湖南省師大附中高一數(shù)學(xué)下學(xué)期期末考試試題

1、湖南師大附中2017 2018學(xué)年度高一第二學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)時(shí)量：120分鐘 滿分：150分第I卷(滿分100分)一、選擇題：本大題共11個(gè)小題，每小題5分，共55分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中, 只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1 .若a, b, c是平面內(nèi)任意三個(gè)向量，入e R,下列關(guān)系式中，不一定成立的是A. a+ b= b+ a B .入(a+ b)=入 a+ 入 bC. (a+b) + c= a+( b+c) D . b=入 a2.下列命題正確的是A.若a、b都是單位向量，則 a= bB.若 品=氏 則A、B、C、D四點(diǎn)構(gòu)成平行四邊形C.若兩向量a、b相等，則它們是起點(diǎn)、終點(diǎn)都相同的向量D.

2、ABW B端兩平行向量3. cos 12cos 18sin 12sin 18的值等于A/ 八.2B. 1 C. -1 D.喙2224.函數(shù)tan xf(x) =1+tan2x的最小正周期為兀AJ B.5.b是非零向量，則下列不等式中不恒成立的是A.| a+b| < I a| +| b| B . | a| - | b| < I a+b|C.| a| - | b| < I a| + | b| D . |a|<|a + b|6.兀函數(shù) f(x) =Asin( wx+ (j) )A, w ,()為常數(shù)，A>0, 3 > 0, |()|<萬 的部分圖象如圖所不，

3、則f(兀)=15A.-B小C2 B. 2 C.7.如圖，角a、3均以O(shè)x為始邊，終邊與單位圓 。分別交于點(diǎn) A B,則OAOB=A.C. cos( a 3 ) D . cos( a + 3 )8.兀兀 LT ,已知"4< a v 2，且 sina =盤，貝U sin a cos a的值是10A.上BC B. C.兀兀19-已知“C 0,萬，cos -+a =3,則sin "的值等于A 2V2-V36B.C.D .2m-16兀兀10.將函數(shù)y = 3sin 2x + y的圖象向右平移"2個(gè)單位長度，所得圖象對應(yīng)的函數(shù)A.在區(qū)間總72上單調(diào)遞減B.在區(qū)間% 上單

4、調(diào)遞增兀 兀C,在區(qū)間一式，彳上單調(diào)遞減63兀 兀d.在區(qū)間一至，"3上單調(diào)遞增11.設(shè)。是平面上一定點(diǎn)， A B、C是該平面上不共線的三點(diǎn)，動點(diǎn) P滿足OP= OA+AbAc| Ab| , cos B | AC|cos C入e 0, +00 ),則點(diǎn)p的軌跡必經(jīng)過 abc的A.外心B .內(nèi)心C .重心D .垂心答題卡題號1234567891011得分答案、填空題：本大題共 3個(gè)小題，每小題 5分，共15分.,TT 一一12 .已知直線*=彳是函數(shù)f(x) =sin(2x +。)的圖象上的一條對稱軸，則實(shí)數(shù)。的最小正值為.13 .已知 sin a + cos 3 = 1, cos a

5、 + sin 3=0,則 sin( a + 3 ) = .14.已知 AbxAC, | aB|=1.點(diǎn)P為線段BC上一點(diǎn)，滿足AP=ABAC| Ab| 4| Ac若點(diǎn)Q為 ABC外接圓上一點(diǎn)，則 AQ- AP勺最大彳1等于 三、解答題：本大題共 3個(gè)小題，共30分.15 .(本小題滿分8分)5sin a cos a已知;=1.cos a + sin a(1)求tan a的值；，兀 ，,-(2)求 tan 2a+ 的值.16 .(本小題滿分10分)L兀已知向量 a=(，2sina , 1) , b= 1, sin a + 若角a的終邊過點(diǎn)(3, 4),求a b的值；(2)若a/ b,求銳角”的大

