高中數(shù)學(xué)放縮法技巧全總結(jié)

1、2010高考數(shù)學(xué)備考之放縮技巧證明數(shù)列型不等式，因其思維跨度大、構(gòu)造性強，需要有較高的放縮技巧而充滿思考性和挑戰(zhàn)性，能全面而綜合地考查學(xué)生的潛通過多角度觀察所給數(shù)能與后繼學(xué)習(xí)能力，因而成為高考壓軸題及各級各類競賽試題命題的極好素材。這類問題的求解策略往往是: 列通項的結(jié)構(gòu)，深入剖析其特征，抓住其規(guī)律進行恰當?shù)胤趴s；其放縮技巧主要有以下幾種：一、裂項放縮(4)求證:2( n 1 1) 1113n例1.(1)求k 14k2 1(2)求證：n解析:(1)因為24n2(2n21)(2n 1)12n 1L，所以2n 12 1412n 12n2-(2)因為1nT12 一 2n，所以1k22n 12n 1奇

2、巧積累:(1) 1 n244n2'1C：1C2(n 1)n(n 1)n(n 1)1n(n 1)Trcnn!r!(n r)!1r!r(r 1)1-(r 2) r(4)(1-)n nn(n 1)_: 2n(21!n 1)(6)Jn 2 2( n 1 n)2(- n. n 1)(8)22n 11(2n 1) 2(2n 3) 2nn 1 n(n 1 k)(9)1k(n 1 k)(10)1n!(11) 1一 、2( 2n 1 2n 1) n2n21 n -2(11)2n(2n 1)22n1)(2n 1)(2n2n1)(2n2)2n 1(2n1)(2n 11)12n 1 11 (n 2n 12)(

3、12)1n3n(n 1)(n 1)1. n(n 1)1n(n 1)(13)(14)(15)2n 1 2 2(3 1)33(21) 212n-2n-3(15)k! (k 1)! (k 2)!(k 1) ! (k 2) !n(n 1)Jnn 1(n2)i2 1 j2 1(i 2. 2ij2j)( i 11)j2 1例2.(1)求證：11(2n 1)2(n2(2n 1)2)1613614n214n(3)求證：125(2n 1)6 2n2n 1 11 2n-1i 1 (2i解析：(1)因為1(2T(2n11)(2n 1)12n-，所以2(31 111 -(-)2 3 2n 11 -14 16364(1

4、4) n4(1-) n(3)先運用分式放縮法證明出1 3 5(2n2 4 6 2n1)1,再結(jié)合.2n 1進行裂項，最后就可以得到答案 n(4)首先12(. n2，所以容易經(jīng)過裂項得到2( n 1 1)再證1_ .2( 2n 1 2n 1) n2n 1 2n 121n _ n2-值不等式知道這是顯然成立的，所以2( 2n1 1)例3.求證:6n(n 1)(2 n1)解析:一方面：因為1n2n24 4n212n-12n-，所以2n 1另一方面：1_1 n(n1)當n 3時，6n，當時,6n(n 1)(2n1)(n 1)(2n 1)當n 2時， 6n(n 1)(2n 1)工，所以綜上有6n(n 1

5、)(2n 1)例4.(2008年全國一卷設(shè)函數(shù)f(x) x xlnx.數(shù)列an滿足0 a1 1 .an 1f(an).設(shè) b (aj)，整數(shù) k>_a_b .證a11n b明：ak1 b.解析：由數(shù)學(xué)歸納法可以證明是遞增數(shù)列，故存在正整數(shù)m k，使 amb,則ak 1akb,否則若a,b(m k)，則由 0 qam bamlnama11n am a1 1n b 0，ak 1akak 1n akka1m 1am ln am，因為kam 1n amk(a11n b),m 1于是a-例5.已知a1| a11nbia1 (b a1) bn, mN ,x1,S1m 2m 3m，mnm,求證：nm

