帶電粒子在磁場中運(yùn)動(dòng)解題方法及經(jīng)典例題

1、帶電粒子在磁場中運(yùn)動(dòng)一、不計(jì)重力的帶電粒子在勻強(qiáng)磁場中的運(yùn)動(dòng)1. 勻速直線運(yùn)動(dòng)：若帶電粒子的速度方向與勻強(qiáng)磁場的方向平行，則粒子做勻速直線 運(yùn)動(dòng).2. 勻速圓周運(yùn)動(dòng)：若帶電粒子的速度方向與勻強(qiáng)磁場的方向垂直，則粒子做勻速圓周 運(yùn)動(dòng).質(zhì)量為m、電荷量為q的帶電粒子以初速度 v垂直進(jìn)入勻強(qiáng)磁場 B中做勻速圓周運(yùn)動(dòng), 其角速度為3,軌道半徑為R,運(yùn)動(dòng)的周期為T,推導(dǎo)半徑和周期公式：推導(dǎo)過程：運(yùn)動(dòng)時(shí)間t=3對(duì)于帶電粒子在勻強(qiáng)磁場中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的問題，應(yīng)注意把握以下幾點(diǎn).（1）粒子圓軌跡的圓心的確定的常規(guī)方法 若已知粒子在圓周運(yùn)動(dòng)中的兩個(gè)具體位置及通過某一位置時(shí)的速度方向，可在已知的速度方向的位置作速

2、度的垂線，同時(shí)作兩位置連線的中垂線， 兩垂線的交點(diǎn)為圓軌跡的圓心，如圖4 2所示. 若已知做圓周運(yùn)動(dòng)的粒子通過某兩個(gè)具體位置的速度方向，可在兩位置上分別作兩速度的垂線，兩垂線的交點(diǎn)為圓軌跡的圓心，如圖43所示. 若已知做圓周運(yùn)動(dòng)的粒子通過某一具體位置的速度方向及圓軌跡的半徑R,可在該位置上作速度的垂線，垂線上距該位置R處的點(diǎn)為圓軌跡的圓心（利用左手定則判斷圓心在已知位置的哪一側(cè)），如圖4 4所示.圖4 2圖4 3圖4 4例1、一個(gè)質(zhì)量為 m電荷量為q的帶電粒子從x軸上的P （ a , 0）點(diǎn)以速度v,沿與并恰好垂直于y軸射出第一象限。求x正方向成60°的方向射入第一象限內(nèi)的勻強(qiáng)磁場中

3、, 勻強(qiáng)磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度 B和射出點(diǎn)的坐標(biāo)。（坐標(biāo)為（o, , 3a ）例2、電子自靜止開始經(jīng) M、N板間（兩板間的電壓為 U）的電場加速后從 A點(diǎn)垂直 于磁場邊界射入寬度為 d的勻強(qiáng)磁場中，電子離開磁場時(shí)的位置 P偏離入射方向的距離為 L, 如圖2所示，求：(1) 正確畫出電子由靜止開始直至離開磁場時(shí)的軌跡圖;2L 2mU(2)勻強(qiáng)磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度.(已知電子的質(zhì)量為 m，電量利用速度的垂線與角的平分線的交點(diǎn)找圓心當(dāng)帶電粒子通過圓形磁場區(qū)后又通過無場區(qū)，如果只知道射入和射出時(shí)的速度的方向 和射入時(shí)的位置，而不知道射出點(diǎn)的位置，應(yīng)當(dāng)利用角的平分線和半徑的交點(diǎn)確定圓心。例3、如圖19-19所示,

