第九章 定積分

1、第九章 定積分§9-1定積分的概念一 幾個(gè)典型問題1、曲邊梯形的面積（四大問題之一）步驟（圖示）：1） 任意分割；2） 以直代曲；3） 作和式（得近似值）；4） 取極限（得精確值）。2、變速直線運(yùn)動(dòng)的路程二 定積分的定義1、定義 設(shè)上有界，1） 任意分割：2） 作乘積：任取，作乘積3） 作和式：4） 取極限：若不管如何分割，如何選取，當(dāng)時(shí)，上述極限如果存在，則稱在上是可積的，并稱此極限值為上的定積分，記為 介紹名稱。引例中：注：2、可積條件充分條件：若滿足下列條件之一，則上可積：上連續(xù)；只有有限個(gè)間斷點(diǎn)的有界函數(shù)單調(diào)函數(shù)必要條件：若上可積，則在上一定有界。3 幾何意義：設(shè)上連續(xù)（1）

2、 若，則（2） 若，則（3） 若有正有負(fù)，則（圖示）例1 利用幾何意義求積分例2 用定義計(jì)算積分;例3 利用定積分表示下列和式的極限：（1） （2）§9-2定積分的性質(zhì)和積分中值定理一、定積分的性質(zhì)：設(shè)在所討論的區(qū)間上都是可積的，則有性質(zhì)1 線性性質(zhì)2 區(qū)間可加性性質(zhì)3 保號(hào)性若性質(zhì)4 不等式若 性質(zhì)5 絕對(duì)值不等式 性質(zhì)6 估值不等式 二、積分中值定理 若 (x)在a,b上連續(xù)，則至少存在一點(diǎn)a,b，使圖示說明幾何意義例1 證明: (用性質(zhì)3或中值定理都可) 例2 比較大?。鹤鳂I(yè) P168/1，2，3，4§9-3微積分基本定理變上限積分 為引出牛頓-萊布尼茲公式：，先做些

3、準(zhǔn)備工作 設(shè) (x)在a，b上可積，則對(duì)于每一個(gè)a，b， 都有唯一確定的值與之對(duì)應(yīng)，因此是一個(gè)定義在a，b上的函數(shù)，稱為積分變上限函數(shù)。 注:中x是積分上限變量,在a，b上變化;t是積分變量,在a，x上變化。圖示 從圖中討論 Th1（積分上限函數(shù)的求導(dǎo)定理）若 (x)在a,b上連續(xù)，則F(x)在a,b上一定可導(dǎo)，且有 注 1. F(x)也一定連續(xù). 2. F(x)是 (x)在上的一個(gè)原函數(shù). 3. 此定理也證明了連續(xù)的原函數(shù)一定存在.例1. 求 F(x)，其中:(1) F(x)= , (2) F(x)= ,(3) F(x)= , (4) F(x)= 例2求二牛頓-萊不尼茲公式Th2：若 (x)

4、在a,b上連續(xù)，（x）是 (x)的任意一個(gè)原函數(shù)，則有說明： 等于 (x)的任一個(gè)原函數(shù)在a，b上的增量問題：若是 (x)的兩個(gè)原函數(shù)，？答：相等。不妨設(shè)證：由定理知 也是 (x)的一個(gè)原函數(shù)，于是有說明：定理1，2統(tǒng)稱為微積分基本定理，Th1揭示了微分與積分在概念上的聯(lián)系，連續(xù)函數(shù)的積分上限函數(shù)的導(dǎo)數(shù)就是被積函數(shù)，Th2是Th1的直接推論，它把定積分的計(jì)算化為求原函數(shù)的問題，稱為牛頓萊布尼茲公式，是定積分的基本公式。例3 計(jì)算：（1）（2）（3）（4）（5）（6）作業(yè)P169/6，7§9-4定積分換元法和分部積分法復(fù)習(xí)：定積分的基本公式（N-L公式）：（F(x)是(x)的任一個(gè)原函