6、1(m1)Sn(n 1)m 1 1.解析:首先可以證明:(1n x)1 nxnm 1nm 1 (n1)m1 (n1)m 1 (n2)m 1nkmk 11 (k 1)m1所以要證nm 1 (m 1)Sn(n1)m 11只要證:nm 1m 1 -ik (k 1)k 1n(m 1) kmk 1m 1(n 1)1 (n1)m 1m 1(n 1)m 1 m 1 -i(k 1) k k 1只要證n a1* 1)m 1n(m 1) kmn(k1)m 1 k m 1 ,即等價于k1k 1k1km 1 (k 1)m 1 (m 1)km (k 1)m 1 km,即等價于 1m 11 m 1(1)k k而正是成立的

7、，所以原命題成立.例6.已知an4n 2n ,T n2n,求證工a1a2414n (21 222n)4(14n)2(12n)1) 2(1 2n)所以Tn2n1) 2(1 2n)2n32n 12n"22n 14n3 2n13 2n12n (2V從而例7.已知x12n(2TT1)2nTn12n 11,Xnn(n2k1(n1,k2k,kZ)，求證:Z)144 X2 X314 -4 X4 X514 rX2nX2n 12( n 11)(n N*)證明：14 X2nX2n 14 (2n 1)( 2n 1)1424n 12 ,因為n 1,所以所以1X34 X4 X5、函數(shù)放縮4n。X2nX2n 1

8、2/n14 X2 nX2 n 1例8.求證："蜉吧234解析:先構(gòu)造函數(shù)有l(wèi)n x2n 2n 12( n- 2( Jnln 33n3n1 1)(n N*)5n 6 , (nlnx 1 1，從而 ln 2 ln 3 ln 4t r ln3nn 113n1 (-3n2 31111111113n234 5 6 7 8 953 3_996 6 918 273n 1 3n 15n2 3n 1 -F 6q所以 ln 2 ln 3 ln 4234ln 3n3n5n3n5n 66例9.求證:(1)ln 2 ln32，- Vln n2n2 n 12(n 1)(n2)解析:構(gòu)造函數(shù)一、lnX,得到f(x

9、)函數(shù)構(gòu)造形式：lnX x 1例10.求證：1 12 32ln n ln n2,再進行裂項二n n2n2,ln n n 1(2)11ln(n 1) 1 -n 12工1 一1一，求和后可以得到答案 n2 n(n 1)1 n解析:提示:ln( n 1)ln nln nlnln 2函數(shù)構(gòu)造形式1lnx x,ln x 1x當然本題的證明還可以運用積分放縮如圖取函數(shù)f(x) 1x首先：SSABCF1,從而，1 iixixln x |n i In n ln(n i)取i 1有，1nln nln(n1),1ln 2，3ln3In 2,1nInln(n 1)， nln(n1 ln( n 1) n 1另一方面S

10、ABDE1,從而有 ixln xixin iln nln(ni)取i 1有，1n 1ln nln(n 1),所以有l(wèi)n(n 1) 11，所以綜上有nln(n1)例11.求證：(1(1e和(19)(1 811)(1_1_)、e. 32n)解析構(gòu)造函數(shù)后即可證明例12.求證：(1 1 2)(12 3)1n(n 1)2n 3e解析：一,八"03，疊加之后就可以得到答案lnn(n 1) 1 2 n(7F函數(shù)構(gòu)造形式:ln(x 1) 2 jx 0)q)2(x 0)(加強命題)x 1x x 1例13.證明：ln2ln3 ln4ln nn 1解析:構(gòu)造函數(shù)f (x)ln(x 1)(x 1)1(x1

11、)，求導(dǎo)，可以彳I到：f (x)1xn二，令 f'(x) 0有12，令 f (x)0有 x 2,所以f(x)f(2)0,所以 ln(x 1)2,令 x n1 有，ln n2所以ln n nnl1,所以ln2Vln3 ln4V Tln n n(n 1)(nN*，n 1)例14.已知1,a(1/-)an n1證明 2n.a,e2.解析：ani 11(1E)an(1 n(n 1)1 尹)an然后兩邊取自然對數(shù)，可以得到ln an 1 ln(1 n 1 n(n 1)ln an然后運用小(1 放縮思路：x) x和裂項可以得到答案a n 1(1lnan1n2 nJ fan1n an n 21 o于