4、一帶電質(zhì)點(diǎn),質(zhì)量為m,電量為q,以平行于Ox軸的速度v從y 軸上的a點(diǎn)射入圖中第一象限所示的區(qū)域 .為了使該質(zhì)點(diǎn)能從 x軸上的b點(diǎn)以垂直于Ox軸的 速度v射出，可在適當(dāng)?shù)牡胤郊右粋€(gè)垂直于 xy平面、磁感應(yīng)強(qiáng)度為 B的勻強(qiáng)磁場.若此磁場 僅分布在一個(gè)圓形區(qū)域內(nèi)，試求這圓形磁場區(qū)域的最小半徑 .重力忽略不計(jì).解析：質(zhì)點(diǎn)在磁場中作半徑為 R的圓周運(yùn)動(dòng)S19-19根據(jù)題意，質(zhì)點(diǎn)在磁場區(qū)域中的軌道是半徑等于R的圓上的1/4圓周，這段圓弧應(yīng)與入射方向的速度、 出射方向的速度相切.過a點(diǎn)作平行于x軸的直 線，過b點(diǎn)作平行于y軸的直線,則與這兩直線均相距 R的O點(diǎn)就是圓周的圓心.質(zhì)點(diǎn)在磁 場區(qū)域中的軌道就是以

5、 O為圓心、R為半徑的圓(圖中虛線圓)上的圓弧MN,M點(diǎn)和N點(diǎn)應(yīng)在 所求圓形磁場區(qū)域的邊界上 .在通過M N兩點(diǎn)的不同的圓周中，最小的一個(gè)是以 MN連線為直徑的圓周.所以本題所 求的圓形磁場區(qū)域的最小半徑為畫出圓運(yùn)動(dòng)的軌跡（圖 直徑的圓，如圖5陰影所示。5虛線圓）交B 02于A點(diǎn)，最小的圓形磁場區(qū)域是以 設(shè)最小的磁場區(qū)域半徑為OA為r,則所求磁場區(qū)域如圖中實(shí)線圓所示 .變式：一質(zhì)量為m、帶電量為+q的粒子以速度v從O點(diǎn)沿y軸正方向射入磁感應(yīng)強(qiáng)度 為B的圓形勻強(qiáng)磁場區(qū)域，磁場方向垂直紙面向外，粒子飛出磁場區(qū)域后，從B處穿過x軸，速度方向與x軸正方向的夾角為 30°，同時(shí)進(jìn)入場強(qiáng)為 E、

6、方向沿與x軸負(fù)方向成60 ° 角斜向下的勻強(qiáng)電場中，通過了B點(diǎn)正下方的C點(diǎn)。如圖示4所示，不計(jì)重力，試求：（1）圓形勻強(qiáng)磁場區(qū)域的最小面積；（2）C點(diǎn)到B點(diǎn)的距離ho 解析：（1）反向延長Vb交y軸于。2點(diǎn)，作/ BO2O的角平分 線交X軸于即為圓運(yùn)動(dòng)軌道的圓心， 0。！即為圓運(yùn)動(dòng) 軌道的半徑，其半徑為 Rroo.rEYqBS min 二 r利用解得Smin22二 m v4q2B 2（2）B到C受電場力作用，做類平拋運(yùn)動(dòng)沿初速方向：h si n 30 = vtqEt2m” 1沿電場方向：hcos30二24.''3mv2利用消去t解得h二qE（4）圓周運(yùn)動(dòng)中有關(guān)對(duì)稱的規(guī)

7、律從磁場的直邊界射入的粒子，若再從此邊界射出，則速度方向與邊界的夾角相等例4如圖3所示，直線 MN上方有磁感應(yīng)強(qiáng)度為 B的勻強(qiáng)磁場。正、負(fù)電子同時(shí)從同一點(diǎn) O以與MN成30°角的同樣速度 v射入磁場（電子質(zhì)量為 m電荷為e），它們從磁場中射出時(shí)相距多遠(yuǎn)？射出的時(shí)/間差是多少？s=2r =在圓形磁場區(qū)域內(nèi)，沿徑向射入的粒子必沿徑向射出.例5.帶電粒子在有界勻強(qiáng)磁場中運(yùn)動(dòng)的分析如圖所示，半徑為圓形空間內(nèi)，存在著垂直于紙面向里的勻強(qiáng)磁場，一個(gè)帶電粒子（不計(jì)重力）從A點(diǎn)以速度vo垂直于磁場方向射入磁場中，并從射出，若/ A0& 120°,則該帶電粒子在磁場中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為2