6、小.17 .(本小題滿分12分)兀一。已知函數(shù) f(x) = sin x sin x /cos x.求f(x)的最小正周期和最大值；兀 2兀(2)討論f(x)在 6, 上的單調(diào)性.第n卷(滿分50分)一、填空題：本大題共2個(gè)小題，每小題 6分.Sn 7n+ 2a2+ a2018 .兩等差數(shù)列an和bn,其前n項(xiàng)和分別為 S、Tn,且= ;一，則7H廠等于I n n 十 3b7十 bl5(x+1) +sin x 19 .設(shè)函數(shù)f(x) =.+i的最大值為M,最小值為R則m=.二、解答題：本大題共 3個(gè)小題，共38分，解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步 驟.20 .(本小題滿分12分)如圖，在四

7、棱錐 P ABCtD, PAL底面 ABCD ADL AB, AB/ DC AD= DG= AF 2, AB= 1,點(diǎn)E為棱PC的中點(diǎn).(1)證明：BE! DC(2)求直線BE與平面PBD所成角的正弦值.21 .(本小題滿分13分)在四邊形 ABCM, AD/ BG AB=/,Z A= 120° , BA 3.求AD的長；(2)若/BCD= 105° ,求四邊形 ABCD勺面積.22 .(本小題滿分13分)已知函數(shù) f(x) =x|x a| + bx(a , bC R).(1)當(dāng)b= 1時(shí)，函數(shù)f(x)恰有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，求實(shí)數(shù) a的值；(2)當(dāng) b=1 時(shí)，若對于任意 x

8、C 1 , 3,恒有f(x)<2>/x + ,求a的取值范圍; x若a>0,求函數(shù)f(x)在區(qū)間0, 2上的最大值g(a).湖南師大附中2017-2018學(xué)年度高一第二學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)參考答案湖南師大附中2017-2018學(xué)年度高一第二學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)參考答案、選擇題題號1234567891011答案DDACDBCBCBD1 .D 【解析】選項(xiàng) A,根據(jù)向量的交換律可知正確；選項(xiàng) B,向量具有數(shù)乘的分配律， 可知正確；選項(xiàng)C,根據(jù)向量的結(jié)合律可知正確；選項(xiàng)D, a, b不一定共線，故D不正確.故選D.2 . D【解析】A.單位向量長度相等，但方向不一定相同，故 A不對；B.A

9、、R C、D 四點(diǎn)可能共線，故 B不又C.只要方向相同且長度相等，則這兩個(gè)向量就相等，與始點(diǎn)、終點(diǎn)無關(guān)，故C不對；D.因A所口 BAT向相反，是平行向量，故 D對.故選D.3. A【解析】cos 123=y,故選A.cos 18 ° sin 12sin 18=cos (12。+ 18° ) =cos 304. C【解析】函數(shù)f(x)tan x1 + tan xsin xcos xcos x+ sin x1，2sin 2x的取小正周期為故選C.5. D【解析】由向量模的不等關(guān)系可得：| a| | b| w | a+ b|<|a| + | b|.|a+b| <| a

10、| +| b| ,故 A恒成立.|a| -|b| <| a+b| ,故 B恒成立.| a| - | b| < I a+ b| < I a| + | b| ,故 C恒成立.令 a=(2, 0), b = (2, 0),則 |a|=2, |a+b| =0,則 D不成立.故選 D.6. B【解析】根據(jù)函數(shù)的圖象 A= 2.由圖象得：T= 4 TT-=兀, 123所以 w = - = 2.兀7tf7t當(dāng) x = 3-時(shí)，f =/2sin 2 +() =0,+ kTt .k C Z.2()= k 兀，3,兀 一,一兀 一一 .r兀由于| <M< "2",

11、取 k= 1,解得：。="3，所以 f(x) =A/2sin 2x + -.則：f(兀)=喙,故選B.7. C【解析】根據(jù)題意，角a , 3均以O(shè)x為始邊，終邊與單位圓。分別交于點(diǎn)A,B,貝U A(cos a , sin a ) , B(cos 3 , sin 3 ),則有 OA- Ob= cos a cos 3 + sin a sin 3 = cos ( a 3 );故選C.8. B 【解析】-1 (sin a cos a ) 2= sin 2 a 2sin a cos a + cos 2 a3sinez,間為=(sin又 sin(sin得sin9.sincossin=sin10.

