方程的第三種方案:如果只涉及求薛定謬方程的能譜，即的本征值，也可以用矩陣運(yùn)算的方法，使所對(duì)應(yīng)的矩陣對(duì)角化而求得。將(4.2.19)式代入(4.2.16)式，得 （4.2.20） (4.2.20)式的解是 （4.2.21）在能量表象中定態(tài)波函數(shù)的振幅隨時(shí)間作簡(jiǎn)諧振動(dòng)，這正是波動(dòng)力學(xué)中我們熟知的結(jié)果。4.3么正變換 設(shè)算符的本征函數(shù)為算符的本征函數(shù)為算符在A表象中的矩陣元為 (m,n=1,2,.) (4.3.1)在B表象中的矩陣元為 () (4.3.2)為找出A表象和B表象之間的關(guān)系，將表象中的本征函數(shù)按表象的本征函數(shù)系展開(kāi) （） （4.3.3） （） （4.3.

10、4） (4.3. 3 )及(4.3.4)式中的展開(kāi)系數(shù)滿足 (4.3.5) (4.3.6)(4.3.3)式和(4.3.4)式可寫(xiě)成矩陣形式， (4. 3.7) (4.3.8)或簡(jiǎn)寫(xiě)為 (4.3.9) (4.3.10)由(4.3.7)式及(4.3.8)式可見(jiàn),S矩陣是個(gè)變換矩陣，通過(guò)S矩陣可以將A表象中的基矢變換為B表象中的基矢。(4.3.9)和(4.3.10)式中店是矩陣的轉(zhuǎn)置矩陣。是S的共扼矩陣。算符是聯(lián)系兩個(gè)不同表象A和B之間的變換. 現(xiàn)在討論變換S所滿足的條件.利用公式(4.3.3)和(4-3.4)式，及本征函數(shù)系的正交歸一性，有 (4.3.11)或?qū)懗?(4 .3.12)I是單位矩陣.

11、 不但如此，還可以證明 (4.3.13)的確，由 (4 .3.14)再將按展開(kāi) (4.3.15)將(4.3.15)式代入(4.3. 14)式，得 = (4.3.16)兩個(gè)表象之間的變換矩陣S滿足 (4 .3.17)滿足(4.3.17)式的矩陣稱為么正矩陣。從一個(gè)表象到另一個(gè)表象之間的變換是么正變換。必須強(qiáng)調(diào)指出，一般說(shuō)來(lái)，么正矩陣的條件不同于厄米矩陣的條件，因?yàn)橐话鉙并不等于 1. 1.       算符的變換 在B表象中，算符的矩陣元是知。在A表象中，算符的矩陣元是.它們兩者之間的關(guān)系是 (4.3.18)(4.3.18)式寫(xiě)成矩陣形

12、式是 (4.3.19)或 (4.3.20) 2.波函數(shù)的變換考察波函數(shù)從A表象到B表象的變化。將分別按A表象和B表象的本征函數(shù)系及展開(kāi) （4.3.21） （4.3.22）在A表象和B表象的表示分別為兩個(gè)列矩陣: （4.3.23）利用(4-3.4)式、(4.3.21)式、(4.3.22)式和本征函數(shù)系的正交歸一性，得dxdx (4.3.24)或用矩陣形式寫(xiě)作 (4.3.25)a=Sb (4. 3. 26) 3.么正變換不改變算符的本征值 算符在A表象中的本征方程是 (4.3.27)為相應(yīng)的本征值。作表象變換，使得從A表象經(jīng)過(guò)一個(gè)么正變換S換到B表象，由于，因此在B表象中，算符相應(yīng)的矩陣滿足 (4

13、-3-28) (4.3.29)或?qū)懽?(4.3.30)在方程(4.3.30)式的兩邊同時(shí)乘上后，再對(duì)k求和得 (4. 3.31)利用S的么正性，即,代入上式后得 (4 .3.32)將(4.3.32)式用矩陣形式寫(xiě)出，即 (4.3.33) (4.3.33)式表明，S矩陣的第l列正是算符對(duì)應(yīng)于本征值為的本征函數(shù).因此，一般說(shuō)來(lái)，要使算符對(duì)應(yīng)的矩陣對(duì)角化，就要求出對(duì)應(yīng)的本征函數(shù)系，然后把對(duì)應(yīng)于不同本征值的本征函數(shù)按列排好以構(gòu)成么正矩陣S，則必為對(duì)角矩陣。由此可見(jiàn)，除我們很容易找出么正矩陣S的一些特殊情況之外，一般說(shuō)來(lái)，這種方法并未帶來(lái)太多好處。因?yàn)槿绻覀兡芮蠼夥匠?4.3.33)式以給出相應(yīng)于的本