8、n rA . 3v。B 2 麗 n r3vo答案 DA點(diǎn)正對(duì)著圓心 O以速變式：如圖所示，一個(gè)質(zhì)量為 m、電量為q的正離子，從半徑為R的絕緣圓筒中。圓筒內(nèi)存在垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場，磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小為 要使帶電粒子與圓筒內(nèi)壁碰撞 2次后仍從A點(diǎn)射出，求正離子在磁場中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間 與圓筒內(nèi)壁碰撞時(shí)無能量和電量損失，不計(jì)粒子的重力。XX XxXXXXX( )D牛3vo AB。t .設(shè)粒子X X寸XMX2mvBe二、特殊方法1旋轉(zhuǎn)圓法在磁場中向垂直于磁場的各個(gè)方向發(fā)射速度大小相同的帶電粒子時(shí)，帶電粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡是圍繞發(fā)射點(diǎn)旋轉(zhuǎn)的半徑相同的動(dòng)態(tài)圓（如圖7），用這一規(guī)律可快速確定粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡。1=1例1

9、 .如圖8所示，S為電子源，它在紙面360°度范圍內(nèi)發(fā)射速度大小為Vo,質(zhì)量為 m電量為q的電子（q<0）, MN是一塊足夠大的豎直擋板，與S的水平距離為L,擋板左側(cè)充滿垂直紙面向外的勻強(qiáng)磁場， 磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為 mv/qL,求擋板被電子擊中的范圍為多大？解析：由于粒子從同一點(diǎn)向各個(gè)方向發(fā)射，粒子的軌跡為繞 S點(diǎn)旋轉(zhuǎn)的動(dòng)態(tài)圓，且動(dòng)態(tài)圓的每一個(gè)圓都是逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)， 這樣可 以作出打到最高點(diǎn)與最低點(diǎn)的軌跡，如圖9所示，最高點(diǎn)為動(dòng)態(tài)圓與$¥第：二二方圖-9MN的相切時(shí)的交點(diǎn) P,最低點(diǎn)為動(dòng)態(tài)圓與 MN相割，且SQ為直徑時(shí)Q為最低點(diǎn)，帶電粒子在磁場中作圓周運(yùn)動(dòng)，由洛侖茲力提供向

10、心力，由'1 亠二SQ為直徑，則：SQ：2L, SO=L，由幾何關(guān)系得：-P為切點(diǎn)，所以O(shè)P= L，所以粒子能擊中的范圍為1 1 1o得:例2. （2010全國新課程卷）如圖 10所示，在Ow x< A. Ow yw -范圍內(nèi)有垂直于xy平面向外的勻強(qiáng)磁場，大量質(zhì)量為 m電荷量為q的帶正電粒子，它們的速度大小相同，速度方向均在磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為 B。坐標(biāo)原點(diǎn)O處有一個(gè)粒子源，在某時(shí)刻發(fā)射xy平面內(nèi),a與y軸正方向的夾角分布在 090°范圍內(nèi)。己知粒子在磁場中做圓周運(yùn)動(dòng)的半仝徑介于a之間，從發(fā)射粒子到粒子全部離開磁場經(jīng)歷的時(shí)間恰好為粒子在磁場中做圓周運(yùn)動(dòng)周期的 四分之一。求