12、是ln a1 ln(1ln a1-2- n12 nn 1(lnaii 1ln a )ln a,'nln a11127)1n an1 ，2n11 (-)n 121 -1 .212.2n即ln anln a1ane2.注：題目所給條件ln(1x)0)為一有用結(jié)論,可以起到提醒思路與探索放縮方向的作用;當然,本題還可用結(jié)論2n n(n 1)(n 2)來放縮:an1 (1 舟vann(n 1)1 (1n(n 1)(an1)n 1ln(an 1 1) ln(an1)ln(1 E1n(n 1)i 2i(i 1)1 1,n11ln(ai 1 1) ln(a 1)7-ln(an 1) ln(a21)

13、1即 In(an i) i In 3an3e i e2.例i5.(2008年廈門市質(zhì)檢)已知函數(shù)f(x)是在(0,)上處處可導(dǎo)的函數(shù)，若X f'(x) f (X)在X 0上恒成立.(I)求證：函數(shù)f&、 上是增函數(shù);g(x)在(0,)(II)當 Xi0,x2(III)已知不等式00寸,證明：f(Xi) f(X2) f (x X2)；ln(1 x)x 在 x1a x 0時恒成立,求證：i 2 i2 1n 222 In 33i 2 rIn 42 42i27-=In(n i)2 (n i)2(n 1)(n2)*(n N ).(II)因為f(Xi)Xif(x?)x2解析：(I)g,(x

14、)f (x) 4g(x)上在(Qxf(Xi X2)XiX2f (xi x2 )兩式相加后可以得到 f (xi)f(xi x2f'(x)x f(x)0,所以函數(shù)g(x)f (x) 4在(0, x上是增函數(shù))xixix2上是增函數(shù))，所以f(xi)f(x2)f(xi)Xn)xnf (X2)X2f(xi X2xn)xix2xrf (XJXnf (xi X2xiX2Xn)xn相加后可以得到f(xi) f(x2)f (xn)xiIn xix2 In x2221n 22i 1In3 32i(n i)2i2Ti32i(n i)2所以*3121n32(方法二)ln(n(ni)2i)23121n又 In

15、 4 iXiXiX2X2XiX2f(x2)f (xi)f X)f (xif (xix2)x?)f(xi x2)Xixix2x2xi1xnf (xix2f(xn)f (xix2xnx2Z f(xixn)x2xn)x3 ln x3Xn In Xn(xix2Xn)In(Xi X2xn)InIni (ni2n2(niIn 4 42In(n i)2(n32，所以n i例i6.(2008年福州市質(zhì)檢解析:設(shè)函數(shù)i)(n 2)ir In 4 42171nsi3""2i)(n 2)i)2i(n i)2i(n i)n(n i)2ln(ni)22(n i)(n (nN 2).In4(n i)(

16、n 2)i3 In(n(n i)2)已知函數(shù)f(x),若xIn x. ag(x) f(x) f(k x), (k 0)In4 ni)2i In 42in-2nIn 42(n 2)i ., 2 In(n (n i)2i)2n2(n i)(n 2)(n*N ).0, b0,證明：f (a) (a b) In 2 f (ab)f(b).三、分式放縮f(x) g(x) 0 xg (x)令 g(x)x ln x, xln x (k x)ln(k k.In x 1 ln(k0,則有工x)x),1 ln x k x2x k0k xk )上單調(diào)遞增，在g(X)在_,k2:g(x)的最小值為而 g(2)g(x)

17、即 f (x)令 x a, kk g(2)kx k.2m k上單調(diào)遞減.(0, 2,即總有,、 加、'g(x) g(2).kf(2)f(k)f (kf(kk2)kln 2,x) f(k)x b,則 k akk ln- k(ln k ln 2)kln 2.b.f(a) f (b) f (a b) (a b) ln2.f(a) (a b)ln 2 f (a b) f(b).姐妹不等式：bam(b a 0,m 0) mf(k) kln2,b m , (a b 0, m 0) a m記憶口訣”小者小，大者大”解釋:看b,若b小，則不等號是小于號，反之.例19.姐妹不等式:(1 1)(111)(

