2015高考數(shù)學(xué)（理）（第九章 9.6拋物線）一輪復(fù)習(xí)題

1、§9.6拋物線1拋物線的概念平面內(nèi)與一個定點(diǎn)F和一條定直線l(l不過F)的距離相等的點(diǎn)的集合叫作拋物線點(diǎn)F叫作拋物線的焦點(diǎn)，直線l叫作拋物線的準(zhǔn)線2拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程與幾何性質(zhì)標(biāo)準(zhǔn)方程y22px (p>0)y22px(p>0)x22py(p>0)x22py(p>0)p的幾何意義：焦點(diǎn)F到準(zhǔn)線l的距離圖形頂點(diǎn)O(0,0)對稱軸y0x0焦點(diǎn)FFFF離心率e1準(zhǔn)線方程xxyy范圍x0，yRx0，yRy0，xRy0，xR開口方向向右向左向上向下1判斷下面結(jié)論是否正確(請在括號中打“”或“×”)(1)平面內(nèi)與一個定點(diǎn)F和一條定直線l的距離相等的點(diǎn)的軌跡一定是拋物

2、線(×)(2)方程yax2(a0)表示的曲線是焦點(diǎn)在x軸上的拋物線，且其焦點(diǎn)坐標(biāo)是(，0)，準(zhǔn)線方程是x.(×)(3)拋物線既是中心對稱圖形，又是軸對稱圖形(×)(4)AB為拋物線y22px(p>0)的過焦點(diǎn)F(，0)的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1x2，y1y2p2，弦長|AB|x1x2p.()2設(shè)拋物線y28x的準(zhǔn)線與x軸交于點(diǎn)Q，若過點(diǎn)Q的直線l與拋物線有公共點(diǎn)，則直線l的斜率的取值范圍是()A.B2,2C1,1D4,4答案C解析Q(2,0)，設(shè)直線l的方程為yk(x2)，代入拋物線方程，消去y整理得k2x2(4k28)x4k20，由

3、(4k28)24k2·4k264(1k2)0，解得1k1.3(2012·四川)已知拋物線關(guān)于x軸對稱，它的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)O，并且經(jīng)過點(diǎn)M(2，y0)若點(diǎn)M到該拋物線焦點(diǎn)的距離為3，則|OM|等于()A2B2C4 D2答案B解析由題意設(shè)拋物線方程為y22px(p>0)，則M到焦點(diǎn)的距離為xM23，p2，y24x.y4×28，|OM|2.4動圓過點(diǎn)(1,0)，且與直線x1相切，則動圓的圓心的軌跡方程為_答案y24x解析設(shè)動圓的圓心坐標(biāo)為(x，y)，則圓心到點(diǎn)(1,0)的距離與到直線x1的距離相等，根據(jù)拋物線的定義易知動圓的圓心的軌跡方程為y24x.5若拋物線y2

4、2px的焦點(diǎn)與橢圓1的右焦點(diǎn)重合，則p的值為_答案4解析因?yàn)闄E圓1的右焦點(diǎn)為(2,0)，所以拋物線y22px的焦點(diǎn)為(2,0)，則p4.題型一拋物線的定義及應(yīng)用例1已知拋物線y22x的焦點(diǎn)是F，點(diǎn)P是拋物線上的動點(diǎn)，又有點(diǎn)A(3,2)，求|PA|PF|的最小值，并求出取最小值時點(diǎn)P的坐標(biāo)思維啟迪由定義知，拋物線上點(diǎn)P到焦點(diǎn)F的距離等于點(diǎn)P到準(zhǔn)線l的距離d，求|PA|PF|的問題可轉(zhuǎn)化為求|PA|d的問題解將x3代入拋物線方程y22x，得y±.>2，A在拋物線內(nèi)部，如圖設(shè)拋物線上點(diǎn)P到準(zhǔn)線l：x的距離為d，由定義知|PA|PF|PA|d，當(dāng)PAl時，|PA|d最小，最小值為，即|