11、最后離開磁場的粒子從粒子源射出時(shí)的：（1）速度大小；（2）速度方向與y軸正方向夾角正弦。S-10解析：設(shè)粒子的發(fā)射速度為 v,粒子做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑為 R,由牛頓第二定律和洛侖茲力avB-m公式得：三，解得:a從0點(diǎn)以半徑R c < Rv a)作“動(dòng)態(tài)圓”，如圖 11所示，由圖不難看出，在磁場中運(yùn)動(dòng)時(shí)間最長的粒子， 其軌跡是圓心為 C的圓弧，圓弧與磁場的邊界相切。 設(shè)該粒子在磁T打I _場中的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t,依題意 ，所以/ OCA J 。設(shè)最后離開磁場的粒子的發(fā)射方向與y軸正方向的夾角為a,由幾何關(guān)系得:a = A-.2, R迪&二q-RcqsO!，再加上肋必=1,解得:R=(2爭

12、sin a-6-7610變式、如圖，在Ow x<3a區(qū)域內(nèi)存在與xy平面垂直的勻強(qiáng)磁場，磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小為 B在t = 0時(shí)刻，一位于坐標(biāo)原點(diǎn)的粒子源在xy平面內(nèi)發(fā)射出大量同種帶電粒子， 所有粒子的初速度大小相同， 方向與y軸正方 向的夾角分布在 0°180。范圍內(nèi).已知沿y軸正方向發(fā)射的粒子在 t = to 時(shí)刻剛好從磁場邊界上 P( 3a, a)點(diǎn)離開磁場.求： 粒子在磁場中做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑R及粒子的比荷q/m(2) 此時(shí)刻仍在磁場中的粒子的初速度方向與y軸正方向夾角的取值范I圍;(3) 從粒子發(fā)射到全部粒子離開磁場所用的時(shí)間.tm=2to L.2、縮放圓法帶電粒子以大小不

13、同， 方向相同的速度垂直射入勻強(qiáng)磁場中, 度的變化而變化，因此其軌跡為半徑縮放的動(dòng)態(tài)圓(如圖'*探索出臨界點(diǎn)的軌跡，使問題得到解決。V作圓周運(yùn)動(dòng)的半徑隨著速2),利用縮放的動(dòng)態(tài)圓，可以V戶二；彳"金雪，一亠J!- i1JI圖.> y-圖-12例3.如圖13所示，勻強(qiáng)磁場中磁感應(yīng)強(qiáng)度為 B,寬度為d, 一電 子從左邊界垂直勻強(qiáng)磁場射入，入射方向與邊界的夾角為0，已知電子的質(zhì)量為 m電量為e,要使電子能從軌道的另一側(cè)射出，求電子速度大小的范圍。解析：如圖14所示，當(dāng)入射速度很小時(shí)電子會(huì)在磁場中轉(zhuǎn)動(dòng)一段圓 弧后又從同一側(cè)射出，速率越大，軌道半徑越大，當(dāng)軌道與邊界相切 時(shí)，電子

14、恰好不能從另一側(cè)射出，當(dāng)速率大于這個(gè)臨界值時(shí)便從右邊 界射出，設(shè)此時(shí)的速率為 Vo,帶電粒子在磁場中作圓周運(yùn)動(dòng)，由幾何 關(guān)系得：r+r cos 0 =d-13圖一14EV。B 二朋電子在磁場中運(yùn)動(dòng)時(shí)洛倫茲力提供向心力：，,所以：_ Bed聯(lián)立解得:“ .I 二，所以電子從另一側(cè)射出的條件是速度大于Bed例4.如圖，一足夠長的矩形區(qū)域 abed內(nèi)充滿磁感應(yīng)強(qiáng)度為 B,方向垂直紙面向里的 勻強(qiáng)磁場，現(xiàn)從矩形區(qū)域 ad邊中點(diǎn)O射入與Od邊夾角為30°,大小為vo的帶電粒子，已知粒子質(zhì)量為m,電量為q，ad邊長為L，ab邊足夠長，粒子重力忽略不計(jì)。求：（1試求粒子能從 ab邊上射出磁場的 v