14、征函數(shù)，自然也就得出了相應(yīng)的本征值。這種求本征值的方案，與其說(shuō)提供了一種新的方案，毋寧說(shuō)找到了一種可以驗(yàn)證原來(lái)求解本征方程是否正確的行之有效的方法。 4-矩陣F的陣跡在么正變換下不變 矩陣的陣跡在物理上常常和物理量的觀測(cè)值聯(lián)系起來(lái)。比方說(shuō)在統(tǒng)計(jì)物理學(xué)中每，自由能就和正則系綜的配分函數(shù)聯(lián)系在一起，而在能量表象中，正則配分函數(shù)實(shí)際上就是分布函數(shù)的跡: (4.3.34)式中|n>記的第n個(gè)本征態(tài)?？梢宰C明，和的本征值相似，的陣跡在表象變換下不變。的確，在表象變換下，算符F變?yōu)?，?(4.3.35)的陣跡trF與所取的表象無(wú)關(guān)。 5.含時(shí)間的么正變換 (4.3.36)若已知初始時(shí)刻t0時(shí)的波函數(shù)

15、為，原則上可以通過(guò)求解(4.3.36)式給出以后任何時(shí)刻的波函數(shù)滬(t )，設(shè)和可以通過(guò)一個(gè)算符U(t)聯(lián)系起來(lái)，即 (4 .3.37)公稱為演化算符?，F(xiàn)在來(lái)求U (t)滿足的條件。將(4.3.37)式代入(4.3.36)式，注意到是任意波函數(shù)，可以得出U(t)所滿足的方程為 (4 .3.38)算符所滿足的初始條件是U(0)=1 (4.3.39)若不顯含t，滿足U(O)=1條件的方程(4-3-38)的解為 (4.3.40)顯然是么正算符，因?yàn)橛?.U(t)所對(duì)應(yīng)矩陣是么正矩陣。 4. 4狄拉克符號(hào) 以符號(hào)|>表示一個(gè)態(tài)矢量，稱為刃矢，或簡(jiǎn)稱刃(ket)。為表示某一個(gè)確定的刃矢常將A寫(xiě)在|

16、>中,即|>.由于量子力學(xué)中的波函數(shù)可以是復(fù)數(shù)，或者說(shuō)，希爾伯特空間是復(fù)空間，因此相應(yīng)的態(tài)矢量是個(gè)復(fù)矢量。故而除了刃矢|>外，也可以用它的共扼復(fù)式來(lái)表示，記作t1,稱為刁矢，或簡(jiǎn)稱刁(bra),表示一個(gè)確定刁矢B的狄拉克符號(hào)是(B)。如同一個(gè)復(fù)數(shù)的實(shí)部和虛部(或取為復(fù)數(shù)和它的共扼復(fù)數(shù))是兩個(gè)獨(dú)立的部分一樣，刃矢和刁矢也是兩種性質(zhì)不同的相互獨(dú)立的矢量。選定表象后，它們?cè)谕槐硐笾械南鄳?yīng)分量互為共扼復(fù)數(shù) (1)標(biāo)量積 在同一表象中，|A>和<B|相應(yīng)的分量的乘積之和稱為|A>與<B|的標(biāo)量積，簡(jiǎn)稱標(biāo)積。記作<B|A顯然，標(biāo)量積滿足<B|A &g

17、t;=<A|B> (4.4.2)若<B|A>=0,則稱態(tài)矢量|A>和<B|正交。歸一條件為 <A|A>1 (4.4.3)若|A>,|B>為某一線性厄米算符對(duì)應(yīng)于本征值i和j的本征態(tài)，將|A>和<B|分別記為|i>和|j>,則其正交歸一條件為 <i|j>=1 (4.4.4)若能譜為連續(xù)譜，比方在x表象中，二的本征函數(shù)的正交歸一條件是 (4-4.5)在p表象中,P的正交歸一條件是 (4.4-6) 2完備系和態(tài)矢量的狄拉克符號(hào)表示由于厄米算符的本征函數(shù)組成完備系，因而表示這些本征函數(shù)的刃矢(或刁矢)也組成