12、 B2 a + cos 2 a ) 2sin a cos a ；a + cos a = 1 , sin a cos ac COSc COsc cosa ) = 1 -2X =25；=+5一 5，2知-2-<sin a <1, 0<cosa的值是p.故選B.【解析】 & £ (0兀1 /口6+a=3，佝. 兀s = sin + a7t7tsin兀萬人兀石十7167t6- + a cos cos 至十【解析】將y = 3sin化簡可得調(diào)遞增，故選11. D所以AP-2 二<2-,故有 sin a cos a > 0,1 cos2 + a61 2 .l

13、6- 1x -=、3 26.故選C.兀 兀 一.2x+的圖象向右平移;個(gè)單位長度后得到327t兀 一一 ，一3,即y=3sin 2x-3-的圖象，令一萬十2女兀2* 7t7兀2兀,k Z,即函數(shù) y = 3sin 2x 一工-37兀成+kTt , kCZ,令 k=0,可得y= 3sin 2x 馬在區(qū)間3的單調(diào)遞增區(qū)上單B.【解析】由題意可得 OP- OA= AP=入AB- BCAC- BCBC=入=入-1 Bc| +1 bC|軌跡經(jīng)過 ABC的垂心,二、填空題12.兀【解析】故選(略)ABAC| ab| ,cos B | ac|cos C+ cos B | Ac| cos C=0,所以 APX

14、BC,D.即點(diǎn)P在BC邊的高所在直線上，即點(diǎn)1，一13. 2【解析】sinc + COs3 = 1,兩邊平方可得:cos a + sin兩邊平方可得:sin 2 acos+ 2sin a+ 2cos acos 3 +cossin 3 + sin由 +得：2+ 2(sin a cos B + cos a sin 3)=1, IP 2 + 2sin( a + B)=1, 2sin( a + B ) = 1.1 sin( a + 3 ) = 2t)14)17_ 一一14.-8 【解析】AB! AC,AC= (0 , t), P為線段|aB| i 麗=i,建立如圖所示坐標(biāo)系，設(shè)一 AB Ac 1ax

15、|ab4|aC| -t tBC上一點(diǎn)，可設(shè)1。十小1T，tN1 Bt，1 t) =(1，N0 ， C(0, P(1 ,1L =T11t 一 一= 一 一 入i 44 ，1解之得t =2.B( 2, 0)12 .顯然p 114為BC中點(diǎn)，點(diǎn)P為 ABC外接圓圓心.Q在 ABC外接圓上，又當(dāng)aq過點(diǎn)p時(shí)| aQ|有最大值為2| AP|172 ，max 248此時(shí)APwAQ夾角為 0=0° , cos 0=1.(AP aQ)三、解答題L. ,什,5sin a cos a 一口 5tan a 115【斛析】由題息，cos a”由cos -sin a = 1 ,可得1+tan a =1,1即

16、5tan a 1=1+tan a ,解得 tan a = 2.(4 分)2tan a 4由得tan 2 a = 7T=3分)兀 tan 2 a + 1tan 2" + 7=-I816 .【解析】(1)角&.,sin a = y = 4r 5cos的終邊過點(diǎn)(3a =X = 3；r 54)，.二 r =132 + 42 = 5a - b = "72sina +=*J2sina + sin a兀cos-+ cos兀sin 一44+ 巖福平=呼.(5分)(2)若 a / b,則/sin a sin a+ 4=1, .兀兀即寸2sin a sin a cos-4- + co

17、s a sin =1,sin 2 a + sin a cos a = 1 ,- sin a cos a = 1 sin a = cos a ,對銳角a有cos a w 0,.tan a = 1,TT.，銳角a = .(10分)17.【解析】(1)f(x)= sin "2"一x sin x /cos 2x=cos xsin x 2(1 + cos 2x)13333Tt33= ,sin 2x -2-cos 2x 2-= sin 2x 一弓-,因此f(x)的最小正周期為兀,最大值為2匚.(6分)(2)當(dāng)xC 三，不-時(shí)，0w 2x 兀，從而當(dāng)0w2x，即假 w xw令時(shí)，f(x)

