2.1數(shù)列的概念與簡單表示法(一)

1、第二章.數(shù)列§2.1數(shù)列的概念與簡單表示法（一）學習目標1 .理解數(shù)列及其有關(guān)概念（難點）；2.理解數(shù)列的通項公式，并會用通項公式寫出數(shù)列的任意一項（重點）；3.對于比較簡單的數(shù)列，會根據(jù)其前幾項寫 出它的一個通項公式.書前預習I自主學習，積淀基硼預習教材P2829完成下列問題：知識點一數(shù)列的概念L數(shù)列與數(shù)列的項按照一定順序排列的一列數(shù)稱為數(shù)列，數(shù)列中的每一個數(shù)叫做這個數(shù)列的項.數(shù) 列中的每一項都和它的序號有關(guān)，排在第一位的數(shù)稱為這個數(shù)列的第1項（通常 也叫做首項），排在第二位的數(shù)稱為這個數(shù)列的第2項，排在第位的數(shù) 稱為這個數(shù)列的第二項.2 .數(shù)列的表示方式數(shù)列的一般形式可以寫成41

2、,。2，M，簡記為3 .數(shù)列中的項的性質(zhì)：（1）確定性；（2）可重復性；（3）有序性.【預習評價】1 .數(shù)列的項和它的項數(shù)是否相同？提示數(shù)列的項與它的項數(shù)是不同的概念.數(shù)列的項是指這個數(shù)列中的某一個確 定的數(shù)，是一個函數(shù)值，也就是相當于角?）,而項數(shù)是指這個數(shù)在數(shù)列中的位置 序號，它是自變量的值，相當于火，?）中的兒2 .數(shù)列 1,2,3,4,5,數(shù)列 5,3,2,4, 1 與1 , 2 , 3,4,5有什么區(qū)別?提示 數(shù)列1 ,2, 3,4,5和數(shù)列5, 3, 2,4, 1為兩個不同的數(shù)列，因為二者 的元素順序不同，而集合1 , 2 , 3,4 , 5與這兩個數(shù)列也不相同，一方面形式 上不一

3、致，另一方面，集合中的元素具有無序性.知識點二數(shù)列的分類1.按項的個數(shù)分類類別含義有窮數(shù)列項數(shù)有限的數(shù)列無窮數(shù)列項數(shù)無限的數(shù)列2 .按項的變化趨勢分類類別含義遞增數(shù)列從第2項起，每一項都旦它的前一項的數(shù)列遞減數(shù)列從第2項起，每一項都好它的前一項的數(shù)列常數(shù)列各項相等的數(shù)列擺動數(shù)列從第2項起，有些項大于它的前一項,有些項小于它的前一項 的數(shù)列【預習評價】（正確的打“ J ，錯誤的打“義”）數(shù)列1 , 2 , 3,4 ,，2是無窮數(shù)列（）由所有的自然數(shù)構(gòu)成的數(shù)列均為遞增數(shù)列（）提示（1）中的數(shù)列是有窮數(shù)列，共有2項.題中“由所有的自然數(shù)構(gòu)成的數(shù)列”是否遞增，取決于這些自然數(shù)排列的順序，未必全是遞增的

4、，如2 , 1 , 3,4,5 ,并不是遞增數(shù)列.答案（1）X （2）X知識點三數(shù)列的通項公式如果數(shù)列斯的第3項與序號之間的關(guān)系可以用一個式子來表示,那么這個式 子叫做這個數(shù)列的通項公式.【預習評價】已知下列數(shù)列的前4項，你能寫出它們的一個通項公式嗎?)0112)1 -2120提示(1 )。 = ir - l(nGN")(-1 ) 'BET(£N)陶堂互動i題型剖析,互動探究題型一數(shù)列的概念與分類【例1】(1)下列四個數(shù)列中，既是無窮數(shù)列乂是遞增數(shù)列的是()1 1 1A.1,弓，？n 2 n 3 丸B.sin 亍 sin , sin C1J 1， T 4，8，D.1