15、o的大小范圍；（2）粒子在磁場中運(yùn)動(dòng)的最長時(shí)間和在這種情況下粒子從磁場中射出所在邊上位置 的范圍。叭-i:X XXXX ；°Lx XXXxi込XX11 X Jd-JC解析：（1）畫出從O點(diǎn)射入磁場的粒子運(yùn)動(dòng)軌跡的動(dòng)態(tài)圓， 能夠從ab邊射出的粒子的臨界軌跡如圖23所示，軌跡與de邊相切時(shí)，射到 ab邊上的A點(diǎn)，此時(shí)軌跡圓心為 0,則軌道半徑V- m一由j得最大速度qBLva 二m 。（注：兩條半徑與它們所夾的一條邊構(gòu)成等邊三角形）軌跡與ab邊相切時(shí)，射到ab邊上的B點(diǎn)，此時(shí)軌跡圓心為O,則軌道半徑r2=L/3，V二州一由1得最小速度所以粒子能夠從ab邊射出的速度范圍為:qBL3mqBL

16、（2）當(dāng)粒子從ad邊射出時(shí)，時(shí)間均相等，且為最長時(shí)間,因轉(zhuǎn)過的圓心角為300所以最長時(shí)間：，射出的范圍為：O（=2=L/3。變式1如圖所示，M N為兩塊帶等量異種電荷的平行金屬板， 兩板間電壓可取從零到某一最大值之間的各種數(shù)值靜止的帶 電粒子帶電荷量為+ q,質(zhì)量為m不計(jì)重力），從點(diǎn)P經(jīng)電場 加速后，從小孔 Q進(jìn)入N板右側(cè)的勻強(qiáng)磁場區(qū)域，磁感應(yīng)強(qiáng) 度大小為B,方向垂直于紙面向外，CD為磁場邊界上的一絕緣板，它與N板的夾角為0 = 45°，孔Q到板的下端C的距離為L,當(dāng)M N兩板間電壓取最大值時(shí)，粒子恰垂直打在CD板上，求:（1）兩板間電壓的最大值Un；CD板上可能被粒子打中的區(qū)域的長

17、度s；(3) 粒子在磁場中運(yùn)動(dòng)的最長時(shí)間tm.解析(1) M N兩板間電壓取最大值時(shí)，粒子恰垂直打在CD板上,所以圓心在C點(diǎn)，如圖所示，CH= QC= L故半徑r i = L2V1又因?yàn)閙且qU=卄所以“寧.22m 設(shè)粒子在磁場中運(yùn)動(dòng)的軌跡與 CD板相切于K點(diǎn)，此軌跡的半徑為 2,設(shè)圓心為 A,在厶AKC中:sin 452L2解得2= r 2 1)L,即"KC =2= ( 2 1)L所以CD板上可能被粒子打中的區(qū)域的長度s= HK，即s =1 r 2 = (2 .2) L.打在QE間的粒子在磁場中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間最長，均為半個(gè)周期，所以tm= £=丁2 Bq qBV廠n m答案

18、面 (2 ，2)L (3)變式2.如圖15所示，左邊有一對(duì)平行金屬板，兩板的距離為d,電壓為U,兩板間有勻強(qiáng)磁場，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B),方面平行于板面并垂直紙面朝里。圖中右邊有一邊長為 a的正三角形區(qū)域EFG(EF邊與金屬板垂直)，在此區(qū)域內(nèi)及其邊界上也有勻強(qiáng)磁場，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B,方向垂直紙面向里。假設(shè)一系列電荷量為 q的正離子沿平 行于金屬板面、垂直于磁場的方向射入金屬板之間，沿同一方 向射出金屬板間的區(qū)域，并經(jīng) EF邊中點(diǎn)H射入磁場區(qū)域。不計(jì) a重力。(1) 已知這些離子中的離子甲到達(dá)邊界EG后，從邊界 EF 穿出磁場，求離子甲的質(zhì)量；(2) 已知這些離子中的離子乙從EG邊上的I點(diǎn)(圖中未