5、PA|PF|的最小值為，此時P點(diǎn)縱坐標(biāo)為2，代入y22x，得x2，點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2,2)思維升華與拋物線有關(guān)的最值問題，一般情況下都與拋物線的定義有關(guān)由于拋物線的定義在運(yùn)用上有較大的靈活性，因此此類問題也有一定的難度“看到準(zhǔn)線想焦點(diǎn)，看到焦點(diǎn)想準(zhǔn)線”，這是解決拋物線焦點(diǎn)弦有關(guān)問題的重要途徑已知點(diǎn)P是拋物線y22x上的一個動點(diǎn)，則點(diǎn)P到點(diǎn)(0,2)的距離與點(diǎn)P到該拋物線準(zhǔn)線的距離之和的最小值為()A.B3 C.D.答案A解析拋物線y22x的焦點(diǎn)為F(，0)，準(zhǔn)線是l，由拋物線的定義知點(diǎn)P到焦點(diǎn)F的距離等于它到準(zhǔn)線l的距離，因此要求點(diǎn)P到點(diǎn)(0,2)的距離與點(diǎn)P到拋物線的準(zhǔn)線的距離之和的最小值，可

6、以轉(zhuǎn)化為求點(diǎn)P到點(diǎn)(0,2)的距離與點(diǎn)P到焦點(diǎn)F的距離之和的最小值，結(jié)合圖形不難得出相應(yīng)的最小值就等于焦點(diǎn)F到點(diǎn)(0,2)的距離因此所求的最小值等于 ，選A.題型二拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)例2拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，對稱軸為y軸，它與圓x2y29相交，公共弦MN的長為2，求該拋物線的方程，并寫出它的焦點(diǎn)坐標(biāo)與準(zhǔn)線方程思維啟迪首先確定方程的形式，根據(jù)條件列方程確定方程中的系數(shù)解由題意，得拋物線方程為x22ay (a0)設(shè)公共弦MN交y軸于A，N在y軸右側(cè)，則|MA|AN|，而|AN|.|ON|3，|OA|2，N(，±2)N點(diǎn)在拋物線上，52a·(±2)，即2a

7、7;，故拋物線的方程為x2y或x2y.拋物線x2y的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，準(zhǔn)線方程為y.拋物線x2y的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，準(zhǔn)線方程為y.思維升華(1)由拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，可以首先確定拋物線的開口方向、焦點(diǎn)的位置及p的值，再進(jìn)一步確定拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程(2)求拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程的常用方法是待定系數(shù)法，其關(guān)鍵是判斷焦點(diǎn)位置、開口方向，在方程的類型已經(jīng)確定的前提下，由于標(biāo)準(zhǔn)方程只有一個參數(shù)p，只需一個條件就可以確定拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程(1)設(shè)斜率為2的直線l過拋物線y2ax(a0)的焦點(diǎn)F，且和y軸交于點(diǎn)A.若OAF(O為坐標(biāo)原點(diǎn))的面積為4，則拋物線方程為()Ay2±4xBy2±8xCy24xD

8、y28x(2)(2013·江西)已知點(diǎn)A(2,0)，拋物線C：x24y的焦點(diǎn)為F，射線FA與拋物線C相交于點(diǎn)M，與其準(zhǔn)線相交于點(diǎn)N，則|FM|MN|等于()A2B12 C1D13答案(1)B(2)C解析(1)直線方程為y2(x)，令x0，得y，故有4·|·|，a±8，y2±8x.(2)由拋物線定義知M到F的距離等于M到準(zhǔn)線l的距離MH.即|FM|MN|MH|MN|FO|AF|1.題型三拋物線焦點(diǎn)弦的性質(zhì)例3設(shè)拋物線y22px(p>0)的焦點(diǎn)為F，經(jīng)過點(diǎn)F的直線交拋物線于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)C在拋物線的準(zhǔn)線上，且BCx軸證明：直線AC經(jīng)過原點(diǎn)O.