18、1)(1 -) 62n 1 和 2n 1(1 12)(1 4)(1 6)(12n)1也可以表示成為2n 12 4 6 2n .和 2n 1(2n 1)(2n 1)-212n 1解析:利用假分數(shù)的一個性質(zhì)b-Jm(b a m0, m0)可得2n2n 12n 12n2n 1y 八工(2n 1),2 4 6 2n(一 1 3 5 2n 1)22n1 即(1 1)(113)(115)(112n 1) 2n1.例20.證明：(11)(111-)(1 -)47(13n 23 3n 1.2 583n13693n1 473n22.583n 12 583n147103n 11 473n2.3693n解析：運用兩

19、次次分式放縮(加2)相乘，可以得到：(加1)3n 13n 21083n3n 13n 2 小,、Ml (3n 1)所以有(11)(117)(13n 2)3 3n 1.四、分類放縮例21.求證力1 12 312n 121 121312"11；(44)解析:(1111)(2323 Z323)例22.(2004年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽加試改編)在平面直角坐標系 xoy中，y軸正半軸上的點列 An與曲線y v'2x ( x >0上的點列Bn滿足oAn oBn1 ,直線An Bn在x軸上的截距為 nan.點Bn的橫坐標為bn,n證明an>an1>4, n N ; (2)證明有

20、n0 N ，使得對 nn0都有三巴 b?瓦bnbnrbn 1 <n 2008.解析依題設(shè)有：從0,1, Bn 口,腳，3 ° n-，由 |OBn 得:b2 2bnn二，bn n21,n N*,又直線AnBn在x軸上的截距為an滿足an02bn7bnQ2n2b 1 n2b2 0,bnnn1 n 2bnbn1 n 2b nbn 1 n 2b；1 2n2bn1n2bnbn 2 . 2bn n bnan1 v2 2r顯然，對于1n0,有anan4,n證明：設(shè)1 1b .1 _n,n bn1，1N”則CnQ 2n 1 n0,Cnc2Cn, n則當時,Sn12k-1212212k12222

21、所以，取n。123240092kk2n都有: n0b3b21bn 1bnSnSnn040172112008故有b2b3b2bnbn 1bn 1 < n bn2008成立。例23.(2007年泉州市高三質(zhì)檢)已知函數(shù)f (x)2.,x bx c(b 1, cR)，f(x)的定義域為 1, 0,值域也為1, 0.若數(shù)列bn滿足bf(n),n3n(nN*),記數(shù)列bn的前n項和為Tn,問是否存在正常數(shù)A,使得對于任意正整數(shù)n都有Tn A并證明你的結(jié)論。解析:首先求出f(x)x22x”bnf(n)n3n2 2nn31 121 18 2Tnb1b2b3bn436781112T2k 1 2- 1,故

22、當 n 2k 時,T2/2n五、因此，對任何常數(shù)A,設(shè)m是不小于a的最小正整數(shù),則當n22m2時，必有T 2m 2 1mA.n I III I2故不存在常數(shù)A使TA對所有n 2的正整數(shù)恒成立例24.（2008年中學(xué)教學(xué)參考）設(shè)不等式組Sn 2.an 11an 21a2 n2時，求證：111a1a2a3解析:容易得到an3n,所以，要證S2n1迭代放縮例25.1 J 1、J12 (3 4) (5 68)T2n 1已知X xx 4Kx1解析:通過迭代的方法得到xn例26.sin 1! sin 2!12T22解析:|Snksin(n 1)!Sn I I -2nsin(nI -27|sin( n 2)

23、!2 n 21 11了(22212n(1又 2n (1 1)nC0cn六、借助數(shù)列遞推關(guān)系例27.求證21 324解析:設(shè)a.an2n而an2(na1a?所以例28.7(n1211a2a3Q0,nx7n3611.1a"表示的平面區(qū)域為3n7n 11只要證s n 1362，設(shè)D內(nèi)整數(shù)坐標點的個數(shù)為1 7n 11,因為2n12an .設(shè)/ 1(2n 1 112n1 212n1)，求證:當7n 11,所以原命題得證.12n 2 時,j2I 2 21n i 1，然后相加就可以得到結(jié)論sin n!，求證:對任意的正整數(shù)2nsin(n 2)!-2n 2sin(n k)-2nnk - ICn5(2