19、 畫出)穿出磁場，且 GI長為3a/4，求離子乙的質(zhì)量；(3) 若這些離子中的最輕離子的質(zhì)量等于離子甲質(zhì)量的一半，而離子乙的質(zhì)量是最大 的，問磁場邊界上什么區(qū)域內(nèi)可能有離子到達(dá)?qvB0=qiyd，解得解析：由題意知，所有離子在平行金屬板之間做勻速直線運(yùn)動(dòng)，則有: 離子的速度為：v=U/Bd （為一定數(shù)值）。雖然離子速度大小不變，但質(zhì)量m改變，結(jié)合帶電離子在磁場中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的半徑公式R=mv/qB分析，可畫出不同質(zhì)量的帶電離子在磁場中的運(yùn)動(dòng)軌跡，如圖16中的動(dòng)態(tài)圓。二'（1）由題意知，離子甲的運(yùn)動(dòng)軌跡是圖EF邊垂直相交于B點(diǎn)，由幾何關(guān)系可得半徑：17中的半圓，半圓與 EG邊相切于A

20、點(diǎn)，與R甲=acos30 ° tan15從而求得離子甲的質(zhì)量（2）離子乙的運(yùn)動(dòng)軌跡如圖18所示，在 EIO2中，由余弦定理得:（+（尹.2能&）血60。解得R乙=引4 ,5JC X 5HFH-1TF圈曲（3）由半徑公式R=mv/qB可 知 R* m從而求得乙離子的質(zhì)量 m乙 =-V>結(jié)合（1）（ 2）問分析可得：若離子的質(zhì)量滿足 m甲/2 < m< m甲，則所有離子都垂直 EH邊離開磁場，離開磁場的位置到H的距離介于 R甲到2R甲之間，即（擊號(hào)（洱牝;若離子的質(zhì)量滿足 m甲mc m乙，則所有離子都從 EG邊離開磁場，離開磁場的位置4=(i-介于A到I之間，其

21、中 AE的距離AE- .，IE距離IE=_ 。綜合訓(xùn)練帶電粒子在復(fù)合場(非疊加)的運(yùn)動(dòng)12、(2013年天津理綜)一圓筒的橫截面如圖所示，其圓心為O筒內(nèi)有垂直于紙面向里的勻強(qiáng)磁場，磁感應(yīng)強(qiáng)度為 B。圓筒下面有相距為 d的平行金屬板 M N,其中M板帶正電荷，N板帶等量負(fù)電荷。質(zhì)量為 m電荷量為q的帶正電粒子自 M板邊緣的P處由靜止釋放，經(jīng)N板的小孔S以速度v沿半徑SO方向射入磁場中，粒子與圓筒發(fā)生兩次碰 撞后仍從S孔射出，設(shè)粒子與圓筒碰撞過程中沒有動(dòng)能損失，且電荷量保持不變，在不計(jì)重力的情況下，求：(1) M N間電場強(qiáng)度E的大??；(2) 圓筒的半徑R;2(3) 保持M N間電場強(qiáng)度E不變，僅

22、將 M板向上平移 d，3粒子仍從M板邊緣的P處由靜止釋放粒子自進(jìn)入圓筒至 從S孔射出期間，與圓筒的碰撞次數(shù) n?！敬鸢浮?mv2qd3mv3qB【解析】(1)設(shè)兩極板間的電壓為 U,由動(dòng)能定理得qU1 2mv2由勻強(qiáng)電場中電勢差與電場強(qiáng)度的關(guān)系得U=Ed聯(lián)立上式可得E = mv2qd(2)粒子進(jìn)入磁場后做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，運(yùn)用幾何關(guān)系做出圓心O，圓半徑為r，設(shè)第一次碰撞點(diǎn)為 A,由于粒子與圓筒發(fā)生兩次碰撞又從S孔射出，因此SA弧. 兀所對(duì)圓心角._AO S =。3由幾何關(guān)系得r = Rta n3粒子運(yùn)動(dòng)過程中洛倫茲力充當(dāng)向心力，由牛頓第二定律，得2v qvB = m一 r聯(lián)立式得R Z3mV3qB