18、完備系，記為謐k7。態(tài)矢量可用這套刃矢展開(kāi): (4.4.7)展開(kāi)系數(shù)為 （4.4.8）代入(4.4.7)式得 （4.4.9） 由(4.4.9)式可見(jiàn)，定義算符為 (4.4.10)它對(duì)任何矢量的運(yùn)算，相當(dāng)于把這個(gè)矢量投影到基矢上去，使它變成在基矢k)方向上的分量，即 (4.4.11)稱為投影算符。由(4. 4. 9 )式還可看出，由于任意，有 (4.4.11)式就是本征函數(shù)的封閉性。如果是坐標(biāo)表象，本征函數(shù)是連續(xù)譜本征函數(shù)，封閉性可寫(xiě)成 (4.4.12)如果是動(dòng)量表象，封閉性可寫(xiě)成 (4.4.13)如果在某一本征函數(shù)系既有分立譜又有連續(xù)譜，封閉性表示為 （4.4.14）在Q表象中，態(tài)和的標(biāo)積可寫(xiě)

19、成: (4.4.14)這正是 4. 4. l 式，如果選擇的表象是x表象，其本征函數(shù)是函數(shù)，波函數(shù)在x表象的內(nèi)積是 （4.4.15）(3)算符的狄拉克符號(hào)表示算符作用在態(tài)矢量中，得出另一個(gè)態(tài)矢量 (4.4.16)如同在矢量空間中通過(guò)一個(gè)運(yùn)算將一個(gè)矢量變成另一個(gè)矢量一樣，此式并未選定具體的表象。 現(xiàn)在在Q表象中將算符用狄拉克符號(hào)表示出來(lái)，由 (4.4.17)在上式的最后一步用了(4.4.11)式。(4. 4.17)式其實(shí)就是公式的狄拉克符號(hào)表示，而(4.4.18)就是公式的狄拉克符號(hào)表示。的本征方程 (4.4.19)在表象中的表示是 (4.4.20)即 (4.4.21)或?qū)懗?(4.4.22)(

20、4.4.22)式是(4. 2. 13)式的狄拉克符號(hào)表示。特別若就是哈密頓算符，薛定謬方程可寫(xiě)為 (4 .4.23)在表象中， (4.4 .23)(4.4.23)式就是(4.2.16)式。定態(tài)的薛定愕方程的矩陣形式用狄拉克符號(hào)寫(xiě)出是 (4，4 .24)平均值公式是 (4，4 .25)在Q表象中，(4. 4.25)式為 (4，4 .26) (4)表象變換的狄拉克符號(hào)表示 設(shè)A表象的基矢為|m>,),B表象的基矢為，必在A表象中的表示為 (4 .4.27)在B表象中的表示為 (4 .4.28)雖然有 (4 .4.29)方程(4.4.29)式其實(shí)就是公式，即(4.3.26)式。因此是B表象的基

21、矢在A表象的投影，正是么正變換所對(duì)應(yīng)的么正矩陣.這正是(4.3.5)式。 §4.5線性諧振子和占有數(shù)表象 線性諧振子的哈密頓算符是 (4 .5. 1)算符滿足泊松關(guān)系 = (4.5.2)利用對(duì)易關(guān)系公式 (4.5.3)可求得算符的運(yùn)動(dòng)方程分別為 (4 .5.4) (4.5.5) (4.5.4)式和(4.5.5)式的物理意義是顯明的。(4-5-4)式就是動(dòng)量,而(4-5-5)式就是因?yàn)椤Ｒ霟o(wú)量綱算符 (4.5.6)線性諧振子的哈密頓算符(4.5.1)式可改寫(xiě)為 (4. 5.7)在(4.5.7)式中,和以完全同等的方式出現(xiàn)。引入兩個(gè)新的算符和，令 （4.5.8） （4.5.9）這些算符