5、,隹事,，a/21(3。)x3, xW7,(2)設(shè)函數(shù)段)=J數(shù)列an滿足斯=/(), £ N",且數(shù)列anUr 0,人>7,是遞增數(shù)列，則實數(shù)”的取值范圍是()A.(* 3)B.1, 3)C.(l, 3)D.(2, 3)解析(1)中，A是遞減數(shù)列，B是擺動數(shù)列，D是有窮數(shù)列，故選C.中，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性，要使“遞增，則應有3 - a>0 ,< a> ,ai= ( 3 - a ) X7 - 34依=a8-6 , 解得2<”3 ,選D.答案(1)C (2)D規(guī)律方法處理數(shù)列分類問題的技巧 有窮數(shù)列與無窮數(shù)列.判斷給出的數(shù)列是有窮數(shù)列還是無窮數(shù)列，

6、只需觀察數(shù)列是有限項還是無限項.若數(shù)列含有限項，則是有窮數(shù)列，否則為無窮數(shù)列.數(shù)列的單調(diào)性若滿足斯N*)則是遞增數(shù)列；若滿足3N*)則是遞減數(shù)列；若滿足小二斯+i(£N*)則是常數(shù)列；若如與金+ |(£1<)的大小不確定時，則是 擺動數(shù)列.【訓練】下列形式中哪些是數(shù)列？若是數(shù)列，哪些是有窮數(shù)列，哪些是無窮數(shù)列？(1)0, 1, 2, 3, 4)：(2)0, 1, 2, 3, 4；(3)0, 1, 2, 3, 4,；(4)1，-1, 1, -1, 1, 一1,；(5)6, 6, 6, 6, 6.解 是集合，不是數(shù)列；(2)(3)(4)是數(shù)列.其中是無窮數(shù)列，(2)(5)

7、是有窮數(shù)列.考查方向題型二數(shù)列的通項公式方向1根據(jù)通項公式寫數(shù)列的項【例21】 根據(jù)下面數(shù)列“的通項公式，寫出它的前5項:“產(chǎn) = (-1)".記小 12345斛(1)«1 =5，= W , S', 4書，。5=不 (2)1 = - 1 , 42 = 2,43 = - 3 1 44 = 4 ,。5 = - 5.方向2觀察法求數(shù)列的通項公式【例2-2 根據(jù)數(shù)列的前幾項，寫出下面各數(shù)列的一個通項公式.(1)-3, 0, 3, 6, 9, ； (2)3, 5, 9, 17, 33, ；(3)2, 0, 2, 0, 2, 0, ；1 15 13(4)亍干王正，29 6132

8、9 649解(1)川=-3 + 0X3 ,-3+1X3/13 = -3 + 2X3 , 4= -3 + 3X3 / -=-3 + ( - 1) X 3 = 3 - 6( e N*).(2)«i =2+1 z 6/2 = 4 + 1 = 22 + 1 f 3 = 8 + 1 = 23 + 1 z = 16 + 1 = 24 + 1 z z：.an = 2n + 1(£N) 41 = 1 + 1 f = 1 - 1 f = 1 + 1 f 6/4 = 1 - 1 f ，. =1 + ( -2 - 322 - 323 - 324-3(4)i = - z a2 = . 2?，的二

9、一 "23 ，c" =1 24 ，2-3斯=(-1)-歹55)方向3數(shù)列的通項公式的簡單應用【例2 3】已知數(shù)列他“的通項公式為“=(£N"),則計算的十«4的值；擊是不是該數(shù)列中的頂？若是，應為第幾項？若不是，說明理由解 (I)* an . /it (n + 2)1 1 1 1-,rt3 = 3X5=T5，6/4 = 4X6 = 24 * 1113" + 戶記+五二國若專為數(shù)列斯中的項，則；777二擊，+ 2 - 120 = 0 ,二二 10 或二-12（舍），即焉是數(shù)列斯的第10項.規(guī)律方法1.根據(jù)數(shù)列的前幾項求通項公式的思路統(tǒng)一

10、項的結(jié)構(gòu)，如都化成分數(shù)，根式等；分析結(jié)構(gòu)中變化的部分與不變的部分，探索變化部分的規(guī)律與對應序號間的 函數(shù)關(guān)系式；（3）對于符號交替出現(xiàn)的情況,可先觀察其絕對值,再用（-1）”處理符號;對于周期出現(xiàn)的數(shù)列，可考慮拆成幾個簡單數(shù)列和的形式，或者利用周期函 數(shù)，如三角函數(shù)等.2 .利用數(shù)列的通項公式求某項的方法數(shù)列的通項公式給出了第項處與它的位置序號之間的關(guān)系,只要用序號代 替公式中的，就可以求出數(shù)列的相應項.3 .判斷某數(shù)值是否為該數(shù)列的項的方法先假定它是數(shù)列中的第項，然后列出關(guān)于的方程.若方程解為正整數(shù),則是 數(shù)列的一項；若方程無解或解不是正整數(shù)，則不是該數(shù)列的一項.I課堂反饋I自主反饋，檢測成