23、 保持M N間電場強(qiáng)度E不變,2M板向上平移一 d后，設(shè)板間電壓為 U，則3 EdUU =<33設(shè)粒子進(jìn)入S孔時(shí)的速度為v，由式看出Uv22v結(jié)合式可得設(shè)粒子做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑為r，則 J3mv r3qB設(shè)粒子從S到第一次與圓筒碰撞期間的軌道所對(duì)圓心角為r-R，可見71，比較兩式得到心2粒子須經(jīng)過這樣的圓弧才能從S孔射出，故n=31125（ 2011全國卷1）. （ 19分）（注意：在試卷上作答無效） 如圖，與水平面成 45°角的平面 MN各空間分成I和II兩個(gè)區(qū)域。量為m電荷量為q （q> 0）的粒子以速度v0從平面MN上的p0點(diǎn)水平右射入I區(qū)。粒子在I區(qū)運(yùn)動(dòng)時(shí)，只受到大

24、小不變、方向豎直向下的電場 作用，電場強(qiáng)度大小為 E；在II區(qū)運(yùn)動(dòng)時(shí)，只受到勻強(qiáng)磁場的作用，磁 感應(yīng)強(qiáng)度大小為 B,方向垂直于紙面向里。求粒子首次從II區(qū)離開時(shí)到出發(fā)點(diǎn)Po的距離。粒子的重力可以忽略。解析：設(shè)粒子第一次過 MN寸速度方向與水平方向成 a 1角，位移與水平方向成 在電場中做類平拋運(yùn)動(dòng)，a 2角且 a 2=45°,v°t = x, x = yat則有：1 2Eq 得出：tan、®2 Vy =2v°,v = 5v°at y ,av°2 m2 2v022 2m%2在電場中運(yùn)行的位移在磁場中做圓周運(yùn)動(dòng)，且弦切角為a = a1-a

25、 2,tan:-tan：r - tan： 21 tan：r tan： 210102vqvB 二 m 得出:RR = 5mv)二 qB在磁場中運(yùn)行的位移為:s2 = 2Rsin :-2mvoqBEq所以首次從 II 區(qū)離開時(shí)到出發(fā)點(diǎn) P0的距離為：$ = $+22= + 2mV0qE qB25( 2011全國理綜).(19分)如圖，在區(qū)域I (0< x< d)和區(qū)域II (dw xw 2d)內(nèi)分別存在勻強(qiáng)磁場，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小分 別為B和2B，方向相反，且都垂直于 Oxy平面。一質(zhì)量為 m、帶電荷量q (q> 0)的粒子 a于某時(shí)刻從y軸上的P點(diǎn)射入?yún)^(qū)域I，其速度方向沿 x軸正向

26、。已知a在離開區(qū)域I時(shí)， 速度方向與x軸正方向的夾角為 30°此時(shí)，另一質(zhì)量和電荷量均與 a相同的粒子b也從p 點(diǎn)沿x軸正向射入?yún)^(qū)域I，其速度大小是 a的1/3。不計(jì)重力和兩粒子之間的相互作用力。求(1) 粒子a射入?yún)^(qū)域I時(shí)速度的大??；(2) 當(dāng)a離開區(qū)域II時(shí)，a、b兩粒子的y坐標(biāo)之差。0 ：解析：(1)設(shè)粒子a在I內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的圓心為 C (在y軸上)，半徑為 Ra1,粒子速 率為Va ,運(yùn)動(dòng)軌跡與兩磁場區(qū)域邊界的交點(diǎn)為P ,如圖，由洛侖茲力公式和牛頓第二定律得qvaAB 二 mRa1由幾何關(guān)系得.PCP - V Ra1 :dsi :n式中，V -30°，由式得Va