24、nk,若k王 恒有:|Sn+k S|1一 nsin(nk)12n k所以IS S I | Sn k Sn I2 4 6 2n1)則2 4 6 2n1 an1)1) an 12(n12n(2n 1) 2n 2 12(n 1電12nan an, 從而2nan,相加后就可以得到1濕12a12(n 1)1 (2n2n 31 3 5(2n 1) 2n 24 6 2n2)l1 3 5(2n 1)- / 2n 1 12 4 6 2n解析：設(shè)a2n 1an -1 ann 12(n 1) nan 12(n 1)例29.若a1"一解析:an 2所以就有1a1七、分類討論例30.已知數(shù)列341 3 5(2

25、n 1)則2(n1an(2nan 11a2an的前1a5解析:容易得到an由于通項中含有6 2n1) 1an1 (2n 1)an am'從而1 (2n 1)an,相加后就可以得到11)an 1 3a1 (2n 1)2n1an1am3且n為奇數(shù)時2 n 22。122n 31,求證：1a，1a.2(. i)an an 11 an a1an2 ana22 an 1ana22. L 2項和Sn滿足Sn2an(1)n,n 1.證明：對任意的整數(shù)2 2n 2 ( 1)n 131)n,很難直接放縮,考慮分項討論:an a12 n 12(白(減項放縮)32222n 32n2nm 4 口 m為偶數(shù)時工a

26、，)12m 22a532am a(1 2k(-a538-) a67.8(a) am當m 4且m為奇數(shù)時1a,1a51am1 (添項放縮)由知11117由得證。.am am 18八、線性規(guī)劃型放縮例31.設(shè)函數(shù)、 1 (x)2xx2 21 .若對一切af(x)b的最大值。解析:由(f(x)1)(x 2)2(x 1)22(x2 2)2知(f(x)1 -)(f(1) 2即1) 0112 f(x) 1由此再由f(x)的單調(diào)性可以知道f (x)的最小值為1，2最大值為1因此對一切x R,af (x)3的充要條件是,1,- a b 32a b 3即a , b滿足約束條件bb1a21-a2由線性規(guī)劃得，ab

27、的最大值為5.九、均值不等式放縮n n( n 1),求證 n(n-21)S,(n 1)2-2解析：此數(shù)列的通項為akk kk(k 1),k1 k 1，1,2,n.Sn(kk k(k 1)22即；（；1）s；（； 1）n（； 1）2-2；22-2.應(yīng)注意把握放縮的 度”：上述不等式右邊放縮用的是均值不等式3ab若放成昕刁 k；Sn(kk 11)(n 1)(n 3) (n 1)2 ,就放過 度 ”了!根據(jù)所證不等式的結(jié)構(gòu)特征來選取所需要的重要不等式，這里；a1an一ra1an-n一ani 223ia；n其中,2,3等的各式及其變式公式均可供選用。例33.已知函數(shù)f（x），若 4,且f(1)5f(x

28、)在01上的最小值為2f (1)f (2)f (n) n12n 1解析: f(x) _ 14xx42>x 0)f(1)1f(n) (1 六1(12)2 22(1122n)11(1 42例34.已知a,b為正數(shù)，且1,試證：對每一個n n(a b) abn222n 1解析:(a b)n 令 f(n)由1 aC0a(a2f(n)=C；(an而 an 1b abn1則2f (n)=(c；b)1b(a例35.求證C；解析：不等式左 原結(jié)論成立.例36.已知解析: f(x1) g1得abC；an 1bbnabn1)CnCnrb)；C2Cn2f(x)(ex1又(aCnra，、/1、b)()a bC；

29、bnC3(e經(jīng)過倒序相乘，就可以得到例37.已知f (x)解析：（k其中：k1,2,3,所以（k4，故 ab4,(f(n)=C1aC；(anrbr,n 1ab1bCnranrbrc；1 (abCnnn a1 n 1ab1b)，因為cnCn i ,倒序相加得；an 1b 2 anbnn2 42Cnnb；Cn31)(arb22nC；2；c；e x，求證：fx2eeX1x2f(1) f(2)1,求證：f (1) x1 )k(2n 2n 1 k,2n,因為 k 2n k(1 k)從而ff(2)例38.若k解析：2S （1 nf(3)f(2)11 k ) 2n 22n 1 kan rbr) (2n2)(