11、效課堂達標1,下列敘述正確的是（）A.數(shù)列1, 3, 5, 7與7, 5, 3, 1是相同的數(shù)列B.數(shù)列0, 1, 2, 3,可以表示為C.數(shù)列0, 1, 0, 1,是常數(shù)列D.數(shù)列若是遞增數(shù)列 解析由數(shù)列的通項斯二六十口，2 .數(shù)列2, 3, 4, 5,的一個通項公式為()A.6/n-77B. = + 1C.a=" + 2D.“ = 2解析 這個數(shù)列的前4項都比序號大1 ,所以，它的一個通項公式為4“二 + 1.答案B3 .數(shù)列一 1,一早 誓，的一個通項公式是()川+A.“ 二(T)” 喬T/ + 3B” 二（T）”市7Ca=（一 1）（+ 1）212 1D.4“ = （ 1 ）

12、"“（ + 2）2+ I解析 數(shù)列的奇數(shù)項為負，偶數(shù)項為正，分母是3 , 5 , 7 , 9 ,可表示為2n + 1 ,( + 2 )分子可調(diào)整為1X3 , 2X4 , 3X5,4X6 ,，故通項3=(-1)”.2 + 1答案D(-1) t n4 .已知數(shù)列的通項公式斯=j，則0=;斯+1=.(-1 ) ,1XI解析41 = 1 ,2X1-1(-1 ) +(n+1 )( - 1 )(+l )+1 = " " =(1) (+l)答案12 ( + 1 ) - 12n + 12n +15 .已知數(shù)列3的通項公式為斯=一2+110.(1)20是不是3中的一項？當取何值時，

13、斯=0.解 (1)令 an - -2 + + 110 = 20 , 即 “2 - - 90 = 0 ,.( + 9)(n - 10) = 0 z.= 1?；?9(舍).20是數(shù)列斯中的一項,且為是列斯中的第10項.(2)令 an = - /，+ + 110 = 0 ,即 “2 - H - 110 = 0 , /.(/? - 11)(/? + 10) = 0 ,：.n = 11 或=-10(舍)，二當 二11 時，an- 0.課堂小結(jié)1 .與集合中元素的性質(zhì)相比較，數(shù)列中的項也有三個性質(zhì)：確定性：一個數(shù)在不在數(shù)列中，即一個數(shù)是不是數(shù)列中的項是確定的.(2)可重復性：數(shù)列中的數(shù)可以重復.有序性：一

14、個數(shù)列不僅與構(gòu)成數(shù)列的“數(shù)”有關(guān)，而且與這些數(shù)的排列次序 也有關(guān).2 .并非所有的數(shù)列都能寫出它的通項公式.例如，”的不同近似值，依據(jù)精確的程 度可形成一個數(shù)列3, 3.1, 3.14, 3.141,它沒有通項公式.根據(jù)所給數(shù)列的 前幾項求其通項公式時，需仔細觀察分析，抓住其兒方面的特征：分式中分子、 分母的特征；相鄰項的變化特征；拆項后的特征；各項的符號特征和絕對 值特征.并對此進行聯(lián)想、轉(zhuǎn)化、歸納.3 .如果一個數(shù)列有通項公式，則它的通項公式可以有多種形式.保后作業(yè)強化訓練，鞏固提升基礎(chǔ)過關(guān)1 .若數(shù)列0滿足處= 2",則數(shù)列伍是（）A.遞增數(shù)列B.遞減數(shù)列C.常數(shù)列D.擺動數(shù)列