9、思維啟迪證直線AC經(jīng)過原點(diǎn)O，即證O、A、C三點(diǎn)共線，為此只需證kOCkOA.本題也可結(jié)合圖形特點(diǎn)，由拋物線的幾何性質(zhì)和平面幾何知識去解決證明方法一設(shè)AB：xmy，代入y22px，得y22pmyp20.由根與系數(shù)的關(guān)系，得yAyBp2，即yB.BCx軸，且C在準(zhǔn)線x上，C(，yB)則kOCkOA.直線AC經(jīng)過原點(diǎn)O.方法二如圖，記準(zhǔn)線l與x軸的交點(diǎn)為E，過A作ADl，垂足為D.則ADEFBC.連接AC交EF于點(diǎn)N，則，.|AF|AD|，|BF|BC|，|EN|NF|，即N是EF的中點(diǎn)，從而點(diǎn)N與點(diǎn)O重合，故直線AC經(jīng)過原點(diǎn)O.思維升華本題的“幾何味”特別濃，這就為本題注入了活力在涉及解析思想較

10、多的證法中，關(guān)鍵是得到y(tǒng)AyBp2這個重要結(jié)論還有些證法充分利用了平面幾何知識，這也提醒廣大師生對圓錐曲線幾何性質(zhì)的重視，也只有這樣才能挖掘出豐富多彩的解析幾何題目已知拋物線y22px(p>0)的焦點(diǎn)為F，A(x1，y1)、B(x2，y2)是過F的直線與拋物線的兩個交點(diǎn)，求證：(1)y1y2p2，x1x2；(2)為定值；(3)以AB為直徑的圓與拋物線的準(zhǔn)線相切證明(1)由已知得拋物線焦點(diǎn)坐標(biāo)為(，0)由題意可設(shè)直線方程為xmy，代入y22px，得y22p(my)，即y22pmyp20.(*)則y1、y2是方程(*)的兩個實(shí)數(shù)根，所以y1y2p2.因?yàn)閥2px1，y2px2，所以yy4p2

11、x1x2，所以x1x2.(2).因?yàn)閤1x2，x1x2|AB|p，代入上式，得(定值)(3)設(shè)AB的中點(diǎn)為M(x0，y0)，分別過A、B作準(zhǔn)線的垂線，垂足為C、D，過M作準(zhǔn)線的垂線，垂足為N，則|MN|(|AC|BD|)(|AF|BF|)|AB|.所以以AB為直徑的圓與拋物線的準(zhǔn)線相切題型四直線與拋物線的位置關(guān)系例4已知拋物線C：ymx2(m>0)，焦點(diǎn)為F，直線2xy20交拋物線C于A，B兩點(diǎn)，P是線段AB的中點(diǎn)，過P作x軸的垂線交拋物線C于點(diǎn)Q.(1)求拋物線C的焦點(diǎn)坐標(biāo)(2)若拋物線C上有一點(diǎn)R(xR,2)到焦點(diǎn)F的距離為3，求此時m的值(3)是否存在實(shí)數(shù)m，使ABQ是以Q為直角頂

12、點(diǎn)的直角三角形？若存在，求出m的值；若不存在，說明理由思維啟迪拋物線上的點(diǎn)到拋物線的焦點(diǎn)距離，往往轉(zhuǎn)化為該點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離解(1)拋物線C：x2y，它的焦點(diǎn)F(0，)(2)|RF|yR，23，得m.(3)存在，聯(lián)立方程消去y得mx22x20，依題意，有(2)24×m×(2)>0m>.設(shè)A(x1，mx)，B(x2，mx)，則(*)P是線段AB的中點(diǎn)，P(，)，即P(，yP)，Q(，)得(x1，mx)，(x2，mx)，若存在實(shí)數(shù)m，使ABQ是以Q為直角頂點(diǎn)的直角三角形，則·0，即(x1)·(x2)(mx)(mx)0，結(jié)合(*)化簡得40，即2m23