30、arbnn 12 2 (n 1, nN)rbr)(2； 2) 2n1，所以 f (n)(2；2) 22nf (2)ex2f(3)ex11ex2f(n)f(3)n 1(e2 22f(n)n(e.1x-'2f(2n)k1 k)2n 1 k2n2n (k 1)(2n k)2f (3)f(2n)2 (2n7，求證：Sn-1nk 1)1)n ,2 (n2）2n，所以f(1)f(2)nk 11)nk(2nk(2n 1f(3)2nn1)31 k)k) 2nf(2n)n V1 2 22(2n 1 k) 2nn2 (n 1).1(n 21nk 3)1(nk 1因為當x0, y 0時,x y 2Txy,1

31、 x2所以xy,、，1(x y)( x7)4所以4 ，當且僅當x yy時取到等號.所以2S2Sn4n nk 14n 1 nk42 nk 34n nk4n(k 1)nk 1所以Sn2(k 1)T1 k -n2(k 1)k 13所以32Sn1nr21nk-例39.已知f (x)a(x x)(xx2),求證: f(0)f(1)2 a16解析:f(0) f(1) a2x(1 x1)x2(12 a x2) 16例 40.已知函數(shù) f(x)=x2-(-1)k21nx(kG N*).k 是奇數(shù),nG N*時,求證：f (x)n-2n 1f (xn) E(2 n 2).解析:由已知得f (x) 2x - (x

32、 0)， x當n=1時，左式=qx2) (2x x2) x0右式=0.,不等式成立.n 2,左式=f(x)n2n 1(xn)(2x2)n 2n 1 (2xn x4) x2n(C：xn 2c 2 n 4CnxCn1 -n-4 xCn).令 S C：xn 2 C2xn 4C：C：由倒序相加法得:2S C：(xn2二) xC：(x1/1n(F xx2C所以SC2Cn1)2(2n2)所以f(2n2).(x)n2n/ nn n(x ) 2 (22)成立.綜上,當k是奇數(shù),時,命題成立例41. ( 2007年東北三校)已知函數(shù) f (x)ax x(a 1)11)求函數(shù)f (x)的最小值，并求最小值小于0時

33、的a取值范圍;(2)令 S(n) C：f'(1) C；f'(2)Cn 1f(n1)求證:S(n) (2n2) f由f' (x) a 同理：f(x) 所以f' (x)在(ln a 1, f (x) 0,即:axln a 1,ax ,Xaln alogln a所以 f (x)min0,有x,logf(若 f(x)min °,即1loglog a ln a,lna)上遞減，在(,、1 ln ln a ln a)logln a,)上遞增;(2)S(n) C：(alna(C1a C2a21 .攵C：(a an1)n1)Cn2(a2ln aCn 1aC2(a2n

34、1) lnaan 2)ln ln aln aln a0,則 ln ln a,11,ln a 一ea2(2n2)lnan(2n 2)( a ln a(2n2)1)(21a的取值范圍是1 ae所以不等式成立。例42. (2008年江西高考試題)已知函數(shù)f1<1 aax，x 0, ax 8解析:對任意2定的a 0, x 0,由f(x)11 8ax若令ba,則abx 8，而f x ax1)(CnC2Cnn1(a,n 2)f (2),.對任意正數(shù)a,證明：11(an 1 lna 1)C；1)a)ln a (2n2)x 2,J1 x)、先證f x1;因為 11 ,11 ,111 x1 xva1 a1

35、 b 12 a b x2. 2a 2 . bx44 2abx8 ,得abx1f x. 1 X1111132(a b1 a 1 b 1x 1 a1 b(1 x9 (a b x)(ab ax bx)1 (a bx) (abax bx)所以(1 x)(1 a)(1 b)又由b(一6.x) (ab ax bx)a)(1b)(1x)(1 a)(1 b)(二)、再證f x 2；由、式中關(guān)于b 7,則a 5,所以x,a, b的對稱性，不妨設(shè)x a b .(ii )、當 a由得，x8ab因為b2丁 14(1 b)2同理得今證明b 21 b只要證ab5,因為 1b1fab-，1-xab 8b2(1 b)2所以a