15、解析 an + 1 - an = 2n +1 - 2n = 2n>0 f .'.an + >an ,即an 是遞增數(shù)列.答案A2 .數(shù)列“： 一木,3, 一3小,9,的一個通項公式是（）A.a“ = （-1 八%? WN*）C.斯=（-1）”-i4（£N"）D.a“ 二 （iyEW（，?WN*）解析 把前四項統(tǒng)一形式為-小，小，-5，啊,可知它的一個通項公式為答案B3 .已知數(shù)列一1,上一"，（-1）點 ，則它的第5項的值為（）A.iB.C-LD=25u- 25解析 易知，數(shù)列的通項公式為（-,當 =5時,該項為1）4=f IJ乙 J答案D4,

16、數(shù)列«1的通項公式為=，則同一3是此數(shù)列的第答案9即4? + 1 - yjn =_ 3，.二 =9.5.323是數(shù)列“5 + 2)的第 項.解析 由Cin = n1 + 2n = 323 ,解得 =17（負值舍去）.-323是數(shù)列( + 2)中的項，是第17項.答案176.根據(jù)數(shù)列的前兒項，寫出下列各數(shù)列的一個通項公式.(1)-1, 7, 一 13, 19,；(2)0.8, 0.88, 0.888,.解(1)符號問題可通過(-1)”或(-1 ).表示，其各項的絕對值的排列規(guī)律為： 后面的數(shù)的絕對值總比前面數(shù)的絕對值大6 ,故通項公式為“尸(-1)"(6 - 5).888敏列

17、變形為§（1 - o.i）, §（1 - o.oi）, §（i - o.ooi）7,在數(shù)列“中，0=2,17=66,通項公式為是的一次函數(shù).(1)求斯的通項公式;(2)判斷88是不是數(shù)列“中的項?解（1）設(shè)“尸攵+ "則Li =k + b = 2t攵=4,<解彳導6/17 = Vik + b = 66 r /? = - 2. a = 4 - 2.（2）令“尸 88 ,即 4 - 2 = 88 ,解得 n = 22.54N，88不是數(shù)列的中的項.能力提升8 .設(shè)函數(shù)“0定義如表，數(shù)列布滿足刈=5,且對任意的自然數(shù)均有x+i=/3J, 則 X2 017

18、 = ()X12345於)41352A.lB.2C.4D.5解析 由題意=5 ,且對任意自然數(shù)均有Xn+1 =於“)".XI = /(必)=2 ,X2=%I) =1 f X3 =f(X2)= 4 , X4 =fix3)= 5 ,，故數(shù)列x“滿足：2, 1,4, 5, 2, 1,4, 5 ,是一個周期性變化的數(shù)列，周期為4.X2O17 = X4x5O4+l =X =2.故選B.答案B9 .一個無窮數(shù)列的前三項是1，2, 3,下列不可以作為其通項公式的是()K.Un = nB .4 = 6/7 2 +12 - 61 7 1 ,6(24=嚏?-2 ' 1D4=2 6 | j解析 根

19、據(jù)題意，依次分析選項：對于A.若an = II ,則有41 = 1 , 42 = 2,43 = 3 , 符合題意；對于B.若an- / - 62 + 12/ - 6 ,則有a = , a2 = 2 , a3 = 3 ,符合題 意；對于C.an = # - ； + 1 ,當 =3時，。3=4W3 ,不符合題意；對于D.” 二-；7 1則有41 = 1 , S = 2,43 = 3 ,符合題意；故選C.7F 6/J + 1 1 答案C10.已知數(shù)列“： 2, -6, 12, -20, 30, 一42,，寫出該數(shù)列的一個通項公 式為.解析 根據(jù)題意，數(shù)列斯 ： 2 , - 6 , 12 , - 20

20、 , 30 , - 42 ,， 則.=(-1)2X1 X2 = 2 , «2 = ( - i)3X2X3= - 6 , a3 = (- 1)4X3X4= 12，歸納可得：的二(-l)exG + 1).答案 如二(一1)"+“(+1)37 91L數(shù)歹lj"的前4項是11，木帽,則這個數(shù)列的一個通項公式是斯=13 2X1 + 1s 2X2+1 7 2X3+1 o 2X4+1解析 5 二一；,1 =7= ； , m = n / 77 =；,可知：通項2 12+ 13 22+ 1 10 32+ 1 17 42+ 1公式斯是一個分數(shù)，分子為2 + 1 ,分母是/ + 1 ,2/1 + 1 .這個數(shù)列的一個通項公式是m=-.ir + 1答案2+1+112,已知數(shù)列啦，木，2啦，yrr,.寫出