27、12qBdm（2）設(shè)粒子a在II內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)的圓心為Oa,半徑為Rai ,射出點(diǎn)為Fa （圖中未畫出軌跡），V22VaPOaPa-由洛侖茲力公式和牛頓第二定律得qVa(2B)mRa2由式得Ra2Ra1C、P '和 Oa三點(diǎn)共線，且由式知Oa點(diǎn)必位于的平面上。由對(duì)稱性知,Pi點(diǎn)與P "點(diǎn)縱坐標(biāo)相同，即 yPa = Ra1 cos日+ h式中,h是C點(diǎn)的y坐標(biāo)。設(shè)b在I中運(yùn)動(dòng)的軌道半徑為Rb1，由洛侖茲力公式和牛頓第二定律得q（¥）B=$（¥）2Rbi3設(shè)a到達(dá)巳點(diǎn)時(shí)，b位于Pj點(diǎn)，轉(zhuǎn)過的角度為。如果b沒有飛出I，則11Ta2式中,t是a在區(qū)域II中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間

28、，而Ta212由由2 Rb1v 314式可見，b沒有飛出。Pb 點(diǎn)的 y 坐標(biāo)為 ypb 二 Rbi(2 cos ) h由 式及題給條件得,a、b兩粒子的y坐標(biāo)之差為2 yPa - yPb = 3 (3 _2)d39、如圖所示，在坐標(biāo)系xoy的第一、第二象限內(nèi)存在相同的勻強(qiáng)磁場，磁場方向垂直于xoy面向里；第四象限內(nèi)有沿 y軸正方向的勻強(qiáng)電場，電場強(qiáng)度大小為E. 一質(zhì)量為m、帶電量為 q的粒子自y軸的P點(diǎn)沿x軸正方向射入第四象限，經(jīng) x軸上的Q點(diǎn)進(jìn)入第 一象限，隨即撤去電場，以后僅保留磁場。已知OP=d,OQ=2d不計(jì)粒子重力。（1 ）求粒子過Q點(diǎn)時(shí)速度的大小和方向。（2） 若磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小

29、為一定值Bo,粒子將以垂直y軸的方向進(jìn)入第二象限，求Bo；（3） 若磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小為另一確定值，經(jīng)過一段時(shí)間后粒子將再次經(jīng)過Q點(diǎn)，且速度與第一次過Q點(diǎn)時(shí)相同，求該粒子相鄰兩次經(jīng)過Q點(diǎn)所用的時(shí)間?！敬鸢浮恳娊馕觥窘馕觥浚?）設(shè)粒子在電場中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為 t0，加速度的大小為a，粒子的初速度為v0，過Q點(diǎn)時(shí)速度的大小為 v，沿y 軸方向分速度的大小為 vy，速度與x軸正方向間的夾角為 0, 由牛頓第二定律得qE = ma由運(yùn)動(dòng)學(xué)公式得1 2d = 2 ato2d = votoVy = ato,l 22V = Vo + VyVy tan 0 =Vo聯(lián)立式得v = 2qEdV m0= 45Oi為圓心,(2)設(shè)粒子做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑為 R1，粒子在第一象限的運(yùn)動(dòng)軌跡如圖所示,由幾何關(guān)系可知厶00Q為等腰直角三角形，得Ri = 2 2d由牛頓第二定律得2vqvB0 = m Ri10聯(lián)立式得B0mE11(3)設(shè)粒子做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑為 R2，由幾何分析(粒子運(yùn)動(dòng)的軌跡如圖所示，02、0；是粒子做圓周運(yùn)動(dòng)的圓心，Q F、G H是軌跡與兩坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，連接02、0；,由幾何關(guān)系知,o2fgo 2和o2qh 0；均為矩形,進(jìn)而知FQ GH均為直徑，QFGF也是矩形