13、m20，m2或m，而2(，)，(，)存在實(shí)數(shù)m2，使ABQ是以Q為直角頂點(diǎn)的直角三角形思維升華(1)直線與拋物線的位置關(guān)系和直線與橢圓、雙曲線的位置關(guān)系類似，一般要用到根與系數(shù)的關(guān)系；(2)有關(guān)直線與拋物線的弦長問題，要注意直線是否過拋物線的焦點(diǎn)，若過拋物線的焦點(diǎn)，可直接使用公式|AB|x1x2p，若不過焦點(diǎn)，則必須用一般弦長公式(3)涉及拋物線的弦長、中點(diǎn)、距離等相關(guān)問題時，一般利用根與系數(shù)的關(guān)系采用“設(shè)而不求”“整體代入”等解法提醒：涉及弦的中點(diǎn)、斜率時一般用“點(diǎn)差法”求解已知一條曲線C在y軸右邊，C上每一點(diǎn)到點(diǎn)F(1,0)的距離減去它到y(tǒng)軸距離的差都是1.(1)求曲線C的方程；(2)是否

14、存在正數(shù)m，對于過點(diǎn)M(m,0)且與曲線C有兩個交點(diǎn)A，B的任一直線，都有·0？若存在，求出m的取值范圍；若不存在，請說明理由解(1)設(shè)P(x，y)是曲線C上任意一點(diǎn)，那么點(diǎn)P(x，y)滿足：x1(x0)化簡得y24x(x0)(2)設(shè)過點(diǎn)M(m,0)(m0)的直線l與曲線C的交點(diǎn)為A(x1，y1)，B(x2，y2)設(shè)l的方程為xtym，由得y24ty4m0，16(t2m)0，于是又(x11，y1)，(x21，y2)，·0(x11)(x21)y1y2x1x2(x1x2)1y1y20.又x，于是不等式等價于·y1y210y1y210.由式，不等式等價于m26m14t2

15、.對任意實(shí)數(shù)t,4t2的最小值為0，所以不等式對于一切t成立等價于m26m10，即32m32.由此可知，存在正數(shù)m，對于過點(diǎn)M(m,0)且與曲線C有兩個交點(diǎn)A，B的任一直線，都有·0，且m的取值范圍是(32，32)直線與圓錐曲線問題的求解策略典例：(12分)設(shè)拋物線C：y22px(p>0)的焦點(diǎn)為F，直線l過F且與拋物線C交于M，N兩點(diǎn)，已知當(dāng)直線l與x軸垂直時，OMN的面積為2(O為坐標(biāo)原點(diǎn))(1)求拋物線C的方程；(2)是否存在直線l，使得以MN為對角線的正方形的第三個頂點(diǎn)恰好在y軸上，若存在，求直線l的方程；若不存在，請說明理由思維啟迪(1)求MN的長，由面積得p的值；(

16、2)問題的幾何條件是：線段MN的中垂線與y軸的交點(diǎn)和M，N構(gòu)成等腰直角三角形，因此依次待定直線，表示中點(diǎn)，得中垂線與y軸交點(diǎn)，利用直角邊垂直關(guān)系列式求解規(guī)范解答解(1)當(dāng)直線l與x軸垂直時，則|MN|2p，SOMN·2p·2，即p2.拋物線C的方程為y24x.4分(2)直線l與x軸垂直時，不滿足設(shè)正方形的第三個頂點(diǎn)為P.故可設(shè)直線l：yk(x1)(k0)，M(x1，y1)，N(x2，y2)，P(0，y0)，聯(lián)立可化簡得k2x2(2k24)xk20，則代入直線l可得MN的中點(diǎn)為(，)，則線段MN的垂直平分線為y(x1)，故P(0，)8分又·0，則x1x2(y1y0)

17、(y2y0)0.即x1x2y1y2y0(y1y2)y0.14y0·y0，化解得ky4y03k0，由y0代入上式，化簡得(3k44)(k21)0.解得k± .存在直線l：y± (x1)12分解決直線與圓錐曲線的位置關(guān)系的一般步驟：第一步：聯(lián)立方程，得關(guān)于x或y的一元二次方程；第二步：寫出根與系數(shù)的關(guān)系，并求出>0時參數(shù)范 圍(或指出直線過曲線內(nèi)一點(diǎn))第三步：根據(jù)題目要求列出關(guān)于x1x2，x1x2的關(guān)系 式，求得結(jié)果；第四步：反思回顧，查看有無忽略特殊情況溫馨提醒本題主要考查拋物線的幾何性質(zhì)，直線與拋物線的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識，同時考查解析幾何的基本思想方法和綜合

