第五講 矩陣的分塊、矩陣的初等變換

1、第五講 矩陣的分塊、矩陣的初等變換教學(xué)目的：1. 介紹矩陣分塊時的代數(shù)運算；2. 講解矩陣的初等變換及其應(yīng)用；重點是初等變換的過程和應(yīng)用。教學(xué)內(nèi)容：第二章 矩陣§ 2.3 分塊矩陣；§ 2.4 初等變換與初等矩陣；教材相關(guān)部分：§ 2.3 分 塊 矩 陣 把一個規(guī)格較大的矩陣劃分成若干小塊，用分塊方式來處理，把大矩陣的運算轉(zhuǎn)化為小矩陣的運算，不僅能使運算較為簡明，更重要的是使運用微型計算機組合來計算大矩陣成為可能。一、矩陣的分塊：定義2.9 用一些縱、橫虛線將矩陣分割成若干小矩陣，以這些小矩陣為元素的矩陣稱為分塊矩陣，各個小矩陣稱為的子塊。如 其中 ， ， ， 。

2、也可以按行分塊： ， 或按列分塊： 。二、分塊矩陣的運算：對分塊矩陣進行運算時，可以把每一個子塊當(dāng)作矩陣的一個元素來處理，但應(yīng)保證運算的可行。1. 分塊矩陣的加法、數(shù)乘、轉(zhuǎn)置：定義2.10 設(shè)矩陣、是兩個同規(guī)格矩陣，且分塊法一致，即：，其中每一與的規(guī)格都對應(yīng)相同，則規(guī)定加法為：； (2.26) 設(shè)為數(shù)，則規(guī)定數(shù)乘為： ； (2.27) 此外，規(guī)定轉(zhuǎn)置為： 。 (2.28) 2. 分塊矩陣的乘法:定義2.11 設(shè)是矩陣，是矩陣。若將分為個子塊 ，將分為個子塊，且的列與的行分塊法一致，則規(guī)定與的乘法為： (2.29)其中，。三、分塊對角陣：若階方陣的一個分塊形式只在主對角線上有非零子塊，即，其中是

3、階小方陣（階數(shù)可不同），而其余的非主對角子塊都為零矩陣，則稱為的分塊對角矩陣。例如：若記 ， 則，。定理2.3 分塊對角陣有以下性質(zhì)：（1）若，則；（2）若為同階分塊對角陣且分塊法相同：、，則 ， ； （2.30）（3） ，； （2.31）（4）若每一，則有。 （2.32） 證：（1）證明見本章附錄。類似于（1）的證明，可以引出推論：分塊上三角陣，其中主對角子塊均為方陣（未必同階），則有 。由此可知分塊三角矩陣A可逆的充要條件是 。分塊下三角陣亦然。 （2）、（3）由分塊矩陣的加法和乘法、轉(zhuǎn)置和數(shù)乘的定義直接可得。 （4）由知存在，由 便得 。例2.11 設(shè)A =，B =，求AB。解：令，則

4、A=，B=。于是， ， =所以 AB=。例2.12 設(shè)，其中皆為可逆方陣（不必同階），求證可逆，并求。證：由（1）的推論知 ，故可逆。設(shè)，其中、分別與、是同階方陣。由，得矩陣方程組， ， ， 。 由此解出： ，所以可逆，且有 。 （2.33）類似可證 .。 （2.34）§ 2.4 初 等 變 換 與 初 等 矩 陣一、初等變換的基本過程：定義2.12 下面三種行變換稱為矩陣的初等行變換：（1） 對調(diào)兩行（對調(diào)、兩行記為），稱為對調(diào)變換；（2） 用數(shù)乘某一行中所有元素（第行乘記為），稱為倍乘變換；（3）把某一行所有元素的倍加到另一行的對應(yīng)元素上（第行的倍加到第行上記為），稱為倍加變換。

5、將定義中的“行”換成“列”，即得到矩陣的初等列變換的定義（將記號換成）。矩陣的初等行變換和矩陣的初等列變換，統(tǒng)稱為矩陣的初等變換。初等變換都存在著逆變換，如變換的逆變換就是其本身；變換的逆變換為；變換的逆變換為；稱”為等價關(guān)系，若滿足下面三條性質(zhì)：1 反身性：；2 對稱性：若有，則必有；3 傳遞性：若有、，則必有。容易驗證矩陣之間的初等變換滿足上面等價關(guān)系的三條性質(zhì)。定義2.13 如果矩陣經(jīng)有限次初等變換變成，則稱矩陣與等價。記為。初等變換的主要作用是化簡矩陣而保持其等價性(這在用矩陣解線性方程組中很重要)。化簡矩陣A的主要過程是：首先通過初等行變換把化成行階梯形矩陣（每行首個非零元素的下方全

