淺談確定解幾問題中的參數(shù)取值范圍的策略

1、淺談確定解幾問題中的參數(shù)取值范圍的策略重慶一中 李紅林求參數(shù)的取值范圍在中學數(shù)學中比比皆是，它使函數(shù)、方程與不等式、數(shù)與形、常量與變量有機地結合在一起.這類問題不僅綜合性強，而且情景新穎，能很好地考查考生的創(chuàng)新能力和潛在的數(shù)學素質(zhì)，是歷年高考命題的熱點和重點.本文結合近幾年的高考試題，對此問題的轉(zhuǎn)化方法作簡單探討.轉(zhuǎn)化策略一：構造關于目標參數(shù)的不等式建立關于目標參數(shù)的不等式，然后解出不等式，則得到所求參數(shù)的取值范圍。建立目標參數(shù)的不等式有多種途徑，常見的有：圓錐曲線的x,y取值范圍、函數(shù)的有界性、判別式、基本不等式及位置關系（點與曲線、曲線與曲線）等。通過解不等式求參數(shù)的取值范圍特別要注意必須

2、進行等價變換，不然會擴大或縮小參數(shù)的取值范圍。例1（2004年高考題重慶卷10題）已知雙曲線的左、右焦點分別為,點P在雙曲線的右支上，且,則此雙曲線的離心率e的最大值為( )A B C D 分析：因題意涉及到雙曲線的焦半徑，故可考慮利用雙曲線的兩種定義。若用第一定義則據(jù)焦半徑存在一個取值范圍能列出關于離心率的不等式；若用第二定義（焦半徑公式）則據(jù)雙曲線上的點的坐標存在取值范圍也能列出關于離心率的不等式。略解1：由雙曲線的定義可得： （點P在雙曲線的右支上） 所以選B. 略解2：點P（x,y）在雙曲線的右支上，由焦半徑公式可得： 例2(2002年高考題全國卷19題)設點到點、距離之差為，到軸、軸

3、距離之比為。求實數(shù)的取值范圍。分析：顯然點P是直線與雙曲線的交點，其交點P的橫坐標、縱坐標都與參數(shù)有，顯化這種關系，則為實數(shù)的平方，根據(jù)其有界性即可列出關于參數(shù)的不等式。略解：設點P（x,y），則，即，故點P（x,y）、M（1，0）、N（1，0）三點不共線，得,所以。因此，點P在以M、N為焦點且實軸長為的雙曲線上，故，則有，所以或。說明：通過構造關于目標參數(shù)的不等式來確定參數(shù)的取值范圍，其關鍵在于利用何種途徑來建立目標參數(shù)的不等式，選擇方案往往靈活多變，這需要積累解題經(jīng)驗，反復地玩味。另外，嚴格地說，這樣求出地取值范圍還需檢驗，因為求參數(shù)的取值范圍是尋找適合題意的充要條件。轉(zhuǎn)化策略二：構造關于

4、目標參數(shù)的函數(shù)式建立關于目標參數(shù)的函數(shù)，然后求出函數(shù)的值域，則得到所求參數(shù)的取值范圍。通過求函數(shù)的值域來確定參數(shù)的取值范圍特別要注意函數(shù)的定義域?qū)ζ渲涤虻挠绊?。圖1例3（2000年高考題全國卷22題）如圖，已知梯形ABCD中，點E分有向線段所成的比為，雙曲線過C、D、E三點，且以A、B為焦點.當時，求雙曲線離心率的取值范圍.分析：顯然雙曲線的離心率會隨著點E分有向線段所成的比的變化而變化，即是說離心率是的函數(shù)。只要能顯化這種函數(shù)關系，求出這個函數(shù)的值域即為雙曲線離心率的取值范圍.圖2略解：如圖，以AB為垂直平分線為軸，直線AB為軸，建立直角坐標系，則CD軸。因為雙曲線經(jīng)過點C、D，且以A、B為

5、焦點，由雙曲線的對稱性知C、D關于軸對稱。 依題意，記A，C，E，其中為雙曲線的半焦距，是梯形的高。由定比分點坐標公式得 ，設雙曲線的方程為，則離心率。由點C、E在雙曲線上，將點C、E的坐標和代入雙曲線方程得 ， 由式得，將式代入式，整理得 ，故。由題設得，。說明：這種策略的關鍵在于選擇合適的自變量來建立函數(shù)關系，自變量的選擇往往決定著這種策略是否成功及其難易的程度，還要特別注意函數(shù)的定義域?qū)χ涤虻挠绊憽Ｗ宰兞康倪x擇標準是：與目標參數(shù)的依存關系很明顯；構造出的函數(shù)關系式簡潔而較為容易求出值域；容易找出自變量的取值范圍。另外，本題中的兩個參數(shù)e與之間的關系也可以用參數(shù)e來表示，從而根據(jù)已知條件的

6、取值范圍可建立參數(shù)e的不等式。 轉(zhuǎn)化策略三：數(shù)形結合 圖3數(shù)與形是一對孿生的姊妹，若題目的幾何意義很明顯，則利用數(shù)形結合的手段處理往往能大大地簡化計算，有意想不到地簡潔效果。例4（2004年高考題重慶卷16題）對任意實數(shù)k，直線：與橢圓： 恒有公共點，則b取值范圍是_。分析：由所給已知條件知：無論直線的斜率如何變化，直線與橢圓恒有公共點，當且僅當該直線必過橢圓內(nèi)或橢圓上的定點，所求參數(shù)b的幾何意義是直線在y軸上的截距，即直線與y軸的交點必在橢圓內(nèi)或橢圓上.略解：整理橢圓的方程可得圖3，如圖3所示：令x0可得到橢圓與y軸得交點坐標：（0，3）、（0，1），又結合橢圓的圖形可得：.說明：數(shù)形結合思想方法解決問題的關鍵是能夠根據(jù)題目所給條件的結構特征把它正確地圖形化，所以要熟習常見的代數(shù)式的幾何意義和由式子的結構聯(lián)想到某個公式的結構特征，如各種常見曲線方程的形式、距離公式的結構根式特征、斜率公式的分式結構特征等。請讀者不妨嘗試從其他角度解決本題，以體會數(shù)形結合的簡潔之處。在高三復習中，我們需要研究典型問題的典型解法，如果能夠這樣研究，往往需要自動地疏理知識，有助于形