5、數(shù)）是求定積分的最基本原理，定積分的線性性質(zhì)及對(duì)積分區(qū)間的可加性是求定積分的基本工具。下面討論求定積分的基本方法：一、定積分的換元法例1 典型錯(cuò)誤：注：1.用湊微分法盡量不要引入新的變量,否則積分上下限要改變.2.用湊微分時(shí)不變積分基本公式一定要熟條件：x=(t)具有連續(xù)的導(dǎo)數(shù)(t)條件：（1）()=a，()=b，（2）x=(x)具有連續(xù)的導(dǎo)數(shù)(t)且a(t)b(t)注：1.用變量替代法計(jì)算定積分時(shí)積分上下限一定要改變。2.若被積函數(shù)含有例2例3例4例5 二、定積分的分部積分法 定積分的分部積分公式條件：u=u（x），v=v（x）在a，b上具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)注：u（x）v（x）上不要忘記寫上例6 例

6、7 三利用簡(jiǎn)化定積分計(jì)算的公式奇偶函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱區(qū)間上的積分設(shè)（）在，上可積，則有例8 wallis公式注wallis公式在計(jì)算，上正弦或余弦函數(shù)高次方的積分非常方便。例9（）（）（）說明：使用wallis公式應(yīng)注意（）積分區(qū)間，（）被積函數(shù)周期函數(shù)的積分設(shè)（）是一個(gè)以為周期的可積函數(shù)，則有 例10 求解：原式=作業(yè)P170/9,12§9-5.廣義積分 函數(shù)引言:定積分要求(1)a,b為有限區(qū)間； (2)(x)是有界函數(shù)。但在科技中有時(shí)會(huì)遇到區(qū)間是無窮或被積函數(shù)是無界的情形。為此需將定積分的概念加以擴(kuò)展,得到所謂廣義積分的概念。一、無窮區(qū)間上的廣義積分引例：求由曲線(x)= ，軸

7、及直線x=1右邊所圍成的“開口曲邊梯形”的面積A，（圖示）解：A=1定義1：設(shè)(x)在a,+)上連續(xù),則t(a,+),定積分存在,稱表達(dá)式 為(x)在無窮區(qū)間a,+上的廣義積分,記作 ,即= 若此極限存在,則稱廣義積分 是收斂的，此極限值就是廣義積分的值，否則稱廣義積分是發(fā)散的。類似地，注：與t是兩個(gè)獨(dú)立的變量，只有當(dāng)解：（1）原式= (2)原式= （3）原式=例3討論的收斂性解：當(dāng) p1時(shí)，=當(dāng)p=1時(shí)，=當(dāng)p>1時(shí)收斂，當(dāng)p1時(shí)發(fā)散二、無界函數(shù)的廣義積分定義2 ：（1）設(shè)f(x)在a,b上連續(xù)，在b點(diǎn)附近無界，則(0,b-a),定積分存在，稱表達(dá)式為f(x)在a,b上的無界函數(shù)廣義積

8、分，記作即=若此極限存在，則稱廣義積分是收斂的，此極限就是廣義積分的值，否則稱廣義積分是發(fā)散的。注： （1）區(qū)別上的廣義積分與定積分，記號(hào)相同;（2）若 f(x)在(a,b)上連續(xù)，在a點(diǎn)附近無界，則=(3)若在內(nèi)一點(diǎn)處附近無界，則=+=+其中與是兩個(gè)相互獨(dú)立的變量，只有當(dāng)與都斂時(shí)，廣義積分才收斂，否則是發(fā)散的例4討論下列廣義積分的收斂性，若收斂，求其值：（1） （2） （3）解： （1）原試=1（2）原試=-1（3） 不存在原廣義積分發(fā)散例5討論的收斂性解：當(dāng)0<p<1時(shí)收斂，當(dāng)p1時(shí)發(fā)散。三、函數(shù)概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)中分布的密度函數(shù)中有函數(shù)。廣義積分，當(dāng)>0時(shí)是收斂的（證明不要求），它的值隨的值而定，即，有唯一確定的值與之對(duì)應(yīng)，構(gòu)成了一個(gè)以為變量的函數(shù)。記為， 即=當(dāng)0<<1時(shí)，的函數(shù)值可查表；當(dāng)=1時(shí)，我們有=但是當(dāng)>1時(shí)，我們應(yīng)該