18、解題能力(1)題比較基礎(chǔ)，易于掌握；(2)題的基本點(diǎn)是設(shè)而不求，難點(diǎn)是如何把幾何條件轉(zhuǎn)化為代數(shù)方程，重點(diǎn)考查解題思想與方法，其中我們要習(xí)慣于把垂直關(guān)系轉(zhuǎn)化為向量的數(shù)量積為零方法與技巧1認(rèn)真區(qū)分四種形式的標(biāo)準(zhǔn)方程(1)區(qū)分yax2與y22px (p>0)，前者不是拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程(2)求標(biāo)準(zhǔn)方程要先確定形式，必要時要進(jìn)行分類討論，標(biāo)準(zhǔn)方程有時可設(shè)為y2mx或x2my(m0)2拋物線的焦點(diǎn)弦：設(shè)過拋物線y22px (p>0)的焦點(diǎn)的直線與拋物線交于A(x1，y1)，B(x2，y2)，則：(1)y1y2p2，x1x2；(2)若直線AB的傾斜角為，則|AB|；(3)若F為拋物線焦點(diǎn)，則有.

19、失誤與防范1求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程時一般要用待定系數(shù)法求p值，但首先要判斷拋物線是否為標(biāo)準(zhǔn)方程，以及是哪一種標(biāo)準(zhǔn)方程2注意應(yīng)用拋物線的定義解決問題A組專項(xiàng)基礎(chǔ)訓(xùn)練(時間：40分鐘)一、選擇題1拋物線yx2的焦點(diǎn)坐標(biāo)是()A(0，) B(，0)C(0，) D(，0)答案C解析把原方程先化為標(biāo)準(zhǔn)方程x22y，則2p2，即焦點(diǎn)坐標(biāo)為(0，)，故選C.2(2013·四川)拋物線y24x的焦點(diǎn)到雙曲線x21的漸近線的距離是()A.B.C1 D.答案B解析拋物線y24x的焦點(diǎn)F(1,0)，雙曲線x21的漸近線是y±x，即x±y0，所求距離為.選B.3已知拋物線y22px(p>

20、;0)，過其焦點(diǎn)且斜率為1的直線交拋物線于A、B兩點(diǎn)，若線段AB的中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為2，則該拋物線的準(zhǔn)線方程為()Ax1 Bx1Cx2 Dx2答案B解析y22px的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(，0)，過焦點(diǎn)且斜率為1的直線方程為yx，即xy，將其代入y22px，得y22pyp2，即y22pyp20.設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則y1y22p，p2，拋物線的方程為y24x，其準(zhǔn)線方程為x1.4已知拋物線y22px(p>0)的焦點(diǎn)弦AB的兩端點(diǎn)坐標(biāo)分別為A(x1，y1)，B(x2，y2)，則的值一定等于()A4 B4 Cp2Dp2答案A解析若焦點(diǎn)弦ABx軸，則x1x2，則x1x2；若焦點(diǎn)弦AB不垂直于

21、x軸，可設(shè)AB：yk(x)，聯(lián)立y22px得k2x2(k2p2p)x0，則x1x2.即x1x2，則y1y2p2.故4.5 如圖，拋物線C1：y22px和圓C2：(x)2y2，其中p>0，直線l經(jīng)過C1的焦點(diǎn)，依次交C1，C2于A，B，C，D四點(diǎn)，則·的值為()Ap2B.C.D.答案B解析設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為F，A(x1，y1)，D(x2，y2)，則|AB|AF|BF|x1x1，同理|CD|x2.又·|AB|CD|x1·x2.二、填空題6若點(diǎn)P到直線y1的距離比它到點(diǎn)(0，3)的距離小2，則點(diǎn)P的軌跡方程是_答案x212y解析由題意可知點(diǎn)P到直線y3的距離等于它到