18、 63332612 兀兀52 7t.單倜遞增；2w 2x 兀即12兀 xw3時(shí)，f(x)單倜遞減.綜上可知，f(x)在 g 4o"上單調(diào)遞增；在 77，上單調(diào)遞減.(12分) 612123149a2 + a20 a1+a21 S21 14918.14【斛析】b7+b15=b1+b21 = T21 = 14.x2+ 1 + 2x + sin x2x + sin x19 . 2 【解析】可以將函數(shù)式整理為 f(x) =x=1+ x2+1，不妨2x+ sin x令g(x) = x2+ 1 ，易知函數(shù)g(x)為奇函數(shù)關(guān)于原點(diǎn)對稱，函數(shù) f(x)圖象關(guān)于點(diǎn)(0 , 1)對稱.若x=xo時(shí)，函數(shù)

19、f(x)取得最大值 M,則由對稱性可知，當(dāng) x= xo時(shí)，函數(shù)f(x) 取得最小值 m,因此，M1+ m= f(x o)+f( -xo) = 2.20 .【解析】(1)如圖，取PD中點(diǎn)M,連接EM AM.由于E、M分別為PG PD的中點(diǎn)，故 1EM/ DC且EM= pc又由已知，可得 EMM/ AB且EM= AR故四邊形 ABEM平行四邊形，所 以 BE/ AM.因?yàn)镻L底面 ABCD故PL CD而 CDL DA 從而 CDL平面 PAD因?yàn)?AM 平面PAR 于是 CDL AM 又 BE/ AM 所以 BH CD.（5 分）（2）連接BM由（1）有CDL平面PAD得CDLPR 而 EM/ C

20、D 故 PDLEM 又因?yàn)?AD= AP, M為PD的中點(diǎn)，故 PDLAM 可得 PDL BE,所以PDL平面BEM故平面BEML平面PBD.所以直線BE在平面PBD內(nèi)的射影為直 線BM而BE! EM可得/ EBM為銳角，故/ EBM為直線BE與平面PBD所成的角.依題意，有PD= 2寸2,而M為PD中點(diǎn)，可得 AM=退進(jìn)而BE= J2.故在直角三角形BEM43, tan/EBM= EM= AB=工,因此 sin Z EBM=幸.BE BE 23所以直線BE與平面PBD所成角的正弦值為 坐.（13分）321 .【解析】（1）二.在四邊形 ABCDK3+AE2-92X3XAD由余弦定理得 cos

21、 120AD/ BG AB=4 A A= 120° , BD= 3.解得AD=取舍去AD= 2艱）, .AD的長為小.（5分）120° ） = 30°，又 AD/ BG / DBC1（2） -. AB= AD= g/A= 120°ADB=萬（180 =/ADB= 30° . /BCD= 105° , Z DBC= 30° , . . / BDC= 180° 105° 30° =45° , BCD43,由、一 BC3正弦定理得解得BC= 343-3.（9分）sin 45 sin 105v

22、11-9 一一從而 S；abda 2BC- BDsinZ DBC=萬 x （3 妙3） x 3X sin 30= 4（41） . （10 分）生abd= 1ABXADsin A= gxmxV3Xsin 120 ° = 3/3.（11 分）S= S>A ABd+ S>ABDC= 1呼一9.（13 分） 422.【解析】（1）當(dāng) b=1 時(shí)，f（x） =x|xa | -x = x（|x - a| - 1）,由 f（x） = 0,解得 x= 0 或|x - a| = 1, 由|x -a| = 1,解得 x= a+ 1 或 x = a 1. f（x）恰有兩個(gè)不同的零點(diǎn)且a+1wa 1,a+ 1 = 0 或 a 1 = 0,得2=±1.（4 分）（2）當(dāng) b= 1 時(shí)，f（x） = x|x - a| +x,對于任意 xC1, 3，恒有f（X）, xx|x a| + x . t即w 2 yjx +1）即 |x a|W2 Jx+ 1 1,. x 1 , 3時(shí)，24x+1 -1>0,1-1 2>x+ 1 <x a<2 yjx+ 1 1,a< x + 2/x+ 1 1,即xC 1 , 3時(shí)恒有 成立.a>x 2/x+ 1 + 1,令 t =xT7,當(dāng) xC 1 , 3時(shí)，t e 也，2