22、之間滿足的對(duì)易關(guān)系是 ,= (4.5.10)-i,=1(4.5.11) (4.5.12) (4.5.13)利用(4.5.7)( 4. 5.8)和(4-5-9)式，可以將坐標(biāo)算符和，表示成: (4.5.14) (4 .5.15) (4.5.16)在(4.5. 16)式中，只出現(xiàn)算符項(xiàng)，不出現(xiàn)及等項(xiàng)。設(shè)若算符具有本征值n,n=0,1,2,(4. 5. 16)式將直接給出諧振子的能譜，而且n, 的本征態(tài)也就是算符的本征態(tài)。 現(xiàn)在來(lái)證明上述說(shuō)法成立。記的本征方程為 (4.5 .17)則由(4.5. 16)式得) (4 .5.18)又因(>本身就是>的模的平方，故有 <> (4.

23、 5.19)由（4.5.18）及（4.5.19）式得 （4.5.20）即 （4.5.21） 等號(hào)只在滿足=0時(shí)才成立。最小的值，即介最低的本征值為。 為求出其他的本征值，由(4. 5. 12)及(4-5. 16)式，有 （4.5.22）即 |>=() (4 .5.23) (4.5.24)=(4.5.25) 因此，也是的本征態(tài)，相應(yīng)的本征值為亦即,，也是介的本征值。而且這個(gè)本征值系列只有當(dāng)=0時(shí)才會(huì)中斷。但事實(shí)上不可能為零，因?yàn)橛?4.5.11)和(4.5.16)式得) （4.5.26）若0，則(4. 5. 25)式右端為零，從而得出這和的最低的本征值為即(4.5.21)式矛盾。因此本征值

24、系列,.,無(wú)上界。的本征值譜是 （n=0,1,2,） (4.5.27)這正是我們熟知的線性譜振子的結(jié)果。在自身的表象中，所對(duì)應(yīng)的矩陣是 (4 .5.28)現(xiàn)在來(lái)求在能量表象中,的矩陣表示。為方便起見(jiàn)，以|0>,|1>,|n>記的本征值分別為,.等的本征矢，即 (4.5.29) (4.5.30) 為求出算符在能量表象中的矩陣表示，先計(jì)算矩陣元 (4.5.31)另外，由(4-5.30)式，又直接可得 (4.5.32)由(4.5.31)和(4. 5.32)式有=0 (4.5.33)或?qū)懗?0 (4.5.34)即 （4.5.35）同理，對(duì)于算符的矩陣元，有 （4.5.36）以及. (

25、4.5.37)比較(4.5.36)及(4.5.37)式得 =0 （4.5.38）即 （4.5.39）綜合(4.5.35)及(4.5.39)式，對(duì)于算符和，只有矩陣元及不為零?，F(xiàn)在來(lái)求這些矩陣元的數(shù)值。由對(duì)易關(guān)系(4.5.11)式得 (4.5.40)再由本征函數(shù)得的封閉性，有 (4，5, 41)利用(4.5.35)及(4.5.39)式，可將(4.5.41)寫(xiě) （4.5.42）即 （4.5.43）同理，由 (4.5.44)得(4.5.45)或?qū)懗?（4.5.46）對(duì)（4.5.6.46）式逐次遞推后.得 （4.5.47）即和的矩陣元為 （4.5.48） （4.5.49）由(4. 5. 43),(4. 5. 48)及(4. 5. 49)式，我們最后得出算符和所對(duì)應(yīng)的矩陣是 ,(4.5.50) (4.5.50)式表明，和所對(duì)應(yīng)的矩陣都不是厄米矩陣，和都不是厄米算符。但算符是厄米算符。而且由公式(4-5. 16)式可見(jiàn)，它的本征態(tài)就是的本征態(tài)，相應(yīng)的本征值是n (4.5.51)算符稱為粒子數(shù)算符。也是的本征態(tài)，相應(yīng)的本征值為+1)。引入準(zhǔn)粒子概念后，相應(yīng)的態(tài)是。因此有 (4 .5.52)因?yàn)楹褪峭粋€(gè)態(tài)(4. 5. 52)式中的是特定 的依賴于n的常數(shù)。 (4.5.53)(4. 5.52)和(4.5.53)式的共扼方程是 (4.5.54) (4 .5.