22、點(diǎn)(0，3)的距離，故點(diǎn)P的軌跡是以點(diǎn)(0,3)為焦點(diǎn)，以y3為準(zhǔn)線的拋物線，且p6，所以其標(biāo)準(zhǔn)方程為x212y.7已知過拋物線y24x的焦點(diǎn)F的直線交該拋物線于A、B兩點(diǎn)，|AF|2，則|BF|_.答案2解析設(shè)A(x0，y0)，由拋物線定義知x012，x01，則直線ABx軸，|BF|AF|2.8已知拋物線C：y22px(p0)的準(zhǔn)線為l，過M(1,0)且斜率為的直線與l相交于點(diǎn)A，與C的一個交點(diǎn)為B，若AM，則p_.答案2解析如圖，由AB的斜率為，知60°，又AM，M為AB的中點(diǎn)過點(diǎn)B作BP垂直準(zhǔn)線l于點(diǎn)P，則ABP60°，BAP30°.M為焦點(diǎn)，即1，p2.三

23、、解答題9 如圖，已知拋物線y22px (p>0)有一個內(nèi)接直角三角形，直角頂點(diǎn)在原點(diǎn)，兩直角邊OA與OB的長分別為1和8，求拋物線的方程解設(shè)直線OA的方程為ykx，k0，則直線OB的方程為yx，由得x0或x.A點(diǎn)坐標(biāo)為，同理得B點(diǎn)坐標(biāo)為(2pk2，2pk)，由|OA|1，|OB|8，可得÷解方程組得k664，即k24.則p2.又p>0，則p，故所求拋物線方程為y2x.10(2013·福建)如圖，拋物線E：y24x的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線l與x軸的交點(diǎn)為A.點(diǎn)C在拋物線E上，以C為圓心，|CO|為半徑作圓，設(shè)圓C與準(zhǔn)線l交于不同的兩點(diǎn)M，N.(1)若點(diǎn)C的縱坐標(biāo)為2，求

24、|MN|；(2)若|AF|2|AM|·|AN|，求圓C的半徑解(1)拋物線y24x的準(zhǔn)線l的方程為x1.由點(diǎn)C的縱坐標(biāo)為2，得點(diǎn)C的坐標(biāo)為(1,2)，所以點(diǎn)C到準(zhǔn)線l的距離d2，又|CO|，所以|MN|222.(2)設(shè)C(，y0)，則圓C的方程為(x)2(yy0)2y，即x2xy22y0y0.由x1，得y22y0y10，設(shè)M(1，y1)，N(1，y2)，則由|AF|2|AM|·|AN|，得|y1y2|4，所以14，解得y0±，此時>0.所以圓心C的坐標(biāo)為(，)或(，)，從而|CO|2，|CO|，即圓C的半徑為.B組專項(xiàng)能力提升(時間：30分鐘)1設(shè)F為拋物線

25、y24x的焦點(diǎn)，A，B，C為該拋物線上三點(diǎn)，若0，則|等于()A9 B6 C4 D3答案B解析設(shè)A(x1，y1)、B(x2，y2)、C(x3，y3)，又F(1,0)由0知(x11)(x21)(x31)0，即x1x2x33，|x1x2x3p6.2已知拋物線C：y24x的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l，過拋物線C上的點(diǎn)A作準(zhǔn)線l的垂線，垂足為M，若AMF與AOF(其中O為坐標(biāo)原點(diǎn))的面積之比為31，則點(diǎn)A的坐標(biāo)為()A(2,2) B(2，2)C(2，±) D(2，±2)答案D解析如圖所示，由題意，可得|OF|1，由拋物線的定義，得|AF|AM|，AMF與AOF(其中O為坐標(biāo)原點(diǎn))的面積之比為31，3，|AF|AM|3，設(shè)A，13，解得y0±2.2，點(diǎn)A的坐標(biāo)是(2，±2)3(2012·安徽)過拋物線y24x的焦點(diǎn)F的直線交該拋物線于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)若|AF|3，則AOB的面積為()A.B.C.D2答案C解析如圖所示，由題意知，拋物線的焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為(1,0)