36、b2gb 2(1 b)ab , b)(1 a)(1 b)因此得證.故由得abab 8f (x) 2-ab(1a)(1b)，也即a7,據(jù)，此為顯然.綜上所述，對任何正數(shù) a,x，皆有1例43.求證:1解析:一方面:1213n-1-213n 113n-1-213n3n 14n4n 24n2n另一方面：1十、二項放縮(11)(3n1)(n 1)3n(n2)(n 1)(3n1)(2nCn°cn2nC0CnC2例44.已知ai1,an 1解析：勺an 1ln(an 1 1)ln(an 1) ln(1即 ln(an1) 1 In 31ipn7(2n1ip(n 1)21(2n 1)2n7(2n 1

37、)21(2n 1)213n2n 1n 12n 2Cnn,2nC0Cn(1(12nn(n1)(n2)-)an n1 2n.證明a.lne21n(n 1)n(n 1)an3e 1河 n(n1.n(n 1)2e .1)an 11ln(ai 1i 2(11)七)(annln(ai 1)i1)11市-1n(an1) ln(a2 1) 1 -11,例45.設(shè) 1、na n (1)n,求證：數(shù)列an單調(diào)遞增且a4.解析: 整理上式得引入一個結(jié)論:-H-*右 ba 0則 bn 1(n 1)bn(b a)(證略)以 a 1 _r,b n 1bn(n”弋入 n1)a)nb.(式得(1(11)n. n即an單調(diào)遞增

38、。以1代入a 1,b 1 一 2n此式對一切正整數(shù)式得(i _X)n 12n 2(11 2n2n)4.n都成立,即對一切偶數(shù)有(1in n4，又因為數(shù)列an單調(diào)遞增，所以對一切正整數(shù)n有(1 1)n 4°n注：上述不等式可加強為1(1 -)Q簡證如下: 3.利用二項展開式進行部分放縮:an(11)n nC；C2Cnn只取前兩項有anCnc： -1n k故有an1k!2對通項作如下放縮: .n12n12V1k!12kT .1 (1/2)n 13.上述數(shù)列an的極限存在,已知i,m,n是正整數(shù)，且1為無理數(shù)i m n.簡析對第(2)問：用1/n代替1 1/2e；同時是下述試題的背景:(1

39、)證明 niA： miA：；1證明(1 m)n (1 n)m.(01年全國卷理科第20題)1n得數(shù)列bn: bn (1 n)i是遞減數(shù)列；借鑒此結(jié)論可有如下簡捷證法：數(shù)列(1 n)n遞減,且 1 i m n,故(1 m/(1 n”,即(1 m)n當然，本題每小題的證明方法都有概率模型、構(gòu)造函數(shù)等都可以給出非常漂亮的解決!例 46.已知 a+b=1,a>0,b>0,求證：a n(1 n)m °10多種,如使用上述例詳見文 1obn21n.5所提供的假分數(shù)性質(zhì)、貝努力不等式、甚至構(gòu)造分房問題”解析：因為a+b=1,a>0,b>0,可認為a 1 b成等差數(shù)列，設(shè) ,

40、2,1d,b - d'2從而1 nan bn - d21 n d 21n2例47.設(shè)n1,n N ,求證(2)n 13,(n 1)(n 2)解析：觀察(2)n的結(jié)構(gòu),注意到3，n (11)n ,展開得21C12C2口 n(n 1)28(n 1)(n 2) 6 ,即“1 n(n 1)(n(12)8"工得證.例 48.求證：ln3 ln2ln(1ln 2解析:參見上面的方法例42.(2008年北京海淀，希望讀者自己嘗試!)對任意a,b對任意n N*N , a都有5月練習(xí))已知函數(shù)yb，都有 af (a) bf (b)f (x),xaf (b)(I)試證明:(II)求f(III)令 anff(n) 3n.f(x)為N上的單調(diào)增函數(shù);f(6