6、是零），然后繼續(xù)用初等行變換把化成行最簡形矩陣（每一非零行的首個非零元素為1，且這些1所在列的其他元素都為零）。此后如果再用列初等變換，還可將進一步化成等價標準形。例2.13 設(shè)，用初等變換將其化簡。解：先用初等行變換將其化為行階梯形，形式上相當(dāng)于做由上而下的行消元：，就是的一個行階梯形矩陣。對繼續(xù)作初等行變換，形式上相當(dāng)于做自下而上的行回消：， 即為的一個行最簡形矩陣，是經(jīng)初等行變換所能化到的最簡形式。由定義知，。若對再進一步作初等列變換，則可得，就是的等價標準形，是所有與等價的矩陣中形式最簡單的矩陣。由等價關(guān)系的傳遞性可知，若，則、必定有相同的標準形，反之亦然。因線性方程組與其增廣矩陣是一

7、一對應(yīng)的，所以對增廣矩陣的“消元”實質(zhì)上就是對線性方程組的“消元”；在上例中，若把看成是一個增廣矩陣，則其對應(yīng)的線性方程組如下： （2.35）矩陣對應(yīng)的線性方程組： （2.36）由于只經(jīng)行變換得到，知方程組（2.36）與（2.35）等價（同解）；而（2.36）實際上就是消元所得到的最簡方程組，求解就容易得多了。特別地，若A為可逆方陣，則，由Cramer法則知，以A為系數(shù)矩陣的線性方程組有唯一解，此時最簡方程組的系數(shù)矩陣恰為單位陣E，因此A E?？梢夾可逆時，同階單位陣E既是A的行最簡形，同時也是A的等價標準形。二、初等矩陣定義2.14 單位矩陣E經(jīng)一次初等變換所得到的方陣，稱為初等矩陣。三種初

8、等變換對應(yīng)三種初等陣： 1、對調(diào)變換得對調(diào)初等矩陣：由單位矩陣的第、j行（列）對調(diào)而得到的初等矩陣。記作 2、倍乘變換得倍乘初等矩陣：由單位矩陣第行（列）乘而得到的倍乘初等矩陣。記作； 3、倍加變換得倍加初等矩陣：由單位矩陣的第行的k倍加到第行而得到（也就是由單位矩陣E的第列的k倍加到第列而得到）的初等矩陣。記作 （） （）可直接驗證：用一個初等矩陣乘矩陣的結(jié)果等于對矩陣做了一次初等變換，具體說就是： 導(dǎo)致的第，行對調(diào)；導(dǎo)致的第，列對調(diào)；導(dǎo)致的第行乘；導(dǎo)致的第列乘；導(dǎo)致的第行的倍加到第行；導(dǎo)致的第列的倍加到第列。于是立即有：定理2.4 設(shè)是一個矩陣，對進行一次初等行變換，相當(dāng)于在的左邊乘一個相

9、應(yīng)的階初等矩陣；對進行一次初等列變換，相當(dāng)于在的右邊乘一個相應(yīng)的階初等矩陣。由 ，知：初等矩陣皆可逆，且它們的逆陣仍為同類初等陣： 。定理2.5 可逆矩陣可表示為若干個初等矩陣的乘積 證：因,則，則存在初等矩陣，使，即得 。推論1 矩陣的充分必要條件是：存在階可逆矩陣及階可逆矩陣，使。(此推論證明留給讀者)推論2 對可逆矩陣和同階單位矩陣作同樣的初等行變換，則將變成單位矩陣的同時，單位矩陣也就變成了。證：由定理2.5知，若，則（其中為初等矩陣，）由此推得， 以及 。所以對A和E施行相同的初等變換，則A變成了E，E變成了推論2使我們有了一個求逆陣的更為簡便的方法，用分塊矩陣表示便是：。例2.14 設(shè)，求。解：記 故得 。利用初等變換求逆矩陣的思路還可以用于解方程組；設(shè)線性方程組的矩陣形式為，若A可逆，則線性方程組的解為，由推論2：，將E換作得到：，即將變成時，就變成，此即方程組的解。例2.15 求解方程組 。解：記 ，則方程組可寫為 。構(gòu)造增廣矩陣 ， 對施行初等行變換： ，則。當(dāng)然也可先求得（用伴隨陣或用初等變換），再得。用初等行變換求的逆矩陣（或求解線性方程組）時，不必驗證A是否可逆，如果作變換時左邊子塊出現(xiàn)了全零行，則表明不可逆，此時需要另行討論了。例2.16 解齊次方程組 。解：因為齊